Galileo Galilei 1564-1642

La filosofia è scritta in questo

grandissimo libro che continuamente

ci sta aperto innanzi agli occhi

(io dico l’Universo), ma non si può

Galileo, da “ Il Saggiatore”

intendere se prima non si impara a intender la lingua,

e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.

Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son

triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza

i quali mezi è impossibile a intenderne manamente

parola; senza questi è un aggirarsi vanamente

per un oscuro laberinto.

Vito Volterra (1860-1940)

Il matematico si trova in possesso di uno strumentomirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulatiper lungo andare di secoli dagli ingegni più acutie dalle menti più sublimi che siano mai vissute.Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire ilvarco a molti oscuri misteri dell’universo, ed unmezzo per riassumere in pochi simboli una sintesiche abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse[…]Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma

Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)

Densità prede x1

Densità predatori x2

1x r x1

m x2

2x + c x1x2

b x1x2

x1

x2

01

x

02

x02

x 02

x

01

x

01

x

1x x1 (r b x2)

x2( m + c x1)

2x

Matematica (pura) e Matematica Applicata

Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche, agli oggetti reali

Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenererelazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”

Modelli

gli oggetti astratti (platonici)della matematica

gli oggetti del mondo reale

Matematica per le decisioni

Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?

Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q

Teorema.Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione

Modelli matematici del mondo reale e responsabilità sociale del matematico

… ma p è una funzione di q

qdom

pfine soldi

q saturazione

Esempio: Funzione di domanda lineare p

q

p = a/b – (1/b) q = A – B q

profitto = p q – c q = (A – B q) q – cq =

= – B q2 + (A – C) q

q = a – b p

profitto del monopolista = f (q) = – B q2 + (A – C) q

Profitto

quantità prodottaB

CA 2

A C

B

è una parabola!

Problema del duopolio di Cournot A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, Paris (1838)

Due produttori, 1 e 2, che competono per vendere prodotti omogenei.

Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1

Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2

prezzo: p = A – B ( q1 + q2)

Profitto produttore 1: PRO1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1

Profitto produttore 2: PRO2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2

2

22 1 2

2

( , ) 0q

PROMax PRO q q

q

1

11 1 2

1

( , ) 0q

PROMax PRO q q

q

02

02

212

211

BqBqcA

BqBqcA1

1 1 2 2

22 2 1 1

1( )

2 21

( )2 2

A cq r q q

BA c

q r q qB

q2

q1

q2 = r

2 (q1 )

q1 = r

1 (q2 )

Equilibrio di Nash

C

R

Tace (si fida)

Accusa (non si fida)

-1, -1

-3,-3

-4, 0

0,- 4

Tace (si fida)

Accusa (non si fida)

Dilemma del prigioniero

Dilemmi sociali

•Interesse individuale•Interesse collettivo

FishermanCFisherman

R

Moderateexploitaton

(cooperative)

Intensiveexploitation

(competitive)

3, 3

2, 2

1, 4

4, 1

Moderateexploitaton

(cooperative)

Intensiveexploitation

(competitive)

Dilemma del Pescatore

Interazione strategica

Un tipico dilemma sociale

Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).

Modello dinamico

x(t+1) = x(t) + R x(t) t : tempo x(t) : popolazione (risorsa) disponibile al tempo t R : tasso di crescita specifico (per unità di tempo, per unità di risorsa) R =

)(

)()1(

tx

txtx

Esempio. n := tasso di natalità ; m : = tasso di mortalità

R = n – m x(t+1) = x(t) + (n – m) x(t) = (1 + n – m)x(t)

x(t+1) = (1 + n – m)x(t) = a x(t)

Dato x(0)x(1) = a x(0)x(2) = a x(1)=aax(0)=a2x(0)x(3) = a x(2)=aa2x(0)=a3x(0)...

x(t) = at x(0) progressione geometrica di ragione a

a < 1 (ovvero n < m) x(t) 0

a > 1 (ovvero n > m) x(t)

x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t)2

x0 = 0 equilibrio di estinzione

K = n/s capacità portante

x = K : R(K) = 0

Parabola

R(x) = n – m = n – sx

n

K = n/s0

Esempio m = sx : crescita logistica

Al crescere della densità di popolazionecresce la mortalità per mancanza di cibo, spazio…)Malthus (1798) An essay on the principle of population

