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Fibonaccie i Mercati Finanziari
ALESSANDRO IMPERATORI | PISA | 21-22 giugno 2001
Princìpi Matematici
ALESSANDRO IMPERATORI | PISA | 21-22 giugno 2001
“Se una coppia di conigli mette al mondo ogni mese una coppia di piccoli, che dopo due mesi producono a loro volta una nuova coppia di conigli, quante coppie di conigli avremo dopo un anno, se tutti rimangono in vita?”
Leonardo Pisano, Liber Abbaci, 1202
Nel 1202 apparve ad opera di Leonardo Pisano un libro assai importante, dal titolo Liber Abbaci, vale a dire il libro dell’abaco, cioè un manuale per “far di conto”, un capolavoro nel campo della letteratura matematica che ebbe molta influenza nello sviluppo delle scienze matematiche in Europa.
La particolarità del libro sta nel fatto che per risolvere molti problemi della vita quotidiana si ricorre allo strumento dell’algebra.
Fra gli altri viene proposto il problema delle coppie dei conigli.
Il Liber Abbaci (1202)
Le Coppie di Conigli
La Successione di Fibonacci
I Primi 25 Numeri
1+1 = 2 5+8 = 13 34+55 = 891+2 = 3 8+13 = 21 55+89 = 1442+3 = 5 13+21 = 34 89+144 = 233
3+5 = 8 21+34 = 55 144 +233 = 377
Tra i numeri della succesione di Fibonacci esiste una relazione per cui ogni termine successivo è uguale alla somma dei due immediatamente precedenti.
Prima relazione nella successione
ƒn / ƒn-1 = 0,618
1:1 = 1,0001:2 = 0,5002:3 = 0,6673:5 = 0,6005:8 = 0,6258:13 = 0,61513:21 = 0,61921:34 = 0,618
ƒn / ƒn+1 = 1,618
1:1 = 1,0002:1 = 2,0003:2 = 1,5005:3 = 1,6668:5 = 1,60013:8 = 1,62521:13 = 1,61534:21 = 1,619
Più importante dal nostro punto di vista è il fatto che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente a 1,618 e 0,618
Seconda relazione nella successione
La sezione aurea
Peculiarità
Un aspetto interessante della progressione analizzata precedentemente è che non importa da quali numeri si comincia a contare. Si possono prendere qualsiasi due numeri (esempio, 4 e 123) e ritrovare le medesime relazioni. I numeri di Fibonacci sono quelli (tra i numeri interi) che più rapidamente tendono alla Sezione Aurea.
ƒn = ƒn-1 + ƒn-2
4+123 = 127123+127 = 250127+250 = 377250+377 = 627377+627 = 10041004+627 = 1631
ƒn / ƒn-1 = 1,618
123:4 = 30,750127:123 = 1,032250:127 = 1,968377: 250 = 1,508627:377 = 1,6631004:627 = 1,601
Fibonacci: proprietà della Sequenza
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ….
1,618 (o 0,618) è conosciuto come GOLDEN RATIO
X Y ZXY = 0,618 • XZ
XZ / XY = XY / YZ = 1,618
Fibonacci: proprietà della Sequenza
1) ƒn = ƒn-1 + ƒn-2
2) ƒn / ƒn-1 = 1,618 e ƒn / ƒn+1 = 0,618
3) ƒn / ƒn-2 = 2,618 e ƒn / ƒn+2 = 0,382
4) ƒn / ƒn-3 = 4,236 e ƒn / ƒn+3 = 0,236
Altre Curiosità
Fibonacci: proprietà della Sequenza
(0,618 x 0,618) = (1 - 0,618) = (0,618 / 1,618) = 0,382
(0.618 x 0,382) = (0,618 - 0,382) = (0,382 / 0,618) = 0,236
A M B | 1-x | x |
Il segmento AB viene diviso dal punto M in modo tale che il rapporto tra le due parti, la più piccola con la più grande (AM e MB), è uguale al rapporto della parte più grande (MB) con tutto AB.
Se AB è di lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del segmento AB, allora la definizione sopra fornita dà luogo alla seguente equazione:
1 - x = x , e cioè 1-x = x2
x 1
L’equazione precedente ha due soluzioni per x, (-1-5)/2 and (5-1)/2. La prima è negativa, per cui non soddisfa le condizioni del problema. La seconda rappresenta proprio il rapporto di sezione aurea ed è un numero irrazionale corrispondente a circa 0,618.
Il reciproco di x (1/x) viene indicato con Ø e corrisponde a 1+x, cioè circa 1,618. Molto spesso questo rapporto viene indicato come rapporto aureo e viene utilizzato nella costruzione del rettangolo aureo.La costruzione della sezione aure suggerisce la possibilità di realizzare un processo di crescita in cui si conservano costantemente i rapporti, cioè la crescita dà luogo ad organismi che rimangono sempre simili a se stessi.
