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Geometria analitica: curve e superfici Coniche
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Geometria analitica: curve e superfici
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Coniche
Coniche geometriche Coniche algebriche Coniche e matrici Coniche e isometrie Riduzione InvariantiStudio di coniche Intersezione con rette e tangentiConiche in forma parametrica
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Coniche
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Coniche come luoghi geometrici
Ellisse: insieme dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti F1 e F2, detti fuochi, ècostante. Il caso F1 = F2 corrisponde alla circonferenza.
Iperbole: insieme dei punti del piano la cui differenza delle distanze da due punti F1 e F2, detti fuochi, è costante.
Parabola: insieme dei punti del piano equidistanti da una retta d, detta direttrice e da un punto F, F ∉ d, detto fuoco.
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Coniche in forma canonica (1/3)
Sia C una conica. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy nel piano in modo che:
Se C è una ellisse o una iperbole, allora F1 = (c, 0) e F2 = (-c, 0) con c ≥ 0;
Se C è una parabola, F = (0, c ) e d : y = -ccon c > 0.
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Coniche in forma canonica (2/3)
Nei sistemi di riferimento del tipo descritto le coniche sono rappresentate da equazioni di forma particolarmente semplice. Si dice in tal caso che le coniche sono in forma canonica.
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Coniche in forma canonica (3/3)
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Ellisse in forma canonica (1/2)
Se C è una ellisse, C è rappresentata in Oxy da un’equazione del tipo:
dove a ≥ b > 0 sono i semiassi e .
Per a = b C è la circonferenza di raggio ae centro O.
2 2
2 21+ =
x ya b
2 2= −c a b
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Ellisse in forma canonica (2/2)
C ha un centro di simmetria (l’origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati).
Le intersezioni di C con gli assi, dette i vertici di C, sono i punti (a, 0), (-a, 0), (0, b ), (0, -b ).
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Iperbole in forma canonica (1/2)
Se C è un’iperbole, C è rappresentata in Oxy da un’equazione del tipo:
dove a >0, b > 0 sono i semiassi e
Per a = b C è una iperbole equilatera.
2 2
2 21− =
x ya b
2 2 .= +c a b
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Iperbole in forma canonica (2/2)
C ha un centro di simmetria (l’origine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati).
I vertici di C sono i punti (a, 0), (-a, 0).Le rette bx ± ay = 0 sono gli asintoti di C.
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Parabola in forma canonica
Se C è una parabola, C è rappresentata in Oxy da un’equazione del tipo:
dove a > 0 è la concavità e c = 1/4a.
C ha un asse di simmetria (asse delle ordinate) e un vertice (l’origine).
2=y ax
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Coniche
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Premessa
Le coniche si possono rappresentare come luoghi di zeri di particolari polinomi di secondo grado in due variabili.
Invertendo tale procedimento, studieremo i luoghi di zeri dei generici polinomi di secondo grado in due variabili. Chiameremo tali luoghi di zeri coniche algebriche.
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Polinomi a due variabili
Il generico polinomio di grado 2 in due variabili a coefficienti reali ha forma
con i coefficienti ai,j non tutti nulli.
( ) 2 21,1 1,2 2,2 1 2, 2 2 2 ,= + + + + +p x y a x a xy a y b x b y c
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Coniche come luoghi di zeri (1/2)
Il luogo di zeri C = Z (p ) = {(x, y ) ∈ | p (x, y ) = 0}
di p si dice conica algebrica in R 2 di equazione p (x, y ) = 0. Quindi
Se k ≠ 0 il polinomio kp (x, y ) definisce la stessa conica, quindi l’equazione di C è determinata a meno di un fattore non nullo.
2 21,1 1,2 2,2 1 2: 2 2 2 0+ + + + + =C a x a xy a y b x b y c
2
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Coniche come luoghi di zeri (2/2)
In questa lezione per “conica” intenderemo “conica algebrica in ”. Questa definizione, oltre a ellissi, iperboli o parabole, comprende altri insiemi, come si vede dai seguenti esempi.
