Geometria Libro Tomo i 2015

8/17/2019 Geometria Libro Tomo i 2015

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1



necesario tener presente que al denotar un ángulo, la letra intermedia corresponde al vértice.

TRISECTRIZ DE UN ÁNGULODivide a un ángulo en tres ángulos congruentes.

Entonces:

OBSERVACIÓN

DEFINICIÓN: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Representación:

Elementos:

Lados : _ _ _ _ _ _ _ _ _.

Vértice : _ _ _ _ _ _ _ _ _.

Notación: _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.

MEDIDA DE UN ÁNGULO: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Notación:

ÁNGULOS CONGRUENTES:

ISECTRI! DE UN ÁNGULO:

CL"SIFIC"CIÓN DE LOS ÁNGULOS:

I# DE "CUERDO " SU $EDID":I#1#% Án&'lo a&'(o:

I#)#% Án&'lo recto:

I#*#% Án&'lo o+t'so:



nota: Dos rayos opuestos son aquellos que tienen el mismo origen y cuya reunión es una línea recta.

y son rayos opuestos

B

C

A

O

A O C

B

II# DE "CUERDO " L" ,OSICIÓN DESUS L"DOS:

II#1#% Án&'los a(-acentes:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

II#)#% Án&'los consec'ti.os:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

,OSTUL"DOS I$,ORT"NTES:

1#% /n&'los consec'ti.os 0orma(os en 'nla(o (e la recta

)#% /n&'los consec'ti.os 0orma(osalre(e(or (e in p'nto

II#*#% Án&'los op'estos por el .rtice:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

III# DE "CUERDO " L" SU$" DESUS $EDID"S:

III#1#% Án&'los complementarios:

Tam+in:C : Complemento (e # C

2 345 6

#

III#)#% Án&'los s'plementarios:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _



B Y

CA

Zx

O

Tam+in:S : S'plemento (e : S

2 1748 6 #

#

,ropie(a( a'9iliar

RECT"S ,"R"LEL"S

ÁNGULO ENTRE DOS RECT"S SEC"NTES UN" TR"NS;ERS"L

Án&'los Correspon(ientesUn interno y el otro externo, a un mismolado.

Án&'los "lternos Internos Ambos internos uno en cada lado.

Án&'los Con<'&a(os Internos Ambos internos y en un mismo lado

,ropie(a(es 0'n(amentales:

,ropie(a( 1 : Sarrus o serrucho.

,ropie(a( )

,ropie(a( *

Án&'los ,aralelos:

O+ser.ación 1 :



L1

L230º

0ºxº

L2

L1

!0º

!0º

xº

aº

"º

O+ser.ación ) :

E=ERCICIOS1. Se tienen los ángulos consecutios A!",

"!# y #!$, luego se tra%an las bisectrices!& del ∠ A!" y !' del ∠ #!$. Sim∠ A!#()*+ y m∠ &!'(*+, calculem∠ "!$. A- /0 "- *0 #- *0$- /0 2- 3/0

). $esde un 4unto 5!6 se tra%an los rayosconsecutios !A, !", !# y !$. #alcule la

medida del ángulo 7ormado 4or lasbisectrices del m∠ A!" y m∠ #!$. Ademásse tiene m∠ A!# ( 8+ y m∠ "!$ ( 9)+.

A- /0 "- 8/0 #- /0$- 80 2- 80

3. se tiene los ángulos consecutios ∠ A!$,∠ $!" y ∠ "!#, siendo: !$ bisectri% delm∠ A!#. #alcular m∠ "!$, si: m∠ A!# m∠ "!# ( 1//0 y m∠ A!# ; m∠ "!# ( /0

A- )0 "- 30 #- *0 $- 80 2-1)0

. Si: # com4lementoS su4lemento

Siendo además:S#α SS##)α SSS###3α SSSS####α ()//0.#alcular: α A- )0 "- 30 #- 0 $- 80 2-1)0

*. Siendo α y β las medidas de dos ángulos y la suma del com4lemento de α con elsu4lemento de )α es igual a 3<) delcom4lemento de β y α ; β ()0. #alcular elcom4lemento de α .

A- )10 "- )30 #- )0 $- )0 2-)0

06. Sí; 21## L L

Hallar “x”:

A)15°

B)40°

C)25°

D)10°

E)20°

/. 2n la =gura: Si, hallar α . A- )0

"- )*0

#- )80

$- 3/0

2- 30

08.Sí;

21## L L

Hallar “x”: si aº+bº=120º

A)20°

B)40°

C)60°D)25°

E)50°

9. Seg>n la =gura, hallar 5x6 Si:

A- **0

"- /0

#- 0

$- *0

2- 80

1/ 2n la =gura , ?calcule:5x6.

