Post on 01-May-2015
Filtri FIRFiltri FIR
Progetto filtri FIRProgetto filtri FIR
Vantaggi: Stabilità intrinseca. Facilità nell’ottenere fase lineare. Assenza di retroazione gli errori non vengono rimessi in
“circolo”
Svantaggi: Prestazioni contenute. Per ottenere buone caratteristiche la lunghezza del filtro può
risultare notevole struttura complessa Ritardo considerevole tra ingresso e uscita. Il progetto in termini di “maschere” risulta difficile da affrontare in
forma analitica (in pratica risulta difficile stimare ripple e attenuazione in forma chiusa)
Linearità di faseLinearità di fase
E’ garantita da vincoli di simmetria/antisimmetria nella risposta impulsiva del filtro
Questi vincoli si traducono in opportuni accoppiamenti di zeri sul piano z
)()()( jjj eeHeH
)(
Linearità di fase (caso 1)Linearità di fase (caso 1)
eeHenheH jN
n
njj )()()(1
0
1
0
1
0
)sin()()sin()(
)cos()()cos()(
N
n
j
N
n
j
nnheH
nnheH
soluzione banale: α=0
0)cos()()0(
)sin()()tan( 1
1
1
1
N
n
N
n
nnhh
nnh
Nnnh
h
:1for 0)(
)0(
Ipotesi:
Parte reale
Parte immaginaria
Linearità di fase (caso 1)Linearità di fase (caso 1)
eeHenheH jN
n
njj )()()(1
0
1
0
1
0
)sin()()sin()(
)cos()()cos()(
N
n
j
N
n
j
nnheH
nnheH
soluzione non banale:
Ipotesi:
Parte reale
Parte immaginaria
0)cos()sin()()sin()cos()(1
0
1
0
N
n
N
n
nnhnnh
1
0
0)(sin)(N
n
nnh
)1()(2
1
nNhnh
Nsimmetria dei coefficienti h(n)
La soluzione è unica (Serie di Fourier)
Linearita’ di faseLinearita’ di fase
-5 0 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2abcd
Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=b e c=d
ovvero
le sinusoidi rispettivamente in fase e contro-fase si devono elidere a 2 a 2
Linearità di fase (caso 1)Linearità di fase (caso 1)
La simmetria su h(n) comporta che:
ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo
complesso-coniugato
)(
)()(
)1()()(
11
1
0
11
0
1
1
0
1
0
zHz
znhzznh
znNhznhzH
N
N
n
nNN
n
nN
N
n
nN
n
n
Esempio 1Esempio 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
2.8
5.6
8.4
11.2
14
Ma
gnitu
de
Magnitude and Continuous Phase Responses
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-600
-480
-360
-240
-120
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Con
tinuo
us P
hase
(de
gre
es)
Filter #1: MagnitudeFilter #1: Phase
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
6
Real Part
Ima
gina
ry P
art
Pole/Zero Plot
Filter #1: ZerosFilter #1: Poles
h(n)= [ 1 2 3 2 3 2 1]
1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Esempio 2Esempio 2
h(n)= [ 1 2 3 1 1 3 2 1]
1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
2.8
5.6
8.4
11.2
14
Ma
gnitu
de
Magnitude and Continuous Phase Responses
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-700
-560
-420
-280
-140
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Con
tinuo
us P
hase
(de
gre
es)
Filter #1: MagnitudeFilter #1: Phase
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
7
Real Part
Ima
gina
ry P
art
Pole/Zero Plot
Filter #1: ZerosFilter #1: Poles
Linearità di fase (caso 2)Linearità di fase (caso 2)
eeHenheH jN
n
njj )()()(1
0
1
0
1
0
)sin()()sin()(
)cos()()cos()(
N
n
j
N
n
j
nnheH
nnheH
soluzione:
Ipotesi:
Parte reale
Parte immaginaria
0)cos()sin()()sin()cos()(1
0
1
0
N
n
N
n
nnhnnh
1
0
0)(sin)(N
n
nnh
)1()(2
21
nNhnh
N
antisimmetria dei
coefficienti h(n)
La soluzione è unica (Serie di Fourier)
Linearita’ di faseLinearita’ di fase
Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=-b e c=-d
ovvero
le sinusoidi rispettivamente in fase tra loro si devono elidere a 2 a 2
