Filtri digitali Introduzione Programma del Corso Basi di elaborazione numerica Introduzione ai...

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Filtri digitali Introduzione

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Filtri digitaliFiltri digitali

Introduzione

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Programma del CorsoProgramma del Corso

Basi di elaborazione numerica Introduzione ai filtri digitali Progetto di filtri analogici Progetto di filtri digitali ricorsivi (IIR) Progetto di filtri digitali non-ricorsivi (FIR) Filtri Multirate Filtri Non-Lineari ???

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Sequenze di dati (nomenclatura)Sequenze di dati (nomenclatura)

Sequenza: {x(n)}Campione: x(n)

Indice: n

Sequenze fondamentali:

Impulso )(0 nu

Gradino )(1 nu

Esponenziale complesso njenx )(

….

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{h(n)}

{h (n)}r

)()( mnhnhr

n: indice della seq.m: ritardo

)()()}({ mnumana om

Una qualunque sequenza puo’ essere pensata come una combinazione lineare di tante sequenze impulsive opportunamente ritardate e pesate

n = 0

RitardoRitardo

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Sistemi LTI (Linearity)Sistemi LTI (Linearity)

LTILTI

x(n) y(n)

Linearita’:

)()( and )()( 2211 nynxnynx

)()()()( 2121 nybnyanxbnxa

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Sistemi LTI (Time Invariant)Sistemi LTI (Time Invariant)

LTILTI

x(n) y(n)

Invarianza Temporale:

)()( nynx

)()( NnyNnx

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ConvoluzioneConvoluzione

LTILTIu (n)o h(n)x(n) y(n)

)()()()()()( 0 mnhmxnymnumxnx mm

x (n) y(n)

)()()( mnxmhny m

Con una semplice sostituzione degli indici (m = n - m)

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Causalita`Causalita`

Si definisce causale un sistema per cui

0per0)( nnh

Ovvero il sitema non e’ “anticipativo”

Stabilita`Un sistema e` stabile se, sollecitato con un ingresso “limitato”risponde con un’uscita pur essa “limitata”.Condizione necessaria e sufficiente per la stabilita’ e’:

)(nh

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Espressioni per “y(n)”Espressioni per “y(n)”

Convoluzione

)()()( mnxmhny m

M N

jjii jnyainxbny0 1

)()()(

Differenze finite

Vi sono 2 categorie di Filtri Lineari:• FIR (Finite Impulse response)

in cui l’uscita dipende solo dall’ingresso• IIR (Infinite Impulse Response)

in cui e’ presente una “retroazione”

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Risposta in frequenzaRisposta in frequenza

Si solleciti un sistema lineare avente una risposta impulsiva “h(n)”con un segnale di tipo:

)()( njenx L’uscita risulta essere:

)()(

)(

)()( )(

j

mjm

nj

mnjm

eHnx

emhe

emhny

Ove “H(e j)” prende il nome di “riposta in frequenza”

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Risposta in frequenza - Proprieta’:Risposta in frequenza - Proprieta’:

njn

j enheH )()(

Funzione continua in Periodica di periodo 2 Se h(n) è reale

modulo simmetrico e fase antisimmetrica “Re(H)” simmetrico ed “Im(H)” antisimmetrico

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Risposta in frequenza - Proprieta’:Risposta in frequenza - Proprieta’:

Essendo “H” periodica può essere sviluppata in serie di Fourier:

deeHnh

enheH

njj

njj

)()(

)()(

21

nje

)( jnj eHe

deeXnx njnj )()( 21

deeXeHny njnjnj )()()( 21

LTILTI

Ovvero:

)()()( jjj eXeHeY

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Sequenza temporaleSequenza temporale

)()( nTxnx

nTjTj enTxeX )()(

Se si vuole mantenere il legame temporale con il segnale analogico

X(t)

X(nT)

