Geometria in situazioneseconda parte

di Gianfranco ArrigoAlta scuola pedagogica, LocarnoNRD, Bologna

Indice

Quarta situazione

Quinta situazione

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Quarta situazione

Un’idea suggerita dai cuscinetti a sfera

Consegna iniziale per gli studenti

I meccanici conoscono bene il problema dei cuscinetti a sfera, consistente nel contornare di sferette l'albero attorno al quale gira una ruota.Per esempio, i cuscinetti a sfera li troviamo nei pignoni delle biciclette, nei mozzi delle ruote delle automobili.

A noi interessa in modo particolare il problema di inscrivere in un dato cerchio due o più cerchietti tangenti fra di loro e pure tangenti internamente alla sua circonferenza. È una variazione del problema dei cuscinetti a sfera, che riserverà non poche sorprese!

Prima stimolazione: due cerchietti in un cerchio

Raggio dei cerchietti inscritti:

r

r2 r2

€

r2 =r2

CommentoFin troppo facile…

Seconda stimolazione: tre cerchietti in un cerchio

Raggio dei cerchietti inscritti:

r

.

x30°

x15°

r3 .120° 120°

€

rx

= tg 30˚=13

€

⇒ x = 3 ⋅r

€

r3x

= tg15˚= 2 − 3

€

⇒ r3 = 2 ⋅ 3 − 3( ) ⋅r

CommentoNiente di particolarmente

interessante: assomiglia a uno dei soliti barbosi

esercizi…

Terza stimolazione: quattro cerchietti in un cerchio

Raggio dei cerchietti inscritti:

r

r4

€

r4 = r ⋅ tg452

o

€

= r ⋅ 2 −1( ).

€

452

o

CommentoAncora niente di eccezionale, ma si nota come il metodo di calcolo adottato prima sia direttamente applicabile anche a questo caso.

72°

Quarta stimolazione: cinque cerchietti in un cerchio

Raggio dei cerchietti inscritti:

CommentoQui si incomincia a vedere la struttura della formula generale, grazie al fatto che le tangenti interessate non sono esprimibili mediante radicali.

r

r5

x54°

x 27°

€

rx

= tg 54o

€

⇒ x =r

tg 54o

€

r5x

= tg 27o

€

⇒ r5 =r

tg 54o ⋅ tg 27o

60°

Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio

Raggio dei cerchietti inscritti:

CommentoPotendo usare le radici, i risultati assumono forme più leggibili. Il valore trovato ci presenta la prima grande sorpresa…

rr6

€

rx

= tg 60o

60°

x

€

⇒ x =r3

€

r6 = x ⋅ tg 30o =r3

⋅13

=r3

x

Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio

Se calcoliamo le lunghezze lungo un diametro scopriamo che…

CommentoOra siamo pronti per la generalizzazione.

€

2 r − 4 r6 =

€

2 r − 4 ⋅r3

=

€

23

r = 2 ⋅r6

… al centro ci sta un nuovo cerchietto. Quindi i 6 cerchietti ipotizzati diventano 7.

Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio

Sia n il numero dei cerchietti della prima corona.

.

rn

r x

x.

€

2 ω =π n − 2( )

2 n

€

⇒ x =r

tgπ n − 2( )

2 n

€

rn = x ⋅ tgπ n − 2( )

4 n

€

⇒ rn =r

tgπ n − 2( )

2 n

⋅ tgπ n − 2( )

4 n=

r2

1− tg2 π n − 2( )4 n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio

Inseriamo in un computer la formula trovata, per esempio usando un foglio elettronico.

Schema del calcolo:

€

=π n − 2( )

4 n

n è il numero di cerchietti nella prima corona (tangenti internamente alla circonferenza data).

€

⏐ → ⏐ rn =r2

⋅ 1− tg2 ω( )

Calcolando sul diametro si può stabilire il numero di corone concentriche:

€

no. corone = Intrrn

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ −1

Per n = 1,2,3, …, (24):

Sesta stimolazione:n cerchietti in un cerchio

A destra, un esempio di possibile output:

n omega rn no. corone2 0 0.5 13 0.2617990.464102 14 0.3926990.414214 15 0.4712390.370192 16 0.5235990.333333 27 0.5609990.302593 28 0.5890490.276769 29 0.6108650.254855 210 0.6283190.236068 311 0.6425980.219806 312 0.6544980.205605 313 0.6645680.193103 414 0.6731980.182018 415 0.6806780.172125 416 0.6872230.163243 517 0.6929980.155227 518 0.6981320.147956 519 0.7027250.141332 620 0.7068580.135273 621 0.7105980.12971 622 0.7139980.124585 723 0.7171030.119847 724 0.7199480.115456 7

Possiamo notare che per n=6 appaiono due corone (come abbiamo già trovato con il calcolo).

