Post on 01-May-2015
Funzioni e trasformazioniVincenza Russo
1
Outline:• Quesiti.• La funzione: iniettiva, suriettiva, biettiva.• Alcune trasformazioni: simmetrie, traslazioni.• Soluzione dei quesiti.
2
1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:
3
2)Se 23)( xxf
qual è il valore di f(x+3) ?
a) 962 xx
b)
c)
d)
62 x
36122 xx
92 x
4
3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da: a b
c
d e
5
6
C
D
3
1
3
2
4)
a)ha un solo zero in x=0b)è simmetrica rispetto all’originec)per x>0 si ha f(x)>0d)si ha sempre f(x)>0e)non si ha mai f(x)<0
5) La funzione
7
a) x<0b)x<-1c)x<-1 oppure x>0d)tutti i numeri realie)x<-1 oppure x>1
6) La funzione è minore di zero per:
8
7)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:
a)
b)
c)
d)
2
3)(1 x
xf
3)(1 xexf
2
3)(1
xexf
2ln3)(1 x
xf
9
FUNZIONE
Dati due insiemi A e B , la funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa un ed un sol elemento di B.
10
A Bf
DOMINIODOMINIO
xf(x)
Immagini o valori
11
A Bf
f (A)f (A)
12
A Bf
INIETTIVA
13
14
)x(f)x(fxx 2121
Funzione iniettiva
15
SURIETTIVAA Bf
1
2
3
4
7
9
11
16
Funzione suriettiva
AxBy , tale che f(x)= y
A Bf
INIETTIVA e SURIETTIVA
Suriettività e biettività
17
biettiva
A Bf - 1
inversa di f??
Ricerca dell’inversa
18
A Bf 1
19
20
A partire dal grafico delle funzioni , individuarne tutte le caratteristiche studiate.
-1+1
-2
f(x)=senx
21
22
23
1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:
24
000
25
a b c
La risposta esatta è la c perché ad ogni x corrisponde uno ed un solo f(x).
2)Se 23)( xxf
qual è il valore di f(x+3) ?
a) 962 xx
b)
c)
d)
62 x36122 xx
92 x
26
27
Si tratta di trovare il corrispondente di x+3.Pertanto si ha:
3612)6()33()3( 222 xxxxxf
La risposta esatta è la c
3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da
a bc
d e
28
29
kxxf
kb
xh
hbA
)(2
2
.
La funzione richiesta è una retta passante per l’origine.La risposta esatta è la b.
30
C
D3
1
3
2
4)
31
3
1
6
2
)4(2
)3(1)()(
4
2
3)(
1)(
ab
afbf
a
b
af
bf
La risposta esatta è la c
a)ha un solo zero in x=0b)è simmetrica rispetto all’originec)per x>0 si ha f(x)>0d)si ha sempre f(x)>0e)non si ha mai f(x)>0
5)La funzione
32
33
)1)(1()1()( 2245 xxxxxxxxf
f(x)=0 per x=0 , x=1, x=-1
0)( xf
1010)1(
0)1)(1()1(0)(2
2245
xoppurexxx
xxxxxxxxf
Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
O x
y
34
35
Se f(x)= f(-x) la funzione si dice pari
Simmetria rispetto all’asse y
yy
xx'
'
'
'
yy
xx
36
Se f(x)= -f(-x) la funzione si dice dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.
Simmetria rispetto all’origine
yy
xx'
'
'
'
yy
xx
La funzione è dispari in quanto:)()()( 55 xfxxxxxf
Pertanto è simmetrica rispetto all’origine.La risposta esatta è la b
37
f(x)=-f(-x)
a) x<0b)x<-1c)x<-1 oppure x>0d)tutti i numeri realie)x<-1 oppure x>1
5)La funzione è minore di zero per:
38
39
a>1
crescente
40
0<a<1
xaxf )(
decrescente
0a,a R 1a xaxf )(
x
x xe
11lim e = 2.71828...
Funzione esponenziale
Funzioni esponenziali
41
;0xaRx
Disequazioni esponenziali: attenzione alla base!
42
La funzione esponenziale è biettiva e, pertanto, è invertibile.(STRETTAMENTE CRESCENTE O STRETT. DECR.)
43
xaxy
Rxx
xxf
ya
a
a
log
log;0
log)(
Il logaritmo è l’esponente da dare alla base per avere l’argomento
xayx ya log
44
X>0
45
a>1
46
0<a<1
47
48
Disequazioni logaritmiche: attenzione alla base!