2
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Esempi
Se C : x 2 + y 2 + 1 = 0 o C : x 2 +1 = 0, allora C = ∅.
Se C : x 2 + y 2 = 0, allora C è il punto (0, 0).
Se C : x 2 – y 2 = 0, allora C è la coppia di rette incidenti
Se C : x 2 – 1 = 0, allora C è la coppia di rette parallele
Se C : x 2 = 0, allora C è la retta x = 0.
.= ±y x
1.= ±x
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Coniche degeneri e non degeneri
Le ellissi, iperbole e parabole si dicono coniche non degeneri mentre il ∅, i punti, le rette, le coppie di rette (incidenti o parallele) si dicono coniche degeneri.
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Coniche isometriche
Se C , C’ sono coniche e se esiste una isometria ftale che f (C’ ) = C , C e C’ si dicono isometriche(tramite f ). Essere isometriche è una relazione di equivalenza:
C è isometrica a sé stessa tramite Id ;
Se C e C’ sono isometriche tramite f , allora C’ e Csono isometriche tramite f -1;
Se C e C’ sono isometriche tramite f e se C’ e C’’sono isometriche tramite g, allora C e C’’ sono isometriche tramite f o g.
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Elementi fondamentali
Poiché le coniche non degeneri sono definite da condizioni metriche, se C e C’ sono isometriche tramite f e se C è non degenere, anche C’ lo è e gli elementi fondamentali (fuochi, assi, centro, vertici, asintoti, semiassi, concavità) di C saranno i trasformati di quelli di C’ tramite f.
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Riduzione e riconoscimento
Proveremo che ogni conica C è isometrica a una conica C’ in forma canonica tramite una isometria f detta riduzione di C a C’.
Poiché C’ può essere inserita in uno degli 8 tipi di coniche individuati (tra non degeneri e degeneri), otteniamo un procedimento di classificazione di Cdetto riconoscimento di C.
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Coniche
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Matrice associata
Sia
La matrice simmetrica 3 x 3
si dice matrice associata alla conica C.
1,1 1,2 1
1,2 2,2 2
1 2
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠C
a a bM a a b
b b c
2 21,1 1,2 2,2 1 2: 2 2 2 0.+ + + + + =C a x a xy a y b y b y c
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Equazione matriciale (1/2)
Posto
abbiamo l’equazione matriciale
1,1 1,2 1
1,2 2,2 2
, , ,⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟= = =⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
a a b xA B X
a a b y
: 2 0.t tC XAX BX c+ + =
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Equazione matriciale (2/2)
La forma quadratica qA (X ) = tXAX si dice parte quadratica, l’applicazione lineare lB (X ) = tBX si dice parte lineare mentre c è il termine noto.
C è univocamente determinata da MC a meno di un fattore non nullo.
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Esempio
Se
allora
e
2 2: 4 4 4 6 2 2 0,+ − + − + =C x y xy x y
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⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜−⎝ ⎠B
4 2,
2 4
⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜−⎝ ⎠A
( ) ( )4 2
: , 2 3, 1 2 0.2 4
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ − + =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x xC x y
y y
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Coniche traslate
Sia una conica. Se la matrice A è diagonale diremo che C è una conica traslata. In particolare, se A = aI2 con a ≠ 0 abbiamo
Quindi C è una circonferenza, un punto o il vuoto.
2 21 2: 2 2 0.+ + + + =C ax ay b x b y c
: 2 0t tC XAX BX c+ + =
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Coniche a centro
Le ellissi e le iperboli in forma canonica sono coniche traslate con parte lineare nulla.In generale, le equazioni del tipo
con α, β non entrambi nulli definiscono le coniche a centro in forma canonica.
Queste coniche (se diverse da ∅) hanno l’origine come centro di simmetria e gli assi come assi di simmetria.
2 2 0+ − =x yα β γ
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Parabole
Le parabole in forma canonica sono coniche traslate con parte quadratica dipendente solo da x, parte lineare solo da y e termine noto nullo. In generale, le equazioni del tipo
con α, γ non nulli definiscono le parabole in forma canonica.