A- )*0

"- 3/0

#- /0

$- */0

2- /0

11 Calcular la medida de un ángulo, si se resta sucomplemento resulta la cuarta parte de susuplemento.

a) 135° b) 70° c) 60°

d) 80° e) 90°

1!a ra"#n entre el suplemento $ el complemento de la medidade un ángulo es %. Calcule el suplemento del complementode la mitad de la medida de dic&o ángulo.



$

n

3

100%

x

&0%'

a) 100° b) 110° c) 90°d) 10° e) 15°

13 'e tienen los ángulos consecuti(os *+, +*C $ C*, tal -ue

la m∠ *60° $ la m∠ *C/m∠+*90°. Calcule la

m∠+*C.

a) 15° b) 30° c) 18°d) 0° e) 5

1 Seg>n el grá=co, calcule 5x6, siendo:

A- /0

"- *0

#- )0

$- *0

2- 03/@

15 Según el gráfico calcular “x” si: n // m:

A) 100°B) 110°C) 120°) 1!0°") 1#0°

Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética

entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor

entero.

x º - y º

2 y º + x º5 x º

a) 8° b) 3°

c) 4°

d) 5° e) 6°

Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de

"xº", si es la medida de un ángulo agudo.

x

θ

x

º

a) 100° b) 120°

c) 130°

d) 133° d) 145°

TRI"NGULOS

DEFINICIÓN: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Notación:

∆ A"# → se lee: triángulo A"#Elementos:Vértices:Lados:Longitud de sus lados:m internos:m externos:

BerCmetro: )p 2 a > + > c

Semi4erCmetro:

Clasi?caciónD. Bor la Eedida de sus Lados

E@'il/tero

Isósceles

Escaleno

73



( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

DD. Bor la Eedida de sus Fngulos

"c't/n&'loEs a@'el @'e

tiene s's */n&'los internosa&'(os#

O+t's/n&'loEs a@'el @'e

tiene 'n/n&'lointerno

Rect/n&'lo:Es a@'el@'e tiene'n /n&'lointernorectoa - + :

,RO,IED"DES ÁSIC"S

1# Relación (e e9istencia:

)# Relación (e correspon(encia: A mayor ángulo se o4one mayor lado y iceersa.

*#

#

#

,ropie(a(es ,artic'lares#

#

7#

3#

_ _ _ _ _ _ _ _ _ __:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ __:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ :



( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

14# Si: " 2 C → El tri/n&'lo "C ese@'il/tero

11#

1)# TraHo a'9iliar

LNE"S ,UNTOS NOT"LES "SOCI"DOS "L TRIÁNGULO

1# CE;I"N"Segmento Gue une un értice con un 4untocualGuiera del lado o4uesto o de su

4rolongaciHn.

Ce.acentro AC2s el 4unto donde se intersectan tresceianas de un triángulo

!"S2IVA#D!J2S:- , "R" UIC"R UN ,UNTO NOT"LE SÓLO ES

NECES"RIO TR"!"R DOS LNE"S NOT"LESDE L" $IS$" ES,ECIE#

- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE

TR"!" UN" DE L"S CU"TRO ,RI$ER"S

LNE"S NOT"LES J"CI" L" "SE K DICJ"

LNE" CU$,LE L"S $IS$"S FUNCIONES UE

L"S OTR"S#- EN TODO TRIÁNGULO EUILÁTERO EL

ORTOCENTRO M "RICENTRO M INCENTRO

CIRCUNCENTRO COINCIDEN#- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES M EL

ORTOCENTRO M "RICENTRO M INCENTRO EL

ECENTRO REL"TI;O " L" "SE M SE

ENCUENTR"N "LINE"DOS EN L" $EDI"TRI!

DE L" "SE#

)# $EDI"N"Segmento Gue une un értice con el 4untomedio del lado o4uesto a dicho értice.

aricentro AG2s el 4unto donde se intersectan las tresmedianas de un triángulo.K: "aricentro

,"R" RECORD"R# !$! IDFJKUL! D2J2 UJ S!L! "AID#2JI!.$DVD$2 A #A$A E2$DAJA 2J I2LA#DMJ #!E! 1 2S A ).2L "AID#2JI! 2S SD2EBI2 UJ BUJ! DJ2ID!I.2S LLAEA$! AE"DNJ KIAVD#2JI! ! #2JI! $2 KIAV2$A$ $2 LA I2KDMJ IDAJKULAI.

*# "LTUR"Segmento Gue sale de un értice y corta en7orma 4er4endicular al lado o4uesto o a su

4rolongaciHn.

74

75



Ortocentro AJ2s el 4unto donde se intersectan las tres

alturas de un triángulo.O: !rtocentro.

