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Galileo Galilei 1564-1642
La filosofia è scritta in questo
grandissimo libro che continuamente
ci sta aperto innanzi agli occhi
(io dico l’Universo), ma non si può
Galileo, da “ Il Saggiatore”
intendere se prima non si impara a intender la lingua,
e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza
i quali mezi è impossibile a intenderne manamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente
per un oscuro laberinto.
Vito Volterra (1860-1940)
Il matematico si trova in possesso di uno strumentomirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulatiper lungo andare di secoli dagli ingegni più acutie dalle menti più sublimi che siano mai vissute.Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire ilvarco a molti oscuri misteri dell’universo, ed unmezzo per riassumere in pochi simboli una sintesiche abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse[…]Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma
Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)
Densità prede x1
Densità predatori x2
1x r x1
m x2
2x + c x1x2
b x1x2
x1
x2
01
x
02
x02
x 02
x
01
x
01
x
1x x1 (r b x2)
x2( m + c x1)
2x
Matematica (pura) e Matematica Applicata
Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche, agli oggetti reali
Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenererelazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”
Modelli
gli oggetti astratti (platonici)della matematica
gli oggetti del mondo reale
Matematica per le decisioni
Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?
Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q
Teorema.Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione
Modelli matematici del mondo reale e responsabilità sociale del matematico
… ma p è una funzione di q
qdom
pfine soldi
q saturazione
Esempio: Funzione di domanda lineare p
q
p = a/b – (1/b) q = A – B q
profitto = p q – c q = (A – B q) q – cq =
= – B q2 + (A – C) q
q = a – b p
profitto del monopolista = f (q) = – B q2 + (A – C) q
Profitto
quantità prodottaB
CA 2
A C
B
è una parabola!
Problema del duopolio di Cournot A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, Paris (1838)
Due produttori, 1 e 2, che competono per vendere prodotti omogenei.
Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1
Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2
prezzo: p = A – B ( q1 + q2)
Profitto produttore 1: PRO1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1
Profitto produttore 2: PRO2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2
2
22 1 2
2
( , ) 0q
PROMax PRO q q
q
1
11 1 2
1
( , ) 0q
PROMax PRO q q
q
02
02
212
211
BqBqcA
BqBqcA1
1 1 2 2
22 2 1 1
1( )
2 21
( )2 2
A cq r q q
BA c
q r q qB
q2
q1
q2 = r
2 (q1 )
q1 = r
1 (q2 )
Equilibrio di Nash
C
R
Tace (si fida)
Accusa (non si fida)
-1, -1
-3,-3
-4, 0
0,- 4
Tace (si fida)
Accusa (non si fida)
Dilemma del prigioniero
Dilemmi sociali
•Interesse individuale•Interesse collettivo
FishermanCFisherman
R
Moderateexploitaton
(cooperative)
Intensiveexploitation
(competitive)
3, 3
2, 2
1, 4
4, 1
Moderateexploitaton
(cooperative)
Intensiveexploitation
(competitive)
Dilemma del Pescatore
Interazione strategica
Un tipico dilemma sociale
Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).
Modello dinamico
x(t+1) = x(t) + R x(t) t : tempo x(t) : popolazione (risorsa) disponibile al tempo t R : tasso di crescita specifico (per unità di tempo, per unità di risorsa) R =
)(
)()1(
tx
txtx
Esempio. n := tasso di natalità ; m : = tasso di mortalità
R = n – m x(t+1) = x(t) + (n – m) x(t) = (1 + n – m)x(t)
x(t+1) = (1 + n – m)x(t) = a x(t)
Dato x(0)x(1) = a x(0)x(2) = a x(1)=aax(0)=a2x(0)x(3) = a x(2)=aa2x(0)=a3x(0)...
x(t) = at x(0) progressione geometrica di ragione a
a < 1 (ovvero n < m) x(t) 0
a > 1 (ovvero n > m) x(t)
x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t)2
x0 = 0 equilibrio di estinzione
K = n/s capacità portante
x = K : R(K) = 0
Parabola
R(x) = n – m = n – sx
n
K = n/s0
Esempio m = sx : crescita logistica
Al crescere della densità di popolazionecresce la mortalità per mancanza di cibo, spazio…)Malthus (1798) An essay on the principle of population
R(X)
x
x
K
0
fx ( t ) x ( t + 1 )
Legge di evoluzione “induttiva” : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1
Modelli dinamici a tempo discreto
x (t + 1) = f ( x (t) )x (0) assegnato
… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico
Per induzione, ossia iterando la f ...