Queste coniche hanno l’origine come vertice e l’asse delle ordinate come asse di simmetria.
2 2 0− =x yα γ
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Coniche
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Equazioni di coniche e isometrie (1/2)
Sia C : p (X ) = t XAX + 2t BX + c = 0 e sia f (X ) = NX + P una isometria di . Per ogni X ∈ esiste un unico
tale che X = f (X’ )
Allora X = NX’ + P ∈ C se e solo se
2''
'
⎛ ⎞⎟⎜= ∈⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
xX
y
2
2
( ) ( ) ( )( ) ( )
' ' 2 '
' ' 2 ' 0.
t t
t t t
NX P A NX P B NX P c
X NANX N AP B X p P
+ + + + + =
= + + + =
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Equazioni di coniche e isometrie (2/2)
Osserviamo che p (P ) = t PAP + 2tBP + cè il valore che il polinomio p assume nel punto P.
Posto A’ = tNAN, B’ = tN (AP + B ) e c’ = p (P ), la conica
è tale che f (C’ ) = C e f -1 (C ) = C’.
' 2 ' ' 0t tXA X B X c+ + =' :C
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Matrice di riduzione (1/3)
Sia C : t XAX + 2tBX + c = 0. Poiché A èsimmetrica, esiste N ∈ O (2) tale che
dove α, β ∈ sono gli autovalori di A. Per ipotesi A ≠ O, quindi α e β non sono entrambi nulli.
0'
0
⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠tNAN A
αβ
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Matrice di riduzione (2/3)
Ricordiamo che:
Le colonne [N ]1 = Xα, [N ]2 = Xβ di N sono autovettori di A con autovalori α e βrispettivamente e formano una base ortonormaledi ;
D (A ) = D (A’ ) = αβ, tr (A ) = tr (A’ ) = α + β.
2
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Matrice di riduzione (3/3)
La matrice N si dice matrice di riduzione della conica C. Osserviamo che N non è unica ma che, se α ≠ β e se fissiamo l’ordine degli autovalori, vi sono quattro matrici di riduzione ottenute cambiando i segni di Xα e Xβ.
Se α = β, A = αI2, e ogni matrice N ∈ O (2) è di riduzione (caso delle circonferenze).
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Convenzione sugli autovalori
Adotteremo le seguenti convenzioni:
Se D (A ) > 0, allora ;
Se D (A ) < 0 e D (MC ) > 0, allora α > 0 e β < 0;
Se D (A ) < 0 e D (MC ) < 0, allora α < 0 e β > 0;
Se D (A ) = 0, allora α ≠ 0 e β = 0.
≤α β
Coniche
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Riduzione a coniche traslate
Se C : p (X ) = t XAX + 2t BX + c = 0 e se N èuna matrice di riduzione di C , dato P ∈l’isometria f (X ) = NX + P trasforma la conica traslata
in C . C’ è una conica in forma canonica a centro se tN (AP + B ) = O. Ciò equivale a AP + B = Oin quanto N è invertibile.
( ) ( ) ( )' : 2 0t t tC X NAN X N AP B X p P+ + + =
2
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Coniche a centro
La conica C : p (X ) = tXAX + 2t BX + c = 0 si dice conica a centro se il sistema
AX = -Bè risolubile. In tal caso, se P è una soluzione di AX = -B e se f (X ) = NX + P, posto γ = -p (P ) abbiamo la conica in forma canonica
Quindi f è una riduzione di C a C’.
2 2' : 0.C x yα β γ+ − =
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Parabole (1/4)
Se C : p (X ) = t XAX + 2tBX + c = 0 e se il sistema AX = -B è impossibile, allora D (A ) = 0 e A ha autovalori α ≠ 0, β = 0.
Se B = {Xα, X0} è una base ortonormale di
autovettori per A, prendiamo come matrice di riduzione N la matrice ortogonale che ha come colonne tali versori.
