Filtri FIR Progetto filtri FIR Vantaggi: Stabilità intrinseca. Facilità nellottenere fase lineare....

Filtri FIRFiltri FIR

Progetto filtri FIRProgetto filtri FIR

Vantaggi: Stabilità intrinseca. Facilità nell’ottenere fase lineare. Assenza di retroazione gli errori non vengono rimessi in

“circolo”

Svantaggi: Prestazioni contenute. Per ottenere buone caratteristiche la lunghezza del filtro può

risultare notevole struttura complessa Ritardo considerevole tra ingresso e uscita. Il progetto in termini di “maschere” risulta difficile da affrontare in

forma analitica (in pratica risulta difficile stimare ripple e attenuazione in forma chiusa)

Linearità di faseLinearità di fase

E’ garantita da vincoli di simmetria/antisimmetria nella risposta impulsiva del filtro

Questi vincoli si traducono in opportuni accoppiamenti di zeri sul piano z

)()()( jjj eeHeH

)(

Linearità di fase (caso 1)Linearità di fase (caso 1)

eeHenheH jN

n

njj )()()(1

0

1

0

1

0

)sin()()sin()(

)cos()()cos()(

N

n

j

N

n

j

nnheH

nnheH

soluzione banale: α=0

0)cos()()0(

)sin()()tan( 1

1

1

1

N

n

N

n

nnhh

nnh

Nnnh

h

:1for 0)(

)0(

Ipotesi:

Parte reale

Parte immaginaria


eeHenheH jN

n

njj )()()(1

0

1

0

1

0

)sin()()sin()(

)cos()()cos()(

N

n

j

N

n

j

nnheH

nnheH

soluzione non banale:

Ipotesi:

Parte reale

Parte immaginaria

0)cos()sin()()sin()cos()(1

0

1

0

N

n

N

n

nnhnnh

1

0

0)(sin)(N

n

nnh

)1()(2

1

nNhnh

Nsimmetria dei coefficienti h(n)

La soluzione è unica (Serie di Fourier)

Linearita’ di faseLinearita’ di fase

-5 0 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2abcd

Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=b e c=d

ovvero

le sinusoidi rispettivamente in fase e contro-fase si devono elidere a 2 a 2


La simmetria su h(n) comporta che:

ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo

complesso-coniugato

)(

)()(

)1()()(

11

1

0

11

0

1

1

0

1

0

zHz

znhzznh

znNhznhzH

N

N

n

nNN

n

nN

N

n

nN

n

n

Esempio 1Esempio 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

2.8

5.6

8.4

11.2

14

Ma

gnitu

de

Magnitude and Continuous Phase Responses

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-600

-480

-360

-240

-120

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Con

tinuo

us P

hase

(de

gre

es)

Filter #1: MagnitudeFilter #1: Phase

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

6

Real Part

Ima

gina

ry P

art

Pole/Zero Plot

Filter #1: ZerosFilter #1: Poles

h(n)= [ 1 2 3 2 3 2 1]

1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Esempio 2Esempio 2

h(n)= [ 1 2 3 1 1 3 2 1]

1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

2.8

5.6

8.4

11.2

14

Ma

gnitu

de


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-700

-560

-420

-280

-140

0


Con

tinuo

us P

hase

(de

gre

es)


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

7

Real Part

Ima

gina

ry P

art

Pole/Zero Plot



eeHenheH jN

n

njj )()()(1

0

1

0

1

0

)sin()()sin()(

)cos()()cos()(

N

n

j

N

n

j

nnheH

nnheH

soluzione:

Ipotesi:

Parte reale

Parte immaginaria

0)cos()sin()()sin()cos()(1

0

1

0

N

n

N

n

nnhnnh

1

0

0)(sin)(N

n

nnh

)1()(2

21

nNhnh

N

antisimmetria dei

coefficienti h(n)

La soluzione è unica (Serie di Fourier)

Linearita’ di faseLinearita’ di fase

Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=-b e c=-d

ovvero

le sinusoidi rispettivamente in fase tra loro si devono elidere a 2 a 2

-5 0 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2abcd


La antisimmetria su h(n) comporta che:

ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo

complesso-coniugato

)(

)()(

)1()()(

11

1

0

11

0

1

1

0

1

0

zHz

znhzznh

znNhznhzH

N

N

n

nNN

n

nN

N

n

nN

n

n

Esempio 3Esempio 3

h(n)= [ 1 2 3 0 -3 -2 -1]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

2

4

6

8

10

Ma

gnitu

de


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-500

-380

-260

-140

-20

100


Con

tinuo

us P

hase

(de

gre

es)


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

6

Real Part

Ima

gina

ry P

art

Pole/Zero Plot


1 2 3 4 5 6 7-3

-2

-1

0

1

2

3

Esempio 4Esempio 4

h(n)= [ 1 2 3 -3 -2 -1]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

1.8

3.6

5.4

7.2

9

Ma

gnitu

de

Magnitude and Phase Responses

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-400

-300

-200

-100

0

100


Pha

se (

degr

ees)


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

5

Real Part

Ima

gina

ry P

art

Pole/Zero Plot


1 2 3 4 5 6-3

-2

-1

0

1

2

3

Campionamento in frequenzaCampionamento in frequenza

Si scelga un opportuno numero di campioni in frequenza e si calcola h(n) imponendo che l’H(ω) corrispondente passi per i campioni voluti La soluzione puo’ avvenire attraverso:

L’impiego della IDFT (campioni equispaziati) La soluzione di un sistema lineare Equazioni dirette

Campionamento in Frequenza (IDFT)Campionamento in Frequenza (IDFT)

Scelti N campioni equispaziati sul cerchio unitario detti campioni godano della simmetria coniugata il primo campione sia posto in 1

Si applichi la IDFT a detti campioni per ottenere h(n) La risposta in frequenza della sequenza ottenuta sara’

vincolata a passare per i campioni iniziali

N

kj

nN

kj

njj

eHkHenhkH

enheH

22 )()()()(

)()(

Campionamento in frequenzaCampionamento in frequenza

Si definisce la maschera ideale in frequenza Si opera un campionamento della medesima su N punti

equidistanti Sui campioni così ottenuti si applica la IDFT Il risultato fornisce la risposta impulsiva del filtro

Questo procedimento garantisce che la risposta in frequenzadel filtro così ottenuto passerà ESATTAMENTE per i punti di campionamento della maschera ideale

1 2 3 4 5 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Simmetrici – N dispariSimmetrici – N dispari

2

12

32

32

12

1

)1()2(2

1)1()0()(

Nj

Nj

Nj

Nj

Njj eNheNh

NheheheeH

2

1

2

3cos)1(2

2

1cos)0(2)( 2

1 Nh

Nh

NheeH

Njj

)1()( nNhnh

Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dovesiano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

2

1N

k

2

1for 1

2

1for

2

1cos2

,

,

Nna

Nni

Na

A

ji

jji

dd hAhhhA 1

0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

Simmetrici – N pariSimmetrici – N pari


2

Nk

2

1cos2, i

NaA jji

dd hAhhhA 1

2

12

32

32

12

1

)1()2()1()0()(N

jN

jN

jN

jN

jj eNheNheheheeH

2

3cos)1(2

2

1cos)0(2)( 2

1 Nh

NheeH

Njj

)1()( nNhnh

0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

Antisimmetrici – N dispariAntisimmetrici – N dispari

2

12

32

32

12

1

)1()2(0)1()0()(N

jN

jN

jN

jN

jj eNheNheheheeH

02

3sin)1(2

2

1sin)0(2)( 2

1

N

hN

hjeeHN

jj

)1()( nNhnh


2

1N

k

iN

aA jji 2

1sin2,

dd hAhhhA 1

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

Antisimmetrici – N pariAntisimmetrici – N pari


2

Nk

2

1sin2, i

NaA jji

dd hAhhhA 1

2

12

32

32

12

1

)1()2()1()0()(N

jN

jN

jN

jN

jj eNheNheheheeH

2

3sin)1(2

2

1sin)0(2)( 2

1 Nh

NhjeeH

Njj

)1()( nNhnh

Scelta dei campioni in frequenza Scelta dei campioni in frequenza

In teoria i campioni possono essere scelti in qualunque punto del cerchio unitario pur di rispettare alcuni vincoli: Devono essere in numero uguale ai campioni indipendenti della

risposta impulsiva “h(n)” Simmitrico dispari: (N+1)/2 Simmetrico pari: N/2 Antisimmetrico dispari: (N-1)/2 (il campione centrale e’ nullo) Antisimmetrico pari: N/2