x (0) f x (2) . . .x (1) f
x0
x1 = f (x0)
Se f (x(t)) > x(t) Allora x (t + 1) > ( x (t) )Se f (x(t)) < x(t) Allora x (t + 1) < ( x (t) )
Se f (x(t)) = x(t) Allora x (t + 1) = ( x (t) )
stato stazionario punto di equilibrio
punto fisso
Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) )
x1
x0
x3
x2
logistica
x(t)
x(t+1)
Condizione di equilibrio:
x(t+1) = x(t) cioè H(t) = R(x)
Equazione dinamica di una popolazione naturale sfruttata
x(t+1) = x(t)(1+R) H(t)
H(t): quota di risorsa prelevata nell’unità di tempo (Harvesting)
Prelievo con quote costanti : H(t) = h
x(t+1) = f (x(t)) = (1 + n – sx(t))x h
s
hsnnX h 2
42
s
hsnnK h 2
42 Due equilibri
Soglia di sopravvivenza Equilibrio stabile
0
f (X)
-h
Kh
.Xh
.
0
f (X)
-h
Xh
Kh
h > n2 / (4s)
0
-h
Aumentiamo la quota di prelievo
h
Xh
KhK
0
Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)
SforzoCoeff. Tecnol.
E
KE
K
0 Ee
x(t+1) = f (x(t)) = x(t) (1 + n – qE sx(t))
Se qE < n due equilibri: X0 = 0; KE =(n qE) / s
xE=Ee= n/q
0<E<n/q
E=0
K
KE
f (x)
Yield-Effort curve
Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)
Y= qEKE
EEe0
MSY
EMSY
Uno sforzo crescente porta a una maggiore produzione immediatama può portare a una minore produzione (sostenibile) nel lungo periodo
E < EMSY sottosfruttamento E > EMSY sovrasfruttamento
I profitti: Introduciamo un po’ di Economia
Scott Gordon, 1954
p = prezzo di venditaTR = pY Ricavo totaleTC = cE Costo totale
TRTC profitto totale
E = somma degli sforzi individuali dei pescatoriE = Em fornisce il massimo profitto (unico proprietario o cooperazione)Eb = Equilibrio bionomico Eb > EMSY (overexploitation, no profit)
TR = pY
TR = cEpY’(E
)=c
Ee EEbEm EMSY
Morale: se tutti vogliono guadagnare, nessuno guadagna
R(x)
K0 x
Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione
Crescita ottimale per valori intermedi
x
f (X)
E=0
K
Sforzo Costante
KE
00 < E < E1
x0
f (X)
KE
XE
E1 < E < E2
K
E > E2
f (x)
KE
XE
x0 E1 < E < E2
f (x)
x0
E
XE
KE
0
Yield-Effort curve
E2E1
XS
K
0
A
B
E
Irreversibilità !
Cournot Oligopoly Approach
n players, i = 1,…,n each harvesting xi according to a profit maximization problem
1arg max ( ,..., , ) 1,...,
ii i n
xx x x X i n
* *
1
( ) ( )n
ii
H X x X
If is the unique Cournot-Nash equilibrim, then * *1( ,..., )nx x
Strategic interaction is related to
i) All xi influence price through a given demand function
ii) Resource stock X influences costs (negative cost externality)
p(t) = a b H(t)
X
xXxC
2
),(
Esternalità economiche che introducono una autoregolamentazine
2( )( ) i
i i
xx a bH
X
*
(1 ) 2
aXx
b n X
* *( , ) .H X s nx
Ipotesi economiche per il modello di oligopolio di Cournot
max i per
equazione dinamica con harvestingX(t+1) = X(t) + R(X(t)) H*(X(t))
( )X X H X
condizione di equilibrio
X
Modello di oligopolio. libera competizione fra un numero limitato di agenti che massimizzano il proprio profitto
x
x
f (X)K
K
0 0
f (X)
K
Xs
X(t+1) = F(X(t) ) = X(t) (1 + R(X)) – H*(t)
x
f (X)
K
Xs
X0
f (X)
0
X
F(X)
E=0
K
K
0X
0
F(X)
K
Xs
F(X)
K
Xs
X0
F(X)
X0
(a)
(d)(c)
(b)
irreversibility, hysteresis
Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton
Un passo tratto dalla Seconda Iterazione
[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamentodei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer,cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché iloro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fattoesisteva nel mondo reale.