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Parabole (2/4)
Se f (X ) = NX + P è un’isometria con P qualsiasi, e se C’ = f -1 (C )
Allora si prova che esistono unici P e γ ≠ 0 tali che p (P ) = 0 e tN (AP + B ) = (0, -γ ) = -γe2.
( ) ( )2' : 2 0.t xC x N AP B p P
yα
⎛ ⎞⎟⎜+ + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
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Parabole (3/4)
Siccome Ne2 = X0, tali condizioni equivalgono al sistema (non lineare!) parametrico
Si prova che esiste un solo γ ≠ 0 per cui S ha soluzione P e che tale soluzione è unica.
0
2 0:
t tXAX BX cSAX B Xγ
⎧⎪ + + =⎪⎨⎪ =− −⎪⎩
44
Parabole (4/4)
Scegliendo per definire f (X ) = NX + P il punto P e il numero γ che soddisfano alle equazioni di S otteniamo la conica in forma canonica
Quindi C è una parabola, e f è una riduzione di C a C’.
2' : 2 0.− =C x yα γ
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Teorema di Riduzione
Se C è una conica, allora esiste una riduzione di C a una conica in forma canonica C’.
Osserviamo che questo teorema assicura che le coniche possono essere riconosciute utilizzando le coniche in forma canonica e permette di ottenere gli elementi fondamentali di una conica C come trasformati degli elementi fondamentali di una sua forma canonica C’ tramite la relativa riduzione f.
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Centro e assi di una conica a centro (1/2)
Sia C ≠ ∅ una conica a centro e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C’. Allora f trasforma l’origine e gli assi coordinati in centro e assi di simmetria. Quindi
Se P è una soluzione del sistema AX = -B, allora P è centro di simmetria di C ;
Le rette passanti per P e con direzione gli autovettori di A sono assi di simmetria di C.
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Centro e assi di una conica a centro (2/2)
In particolare se D (A ) ≠ 0 vi è unico centro di simmetria, detto il centro di C ; se inoltre Cnon è una circonferenza, vi sono due assi di simmetria, detti gli assi di C.
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Vertice e asse di una parabola
Sia C una parabola e sia f (X ) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica C’. Allora f trasforma l’origine nel vertice e l’asse delle ordinate nell’asse di simmetria. Quindi:
Se P ∈ C è soluzione di AX = -B -γX0, conX0 autovettore di A relativo a 0 e allora P è il vertice di C ;
L’asse di simmetria di C è la retta passanteper P con direzione X0.
0 1,=X
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Teorema di Invarianza
Siano C : t XAX + 2tBX + c = 0 e C’ : t XA’ X + 2tB’ X + c’ = 0 coniche isometriche.Allora D (A ) = D (A’ ), tr (A ) = tr (A’ ), D (MC ) = D (MC’ ), r (MC ) = r (MC’ ).
I numeri D (A ), tr (A ), D (MC ), r (MC ) si dicono numeri invarianti di C.
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Matrici di forme canoniche
I numeri invarianti e i Teoremi di Riduzione e di Invarianza ci permettono di riconoscere una conica C : t XAX + 2tBX + c = 0.
Se C’ è una forma canonica di C,
o '
0 00 00 0
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠CM
αβ
γ'
0 00 0 .0 0
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠CM
αγ
γ
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Parabole
Posto MC = M e MC’ = M’ , osserviamo che nel primo caso D (A ) = αβ = 0 ⇒ D (M ) = - αβγ = 0 mentre nel secondo D (A ) = 0 e D (M ) = - αγ 2 ≠ 0
Quindi se D (A ) = 0 e D (M ) ≠ 0, allora C è una parabola.
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Coniche a centro (1/3)
Se D (A ) > 0, α e β hanno lo stesso segno (che è il segno di tr (A ) = α + β ) mentre γ ha il segno opposto a D (M ).
Se tr (A ) D (M ) < 0, γ ha lo stesso segno di αe β e C è un’ellisse;
Se tr (A ) D (M ) > 0, γ ha segno opposto a α e β e C = ∅;
Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è un punto (l’unica soluzione di AX = -B ).