R(X)

x

x

K

0

fx ( t ) x ( t + 1 )

Legge di evoluzione “induttiva” : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1

Modelli dinamici a tempo discreto

x (t + 1) = f ( x (t) )x (0) assegnato

… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico

Per induzione, ossia iterando la f ...

x (0) f x (2) . . .x (1) f

x0

x1 = f (x0)

Se f (x(t)) > x(t) Allora x (t + 1) > ( x (t) )Se f (x(t)) < x(t) Allora x (t + 1) < ( x (t) )

Se f (x(t)) = x(t) Allora x (t + 1) = ( x (t) )

stato stazionario punto di equilibrio

punto fisso

Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) )

x1

x0

x3

x2

logistica

x(t)

x(t+1)

Condizione di equilibrio:

x(t+1) = x(t) cioè H(t) = R(x)

Equazione dinamica di una popolazione naturale sfruttata

x(t+1) = x(t)(1+R) H(t)

H(t): quota di risorsa prelevata nell’unità di tempo (Harvesting)

Prelievo con quote costanti : H(t) = h

x(t+1) = f (x(t)) = (1 + n – sx(t))x h

s

hsnnX h 2

42

s

hsnnK h 2

42 Due equilibri

Soglia di sopravvivenza Equilibrio stabile

0

f (X)

-h

Kh

.Xh

.

0

f (X)

-h

Xh

Kh

h > n2 / (4s)

0

-h

Aumentiamo la quota di prelievo

h

Xh

KhK

0

Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)

SforzoCoeff. Tecnol.

E

KE

K

0 Ee

x(t+1) = f (x(t)) = x(t) (1 + n – qE sx(t))

Se qE < n due equilibri: X0 = 0; KE =(n qE) / s

xE=Ee= n/q

0<E<n/q

E=0

K

KE

f (x)

Yield-Effort curve

Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)

Y= qEKE

EEe0

MSY

EMSY

Uno sforzo crescente porta a una maggiore produzione immediatama può portare a una minore produzione (sostenibile) nel lungo periodo

E < EMSY sottosfruttamento E > EMSY sovrasfruttamento

I profitti: Introduciamo un po’ di Economia

Scott Gordon, 1954

p = prezzo di venditaTR = pY Ricavo totaleTC = cE Costo totale

TRTC profitto totale

E = somma degli sforzi individuali dei pescatoriE = Em fornisce il massimo profitto (unico proprietario o cooperazione)Eb = Equilibrio bionomico Eb > EMSY (overexploitation, no profit)

TR = pY

TR = cEpY’(E

)=c

Ee EEbEm EMSY

Morale: se tutti vogliono guadagnare, nessuno guadagna

R(x)

K0 x

Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione

Crescita ottimale per valori intermedi

x

f (X)

E=0

K

Sforzo Costante

KE

00 < E < E1

x0

f (X)

KE

XE

E1 < E < E2

K

E > E2

f (x)

KE

XE

x0 E1 < E < E2

f (x)

x0

E

XE

KE

0

Yield-Effort curve

E2E1

XS

K

0

A

B

E

Irreversibilità !

Cournot Oligopoly Approach

n players, i = 1,…,n each harvesting xi according to a profit maximization problem

1arg max ( ,..., , ) 1,...,

ii i n

xx x x X i n

* *

1

( ) ( )n

ii

H X x X

If is the unique Cournot-Nash equilibrim, then * *1( ,..., )nx x

Strategic interaction is related to

i) All xi influence price through a given demand function

ii) Resource stock X influences costs (negative cost externality)

p(t) = a b H(t)

X

xXxC

2

),(

Esternalità economiche che introducono una autoregolamentazine

2( )( ) i

i i

xx a bH

X

*

(1 ) 2

aXx

b n X

* *( , ) .H X s nx

Ipotesi economiche per il modello di oligopolio di Cournot

max i per

equazione dinamica con harvestingX(t+1) = X(t) + R(X(t)) H*(X(t))

( )X X H X

condizione di equilibrio

X

Modello di oligopolio. libera competizione fra un numero limitato di agenti che massimizzano il proprio profitto

x

x

f (X)K

K

0 0

f (X)

K

Xs

X(t+1) = F(X(t) ) = X(t) (1 + R(X)) – H*(t)

x

f (X)

K

Xs

X0

f (X)

0

X

F(X)

E=0

K

K

0X

0

F(X)

K

Xs

F(X)

K

Xs

X0

F(X)

X0

(a)

(d)(c)

(b)

irreversibility, hysteresis

Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton

Un passo tratto dalla Seconda Iterazione

[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamentodei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer,cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché iloro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fattoesisteva nel mondo reale.