Jurassic Park, terza iterazione:“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom“Invece sì” disse Hammond“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamonatura è di fatto un sistema complesso, non lineare.Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci.Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro l’evidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.Abbiamo costruito...
Modelli più sofisticati per includere altri elementi
Introdurre un fattore di complessità per volta
Pescatori eterogenei cooperatori e competitori rispettano/non rispettano le regole imposte
Spazio eterogeneo zone caratterizzate da diverse conformazioni zone caratterizzate da diverse regolamentazioni
Pesci eterogenei per taglia per età per specie per livello trofico
Modello della Ragnatela
Un prodotto al tempo t viene venduto al prezzo unitario pt.
Quantità richiesta al tempo t dai consumatori
Qd = D ( pt )
D funzione di domanda
La quantità che viene immessa sul mercato dai produttori
sia una funzione del prezzo
Qs = S ( pt )
S funzione di offerta
Esempio.
funzioni di domanda e offerta lineari:
D(p) = a b p ;
S(p) = c + d p
a, b, c, d costanti positivep
Q
SD
Equilibrio: Qd = Qs
p*
Problema: la produzione richiede un certo lasso di tempo,
• I produttori devono decidere in anticipo (in t -1) la quantità da immettere
nel mercato al tempo t ;
• I consumatori decidono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente
D(pt) = S(pt-1)
da cui:
pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)
Con le funzioni lineari:
a b pt = c d pt-1, da cui:b
cap
b
dp tt
1
D(pt) = S(pt-1) diventa
a bpt = arctan ((pt-11))
da cui si ottiene il modello dinamico
pt = F(pt-1)= [a arctan ( (pt-1 1))]
La mappa F(p) è monotona decrescente,
Funzione di offerta non lineare:
Qoff = S ( p) = arctan ((p1))
pe
S
D
D ( p ) = a - b pS ( p ) = arctan ((p - 1))
p
Q
pe
p
p1
p
p2
F F
p
00.3 0.4
5
atttp1= atttp + ( pt atttp) con 0 < 1
Aspettative adattive
Inserendo:
pt = F (atttp)
nell'equazione delle aspettative adattive
atttp1=
atttp + ( F (att
tp) atttp) = (1 att
tp+ b
1[a arctan ( (att
tp1))]
attp
)()1( attatt pFp
)( attpF
atttp
atttppe
212211 ,max,max21
qqqq qq
Cournot Duopoly Games
q1 (t) and q2 (t) outputs at time t of two quantity setting-firms producing homogeneous goods.
p= f (q1+q2) inverse demand function
ci (q1, q2) cost functions,
So, the unit-time profit is: qi f (q1+ q2) – ci (q1, q2)
At time period t firms 1, 2 decide (t+1)-outputs by solving profit - maximization problems
)1(),1(maxarg)1(
)1()1(,maxarg)1(
122222
212111
2
1
tqrqtqtq
tqrtqqtqee
q
eeq
q1
q2
q2 = r2(q1)
q1 = r1(q2)
Cournot-Nash Equilibrium.
Perfect foresight: 2,1)1()1( itqtq jej
One-shot (static) gamettqrtq
tqrtq
))(()(
))(()(
122
211
)(()(
)(()(*212
*12
*2
*121
*21
*1
qrrqrq
qrrqrq
The game goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium)in one shot
Expectation of agent i about the rival’s choice )1( tqej
2,1)()1( itqtq iej
ttqrtq
tqrtqT
))(()1(
))(()1(:
122
211
Two-dimensional dynamical system: given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the mapT:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1)) gives the time evolution of the duopoly game.
This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in thelong run, i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium as fully rational players provided that the “myopic” game is playedseveral times
Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)
Cournot (Naive) expectations:
Linear demand p = a – b (q1 + q2)Linear cost Ci = ci qi i = 1,2
Quadratic Profit: a – b (q1 + q2))qi – ci qi
b
catqtqrtqcbqbqa
q
b
catqtqrtqcbqbqa
q
2)(
2
1))(()1(02
2)(
2
1))(()1(02
21122212
2
2
12211121
1
1
0222
22
21
12
bqq
R1
R2
R1
R2
F.O.C.