-5 0 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2abcd
Linearità di fase (caso 1)Linearità di fase (caso 1)
La antisimmetria su h(n) comporta che:
ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo
complesso-coniugato
)(
)()(
)1()()(
11
1
0
11
0
1
1
0
1
0
zHz
znhzznh
znNhznhzH
N
N
n
nNN
n
nN
N
n
nN
n
n
Esempio 3Esempio 3
h(n)= [ 1 2 3 0 -3 -2 -1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
2
4
6
8
10
Ma
gnitu
de
Magnitude and Continuous Phase Responses
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-500
-380
-260
-140
-20
100
Normalized Frequency ( rad/sample)
Con
tinuo
us P
hase
(de
gre
es)
Filter #1: MagnitudeFilter #1: Phase
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
6
Real Part
Ima
gina
ry P
art
Pole/Zero Plot
Filter #1: ZerosFilter #1: Poles
1 2 3 4 5 6 7-3
-2
-1
0
1
2
3
Esempio 4Esempio 4
h(n)= [ 1 2 3 -3 -2 -1]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
1.8
3.6
5.4
7.2
9
Ma
gnitu
de
Magnitude and Phase Responses
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-400
-300
-200
-100
0
100
Normalized Frequency ( rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
Filter #1: MagnitudeFilter #1: Phase
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
5
Real Part
Ima
gina
ry P
art
Pole/Zero Plot
Filter #1: ZerosFilter #1: Poles
1 2 3 4 5 6-3
-2
-1
0
1
2
3
Campionamento in frequenzaCampionamento in frequenza
Si scelga un opportuno numero di campioni in frequenza e si calcola h(n) imponendo che l’H(ω) corrispondente passi per i campioni voluti La soluzione puo’ avvenire attraverso:
L’impiego della IDFT (campioni equispaziati) La soluzione di un sistema lineare Equazioni dirette
Campionamento in Frequenza (IDFT)Campionamento in Frequenza (IDFT)
Scelti N campioni equispaziati sul cerchio unitario detti campioni godano della simmetria coniugata il primo campione sia posto in 1
Si applichi la IDFT a detti campioni per ottenere h(n) La risposta in frequenza della sequenza ottenuta sara’
vincolata a passare per i campioni iniziali
N
kj
nN
kj
njj
eHkHenhkH
enheH
22 )()()()(
)()(
Campionamento in frequenzaCampionamento in frequenza
Si definisce la maschera ideale in frequenza Si opera un campionamento della medesima su N punti
equidistanti Sui campioni così ottenuti si applica la IDFT Il risultato fornisce la risposta impulsiva del filtro
Questo procedimento garantisce che la risposta in frequenzadel filtro così ottenuto passerà ESATTAMENTE per i punti di campionamento della maschera ideale
1 2 3 4 5 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Simmetrici – N dispariSimmetrici – N dispari
2
12
32
32
12
1
)1()2(2
1)1()0()(
Nj
Nj
Nj
Nj
Njj eNheNh
NheheheeH
2
1
2
3cos)1(2
2
1cos)0(2)( 2
1 Nh
Nh
NheeH
Njj
)1()( nNhnh
Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dovesiano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)
2
1N
k
2
1for 1
2
1for
2
1cos2
,
,
Nna
Nni
Na
A
ji
jji
dd hAhhhA 1
0 5 10 15 20-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
Simmetrici – N pariSimmetrici – N pari
Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dovesiano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)
2
Nk
2
1cos2, i
NaA jji
dd hAhhhA 1
2
12
32
32
12
1
)1()2()1()0()(N
jN
jN
jN
jN
jj eNheNheheheeH
2
3cos)1(2
2
1cos)0(2)( 2
1 Nh
NheeH
Njj
)1()( nNhnh
0 2 4 6 8 10 12-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
Antisimmetrici – N dispariAntisimmetrici – N dispari
2
12
32
32
12
1
)1()2(0)1()0()(N
jN
jN
jN
jN
jj eNheNheheheeH
02
3sin)1(2
2
1sin)0(2)( 2
1
N
hN
hjeeHN
jj
)1()( nNhnh
Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dovesiano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)
2
1N
k
iN
aA jji 2
1sin2,
dd hAhhhA 1
0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
Antisimmetrici – N pariAntisimmetrici – N pari
Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dovesiano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)
2
Nk
2
1sin2, i
NaA jji
dd hAhhhA 1
2
12
32
32
12
1
)1()2()1()0()(N
jN
jN
jN
jN
jj eNheNheheheeH
2
3sin)1(2
2
1sin)0(2)( 2
1 Nh
NhjeeH
Njj
)1()( nNhnh
Scelta dei campioni in frequenza Scelta dei campioni in frequenza
In teoria i campioni possono essere scelti in qualunque punto del cerchio unitario pur di rispettare alcuni vincoli: Devono essere in numero uguale ai campioni indipendenti della
risposta impulsiva “h(n)” Simmitrico dispari: (N+1)/2 Simmetrico pari: N/2 Antisimmetrico dispari: (N-1)/2 (il campione centrale e’ nullo) Antisimmetrico pari: N/2
Non devono portare ad una matrice singolare Simmitrico dispari: Nessun vincolo Simmetrico pari: Nessun campione in π Antisimmetrico dispari: Nessun campione in 0 o π Antisimmetrico pari: Nessun campione in 0
Più comunemente essi vengono presi equispaziati sul cerchio unitario, ma sempre rispettando le regole di cui sopra
Scelta dei campioni in frequenzaScelta dei campioni in frequenza
Filtro simmetrico dispari
2
1-N , , 1 , 0for )(
2 kk
Nk
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
Es: N=9 , α=0
Nessuna particolare nota
Scelta dei campioni in frequenzaScelta dei campioni in frequenza
Filtro simmetrico pari
12
, , 1 , 0for )(2
N
kkNk
Es: N=8 , α=0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
Ovviamente non si puo’ prendere il campione in π
Scelta dei campioni in frequenzaScelta dei campioni in frequenza
Filtro antisimmetrico dispari
2
1-N , , 1for )(
2 kkNk
Es: N=9 , α=0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma comunque il numero dei campioni indipendenti di h(n) sono (N-1)/2
Scelta dei campioni in frequenzaScelta dei campioni in frequenza
Filtro antisimmetrico pari
2
N , , 1for )(
2 kk
Nk
Es: N=8 , α=0
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma si puo’ ovviare aggiungendo invece il campione in π
Scelta dei campioni in frequenza Scelta dei campioni in frequenza
Un’altra possibilità per evitare la presenza di campioni nello 0 (o a π) è quella di scegliere un valore per ‘α’ uguale ad ½ (ovvero si applica una rotazione di ‘π/M’ a tutti i campioni)
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
IDFTIDFT
Quando i campioni sono scelti equispaziati sul cerchio unitari si può utilizzare la IDFT per calcolare la ‘h(n)’ si scelgono N campioni equispaziati sul cerchio unitario si applichi la IDFT per definizione l’ H(ω) passerà per I punti scelti
NOTA: questo a priori non garantisce la linearità di fase ci sono vari g.d.l. sfruttabili
Fase dei campioni Segno dei campioni
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
Equazioni diretteEquazioni dirette
Sfruttando alcuni vincoli si possono calcolare i campioni della risposta in frequenza direttamente dai campioni in frequenza (senza IDFT e senza l’inversa di una matrice) Vincoli:
Fase lineare → simmetrie su h(n) h(n) reale → simmetria coniugata su H(ω) equispaziatura dei campini sul cerchio unitario
)(2)()(
k
N
jeHkH
Definiamo:
I campioni in frequenza equispaziati sul cerchio unitario (α assume il valore 0 oppure ½)
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
Calcolo di h(n) (caso generale)Calcolo di h(n) (caso generale)
e)(1
)(1
0
)(2
N
k
nkNj
kHN
nh
moltiplicando per exp(..)