BAIA I2#!I$AI.T ODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO#ES UN ,UNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES "CUTÁNGULO#ES UN ,UNTO ETERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OTUSÁNGULO#SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL ;RTICE DEL ÁNGULO RECTO#

# $EDI"TRI! 2s una recta Gue 4asa 4or el 4unto medio deun lado cortándolo en 7orma 4er4endicular.

: $e(iatriH (e

Circ'ncentro AO2s el 4unto donde se corta las tresmediatices de un triángulo.

#: #ircuncentro, es el centro de lacircun7erencia circunscrita

,"R" RECORD"R#

!$! IDFJKUL! D2J2 UJ S!L! #DI#UJ#2JI!.2L #DI#UJ#2JI! 2PUD$DSA $2 L!S VNID#2S $2L IDFJKUL!.2S UJ BUJ! DJ2ID!I SD 2L IDFJKUL! 2S A#UFJKUL!.2S UJ BUJ! 2&2ID!I SD 2L IDFJKUL! 2S !"USFJKUL!.SD 2S I2#FJKUL! 2SF 2J 2L BUJ! E2$D! $2 LA ODB!2JUSA.

,ropie(a(:Si: 5/6 es circuncentro

⇒ # 9 2 ) #

# ISECTRI! Segmento Gue diide a un ángulo interior oexterior en dos ángulos de igual medida.

Incentro AI2s el 4unto donde se intersectan las tresbisectrices interiores de un triángulo, es elcentro de la circun7erencia inscrita



A D C

E

B

,"R" RECORD"R# !$! IDFJKUL! D2J2 UJ S!L! DJ#2JI!.2L DJ#2JI! 2PUD$DSA 2 L!S LA$!S $2L

IDFJKUL!.2L DJ#2JI! 2S SD2EBI2 UJ BUJ! DJ2ID!I $2L

IDFJKUL!.

E9centro AE2s el 4unto donde se intersectan dosbisectrices exteriores con una bisectri% interior en un triángulo, es el centro de lacircun7erencia exinscrita

E: Encentro relati.o (e

,"R" RECORD"R# !$! IDFJKUL! D2J2 I2S 2&#2JI!S.L!S 2&#2JI!S S!J SD2EBI2 BUJ!S

2&2ID!I2S AL IDFJKUL!.

,RO,IED"DES CON LNE"S NOT"LES1# Án&'lo 0orma(o por (os +isectrices

interiores#

#

"n&'lo 0orma(o por (os +isectricese9teriores#

# #

)# Án&'lo 0orma(o por 'na +isectriHinterior - 'na +isectriH e9terior#

#

#

*#

#

# #

#

# #

E=ERCICIOS1. 2n la =gura mostrada. #alcular 5x6.

A- 3/0

"- /0

#- *0

$- )).*0

2- 1*0

). $el grá=co. #alcular: 5x6.



a%a% "%

"%x

x

B

C

x

!0%

A C

3 2

A

B

) C100º

120º*

*

xº

70°

! " #

$%

+0%,0%x

A- /0

"- 3/0

#- )).*0

$- *0

2- 1*0

3. 2n el grá=co. Oallar: .

A- /0"- /0#- 1/0$- 1//02- 8/0

4. Del gráfico, hallar “x”:

A) 30°B) 36°C) 45°

40°60°

5. Del gráfico hallar “x”:

A) 65°B) 50°C) 75°D) 85°) !5°

6. Del gráfico, hallar “θ” "ie#$o AC%&B'.

A) (0°B) (5°C) (8°D) &0°) &&°30

7. De la figura mostrada hallar “x”.

A) 30°

B) 25°C) 60°D) 0°!) 35°

8. #alcule:

A- 80"- 1/0#- 1)0$- 1*02- 1

9. Oallar: 5x6.

A- 1/0"- )/0#- 1*0$- /02- 3*0

"0. Cal#ular “x” si$ AB % AC & A' % 'B.

A) "0°B) "5°C) 20°D) 25°!) 30°

"". !( el grfi#o #al#ular “x”.

A) "00°B) ""0°C) "20°D) "30°!) "0°

12. Del gráfco. Calcule “x”



x

-

α

α

θ θ

x

2 β

β

8 0 °

A

B

C A- 1/0 "- *0 #- /0 $- 1*0 2- 8/0

13. Del gráfco. Calcule x

αα

A C

B

xββ

7 2 °

A) 3° B) 54° C) 58° D) 0° !) 72°

1. 2n la regiHn interior a un triángulo ,se considera un 4unto 5$6, tal Gue:

. Si:

.#alcule:

. A- 1/0 "- *0 #- 0

$- 1*0 2- 1801*. $el grá=co mostrado, hallar 5x6.