Jurassic Park, terza iterazione:“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom“Invece sì” disse Hammond“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamonatura è di fatto un sistema complesso, non lineare.Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci.Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro l’evidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.Abbiamo costruito...

Modelli più sofisticati per includere altri elementi

Introdurre un fattore di complessità per volta

Pescatori eterogenei cooperatori e competitori rispettano/non rispettano le regole imposte

Spazio eterogeneo zone caratterizzate da diverse conformazioni zone caratterizzate da diverse regolamentazioni

Pesci eterogenei per taglia per età per specie per livello trofico

Modello della Ragnatela

Un prodotto al tempo t viene venduto al prezzo unitario pt.

Quantità richiesta al tempo t dai consumatori

Qd = D ( pt )

D funzione di domanda

La quantità che viene immessa sul mercato dai produttori

sia una funzione del prezzo

Qs = S ( pt )

S funzione di offerta

Esempio.

funzioni di domanda e offerta lineari:

D(p) = a b p ;

S(p) = c + d p

a, b, c, d costanti positivep

Q

SD

Equilibrio: Qd = Qs

p*

Problema: la produzione richiede un certo lasso di tempo,

• I produttori devono decidere in anticipo (in t -1) la quantità da immettere

nel mercato al tempo t ;

• I consumatori decidono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente

D(pt) = S(pt-1)

da cui:

pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)

Con le funzioni lineari:

a b pt = c d pt-1, da cui:b

cap

b

dp tt

1

D(pt) = S(pt-1) diventa

a bpt = arctan ((pt-11))

da cui si ottiene il modello dinamico

pt = F(pt-1)= [a arctan ( (pt-1 1))]

La mappa F(p) è monotona decrescente,

Funzione di offerta non lineare:

Qoff = S ( p) = arctan ((p1))

pe

S

D

D ( p ) = a - b pS ( p ) = arctan ((p - 1))

p

Q

pe

p

p1

p

p2

F F

p

00.3 0.4

5

atttp1= atttp + ( pt atttp) con 0 < 1

Aspettative adattive

Inserendo:

pt = F (atttp)

nell'equazione delle aspettative adattive

atttp1=

atttp + ( F (att

tp) atttp) = (1 att

tp+ b

1[a arctan ( (att

tp1))]

attp

)()1( attatt pFp

)( attpF

atttp

atttppe

212211 ,max,max21

qqqq qq

Cournot Duopoly Games

q1 (t) and q2 (t) outputs at time t of two quantity setting-firms producing homogeneous goods.

p= f (q1+q2) inverse demand function

ci (q1, q2) cost functions,

So, the unit-time profit is: qi f (q1+ q2) – ci (q1, q2)

At time period t firms 1, 2 decide (t+1)-outputs by solving profit - maximization problems

)1(),1(maxarg)1(

)1()1(,maxarg)1(

122222

212111

2

1

tqrqtqtq

tqrtqqtqee

q

eeq

q1

q2

q2 = r2(q1)

q1 = r1(q2)

Cournot-Nash Equilibrium.

Perfect foresight: 2,1)1()1( itqtq jej

One-shot (static) gamettqrtq

tqrtq

))(()(

))(()(

122

211

)(()(

)(()(*212

*12

*2

*121

*21

*1

qrrqrq

qrrqrq

The game goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium)in one shot

Expectation of agent i about the rival’s choice )1( tqej

2,1)()1( itqtq iej

ttqrtq

tqrtqT

))(()1(

))(()1(:

122

211

Two-dimensional dynamical system: given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the mapT:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1)) gives the time evolution of the duopoly game.

This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in thelong run, i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium as fully rational players provided that the “myopic” game is playedseveral times

Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)

Cournot (Naive) expectations:

Linear demand p = a – b (q1 + q2)Linear cost Ci = ci qi i = 1,2

Quadratic Profit: a – b (q1 + q2))qi – ci qi

b

catqtqrtqcbqbqa

q

b

catqtqrtqcbqbqa

q

2)(

2

1))(()1(02

2)(

2

1))(()1(02

21122212

2

2

12211121

1

1

0222

22

21

12

bqq

R1

R2

R1

R2

F.O.C.