T

La risposta in frequenza risultaperiodica di periodo 2/T

T

T

nTjTjT

nTjTj

deeXnTx

enTxeX

/

/2 )()(

)()(

dejXtx

dtetxjX

tjA

tjA

)()(

)()(

21

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Legame spettro analogico - digitaleLegame spettro analogico - digitale

dejXtx tj

A )()( 21

dejXnTx nTj

A )()( 21

dejXnTx nTjm

m AmT

T

)1(2

)1(221 )()(

')()(2

'2'21

deejXnTx mnTjnTjAm

TT

T

mT

j

')()( '2'21

dejXnTx nTjAm

T

T

mT

j

deeXnTx nTjTjT T

T )()( 2

Un qualunque segnale continuo:

Campionato con periodo T:

Suddividendo l’integrale:

Sostituendo: ’ = - 2m/T:

Semplificando:

Ma paragonando il risultato ottenuto con quanto si e’ visto per i segnali digitali, ovvero:

Si perviene al legame tra le rappresentazioni spettrali del segnale originale e del suo campionato:

)(1

)( 2 mT

jjXT

eX AmTj

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Legame spettro analogico - digitaleLegame spettro analogico - digitale

X(t)

T

Partendo da un segnale analogico Con un certo spettro

Definito un certo intervallo di campionamento T ed operando il campionamento del segnale

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Legame spettro analogico - digitaleLegame spettro analogico - digitale

X(t)

X(nT)

T

Si ottiene un segnale digitale Con un certo spettro digitale

Lo spettro digitale (periodico) e’ ottenibile come sovrapposizionedi infinite repliche, opportunamente traslate, dello spettro analogico

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AliasingAliasing

X(t)

T

Una modifica dell’intervallo TComporta una modifica nella

periodicità dello spettro

X(nT)

ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri

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AliasingAliasing

X(t)

T

Una modifica dell’intervallo TComporta una modifica nella

periodicità dello spettro

X(nT)

ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri

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Teorema di ShannonTeorema di Shannon

X(t)

T

X(nT)

Per non avere aliasing l’intervallo di campionamento deve esserescelto in base alla seguente regola:

MT

Mf

T2

1

Ovvero:

Le componenti armoniche a frequenza superiore DEVONO venir filtrate

M

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InterpretazioneInterpretazione

Per campionare un segnale si deve usare una frequenza di campionamento (fT) almeno doppia della massima frequenza del segnale (fN) (Nyquist)

In un segnale con una sola frequenza si devono prendere almeno 2 campioni per periodo per poter ricostruire il segnale

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Trasformata “Z”Trasformata “Z”

Data una certa sequenza “x(n)” di definisce:

nn znxzX )()( ))(()(

2

1)( 1

Re1

1

ns

n

C

zzXdzzzXj

nx

Proprietà:

Linearità:

)()( 11 zXnx )()()()( 2121 zbXzaXnbxnax

)()( 110 zXznnx n

o

Ritardo:

)()( 11 zXnx

)()()( zHzXzY

Convoluzione:

)()()( nhnxny

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Trasformata “Z” (proprietà)Trasformata “Z” (proprietà)

Legame con la risposta in frequenza:

njn

j enxeX

)()(

nn znxzX )()(

r = 1

Re

ImZ-plane ej

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Applicazioni ai filtri lineariApplicazioni ai filtri lineari

M N

jjii jnyainxbny0 1

)()()(Poiché un filtro digitale lineare può essere rappresentato tramite una equazione alle differenze finite:

Sfruttando la trasformata Z: M N

ijj

iii zzYazzXbzY

0 1

)()()(

Mi

ii

Ni

jj zbzXzazY01

)(1)(

N

ijj

Mi

ii

za

zb

zX

zYzH

1

0

1)(

)()(

Si perviene ad una rappresentazione del filtro secondo la trasf.Z come un rapporto di due polinomi in Z.H è la Z-trasf. della risposta impulsiva h(n)

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Filtri digitali lineariFiltri digitali lineari

Z-1 Z-1 Z-1

Z-1 Z-1 Z-1

b0 b1 bM-1 bM

aN aN-1 a1

x(n)

y(n)

FIR: ai = 0IIR : ai = 0 bi = hi

M N

jjii jnyainxbny0 1

)()()(

Differenze finite

)()()( inxihny i

Convoluzione