A- /0"- /0#- **0$- 8/02- 1)*0<)

11# Seg>n el grá=co, calcule: .

A- */0

"- *0

#- 3/0

$- /0

2- /0

18. En la figura calcular x + y + z

Hallar

A) 15° B) 35° C) 20°

D) 45° E) N.A.

En el gráfico, las medidas de los ángulos

interiores del triángulo ABC están dadas en

grados sexagesimales. Calcule el menor valor

entero (en grados sexagesimales) que puede

tomar "bº".

B

A C

2 " º - a º

a - "º ºa + "º º

a) 45° b) 46° c) 40°

d) 35° e) 36°

DEFINICIÓN:

$os triángulos son congruentes si tiene igual7orma e igual tamaQo. 2s decir sus ángulosinteriores de igual medida y sus lados o4uestosde igual longitud res4ectiamente.Bara la congruencia de dos triángulos existenlos siguientes 4ostulados:



( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

A

B

C D

E

/

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

A

B

C D

E

/

A

B

C D

E

/

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

A

B

C D

E

/

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

A

B

C D

E

/

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :

O

A

)

B

C"SOS DE CONGRUENCI"

1# "#L#"# A"n&'lo 6 La(o 6 "n&'lo: $os triángulos son congruentes cuando tienen unlado de igual medida y sus ángulosadyacentes a dicho lado son iguales#

)# L#"#L# ALa(o 6 "n&'lo 6 La(o: $ostriángulos son congruentes cuando tiene doslados de igual medida y el ángulo 7ormado

4or dichos lados son iguales.

*# L#L#L# ALa(o 6 La(o 6 La(o: $os triángulos

son congruentes cuando tienen sus ladosres4ectiamente iguales.

# "#L#L$ A"n&'lo 6 La(o 6 La(o $a-or: $os triángulos son congruentes cuandotienen dos lados de igual medida y el ánguloGue se o4one al mayor lado res4ectiamenteigual.

",LIC"CIÓN DE L" CONGRUENCI" DETRIÁNGULOS

1# TEORE$" DE L" ISECTRI!: odo 4untosituado en la bisectri% de un ángulo eGuidistade sus lados.

Se cum4le:

)# TEORE$" DE L" $EDI"TRI!: odo 4untosituado en la mediatri% de un segmento,eGuidista de sus extremos.



A

B

C

DEA

B

C

A

D

B

E

C

A

B

D C

Se cum4le:,ro+lema "plicati.o:

2n la =gura, calcular el alor de .

A- )/0

"- 30

#- /0

$- 3/0

2- 180

*# TEORE$" DE LOS ,UNTOS $EDIOS: 2ntodo triángulo el segmento Gue une los

4untos medios de dos lados, es 4aralelo al

tercer lado y su medida es igual a su mitad.

Se cum4le:

# TEORE$" DE L" $ENOR $EDI"N" DEUN TRIÁNGULO RECT"NGULO: 2n todotriángulo rectángulo la mediana relatia a la

hi4otenusa es igual a la mitad de la medidade dicha hi4otenusa.

Se cum4le:



A

B

C

C

)

A

O)

A

B C

D

30º1!º

+!º

xº

TRIÁNGULOS NOT"LES

E=ERCICIOS

". !( la figura* #al#ular “ α ”* si$ AB%+C,2$

A) "5°B) "-°C) 22°30 D) 26°30 !) 20°

2. !( u( tri(gulo re#t(gulo ABC* setra/a la ise#tri/ i(terior A' tal 1ueB'%3m & 'C%5m. allar A'$

A) 3 2 m B) 6m C) 3 3

m

D) 3 ! m !) 5m

3. Del grfi#o* #al#ular A' sie(doB%"6m & 'C%m. 4AB%BC)$

A) 20mB) 2"mC) 22mD) 23m

!) 2m

# Seg>n la =gura AB ( B! ( . #alculela altura del cilindro recto mostrado#

A- 1 "- #-

$- 3 2-

5$ %allar “C”& si A' 1m& B' #m $

A) 2mB) #mC) 5m

) (m") m

($ el gráfico$ Calcular *+*:

A) 1B) !°C) 0&5) #

") √2

$ "n la figura mos,ra-a$ %allar “x”

!0.0.#5.(0. e$ 2.

$ a me-ia,ri -e AC -e un ,riángulo ABC in,erce3,a a BC en "$ 4al ue AB'"C a-emás B'0. $ Calcular C$

A) 55° B)!5° C)0° A) 105. ") 1#0.

2

22º8º22º

23º

x



D

A

B

3

E

C

$ Si AB'B 6 BC'B"$ %allar “α”$

B) 20°C) !0°) 15°") #5.7) !.

1/. 2n la =gura, calcular ? si:

.