S.O.C.
Linear demand p = a – b (q1 + q2)Quadratic cost Ci = ci qi – i qi
2 i = 1,2
Quadratic Profit: a – b (q1 + q2))qi – (ci qi – i qi2 )
)(2)(
)(2))(()1(0)(2
)(2)(
)(2))(()1(0)(2
2
21
21222122
2
2
1
12
12111211
1
1
b
catq
b
btqrtqcbqqba
q
b
catq
b
btqrtqcbqqba
q
212,1
1
2
bb
bzeigenvalues: stability if
b
b
b
b 2
1
2
2
R1
R2
R1
R2
Rand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models.Journal of Mathematical Economics, 5, 173-184.
A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump) reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise,i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initialconditions etc..
Postom and Stewart "Catastrophe Theory and its Applications", Pitman 1978“… not treat such phenomena as program bugs, and not to steer their patameters or their model away from realism to eliminate them,such explicit models “drawn from life” will become common…”
Book seller example:
“...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many.There will be no book habit among people, no distribution industry…On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers,you will be invisible…and again you will sell rather few.Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…”
New mathematics“… Adequate mathematics for planning in the presence of suchphenomena is a still far distant goal…”
Tonu Puu, 1991 “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals
Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained byusing linear costs and replacing the linear demand function by theeconomists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand
21
11
qqQp
iii
i qcqq
q
21
i
jjii
j
i
i
c
qqqforc
q
q
0221
– +
1
11122
1
22211
)())(()1(
)())(()1(
c
qtqtqrtq
c
qtqtqrtq
Kopel, M., 1996. Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models.Chaos, Solitons, and Fractals, 7, 2031-2048.
Linear demand function, a particular kind of cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost externalities (some spillover effect which gives some advantages due to the presence of the competitor, in the spirit of the book-seller example)
r2
r1
r2
r1
00 1
1
q1
q2
00 1
1
q1
q2
r q q q r q q q1 2 1 2 2 2 1 2 1 11 1
where 1 and 2 represent measure the intensity of the positive externality the actions of one player exert on the payoff of the other player
Non monotonic reaction functions may lead to the existence of several coexisting equilibria
Problem of equilibrium selection
Which equilibrium is achieved as the result of an evolutive(trial and error, boundedly rational) process?
Stability arguments are used to select among multiple equilibria
What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?
)(1)()()()()1(
)(1)()()()()1(
222222
111111
tqtqtqtqtqtq
tqtqtqtqtqtqeeee
eeee
ttqrtq
tqrtqe
e
))(()(
))(()(
122
211
Cournot Duopoly with Adaptive expectations:
))(()(1)1(
))(()(1)1(:
122222
211111
tqrtqtq
tqrtqtqT
eee
eee
Cournot Game (from beliefs to realizations)
Adaptive expectations
Dynamical system: )1(),1()(),(: 2121 tqtqtqtqT eeee
1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 0.2 < 1/(+1)
Z4
Z2
Z0
E2
E1
S
O 11( )
O
LC b( )
LC a( )
0
0
2.3
2.3
y
x
Z4
Z2
E2
E1
O 11( )
O
LC b( )
LC a( )
0
0
1.4
1.4
y
x
1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 0.5 > 1/(+1)
O 1
3( )
O 12( )
Z0
K
1 = 2 = 3.6 1 = 0.55 2 = 0.7
0
0
1.2
1.1
y
x
Z4
Z2
Z0
LC a 1( )
LC b 1( )
LC b( )
LC a( )
E2
E1
S
(a)0
0
1.2
1.1
y
x
1 = 2 = 3.6 1 = 0.59 2 = 0.7
Z4
Z2
Z0LC a
1( )
LC b 1( )
LC b( )
LC a( )
E2
E1
S)1(
1H
)2(1H
H 21( )
H 22( )
H 24( )
H 23( )
H0
0
0
1.1
1.1
y
x
1 = 2 = 3.9 1 = 0.7 2 = 0.8
S
A2
A1
E1
0
0
1.1
1.1
y
x
1 = 2 = 3.95 1 = 0.7 2 = 0.8
S
A2