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Coniche a centro (2/3)
Se D (A ) = αβ < 0, α e β hanno segni opposti.
Se D (M ) ≠ 0, γ ≠ 0 e C è una iperbole;
Se D (M ) = 0, γ = 0 e C è una coppia di rette incidenti.
Se D (A ) = αβ = 0, α ≠ 0, β = 0 e D (M ) = 0.
Se r (M ) = 1, allora γ = 0 e C è una retta;
Se r (M ) = 2, allora γ ≠ 0 e C è una coppia di rette parallele o il ∅ a seconda del segno di α e γ .
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Riconoscimento e caso degenere
Riassumendo, ogni conica è classificabile in uno dei seguenti tipi:
Coniche non degeneri: ellisse, iperbole, parabola;
Coniche degeneri: punto, retta, coppia di rette incidenti, coppia di rette parallele, vuoto.
Dallo studio dei numeri invarianti otteniamo che:Se C è una conica e C ≠ ∅, allora C è non degenere se e solo se D (MC ) ≠ 0.
56
Forma canonica con invarianti
Se C è una conica a centro e D (A ) ≠ 0, abbiamo
Se C è una parabola,
Quindi possiamo ottenere una forma canonica C’di C senza calcolare esplicitamente la riduzione di C a C’.
( )( )
;=−D MD A
γ
( )( )
.= ± −D Mtr A
γ
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Coniche
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Parabola (1/5)
SiaAllora
quindi C è una parabola.
( ) 2 2: , 2 2 1 0.= + + − + =C p x y x y xy x
1 1 | 11 1 | 0
,
1 0 | 1
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜−⎝ ⎠
CM M ( ) ( )0, 1,= =−D A D M
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Parabola (2/5)
L’autospazio di A relativo a 0 ha equazione x + y = 0.
Se il vertice è soluzione di ( )01
1, 1 ,2
= −X
( )0
0:⎧⎪ =⎪⎨⎪ =− −⎪⎩
p XS
AX B Xγ
( )2 2 1 0
1: 1
212
⎧⎪⎪⎪ + − + =⎪⎪⎪⎪⎪ + = −⎨⎪⎪⎪⎪⎪ + =⎪⎪⎪⎩
x y x
S x y
x y
γ
γ
cioè
60
Parabola (3/5)
Quindi e S è equivalente a
da cui 5 1, .
8 8⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
P
12
=γ
( )2 2 1 0
12
⎧⎪ + − + =⎪⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪⎪⎩
x y x
x y
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Parabola (4/5)
Poiché abbiamo la forma canonicaquindi
Xα è un versore ortogonale a X0: sia
Allora una riduzione di C a C’ è
( ) 2,= =tr Aα2' : 2 2 0,C x y− = 2' : 2 .C y x=
( )11,1 .
2=X α
( )( ) 1 1 51 1, .
81 1 12
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xf x y
y
62
Parabola (5/5)
L’asse di simmetria è la retta
Il fuoco di C’ è quindi il fuoco di Cè
Poiché la direttrice di C è
la retta
( ) ( )1: 1, 1 5, 1 .
8− + −r t
1' 0, ,
4 2
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠F
( ) 3 1' , .
4 4⎛ ⎞⎟⎜= = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
F f F
1 10, ,0 ,
24 2
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟− =⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠f
( ) 1: 1,1 ,0 .
2⎛ ⎞⎟⎜+ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
d t
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Iperbole (1/5)
Sia C : x 2 + y 2 + 4xy + 6x – 4 = 0. Allora
quindi C è una iperbole.
1 2 | 32 1 | 0
,
3 0 | 4
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠
CM M ( ) ( )3, 3,=− =D A D M
64
Iperbole (2/5)
Gli autovalori di A sono α = 3 e β = -1 e
quindi abbiamo la forma canonica
C’ : 3x 2 –y 2 = 1, da cui
con
( )( )
1,=− =D MD A
γ
2 2
2 2' : 1− =
x yCa b
1, 1.