Non devono portare ad una matrice singolare Simmitrico dispari: Nessun vincolo Simmetrico pari: Nessun campione in π Antisimmetrico dispari: Nessun campione in 0 o π Antisimmetrico pari: Nessun campione in 0

Più comunemente essi vengono presi equispaziati sul cerchio unitario, ma sempre rispettando le regole di cui sopra

Scelta dei campioni in frequenzaScelta dei campioni in frequenza

Filtro simmetrico dispari

2

1-N , , 1 , 0for )(

2 kk

Nk

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

Es: N=9 , α=0

Nessuna particolare nota


Filtro simmetrico pari

12

, , 1 , 0for )(2

N

kkNk

Es: N=8 , α=0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

Ovviamente non si puo’ prendere il campione in π


Filtro antisimmetrico dispari

2

1-N , , 1for )(

2 kkNk

Es: N=9 , α=0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma comunque il numero dei campioni indipendenti di h(n) sono (N-1)/2


Filtro antisimmetrico pari

2

N , , 1for )(

2 kk

Nk

Es: N=8 , α=0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma si puo’ ovviare aggiungendo invece il campione in π

Scelta dei campioni in frequenza Scelta dei campioni in frequenza

Un’altra possibilità per evitare la presenza di campioni nello 0 (o a π) è quella di scegliere un valore per ‘α’ uguale ad ½ (ovvero si applica una rotazione di ‘π/M’ a tutti i campioni)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

IDFTIDFT

Quando i campioni sono scelti equispaziati sul cerchio unitari si può utilizzare la IDFT per calcolare la ‘h(n)’ si scelgono N campioni equispaziati sul cerchio unitario si applichi la IDFT per definizione l’ H(ω) passerà per I punti scelti

NOTA: questo a priori non garantisce la linearità di fase ci sono vari g.d.l. sfruttabili

Fase dei campioni Segno dei campioni

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

Equazioni diretteEquazioni dirette

Sfruttando alcuni vincoli si possono calcolare i campioni della risposta in frequenza direttamente dai campioni in frequenza (senza IDFT e senza l’inversa di una matrice) Vincoli:

Fase lineare → simmetrie su h(n) h(n) reale → simmetria coniugata su H(ω) equispaziatura dei campini sul cerchio unitario

)(2)()(

k

N

jeHkH

Definiamo:

I campioni in frequenza equispaziati sul cerchio unitario (α assume il valore 0 oppure ½)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

Calcolo di h(n) (caso generale)Calcolo di h(n) (caso generale)

e)(1

)(1

0

)(2

N

k

nkNj

kHN

nh

moltiplicando per exp(..)

nkNjN

nnhkH

)(2

1

0e )()(

)(22

1

0

2)(

21

0

2

ee )(

ee )(e)(

nmkNjn

NjN

n

kmNjnk

NjN

n

kmNj

nh

nhkH

ee )(e)(1

0

)(22

1

0

1

0

2

N

k

nmkNjn

NjN

n

N

k

kmNj

nhkH

nmN

nm0N

k

nmkNj

if

if e

1

0

)(2

e)(e)(2

1

0

2m

NjN

k

kmNj

mNhkH

e)(1

)(1

0

)(2

N

k

mkNj

kHN

mh

ma:

per definizione

sommando su k

ConsiderazioniConsiderazioni

e)(1

)(1

0

)(2

N

k

nkNj

kHN

nh

Quanto trovato ricorda la IDFT (ma con α) Vale per qualunque h(n) anche privo di simmetrie Vale per campioni H(k+α) equispaziati

Su questi campioni per il momento non si sono fatte altre ipotesi

)(2)()(

k

N

jeHkH

Caso 1 (h(n) simmetrica , α=0)Caso 1 (h(n) simmetrica , α=0)

sia h(n) reale, simmetrica ed α=0 H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria:

even N if 2

12cos)(2

odd N if 2

12cos)(2

2

1

)(1

1

0

1

0

2

23

N

Nkj

n

N

Nkj

n

enN

N

knh

enN

N

knh

Nh

kHN

N

N

kj

N

kjk

r

N

kj

N

kNj

r

N

Nkj

r

ekG

ekH

eekH

ekHkH

)(

1)(

)(

)()(

2

2

2

2

2

)1(2

Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza

H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

Relazione tra G(k) e G(N-k)Relazione tra G(k) e G(N-k)

)()( * kNHkH

Nk

j

Nk

jj

NkN

jNk

j

ekNG

eekNG

ekNGekG

)(

)(

)()(

*

*)(

)()( kNGkG

essendo h(n) reale vale la seguente relazione:

ovvero:

quindi:

I campioni simmetrici devono presentare segno opposto

NOTA: inoltre G(N/2)=0 !!!