A- 9.*

"- 1/.*

#- 11.*

$- 1/

2- *.

11. 2n el triángulo rectángulo A"#, recto en", se ubica E en A#, tal Gue m"A#( */+

y "E ( a. #alcular A#

A- a "- )a #- 11a $- 1/ 2-

*.a

1). 2n el triángulo A"#, se cum4le GuemA"#(1/*+ y m A#" ( )*+. Se tra%a laceiana interior "$ y la bisectri% interior AR.Si A" ( $#. #alcular m "$R

A) #0° B) 20° C) !5° ) !0. ") 25.

13. 2n el triángulo A"# se tra%a la mediana AE y en el triángulo A"E la altura "O , si 3A#- (*"O-. #alcule m EA#.

A) (0° B) #5° C) !0° ) 5!. ") !.

1. 2n el triángulo rectángulo A"# se tra%a #$ 4er4endicular a la bisectri% del ángulo "A#, si"# ( #alcule la distancia de $ a A#.

A) ! B) ( C) #$5 ) 1$5 ") 2

Hallar “x”

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 2

En la figura AB = CD, calcular

A) 10º

B) 12º

C) 15ºD) 5º

E) 8º

En el gráfico mostrado, calcule "xº".

1 0 º1 0 0 º

1 0 º

2 0 º x º

a) 5° b) 8° c) 10°

d) 12° e) 15°

En el gráfico, calcule "xº". Si : AQ = QC = BC.

2 x ºx º

B

A C

#

a) 10° b) 15° c) 18°

d) 30° e) 22° 30'



3

&1

2

1

23

&A

B

C

D

DA

B

CB

"

D

C

B

A

"

$

B

DEFINICIÓN: " la fig*ra for+a$a al *#ir c*aro-*#o" #o coli#eale" +e$ia#e "eg+e#o" $e reca:

Elementos: a$o": AB, BC, CD, AD.

/#g*lo": #eriore":

+

3

2

1 ββββ

xer#o": +

3

2

1 αααα

°=β+β+β+β 3,0+321

#lasi=caciHn Keneral

Clasi?cación (e los C'a(ril/terosCon.e9os

1# TrapeHoi(e

"@'ellos @'e no tienen la(o op'estos paralelos

)# Trapeciosienen dos lados o4uestos 4aralelosllamados bases y los otros lados, llamadoslados no 4aralelos

,ropie(a( (el Trapecio- $e(iana (e 'n trapecio

Si BC // A$

Si8 BC // A

#

*# ,aralelo&ramos AGuellos de lados o4uestos 4aralelos y

congruentes? ángulos o4uestos de igualmedida y dos ángulos consecutios siem4resu4lementarios. Sus diagonales se bisecan.


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A

)

!3%

B

R

/

,ropie(a(es Generales1#

##

)#

#

# #

3. Segmento Gue une los 4untos mediosde las bases

Si: > 2 348 : #

# En paralelo&ramos

# 9 2 + 6 a #

#E=ERCICIOS

1. 2n un tra4ecio la mediana y el segmentoGue une los 4untos medios de lasdiagonales están en relaciHn de cuatro atres. Oallar en Gue relaciHn están las bases. A- )< "- 3<* #-)<$- 1< 2- 1<8

). 2n un tra4e%oide A"#$? A" ( ? "# ( )* y

#$ ( )? Además la mT" ( 1+ y mT# (1/+. Oallar A$.

A- )* "- 31 #- 31

$- )* 2- 31

3. Kra=Gue el 4aralelogramo A"#$, de modoGue A$ ( 1)u., A" ( 9u y la mTA ( /+ setra%a la Altura "R relatia a #$ R en #$-.Oallar 5R$6.

A- u "- )u #- ),*u$- 3u 2- 3,*u

. 2n la =gura, #alcular 2R, si 2" ( , "# ( y A" ( 1#R (R$-. A- 8"- 1/

#- 9$- 2-

*. BPIS es un rectángulo BPA" es uncuadrado. Si PR ( 1*. Oallar SB.

A- 1"- 18

#- )/



A

BC

D

)

x

A B

CD

A

B C

D40º +0º

$- )*

2- 1*

/.$el. Kra=co A"#$ es un cuadrado Además:#O ( A2. #alcular x+.

A- *+ "- /+ #- 3/+$- 3+ 2- *3+

/.2n el grá=co los triángulos A"# y #BP soneGuiláteros? AP ( 1 y "J ( JB? calcule JO.

A- 3<3 "- *<) #- 8 $- <3 2- 1)

/8.Segun el grá=co, A"#$ es un cuadrado decentro ! y A ( ? #alcule !P.