3= =a b
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Il centro P di C è l’unica soluzione di AX = -B : P = (1, -2). Scegliendo gli autovettori
e abbiamo la
riduzione di C a C’ :
Iperbole (3/5)
( )11,1
2=X α
( )( ) 1 1 11, .
1 1 22
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xf x y
y
( )11,1
2= −X β
66
Gli assi di simmetria di C sono le rettee
I fuochi di C’ sono
quindi i fuochi di C sono
Iperbole (4/5)
( ) ( )1 : 1,1 1, 2+ −r t
( )2 21,2
1' ,0 2 ,0 ,
3
⎛ ⎞⎟⎜= ± + = ± ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠F a b
( ) ( )2 : 1,1 1, 2 .− + −r t
( )1,2 1,22 2
' 1, 2 .3 3
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = ± + ± −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠F f F
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67
Gli asintoti di C’ sono le rette
quindi gli asintoti di C
sono le rette
Iperbole (5/5)
1,2' : 3 ,= ± = ±bs y x xa
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
1' : 1 3 ,1 3 1, 2 ,
21
' : 1 3 ,1 3 1, 2 .2
= − + + −
= + − + −
s f s t
s f s t
68
Ellisse (1/4)
Sia Ck : 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 6x + k = 0 con k ∈ . Allora
quindi Ck è una ellissi per k < 6, un punto per k = 6 e il vuoto per k > 6.
2 1 | 31 2 | 0
,
3 0 |
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
kC kM M
k
( ) ( ) ( )3, 4, 3 18,= = = −kD A tr A D M k
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69
Ellisse (2/4)
Sia C = C5 : 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 6x + 5 = 0.
Gli autovalori di A sono α = 1 e β = 3 e
quindi abbiamo la forma
canonica da cui
con
( )( )
1,=− =D MD A
γ
2 2' : 3 1,+ =C x y2 2
2 2' : 1+ =x yCa b
11, .
3= =a b
70
Ellisse (3/5)
Il centro P di C è P = (-2, 1). Scegliendo gli autovettori
abbiamo la riduzione di C a C’ :
( ) ( )1 11, 1 e 1,1
2 2= − =X Xα β
( )( ) 1 1 21, .
1 1 12
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xf x y
y
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71
Ellisse (4/5)
Gli assi di simmetria di C sono le rette r1 : t (1, -1) + (-2, 1) e r2 : t (1, 1) + (-2, 1).
I fuochi di C’ sono
quindi i fuochi di C sono
( )2 21,2
2' ,0 ,0
3
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ± − = ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠F a b
( )
( )
1 1
2 2
1 1' 2, 1 ,
3 3
1 1' 2, 1 .
3 3
F f F
F f F
⎛ ⎞⎟⎜= = − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜= = − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
72
Ellisse (5/5)
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73
Coniche degeneri (1/2)
Sia Ck : x 2 + y 2 + 2xy - 2x – 2y + k = 0 con k ∈Allora
quindi Ck è una retta per k = 1 (r (Mk) = 1) mentre Ck è ∅ o una coppia di rette parallele per k ≠ 1.
1 1 | 11 1 | 1
,
1 1 |
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− −⎝ ⎠
kC kM M
k
( ) ( ) 0,= =kD A D M
74
Coniche degeneri (2/2)
PoichéCk : (x + y )2 - 2(x + y ) + k = = (x + y – 1)2 + k – 1 = 0,
C1 è la retta x + y - 1 = 0;
Ck è la coppia di rette parallele x + y = per k < 1 mentre Ck = ∅ per k > 1.
1± − k
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Coniche
76
Intersezione tra coniche e rette
Dallo studio precedente otteniamo che intersecando una conica C con una retta rabbiamo uno dei seguenti casi:
C ∩ r = ∅;
C ∩ r è un punto;
C ∩ r sono due punti;
C ∩ r = r (solo caso degenere).