Calcolo di h(n) (Caso 1)Calcolo di h(n) (Caso 1)

Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

1

0

)(2

1

0

2

1

0

2

21

e1

ee1

e)(1

)(

N

k

nN

kj

N

k

knNj

N

kj

N

k

knNj

G(k)N

G(k)N

kHN

nh

)(

)(2)(

221

21

een

N

kNjn

N

kj

)(

2)(

2)(

221

21

21

eeen

N

kjn

N

Njn

N

kj

)(

2)(

221

21

e)1(en

N

kjn

N

kj

)(

2 cos2ee 2

1)(

2)(

221

21

nN

knN

kjn

N

kj


Concludendo

Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT

)(

2cos)(2)0(

1)( 2

1nN

kkGG

Nnh

Caso 2 (h(n) simmetrica , α=1/2)Caso 2 (h(n) simmetrica , α=1/2)

sia h(n) reale, simmetrica ed α=1/2 H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria:

even N if 2

1)(2cos)(2

odd N if 2

1)(2cos)(2

2

1

)(1

)(211

0

1

)(21

0

21

21

2

21

23

NN

kj

n

N

Nkj

n

enN

N

knh

enN

N

knh

Nh

kHN

N

N

kj

N

kjk

r

N

kj

N

Nkj

r

N

Nkj

r

ekjG

ejkH

eekH

ekHkH

)(

21

)(

21

2

)(2

2

)(2

21

2

)1)((2

21

21

21

21

21

21

21

)(

1))((

)(

)()(

Ovvero H(k+1/2) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza


Relazione tra G(k+1/2) e G(N-k-1/2)Relazione tra G(k+1/2) e G(N-k-1/2)

)()( 21*

21 kNHkH

N

kj

N

kj

NNj

N

kNj

N

kj

ekNjG

eekNjG

ekNjGekjG

)(

21

*)(

21

*)(

21

)(

21

21

21

21

21

)(

)(

)()(

)()( 21

21 kNGkG


ovvero:

quindi:

I campioni simmetrici devono presentare segno concorde



1

0

)()(2

21

1

0

)(2)(

21

1

0

)(2

21

212

1

212

1

21

e)(1

ee)(1

e)(1

)(

N

k

nN

kj

N

k

nkNj

N

kj

N

k

nkNj

kGNj

kjGN

kHN

nh

)(

)(2)(

)(2212

1

212

1

een

N

kNjn

N

kj

)(

)(2)(

2)(

)(2212

1

21

212

1

eeen

N

kjn

N

Njn

N

kj

)(

)(2)(

)(2212

1

212

1

e)1(en

N

kjn

N

kj

)()(2

sin2ee 212

1)()(2

)()(2

212

1

212

1

nN

kj

nN

kjn

N

kj


Concludendo

Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT

))((

2sin)(

2)( 2

121

21 nk

NkG

Nnh

Caso 3 (h(n) antisimmetrica , α=0)Caso 3 (h(n) antisimmetrica , α=0)

sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=0 H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria:

1

0 2

12sin)(2)( 2

3N

Nkj

njen

N

N

knhkH

N

N

kj

N

kjk

r

N

kj

N

kNj

r

N

Nkj

r

ekjG

ekjH

eekjH

ekjHkH

)(

1)(

)(

)()(

2

2

2

2

2

)1(2




)()( * kNHkH

Nk

j

Nk

jj

NkN

jNk

j

ekNjG

eekNjG

ekNjGekjG

)(

)(

)()(

*

*)(

)()( kNGkG


ovvero:

quindi:

I campioni simmetrici devono presentare segno uguale

NOTA: inoltre G(0)=0 nei filtri antisimmetrici



1

0

)(2

1

0

2

1

0

2

21

e1

ee1

e)(1

)(

N

k

nN

kj

N

k

knNj

N

kj

N

k

knNj

jG(k)N

jG(k)N

kHN

nh

)(

)(2)(

221

21

een

NkN

jnNk

j

)(

2)(

2)(

221

21

21

eeen

Nk

jnNN

jnNk

j

)(

2)(

221

21

e)1(en

N

kjn

N

kj

)(

2 sin2ee 2

1)(

2)(

221

21

nN

kj

nN

kjn

N

kj


Concludendo

IN quanto il campione in G(N/2) contribuisce una sola volta nella sommatoria inoltre il campione G(0)=0

even:N )(2

sin)(2)()1(1

odd:N )(2

sin)(2

)(

21

21

21

nN

kkGG

N

nN

kkG

Nnh

Nn

Caso 4 (h(n) antisimmetrica , α=1/2)Caso 4 (h(n) antisimmetrica , α=1/2)

sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=1/2 H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria:

1)(

21

021 2

12

3

2

1)(2sin)(2)( N

Nkj

njen

N

N

knhkH

N

N

kj

N

kjk

r

N

kj

N

Nkj

r

N

Nkj

r

ekG

ejkjH

eekjH

ekjHkH

)(

21

)(

21

2

)(2

2

)(2

21

2

)1)((2

21

21

21

21

21

21

21

)(

)(1)(

)(

)()(




)()( 21*

21 kNHkH

N

kj

N

kj

NN

j

N

kNj

N

kj

ekNG

eekNG

ekNGekG

)(

21

*)(

21

*)(

21

)(

21

21

21

21

21

)(

)(

)()(

)()( 21

21 kNGkG


ovvero:

quindi:

I campioni simmetrici devono presentare segno opposto

NOTA: inoltre G(N/2)=-G(N/2)=0 nei filtri dispari



1

0

)()(2

21

1

0

)(2)(

21

1

0

)(2

21

212

1

212

1

21

e)(1

ee)(1

e)(1

)(

N

k

nN

kj

N

k

nkNj

N

kj

N

k

nkNj

kGN

kGN

kHN

nh

)(

)(2)(

)(2212

1

212

1

een

N

kNjn

N

kj

)(

)(2)(

2)(

)(2212

1

21

212

1

eeen

N

kjn

NN

jnN

kj

)(

)(2)(

)(2212

1

212

1

e)1(en

N

kjn

N

kj

)()(2

cos2ee 212

1)()(2

)()(2

212

1

212

1

nN

knN

kjn

N

kj


Concludendo

))((2

cos)(2

)( 21

21

nkN

kGN

nh

Funzioni finestraFunzioni finestra

Partendo dalle specifiche richieste si progetta analiticamente un filtro ideale

detto filtro ideale richiederebbe infiniti campioni. Si riduce il numero di campioni operando una “finestratura” dei

coefficienti del filtro. Il prodotto termine a termine di due segnali digitali comporta nel

dominio delle frequenze una convoluzione tra gli spettri. La risposta in frequenza del filtro così realizzato sarà quindi la

convoluzione delle specifiche ideali con lo spettro della finestra utilizzata

L’impiego di diversi tipi di finestre comporta prestazioni diverse che possono migliorare questo o quel particolare del filtro quali:

ripidità del taglio, ampiezza delle oscillazioni.

Funzioni finestra (analisi)Funzioni finestra (analisi)

deeHnh njj )()( 21

deeHnh njj )()( 21

jn

enh

nj

21)(

n

nnh

)sen(

)(

Genericamente:

In un filtro passa-basso(ideale):

......

Funzioni finestra (Esempio)Funzioni finestra (Esempio)

Filtro di RemezFiltro di Remez

Calcolo iterativo dei coefficienti Ottimizzazione basata sulla tecnica del:

“minimo errore massimo” Vi è la possibilità di dare un “peso” diverso all’errore

nelle diverse bande.