A- 3 "- )<3 #- )<) $- 2- *

09.Del gráfico : CM = MP; si AP = 5 y MD = 2,calcular “BD”

a !" #c 9$ %2e %!

(0. 1i, A2%BC, calc*lar x:

A) 45°B) 37°C) 30°D) 60°) 53

(&. Da$o *# c*a$riláero ABCD $o#$eB%D%!0° A%45° "i ABBC% (0+ .allarAD

A) (0+ B) 5+ C) (0√&+ D) 5√&+ ) &0+

"3. allar la ase me(or de u( trae#io si la ase ma&or mide ""m & lasdiago(ales mide( 5m & "2m & se#orta( ere(di#ularme(te.

A) 2m B) "*5m C) 2m D) "m !) 3m

". allar la media(a de u( trae#io ABCD BC,,AD si A%53°* D%5°*BC%"2m & AB%"0m.

A) "m B) "7m C) "6m D) "-m !) "5m

En la figura ABCD es un trapecio: BC = 8 y CD =

6.

Calcular AD.

A) 7

B) 8

C) 6

D) 14

E) 15



A

B C

D

3

A

B C

D

y ABCD es un trapecio isósceles. Hallar

“AD”. EC = 5m

A) 8m B) 10

C) 15

D) 20 E) 30

Si ABCD es un romboide hallar “BF” sabiendo que

BC=7 y CD=5

A) 1 B) 2

C) 3

D) 4 E) 2,5

Si ABCD es un trapecio, m∠B = 3m∠D AB = 5, BC =

4,

AD = 12. Hallar: m ∠ BAD.

A) 78º

B) 69º

C) 67º

D) 70º

E) 71º

En la figura: AM = MB; BC = 2u. AD = 10u.

Calcular CD.

A) 6

B) 8

C) 19

D) 12

E) 14

DEFINICIÓN:2s la reuniHn de tres o más segmentosconsecutios o co4lanares, tal Gue elextremo del 4rimero coincide con el extremodel >ltimo? ning>n 4ar de segmentos, seinterce4ten, exce4to en sus extremos y dossegmentos consecutios nos seancolineales.

ElementosVértices :Lados :m internos :m externos :$iagonales :

$iagonales medias :

,olP&ono Con.e9o

2s cuando tienen todos sus ángulos internosconexos, es decir, mayores Gue cero y menores Gue 18/0.

Clasi?cación (e los ,olP&onosCon.e9os

1# ,olP&ono E@'i/n&'lo

#uando tienen todos sus ángulos internoscongruentes



)# ,olP&ono E@'il/tero#uando tienen todos su lados congruentes

*# ,olP&ono Re&'lar #uanto tienen todos sus ángulos internoscongruentes y todos sus lados congruentes

# ,olP&onos No Con.e9os#uando tienen uno más ángulos internos noconexos es decir mayores Gue 18/0 y

menores Gue 3/0.

Se&Qn el nQmero (e la(os:

JE2I! $2 LA$!S J!E"I2

; A los demás 4olCgonos, se les llama

con sus res4ectios n>meros delados 4or

; eWem4lo: 4olCgono de diecinueelados, 4olCgono de catorce lados

1# S'ma (e las me(i(as (e s's /n&'losinternos:

# Smi 2 1745 An 6 ) #

)# S'ma (e las me(i(as (e s's /n&'lose9ternos:

# Smi 2 *45 #

*# Dia&onales traHa(as (es(e 'n solo.rtice:

# Di 2 An 6 * #

# NQmero total (e (ia&onales:

# #

# NQmero total (e (ia&onales me(ias:

# ## Dia&onales traHa(as (es(e .

.rtices consec'ti.os

# #

En ,olP&onos Re&'lares - E@'i/n&'los# $e(i(a (e 'n /n&'lo interno:

# #7# $e(i(a (e 'n /n&'lo e9terior:

# #

E=ERCICIOS

15. C#mo se llama a-uel polgono regular +C2.............., cu$as mediatrices de loslados + $ C se cortan 4ormando unángulo cu$a medida es igual a 90°

) entadecágono+) cosagonoC) ecágono) *ct#gono2) odecágono



40%!0%

B

A

C

A

BC

D

,0%

1#2n un 4olCgono regular la suma de las medidas desus ángulos internos más la suma de las medidasde los ángulos externos y más la suma de lasmedidas de los ángulos centrales es 1)/.#alcular el n>mero de értices.

A- * "- #- 8$-1) 2- )/

)#X2n Gué 4olCgono regular, la medida delángulo interior es el tri4le de la medidadel ángulo exteriorY

A- !ctHgono "- 2neágono #- $ecágono$- $odecágono2- Dcoságono

*#La medida de un ángulo interior de un 4olCgono regular es 13*. #alcular eln>mero total de sus diagonales.