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77
Esempio
Se C : p (x, y ) = x 2 + y 2 + 2xy - 2x + 2 = 0 e se rk : Pk (t ) = t (0, 1) + (k , 0) per k ∈ , sostituendo abbiamo
che ha soluzioni
Se k > 1, C ∩ rk = {Pk (t1), Pk (t2)};
se k = 1, C ∩ r1 = {P1(-1) = (1, -1)};
se k < 1, C ∩ rk = ∅.
( )( ) 2 22 2 2 0= + + − + =kp P t t kt k k
1,2 2 2 .=− ± −t k k
78
Tangente a una conica
Sia C : p (x, y ) = 0 una conica non degenere e sia P ∈ C . Una retta r : P (t ) passante per P si dice tangente a C in P se l’equazione in t p (P (t )) = 0 è di secondo grado con due soluzioni coincidenti.
Per ogni punto di C passa una e una sola retta tangente a C in P, che indichiamo con tgP (C ).
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79
Equazione della tangente (1/3)
Se C : p (x, y ) = tXAX + 2tBX + c = 0, P ∈ C e r : P (t ) = tL + P si verifica che l’equazione p (P (t )) = 0 diventa
in quanto p (P ) = 0. Allora r = tgP (C ) se e solo se tLAL ≠ O e t (AP + B )L = (AP + B ) . L = 0.
( )( ) ( ) ( )2 2 0= + + =t tp P t LAL t AP B Lt
80
Equazione della tangente (2/3)
Quindi tgP (C ) è la retta per P di direzione ortogonale a AP + B. Poiché p (P ) = 0 implica -t PAP – tBP = tBP + c , abbiamo l’equazione
( ) ( )( ) ( ): 0.+ − = + + + =t t tPtg C AP B X P AP B X BP c
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81
Equazione della tangente (3/3)
Se P = (x0, y0), l’equazione della tangente si può scrivere in modo esplicito:
Per esempio, se C : 2x 2 + y 2 – 4xy – 4x + 2y – 1 = 0, il punto P = (-1, -1) ∈ C e tgP (C ) : -x + y = 0.
( ) ( )( )
1,1 0 1,2 0 1
1,2 0 2,2 0 2 1 0 2 0
:
0
+ + +
+ + + + + + =
Ptg C a x a y b x
a x a y b y b x b y c
82
Tangenti nei vertici
Sia C una conica non degenere e sia P un vertice di C. Per il Teorema di Riduzione abbiamo:
Se C è una conica a centro, tgP (C ) è la rettaper P parallela all’asse di simmetria non contenente P ;
Se C è una parabola, tgP (C ) è la retta per Pparallela alla direttrice.
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Coniche
84
Ellisse in forma canonica
Se posto e
abbiamo la parametrizzazione
2 2
2 2: 1,+ =x yCa b
( )cos
, 0, 2 . sen
⎧ =⎪⎪ ⎡ ⎤= ∈⎨ ⎣ ⎦⎪ =⎪⎩
x aP
y bθ
θ θ πθ
cos=xa
θ sen ,=yb
θ
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85
Iperbole in forma canonica
Se posto e
abbiamo le parametrizzazioni
L’iperbole è unione di due curve in forma parametrica, dette i rami di C.
2 2
2 2: 1,− =x yCa b
( )( )( )
cosh, .
senh
⎧⎪ = ±⎪= ∈⎨⎪ =⎪⎩
x a tP t t R
y b t
( )cosh=x ta
( )senh=y tb
86
Parabola in forma canonica
Se posto x = t , abbiamo la parametrizzazione
2: ,=C y ax
( ) 2, .
⎧ =⎪⎪= ∈⎨⎪ =⎪⎩
x tP t t R
y at
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87
Caso generale
Sia C una conica qualsiasi e sia f (X ) = NX + Puna riduzione di C a una forma canonica C’. Se Q (t ) è una parametrizzazione di C’, allora P (t ) = NQ (t ) + P è una parametrizzazionedi C.
88
Esempio (1/2)
Sia C : 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 6x + 5 = 0. C è una ellisse e
sono rispettivamente una forma canonica di C e una riduzione di C a C’.
( )( )2 2 1 1 21' : 3 1, ,
1 1 12
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ = = +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xC x y f x y
y