Filtri di LagrangeFiltri di Lagrange

E’ una topologia realizzativa per filtri FIR E’ legata strettamente al campionamento in frequenza

1

0 1

1

0

1

1)1()(

N

mm

mN

n n zz

AzzzH

mzz

N

mnn n

mzz

zHA

1

01 )1(

)(

Interpolazione polinomiale di Lagrange su N punti qualunque del piano z


Se i punti vengono scelti equidistanti sul cerchio unitario

NN

n n zzz

1)1(

1

0

1

N

eHA

Nmj

m

)(2

Infatti il produttorio realizza in pratica le N radici di 1 mentre Am si puo’ ricavare:

N

zH

z

zzzH

zz

zzzH

zz

zHA

mNm

zzm

N

n n

mzzmN

mnn nm

mm

m

m

)(

1

1lim)(

)1(

1lim)(

)1(

)(

1

1

0

1

1

10

1


Struttura Un filtro Comb di ordine N realizza N zeri sul cerchio unitario N risuonatori (uno per ogni frequenza) realizzano una

cancellazione zero-polo

COMB

Ris.1 H 1

Ris.2 H 2

Ris.N H N

+

.

.

.

Ogni canale (completo) fa passare una sola frequenza e sopprime le altre; a quella frequenza si può impostare il guadagno desiderato

Analisi SpettraleAnalisi Spettrale

1

0 11 )()(N

n

nznxzX

)1(211 ))1(()2()1()()( N

n zNnxznxznxnxzS

1

0 11 )()(N

k

kn zknxzS

Nnn zNnxzzSnxzS 1

11111 )()()()(

)1(2111 )()3()2()1()(

Nn zNnxznxznxnxzS

La risposta in frequenza in z1 è

Si rovesci la sequenza (le comp. spettrali rimangono sostanzialmente le stesse)

z-n

+

-z 1-n

+

z-1z 1-1

x(n) Sn(z1)

Analisi SpettraleAnalisi Spettrale

Se z1 viene scelto opportunamente sul cerchio unitario

La prima parte diventa un filtro COMB Nel complesso si ottiene un filtro di Lagrange con frequenza

centrale in z1

Nota: L ed N non devono per forza coincidere

L

kjez

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 1 2 3 4 5 6 7-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

N=32 N=8

Filtri di Savitzky-GolayFiltri di Savitzky-Golay

Risolvono il problema del filtraggio dal punto di vista del miglior interpolatore polinomiale (per rimuovere il rumore preservando il segnale utile di bassa frequenza)

IDEA:- si prendono N campioni del segnale originale- si calcola il miglior interpolatore polinomiale di ordine prefissato- si sostituisce al campione centrale il corrispondente valore della

funzione polinomiale approssimante- Si puo’ dimostrare che questa

operazione puo` essere effettuata usando un FIR con opportuni coefficienti

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Polinomio interpolantePolinomio interpolante

-5 0 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

221 xaxaay o

222212

212111

221

xaxaay

xaxaay

xaxaay

o

o

oooo

Il polinomio interpolante sia:

Si vogliono calcolare i coeff. ai tali che:

Ovvero

aXy

Polinomio interpolantePolinomio interpolante

-5 0 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Se la matrice X fosse invertibile (ovvero l’ordine del polinomio fosse uguale a N-1:

Ovvero la soluzione fornisce un polinomioche passa esattamente per tutti i punti

yXa 1

Nel caso in esame, viceversa vi sono piu’ equazioni che incognite e pertanto la matrice risulta rettangolare ed il problema va risolto nei termini dei minimi quadrati.

Si puo’ dimostrare che la soluzione richiede nell’uso della “pseudoinversa”

yXXXyXpinva TT 1)()(


Nel caso di campioni equispaziati e centrati nello 0

]21012[ x

La matrice X risulta

222

111

000

111

222

1

1

1

1

1

0

210

210

210

210

244

233

222

211

200

xx

xx

xx

xx

xx

Pertanto i valori dell’equazione :

yXXXyXpinva TT 1)()( Possono essere ricavati usando dei filtri FIR sul segnale y, si noti inoltre che l’interesse e’ centrato su ricavare a0Ovvero i coefficienti del FIR sono i valori della prima riga della pseudoinversa di X


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Filtro FIR a N=11campioni tutti uguali


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Filtro FIR a N=11finestra di Hanning


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Filtro FIR SG N=11, ord=5

Filtri FIR Progetto filtri FIR Vantaggi: Stabilità intrinseca. Facilità nellottenere fase lineare....

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