A- 18 "- )/ #- ))$- ) 2- )

# 2l 4erCmetro de un hexágono eGuiángulo A"#$2R es ). Si A" ( #$ ( 2R y "# ($2 ( RA, calcular 5"26.

A- 1) "- 1 #- 18$- ) 2- 3

# 2n el grá=co calcule 5x6, si A"#$2 es un 4olCgono regular.

A- 3/+ "- 3+ #- *+ $- *+ 2- /+

#2n el grá=co se tiene un octHgono regular.#alcule 5x6

A- 8/+ "-/+ #-3/+ $-*+2-*+

# 2n un 4olCgono la suma del n>mero delados, értices y ángulos determinados es3, calcule su n>mero de diagonales.

A- "- */ #- *) $- * 2-)

7# Si el n>mero de lados de un 4olCgonodisminuye en 3, el n>mero de diagonalesdisminuye en 1).X#uántos lados tiene el 4olCgonoY

A- "- 8 #- 1/ $- 1) 2- 1*

1. #uál es el 4olCgono conexo cuyo n>merototal de diagonales excede al n>mero deértices en 18Y

A- 1 lados "- 1 lados #- Jonágono$- $odecágono2- 3/ lados

). 2n un octHgono regular A"#$2RKO, calcular la medida del menor ángulo 7ormado 4or las mediatrices de los lados A" y #$.

A- */ "- * #- /$- 8/ 2- 9/

1. Según el esquema, ABCD..... es un polgonoequi!ngulo. Calcular el número "e "iagonalesme"ias.

a# 1$ %# $ c# &&"# '$ e# (1

(. ABCD....... es un polgono equi!ngulo. Calcular sunúmero "e "iagonales.

a# )%# (*c# $ "# 1'e# (

. En una -ex!gono equi!ngulo ABCDE, AB/CD/E y BC/DE/A. Calcular C, si el perme0ro "e "ic-o-ex!gono es &.

a# ) %# 1* c# 11"# 1( e# 1$

ado un poligono +C2 ............... lasmediatrices de los lados + $ C seintersectan 4ormando un angulo de 10° .allar las diagonales medias del poligono

) 10 +) 8 C) 1 ) 15 2) 36



C

D

B

A

N

O

R L1

L2A

B

A

B

A

B

A

B C

D

1. La figura muestra a un pentágonoregular y a un hexágono regular.

Calcular

A)24°

B)15°

C)1°

!)12°

")#°

1. "n la figura se muestra $os pentágonos regulares% calcular &x'.

A 5&

B) 2(°

C) (2°

!) °

") #°

1. *eg+n el gráfico ABC!"... y ,-C*.... son pol/gonose0uiángulos. Calcule la ran entreel n+mero total $e las $iagonales$e $ichos pol/gonos.3B% C y son puntos colineales)

A) 2 B) 64 C) 46!) 45 ") 26

Definición: Circ*#fere#cia e" el l*gar geo+rico, $eo$o" lo" -*#o" $e *# -la#o *e e*i$i"a# $e oro-*#o fi9o lla+a$o ce#ro *#a $i"a#cia $e#o+i#a$ara$io.Elementos:

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:

1.-ANGULO CENTRAL: a +e$i$a $e *# á#g*loce#ral e" ig*al a la +e$i$a $e "* arcocorre"-o#$ie#e.

2.-ANGULO INCRITO: a +e$i$a $e *# á#g*loi#"crio e" la +ia$ $e la +e$i$a $el á#g*loi#erce-a$o.

!.-ANGULO E"I - INCRITO: a +e$i$a $e *#á#g*lo "e+i i#"crio e" ig*al a la +ia$ $e la +e$i$a$e "* arco i#erce-a$o

#.-ANGULO INTERIOR: # á#g*lo i#erior e" ig*al ala +ia$ $e la" +e$i$a" $e la "*+a $e lo" arco"i#erce-a$o"

Radio:AO=OB=RDiámetro:

AB=2RCuerda: CDArco: CD



r

A

C

9a

c B

a + b = c + 2 r

a + c = b + d

A

C

9

a c

B

A

B C

D

x%

A

B

)

A B

N

A B

CD'°a°

$.-ANGULO E%TERIOR: # á#g*lo exerior e" ig*al ala +ia$ $e la $ifere#cia e#re la" +e$i$a" $e lo"arco" i#erce-a$o"

PROPIEDAD N° 1.- ;o$o ra$io e" -er-e#$ic*lar a laa#ge#e e# "* -*#o $e a#ge#cia

PROPIEDAD N°2: a lo#gi*$ $e la" a#ge#e"ra<a$a" $e"$e *# -*#o exerior $e *#acirc*#fere#cia "o# ig*ale".