S.O.C.

Linear demand p = a – b (q1 + q2)Quadratic cost Ci = ci qi – i qi

2 i = 1,2

Quadratic Profit: a – b (q1 + q2))qi – (ci qi – i qi2 )

)(2)(

)(2))(()1(0)(2

)(2)(

)(2))(()1(0)(2

2

21

21222122

2

2

1

12

12111211

1

1

b

catq

b

btqrtqcbqqba

q

b

catq

b

btqrtqcbqqba

q

212,1

1

2

bb

bzeigenvalues: stability if

b

b

b

b 2

1

2

2

R1

R2

R1

R2

Rand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models.Journal of Mathematical Economics, 5, 173-184.

A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump) reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise,i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initialconditions etc..

Postom and Stewart "Catastrophe Theory and its Applications", Pitman 1978“… not treat such phenomena as program bugs, and not to steer their patameters or their model away from realism to eliminate them,such explicit models “drawn from life” will become common…”

Book seller example:

“...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many.There will be no book habit among people, no distribution industry…On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers,you will be invisible…and again you will sell rather few.Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…”

New mathematics“… Adequate mathematics for planning in the presence of suchphenomena is a still far distant goal…”

Tonu Puu, 1991 “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals

Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained byusing linear costs and replacing the linear demand function by theeconomists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand

21

11

qqQp

iii

i qcqq

q

21

i

jjii

j

i

i

c

qqqforc

qq

q

q

0221

– +

1

11122

1

22211

)())(()1(

)())(()1(

c

qtqtqrtq

c

qtqtqrtq

Kopel, M., 1996. Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models.Chaos, Solitons, and Fractals, 7, 2031-2048.

Linear demand function, a particular kind of cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost externalities (some spillover effect which gives some advantages due to the presence of the competitor, in the spirit of the book-seller example)

r2

r1

r2

r1

00 1

1

q1

q2

00 1

1

q1

q2

r q q q r q q q1 2 1 2 2 2 1 2 1 11 1

where 1 and 2 represent measure the intensity of the positive externality the actions of one player exert on the payoff of the other player

Non monotonic reaction functions may lead to the existence of several coexisting equilibria

Problem of equilibrium selection

Which equilibrium is achieved as the result of an evolutive(trial and error, boundedly rational) process?

Stability arguments are used to select among multiple equilibria

What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?

)(1)()()()()1(

)(1)()()()()1(

222222

111111

tqtqtqtqtqtq

tqtqtqtqtqtqeeee

eeee

ttqrtq

tqrtqe

e

))(()(

))(()(

122

211

Cournot Duopoly with Adaptive expectations:

))(()(1)1(

))(()(1)1(:

122222

211111

tqrtqtq

tqrtqtqT

eee

eee

Cournot Game (from beliefs to realizations)

Adaptive expectations

Dynamical system: )1(),1()(),(: 2121 tqtqtqtqT eeee

1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 0.2 < 1/(+1)

Z4

Z2

Z0

E2

E1

S

O 11( )

O

LC b( )

LC a( )

0

0

2.3

2.3

y

x

Z4

Z2

E2

E1

O 11( )

O

LC b( )

LC a( )

0

0

1.4

1.4

y

x

1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 0.5 > 1/(+1)

O 1

3( )

O 12( )

Z0

K

1 = 2 = 3.6 1 = 0.55 2 = 0.7

0

0

1.2

1.1

y

x

Z4

Z2

Z0

LC a 1( )

LC b 1( )

LC b( )

LC a( )

E2

E1

S

(a)0

0

1.2

1.1

y

x

1 = 2 = 3.6 1 = 0.59 2 = 0.7

Z4

Z2

Z0LC a

1( )

LC b 1( )

LC b( )

LC a( )

E2

E1

S)1(

1H

)2(1H

H 21( )

H 22( )

H 24( )

H 23( )

H0

0

0

1.1

1.1

y

x

1 = 2 = 3.9 1 = 0.7 2 = 0.8

S

A2

A1

E1

0

0

1.1

1.1

y

x

1 = 2 = 3.95 1 = 0.7 2 = 0.8

S

A2