Nella Storia
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Pare che questi rapporti fossero noti fin dai tempi degli egizi, in quanto si ritrovano come particolari rapporti armonici nello studio delle dimensioni della piramide di Cheope.
La piramide di Keope
Analoghe proporzioni si riscontrano anche nel Partenone di Atene.
Il Partenone
Nell’Arco di Trionfo di Costantino a Roma l’altezza dell’arco divide l’altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza fra la base e il listello inferiore.
L’arco di Costantino
In un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametro maggiore sta al diamentro del collo come 1:0,618; il listello all'altezza dei manici divide l'altezza totale in una proporzione aurea, che si riduce anche nel rapporto tra la fascia decorata a figure e la parte superiore del vaso. Esistono molti esempi di questo genere, appartenenti non solo al patrimonio archeologico della Grecia e dell'impero romano, ma anche dell'Egitto, della Persia e dell'India.
Anfora Greca
La spirale
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Un altro approccio con la Sezione Aurea può essere offerto dallo studio della Spirale Logaritmica. La caratteristica della spirale logaritmica è che la crescita del raggio per unità angolare è proporzionale al raggio stesso, cosicchè la distanza tra le volute aumenta continuamente.
La spirale logaritmica
La spirale aurea
Per ottenere la "spirale aurea", si disegna una serie di rettangoli aurei decrescenti uno dentro l'altro, sezionando ogni rettangolo in un quadrato (avente come lato il lato minore del rettangolo) e nel rettangolo aureo rimanente. Tracciando un arco di circonferenza in ogni quadrato(di raggio uguale al lato del quadrato) ed unendo tali archi otterremo una curva che si avvicina alla "spirale logaritmica" (l'equazione precisa della spirale aurea comprende il numero aureo come fattore).
La spirale aurea
La spirale aurea
In Natura
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Il nautilus è un mollusco di grandi dimensioni la cui peculiarità principale è che il suo guscio, in sezione, rappresenta una perfetta spirale logaritmica avvolta su uno stesso piano. Per la sua perfezione ha da sempre destato curiosità ed ammirazione negli scienziati che ne hanno studiato a fondo la storia evolutiva ed i segreti che la sua incredibile bellezza celavano.
La spirale e il Nautilus
Oltre al nautilus, parecchie varietà di comuni organismi marini, dal plancton alle lumache, presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie. La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali auree, inducendo i costruttori navali a dare la stessa forma alle ancore. Anche la maggior parte delle corna, delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della Via Lattea e di molte altre galassie. La spirale aurea compare nella coda delle comete e perfino nella rete di alcuni ragni.
La spirale logaritmica in natura
La spirale logaritmica e le galassie
La sezione Aurea in botanica
Se osserviamo il regno dei vegetali, ci colpisce la regolarità delle loro forme e l’infinita loro varietà.
Von Ettingshausen e Prokorni, hanno trasferito il metodo di Fibonacci in botanica.
Questi scienziati sono arrivati alla conclusione che, poiché la crescita delle piante avviene mediante divisione delle cellule, le dimensioni fondamentali delle piante delle diverse età, negli stessi periodi dell'anno, devono per forza presentarsi come la serie di Fibonacci.
La sezione Aurea in botanica
In effetti, se misuriamo lo stelo di una pianta da un germoglio all'altro (figura a sinistra), allora troviamo il rapporto AB:BC:CD:DE, ossia la serie di Fibonacci.
Ma questa regola vale a quanto pare non solo per la crescita di un germoglio della pianta, bensì per l'intera ramificazione.
La sezione Aurea in botanica
Anche la lunghezza e la larghezza della foglia di rosa, come si vede dall'immagine a sinistra, sono in rapporto aureo
Nell’ Arte
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Fin dall'antichità gli studiosi hanno cercato di ricondurre la bellezza e la perfezione della natura a rapporti armonici.
Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere una linea in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo.
Queste regole matematiche sono riscontrabili fin dall'antichità in tutte le discipline artistiche, anche i vasi e le statue raffiguranti esseri umani erano costruiti secondo la proporzione divina.
Nelle statue dell'antica Grecia, ad esempio, l'ombelico divideva l'altezza del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due segmenti dello stesso genere. Gli occhi, infine, dividevano in maniera analoga la testa.