nkNjN
nnhkH
)(2
1
0e )()(
)(22
1
0
2)(
21
0
2
ee )(
ee )(e)(
nmkNjn
NjN
n
kmNjnk
NjN
n
kmNj
nh
nhkH
ee )(e)(1
0
)(22
1
0
1
0
2
N
k
nmkNjn
NjN
n
N
k
kmNj
nhkH
nmN
nm0N
k
nmkNj
if
if e
1
0
)(2
e)(e)(2
1
0
2m
NjN
k
kmNj
mNhkH
e)(1
)(1
0
)(2
N
k
mkNj
kHN
mh
ma:
per definizione
sommando su k
ConsiderazioniConsiderazioni
e)(1
)(1
0
)(2
N
k
nkNj
kHN
nh
Quanto trovato ricorda la IDFT (ma con α) Vale per qualunque h(n) anche privo di simmetrie Vale per campioni H(k+α) equispaziati
Su questi campioni per il momento non si sono fatte altre ipotesi
)(2)()(
k
N
jeHkH
Caso 1 (h(n) simmetrica , α=0)Caso 1 (h(n) simmetrica , α=0)
sia h(n) reale, simmetrica ed α=0 H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria:
even N if 2
12cos)(2
odd N if 2
12cos)(2
2
1
)(1
1
0
1
0
2
23
N
Nkj
n
N
Nkj
n
enN
N
knh
enN
N
knh
Nh
kHN
N
N
kj
N
kjk
r
N
kj
N
kNj
r
N
Nkj
r
ekG
ekH
eekH
ekHkH
)(
1)(
)(
)()(
2
2
2
2
2
)1(2
Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza
H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase
Relazione tra G(k) e G(N-k)Relazione tra G(k) e G(N-k)
)()( * kNHkH
Nk
j
Nk
jj
NkN
jNk
j
ekNG
eekNG
ekNGekG
)(
)(
)()(
*
*)(
)()( kNGkG
essendo h(n) reale vale la seguente relazione:
ovvero:
quindi:
I campioni simmetrici devono presentare segno opposto
NOTA: inoltre G(N/2)=0 !!!
Calcolo di h(n) (Caso 1)Calcolo di h(n) (Caso 1)
Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:
1
0
)(2
1
0
2
1
0
2
21
e1
ee1
e)(1
)(
N
k
nN
kj
N
k
knNj
N
kj
N
k
knNj
G(k)N
G(k)N
kHN
nh
)(
)(2)(
221
21
een
N
kNjn
N
kj
)(
2)(
2)(
221
21
21
eeen
N
kjn
N
Njn
N
kj
)(
2)(
221
21
e)1(en
N
kjn
N
kj
)(
2 cos2ee 2
1)(
2)(
221
21
nN
knN
kjn
N
kj
Calcolo di h(n) (Caso 1)Calcolo di h(n) (Caso 1)
Concludendo
Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT
)(
2cos)(2)0(
1)( 2
1nN
kkGG
Nnh
Caso 2 (h(n) simmetrica , α=1/2)Caso 2 (h(n) simmetrica , α=1/2)
sia h(n) reale, simmetrica ed α=1/2 H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria:
even N if 2
1)(2cos)(2
odd N if 2
1)(2cos)(2
2
1
)(1
)(211
0
1
)(21
0
21
21
2
21
23
NN
kj
n
N
Nkj
n
enN
N
knh
enN
N
knh
Nh
kHN
N
N
kj
N
kjk
r
N
kj
N
Nkj
r
N
Nkj
r
ekjG
ejkH
eekH
ekHkH
)(
21
)(
21
2
)(2
2
)(2
21
2
)1)((2
21
21
21
21
21
21
21
)(
1))((
)(
)()(
Ovvero H(k+1/2) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza
H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase
Relazione tra G(k+1/2) e G(N-k-1/2)Relazione tra G(k+1/2) e G(N-k-1/2)
)()( 21*
21 kNHkH
N
kj
N
kj
NNj
N
kNj
N
kj
ekNjG
eekNjG
ekNjGekjG
)(
21
*)(
21
*)(
21
)(
21
21
21
21
21
)(
)(
)()(
)()( 21
21 kNGkG
essendo h(n) reale vale la seguente relazione:
ovvero:
quindi:
I campioni simmetrici devono presentare segno concorde
Calcolo di h(n) (Caso 2)Calcolo di h(n) (Caso 2)
Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:
1
0
)()(2
21
1
0
)(2)(
21
1
0
)(2
21
212
1
212
1
21
e)(1
ee)(1
e)(1
)(
N
k
nN
kj
N
k
nkNj
N
kj
N
k
nkNj
kGNj
kjGN
kHN
nh
)(
)(2)(
)(2212
1
212
1
een
N
kNjn
N
kj
)(
)(2)(
2)(
)(2212
1
21
212
1
eeen
N
kjn
N
Njn
N
kj
)(
)(2)(
)(2212
1
212
1
e)1(en
N
kjn
N
kj
)()(2
sin2ee 212
1)()(2
)()(2
212
1
212
1
nN
kj
nN
kjn
N
kj
Calcolo di h(n) (Caso 2)Calcolo di h(n) (Caso 2)
Concludendo
Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT
))((
2sin)(
2)( 2
121
21 nk
NkG
Nnh
Caso 3 (h(n) antisimmetrica , α=0)Caso 3 (h(n) antisimmetrica , α=0)
sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=0 H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria:
1
0 2
12sin)(2)( 2
3N
Nkj
njen
N
N
knhkH
N
N
kj
N
kjk
r
N
kj
N
kNj
r
N
Nkj
r
ekjG
ekjH
eekjH
ekjHkH
)(
1)(
)(
)()(
2
2
2
2
2
)1(2
Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza
H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase
Relazione tra G(k) e G(N-k)Relazione tra G(k) e G(N-k)
)()( * kNHkH
Nk
j
Nk
jj
NkN
jNk
j
ekNjG
eekNjG
ekNjGekjG
)(
)(
)()(
*
*)(
)()( kNGkG
essendo h(n) reale vale la seguente relazione:
ovvero:
quindi:
I campioni simmetrici devono presentare segno uguale
NOTA: inoltre G(0)=0 nei filtri antisimmetrici
Calcolo di h(n) (Caso 3)Calcolo di h(n) (Caso 3)
Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:
1
0
)(2
1
0
2
1
0
2
21
e1
ee1
e)(1
)(
N
k
nN
kj
N
k
knNj
N
kj
N
k
knNj
jG(k)N
jG(k)N
kHN
nh
)(
)(2)(
221
21
een
NkN
jnNk
j
)(
2)(
2)(
221
21
21
eeen
Nk
jnNN
jnNk
j
)(
2)(
221
21
e)1(en
N
kjn
N
kj
)(
2 sin2ee 2
1)(
2)(
221
21
nN
kj
nN
kjn
N
kj
Calcolo di h(n) (Caso 3)Calcolo di h(n) (Caso 3)
Concludendo
IN quanto il campione in G(N/2) contribuisce una sola volta nella sommatoria inoltre il campione G(0)=0
even:N )(2
sin)(2)()1(1
odd:N )(2
sin)(2
)(
21
21
21
nN
kkGG
N
nN
kkG
Nnh
Nn
Caso 4 (h(n) antisimmetrica , α=1/2)Caso 4 (h(n) antisimmetrica , α=1/2)
sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=1/2 H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria:
1)(
21
021 2
12
3
2
1)(2sin)(2)( N
Nkj
njen
N
N
knhkH
N
N
kj
N
kjk
r
N
kj
N
Nkj
r
N
Nkj
r
ekG
ejkjH
eekjH
ekjHkH
)(
21
)(
21
2
)(2
2
)(2
21
2
)1)((2
21
21
21
21
21
21
21
)(
)(1)(
)(
)()(
Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza
H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase
Relazione tra G(k) e G(N-k)Relazione tra G(k) e G(N-k)
)()( 21*
21 kNHkH
N
kj
N
kj
NN
j
N
kNj
N
kj
ekNG
eekNG
ekNGekG
)(
21
*)(
21
*)(
21
)(
21
21
21
21
21
)(
)(
)()(
)()( 21
21 kNGkG
essendo h(n) reale vale la seguente relazione:
ovvero:
quindi:
I campioni simmetrici devono presentare segno opposto
NOTA: inoltre G(N/2)=-G(N/2)=0 nei filtri dispari
Calcolo di h(n) (Caso 4)Calcolo di h(n) (Caso 4)
Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:
1
0
)()(2
21
1
0
)(2)(
21
1
0
)(2
21
212
1
212
1
21
e)(1
ee)(1
e)(1
)(
N
k
nN
kj
N
k
nkNj
N
kj
N
k
nkNj
kGN
kGN
kHN
nh
)(
)(2)(
)(2212
1
212
1
een
N
kNjn
N
kj
)(
)(2)(
2)(
)(2212
1
21
212
1
eeen
N
kjn
NN
jnN
kj
)(
)(2)(
)(2212
1
212
1
e)1(en
N
kjn
N
kj
)()(2
cos2ee 212
1)()(2
)()(2
212
1
212
1
nN
knN
kjn
N
kj
Calcolo di h(n) (Caso 4)Calcolo di h(n) (Caso 4)
Concludendo
))((2
cos)(2
)( 21
21
nkN
kGN
nh
Funzioni finestraFunzioni finestra
Partendo dalle specifiche richieste si progetta analiticamente un filtro ideale
detto filtro ideale richiederebbe infiniti campioni. Si riduce il numero di campioni operando una “finestratura” dei
coefficienti del filtro. Il prodotto termine a termine di due segnali digitali comporta nel
dominio delle frequenze una convoluzione tra gli spettri. La risposta in frequenza del filtro così realizzato sarà quindi la
convoluzione delle specifiche ideali con lo spettro della finestra utilizzata
L’impiego di diversi tipi di finestre comporta prestazioni diverse che possono migliorare questo o quel particolare del filtro quali:
ripidità del taglio, ampiezza delle oscillazioni.
Funzioni finestra (analisi)Funzioni finestra (analisi)
deeHnh njj )()( 21
deeHnh njj )()( 21
jn
enh
nj
21)(
n
nnh
)sen(
)(
Genericamente:
In un filtro passa-basso(ideale):
......
Funzioni finestra (Esempio)Funzioni finestra (Esempio)
Filtro di RemezFiltro di Remez
Calcolo iterativo dei coefficienti Ottimizzazione basata sulla tecnica del:
“minimo errore massimo” Vi è la possibilità di dare un “peso” diverso all’errore
nelle diverse bande.
Filtri di LagrangeFiltri di Lagrange
E’ una topologia realizzativa per filtri FIR E’ legata strettamente al campionamento in frequenza
1
0 1
1
0
1
1)1()(
N
mm
mN
n n zz
AzzzH
mzz
N
mnn n
mzz
zHA
1
01 )1(
)(
Interpolazione polinomiale di Lagrange su N punti qualunque del piano z
Filtri di LagrangeFiltri di Lagrange
Se i punti vengono scelti equidistanti sul cerchio unitario
NN
n n zzz
1)1(
1
0
1
N
eHA
Nmj
m
)(2
Infatti il produttorio realizza in pratica le N radici di 1 mentre Am si puo’ ricavare:
N
zH
z
zzzH
zz
zzzH
zz
zHA
mNm
zzm
N
n n
mzzmN
mnn nm
mm
m
m
)(
1
1lim)(
)1(
1lim)(
)1(
)(
1
1
0
1
1
10
1
Filtri di LagrangeFiltri di Lagrange
Struttura Un filtro Comb di ordine N realizza N zeri sul cerchio unitario N risuonatori (uno per ogni frequenza) realizzano una
cancellazione zero-polo
COMB
Ris.1 H 1
Ris.2 H 2
Ris.N H N
+
.