49
a) x<0b)x<-1c)x<-1 oppure x>0d)tutti i numeri realie)x<-1 oppure x>1
5)La funzione è minore di zero per:
50
Il dominio della funzione si ottiene risolvendo la disequazione fratta:
01
01
12
2
2
x
x
x
Si ottiene:x<-1 oppure x>1
-1 +1
51
Per stabilire dove la funzione è minore di 0occorre risolvere la disequazione:
01
01
11
22
22
2
2
xx
xx
x
x
Essa è verificata per x<-1 oppure x>1
La risposta esatta è la eAttenzione alla risposta d!
52
1log1
1log01
1log 10210210
xx
6)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è:
a)
b)
c)
d)
2
3)(1 x
xf
3)(1 xexf
2
3)(1
xexf
2ln3)(1 x
xf
53
54
2
3)(
2
332
32)32ln( )32ln(
x
yy
yxy
exf
exex
xeeexy
La risposta esatta è la c
55
Esaminiamo dei quesiti nei quali è utile la conoscenza delle traslazioni.
1)Qual è il grafico della funzione 21)( xxf
56
-1
1
ab c
57
2)Qual è il grafico della funzione 1)( 2 xxf
1
-1
a b c
58
3)
4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:
59
2
0
a
e
d
c
b1 xey
1 xeyxe
2 xey
1 xey
5) Il grafico della
a) Giace sempre sopra l’asse xb) Giace sempre sotto l’asse xc) Giace tutto nel primo e quarto quadranted) Interseca due volte l’assee) Non interseca mai l’asse x
60
)2(log)( 10 xxf
6)La funzione f(x)= ln(x+1):
a)Non interseca l’asse xb)È sempre positivac)È positiva per x>-1d)È positiva per x>0
61
62
7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1
12
a b
c
1d
Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
O x
y
63
64
Una traslazione è una isometria di equazioni:
byy
axx'
'
Come si possono determinare le traslazioni?Che relazione c’è tra equazione della funzione e vettore traslazione?Basta partire da un esempio semplice per capire e poi estenderlo agli altri casi.Consideriamo il seguente esempio.Da y = x (retta blu), vogliamo ottenere la retta rossa traslata di 1 verso destra, osserviamo che essa ha equazione y=x-1
10In generale se mi sposto in orizzontale di a, ottengo da
65
y=x
y=x-1
-1 y = f(x) , y = f(x-a)
66
'
'
'
'
yy
axx
yy
axx
)()( '' axfyxfy
Operiamo ora una traslazione verso l’alto.Da y = x passiamo a y=x+1In generale se mi sposto in verticale di b, ottengo day = f(x) , y = f(x)+b
1
0
67
y=x
y=x+1
y = f(x) , y = f(x)+b
68
byy
xx
byy
xx'
'
'
'
bxfyxfbyxfy )()()( ''''
Attenzione:y = f(x+5) traslazione di 5 a sinistray = f(x-8) traslazione di 8 a destraY = f(x)+5 traslazione verso l’alto di 5y = f(x)-8 traslazione verso il basso di 8
69
1)Qual è il grafico della funzione 21)( xxf
70
-1
1
ab c
71
2)Qual è il grafico della funzione 1)( 2 xxf
1
-1
a b c
72
1)( 2 xxf 21)( xxf2xy
73
3)
74
2xy
Non è biettiva
xy
È biettiva
75
-10 0
'
'
'
' 11
yy
xx
yy
xx
xy 1 xy
)1()( '' xfyxfy
'
'
'
' 11
yy
xx
yy
xx
4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione:
76
2
0
a
e
d
c
b1 xey
1 xeyxe
2 xey
1 xey
77
11
2
1 xeyxey
La risposta esatta è la e.
5) Il grafico della
a) Giace sempre sopra l’asse xb) Giace sempre sotto l’asse xc) Giace tutto nel primo e quarto quadranted) Interseca due volte l’asse xe) Non interseca mai l’asse x
78
)2(log)( 10 xxf
79
300
1
)2(log)( 10 xxf
xxf 10log)(
La risposta esatta è la c
80
312
1log)2(log0)2(log 101010
xx
xx
6)La funzione f(x)= ln(x+1):
a)Non interseca l’asse xb)È sempre positivac)È positiva per x>-1d)È positiva per x>0
81
82
-1 00
Traslazione verso sinistra di 1
La risposta esatta è la d
83
7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1
12
a b
c
1d
84
eex
y
x
y
x
y
xy
y
1
0
1ln
0
01ln
0
1ln
0
1
85
11
y=lnxy=lnx+1
La risposta esatta è la b
GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ1646 – 1716
86
ISAAC NEWTON1643- 1727
87
88
Grazie e in bocca al lupo!