Inoltre il computer ci segnala che per n=10 si passa a tre corone, per n=13 a quattro, per n=16 a cinque, per n=19 a sei, per n=22 a sette.

Quinta situazione

Oltre la terza dimensione:

ipercubo e compagni

Consegna iniziale per gli studentiCosì come…il punto è il “cubo” a zero dimensioni,il segmento è il “cubo” a una dimensione,il quadrato è il “cubo” a due dimensioni,il cubo è il “cubo” a tre dimensioni,… l'ipercubo è il cubo a quattro dimensioni.

Così come…è possibile rappresentare (mediante proiezione) un cubo a tre dimensioni su di un foglio di disegno (bidimensionale),… dovrebbe essere possibile realizzare un modellino tridimensionale che sia la proiezione dell'ipercubo. Ogni modellino tridimensionale può essere rappresentato su un foglio (bidimensionale), quindi anche sullo schermo.

Guida per l’insegnante

La situazione è stimolante sin dall'inizio: la curiosità degli studenti per quello che può essere definito un superamento della terza dimensione è nota ad ogni insegnante.

Qui si propone di adottare un modo semplice ma efficace che permetta di passare dalla dimensione k alla k+1.

L'oggetto della ricerca è il cubo a k dimensioni (k-cubo), con k=0,1,2,3,4,…

Di ogni k-cubo verranno contati gli elementi a 0, 1, 2, …, (k–1) dimensioni: essi formano una n-tupla caratteristica del k-cubo.

Prima stimolazione: da 0-dim a 1-dim

punto:0 dimensioni

(1)

traslazionesegmento:1 dimensione

t01

(2,1)

Seconda stimolazione: da 1-dim a 2-dim

segmento:1 dimensione

(2,1)

traslazionequadrato:2 dimensioni

t12

(4,4,1)

Terza stimolazione: da 2-dim a 3-dim

quadrato:2 dimensioni

(4,4,1)

traslazione

cubo:3 dimensioni

t23

(8,12,6,1)

Quarta stimolazione: da 3-dim a 4-dim

cubo:3 dimensioni

(8,12,6,1)

traslazione

ipercubo:4 dimensioni

t34

(16,32,24,8,1)

Quarta stimolazione: l’ipercubo

Proiezionetridimensionale dell’ipercubo

Quinta stimolazione: prima generalizzazione

Per poter chiarire bene la natura dei diversi k-cubi, costruiamo una tabella che ci permette di indurre le formule per il calcolo del termine n-esimo di ogni successione relativa agli elementi di dimensione 0,1,2,3,4, che chiamiamo ordinatamente:

pk: numero vertici (0-dim) del k-cubo

sk: numero spigoli (1-dim) del k-cubo

fk: numero facce (2-dim) del k-cubo

ck: numero cubi (3-dim) del k-cubo

Quinta stimolazione: prima generalizzazione Con un po’ di pazienza…

… e con un po’ di intuito

Dim.k-cubo pk sk fk ck0 1 0 0 01 2 1 0 02 4 4 1 03 8 12 6 14 16 32 24 8… … … … …

2k sk =2 sk–1 +pk−1 fk =2 fk–1+ sk−1 ck =2 ck–1+ fk−1

Sesta stimolazione: ultima generalizzazione Chiamiamo Ek

i l' elemento i −dimdiunk−cubo

Allora la nostra congettura diventa: Eki =2 Ek−1

i +Ek−1i−1

k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 02 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 03 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 04 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 05 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 06 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 07 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 08 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 09 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 010 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1… … … … … … … … … … … …

Inizializzazione: Ek0 =2k E0

0 =1 ; E0i =0 peri> 0

puntosegmento

quadratocubo

ipercubosupercubo

fantacuboextracubo

specialcuboelefancubo

kilocubo

Settima stimolazione: scopriamo un teoremaChiamiamo Ek

i l' elemento i −dimdiunk−cubo

Calcoliamo: ηk = Ek0 −Ek

1 +Ek2 − +…+Ek

10 = −1( )i Eki

i=0

10

∑

k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 13 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 14 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 15 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 16 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 17 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 18 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 19 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 0 110 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1 1… … … … … … … … … … … … …

ηk

ηk è uguale a 1, per ogni k

Il teorema può essere generalizzato.

Chiamiamo Eki l' elemento i −dimdiunk−cubo

Allora vale la formula:

Settima stimolazione: enunciamo il teorema

Caso particolare: k=3

−1( )i Eki

i=0

k

∑ = 1

E30 −E3

1 +E32 −E3

3 =8 −12 +6 −1= 1

Ossia: p3 −s3 + f3 −1=1

Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri)

p3 −s3 + f3 =2

FINE

© 2002 gianfranco.arrigo@span.ch