.
.
Ogni canale (completo) fa passare una sola frequenza e sopprime le altre; a quella frequenza si può impostare il guadagno desiderato
Analisi SpettraleAnalisi Spettrale
1
0 11 )()(N
n
nznxzX
)1(211 ))1(()2()1()()( N
n zNnxznxznxnxzS
1
0 11 )()(N
k
kn zknxzS
Nnn zNnxzzSnxzS 1
11111 )()()()(
)1(2111 )()3()2()1()(
Nn zNnxznxznxnxzS
La risposta in frequenza in z1 è
Si rovesci la sequenza (le comp. spettrali rimangono sostanzialmente le stesse)
z-n
+
-z 1-n
+
z-1z 1-1
x(n) Sn(z1)
Analisi SpettraleAnalisi Spettrale
Se z1 viene scelto opportunamente sul cerchio unitario
La prima parte diventa un filtro COMB Nel complesso si ottiene un filtro di Lagrange con frequenza
centrale in z1
Nota: L ed N non devono per forza coincidere
L
kjez
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
N=32 N=8
Filtri di Savitzky-GolayFiltri di Savitzky-Golay
Risolvono il problema del filtraggio dal punto di vista del miglior interpolatore polinomiale (per rimuovere il rumore preservando il segnale utile di bassa frequenza)
IDEA:- si prendono N campioni del segnale originale- si calcola il miglior interpolatore polinomiale di ordine prefissato- si sostituisce al campione centrale il corrispondente valore della
funzione polinomiale approssimante- Si puo’ dimostrare che questa
operazione puo` essere effettuata usando un FIR con opportuni coefficienti
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Polinomio interpolantePolinomio interpolante
-5 0 5-1
0
1
2
3
4
5
6
7
221 xaxaay o
222212
212111
221
xaxaay
xaxaay
xaxaay
o
o
oooo
Il polinomio interpolante sia:
Si vogliono calcolare i coeff. ai tali che:
Ovvero
aXy
Polinomio interpolantePolinomio interpolante
-5 0 5-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Se la matrice X fosse invertibile (ovvero l’ordine del polinomio fosse uguale a N-1:
Ovvero la soluzione fornisce un polinomioche passa esattamente per tutti i punti
yXa 1
Nel caso in esame, viceversa vi sono piu’ equazioni che incognite e pertanto la matrice risulta rettangolare ed il problema va risolto nei termini dei minimi quadrati.
Si puo’ dimostrare che la soluzione richiede nell’uso della “pseudoinversa”
yXXXyXpinva TT 1)()(
Filtri di Savitzky-GolayFiltri di Savitzky-Golay
Nel caso di campioni equispaziati e centrati nello 0
]21012[ x
La matrice X risulta
222
111
000
111
222
1
1
1
1
1
0
210
210
210
210
244
233
222
211
200
xx
xx
xx
xx
xx
Pertanto i valori dell’equazione :
yXXXyXpinva TT 1)()( Possono essere ricavati usando dei filtri FIR sul segnale y, si noti inoltre che l’interesse e’ centrato su ricavare a0Ovvero i coefficienti del FIR sono i valori della prima riga della pseudoinversa di X
Filtri di Savitzky-GolayFiltri di Savitzky-Golay
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Filtro FIR a N=11campioni tutti uguali
Filtri di Savitzky-GolayFiltri di Savitzky-Golay
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Filtro FIR a N=11finestra di Hanning
Filtri di Savitzky-GolayFiltri di Savitzky-Golay
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Filtro FIR SG N=11, ord=5