PROPIEDAD N°3: ;o$o ra$io *e "ea -er-e#$ic*lar a*#a c*er$a $i=i$e a la c*er$a a "* arcocorre"-o#$ie#e e# $o" -are" ig*ale".

.PROPIEDAD N°4: a" +e$i$a" $e lo" arco"co+-re#$i$o" e#re $o" c*er$a" -aralela" "o#ig*ale".

PROPIEDAD N°5 $ De la fig*ra +o"ra$a "e c*+-le

Consec'encia Son i&'ales

O

O

PROPIEDAD N°6 > De la fig*ra +o"ra$a "e c*+-le

TEORE$" I;: TEORE$" DE ,ONCELET5 2n todo triángulo rectángulo: la suma de

catetos es igual a la hi4otenusa más eldoble del radio de la circun7erencia inscrita.

TEORE$" ;: TEORE$" DE ,ITOT

5 2n todo cuadrilátero circunscrito a unacircun7erencia se cum4le Gue ) ladoso4uestos suman igual Gue los otros )6

Si AB DC

a=b

θ

+θ= !8"#

θ+ = $"#

%0



r A B

A B : i á m e , r o

3x

)/

E

B

A

E

C D

5

Corolario I: odos los ángulos inscritos en unmismo arco tiene igual medida.

Corolario II#% odo ángulo inscrito en unasemicircun7erencia es ángulo recto.

E=ERCICIOS1. 2n la =gura mostrada, calcular x.

A- )/0 "- 3/0 #- 30

$- *0 2- 3*0

). 2n la =gura mostrada calcular α . Además !es centro.

A- 1803/Z

"- ))03/Z

#- 3/0

$- 30

2- *0

3. 2n la=guramostrada,

A! ( $# y ! escentro delacircun7erencia. #alcular x, siendo un

4unto de tangencia.

A- 10 "- 80 #- *10$- 0 2- 90

. 2n la =gura mostrada, A" ( "# y la medidadel arco "2 ( /0. #alcular [.

A- 3/0 "- )/0 #- 3*0$- /0 2- )*0

*. 2n la =gura mostrada, $B << A# y es 4untode tangencia. #alcular x.



!

$

(

E

#

D

%" !0%

!

$

#D

"

70°

)0°

$

!

*

!

$

#

D E

+°

,0%

N

"

-

B

A

C

D

100%x

A- /0 "- 3/0 #- *0$- 3*0 2- /0

. $el grá=co, calcular x.

A- 3/0 "- /0 #- *0$- */0 2- *0

. $el grá=co B, P y son 4untos detangencia. Oallar x.

A- 1*0"- )/0#- )*0

$- 3/02- /0

1. En el gráfico calcular:mAPB + mCQD, (E; F: son untos !etangencia"

A" #$%B" 1$$%C" 1&$%D" 1'$%E" 1$%

). En el gráfico calcular ** si:PA PB - PC PD

A" &%

B" $%C" '$%D" '%E" /$%

0. En el gráfico calcular;α

+β

si: m AB1$%.

A" /%B" 1$$%C" 1)%D" 1$%E" 0$$%

&. En el gráfico calcular ** (A, B, C, D - E son

untos !e tangencia".

A" $%B" #$%C" 1$$%D" 1)$%E" 1$%

2. allar x si +%20°. '* 8 & 9 so( u(tos de ta(ge(#ia

A) "0°

B) 20°C) 30°D) 0°!) 50°

%. '( la figura, A, B, C y D so( )u(*os $e*a(ge(cia. Calcule “+”.



20%

B

A

C

T

)

30%

)R

T

L

)

100º

x

- .

a 20 " -0 c 50$ -5 e &0

2. '( el gráfico, BC=C y es )u(*o $e*a(ge(cia. Calcule la /∠BA

a -0 " !0 c 50$ -5 e #0

!. i P y so( )u(*os $e *a(ge(cia y P1=%0,calcule P.

a " 5 c 3,5

$ e -

-. '( al siguie(*e figura, calcule la /P41.

a %00 " #0 c &0 $ %20e 90

5. eg( el gráfico, P, y 1 so( )u(*os $e

*a(ge(cia. Calcule: /MP 6 /71.

a &0 " %&0 c #0

67 4!% 87 &0%

Del gráfico, calcular “x”

A) 55° B) 40° C) 80°

D) 65° E) 60°

En la figura, hallar , si “O” es el centro de la

circunferencia.

A) 20º B) 70º C) 40º

D) 30º E) 60º

Hallar “x + y + z”

A) 142º

B) 145º

C) 140º

D) 150º

E) 155º

A, B y C son puntos de tangencia, calcule “x + y”

Geometria Libro Tomo i 2015

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