A partire dal Rinascimento anche la tradizione europea delle belle arti ha fatto frequente e deliberato uso della proporzione divina nella forma delle tele, nelle dimensioni delle figure e in altri particolari. Anche i compositori se ne sono serviti nelle loro partiture musicali. In questo caso, il tempo sostituisce lo spazio come dimensione da dividere. L'uso musicale della proporzione divina non fu intenzionale fino al Novecento: questo convalida l'idea che la proporzione è naturalmente piacevole.
Nell'Ottocento si scoprì che un'elevata percentuale di comuni oggetti rettangolari (le carte da gioco, le finestre, le copertine dei libri, le cartelle) si avvicinavano ai rettangoli aurei. Da allora i disegnatori commerciali ed i grafici pubblicitari si sono serviti volutamente delle dimensioni auree per disegnare involucri, vetrine e manifesti.
La spirale logaritmica
e il corpo umano
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La spirale logaritmica e il corpo umano
Qui sotto vengono riportate le proporzioni dell'indice della mano che evidenziano le relazioni tra gli elementi della sua struttura ossea (2, 3, 5 ,8 sono numeri di Fibonacci)
La spirale logaritmica e il corpo umano
La spirale logaritmica e il corpo umano
La scienza delle dimensioni ideali dell’uomo era gia’ nota agli scultori della Grecia e della Roma antica.
Leonardo Da Vinci indicava la regola che l’uomo, se in piedi con gambe chiuse e braccia distese in orizzontale, può essere inscritto in un cerchio il cui centro cade sulle parte genitali. La Lunghezza totale del corpo viene dalla vita tagliata in due segmenti di cui il piu’ lungo e’ una sezione aurea.
La spirale logaritmica e il corpo umano
Lo scultore greco Policleto (ca. 420 a.C.) affermava che nell'uomo perfetto la lunghezza complessiva del corpo viene divisa dai fianchi secondo la sezione aurea. La distanza tra i genitali e la laringe viene tagliata dall'ombelico in un rapporto aureo, mentre quella tra la testa e l'ombelico è analogamente tagliata dalla laringe.
La spirale logaritmica e il corpo umano
Nel grafico a sinistra si può osservare come si ottiene, tramite la sequenza aurea, la spirale senza punto di partenza, e come, sovrapponendo quest'ultima al disegno di Leonardo - dividendo così perfettamente il corpo a metà la spirale vada ad intersecare la gamba ed il braccio contenuti nella sfera; ed il rettangolo si allinei ai piedi, all'ombelico, alla testa ed al braccio contenuti nel quadrato.
Per quanto riguarda il capo, la fronte divide l’altezza totale (ab nell’illustrazione a sinistra) determinando la sezione aurea (ac).
La fronte (cd), il naso (ce) e la parte inferiore del viso (cf) sono della stessa lunghezza.
La bocca divide la parte inferiore del viso determinando a sua volta una sezione aurea.
La spirale logaritmica e il corpo umano
In Finanza
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La sezione Aurea e i mercati finanziari
Cosa è l’Analisi Tecnica
L’analisi tecnica si concentra sullo studio del comportamento del mercato attraverso l’esame delle serie storiche dei prezzi e dei volumi non solo da un punto di vista grafico, ma anche con l’ utilizzo di indicatori, espressi da elaborazioni sui medesimi dati, che evidenziano talune particolarità dell’andamento rilevando i momenti più opportuni per l’intervento sui mercati.
Fibonacci e l’Analisi Tecnica di Base
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Ritracciamenti
Rintracciamenti
I prezzi non si muovono in linea retta ma attraverso una serie successiva di massimi e minimi. I prezzi tendono a ritracciare una certa percentuale del movimento precedente prima di riprendere la tendenza originaria.
Questi movimenti di prezzo controtendenza tendono a rispettare certi parametri percentuali ben definiti riconducibili ai valori di Fibonacci.
Rintracciamenti
38,2%50%
61,8%
0%
100%
Rintracciamenti
Molto spesso una correzione ritraccia il movimento precedente secondo una percentuale di Fibonacci: 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8% e 76,4%.
50% è anch’esso un rapporto di Fibonacci ottenuto dividendo 1 per 2
50% Tipico
38,2 % Minimo
61,8% Trend Reversal
Percentuali di Rintracciamento
Le percentuali di reazione al movimento principale non sono caratterizzate dalla medesima significatività.
I ritracciamenti più importanti sono il 50% di un dato movimento, mentre un livello minimo è 38,2%. La rottura del 61,8% segnala un potenziale trend reversal.
Percentuali di Rintracciamento
38,2%
Percentuali di Rintracciamento
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Fan Lines
0%
38,2%
50%61,8%
100%
Con la stesso principio applicato per i Ritracciamenti possono essere disegnate le FAN LINES. Queste sono dei livelli di resistenza o supporto dinamici che, per il fatto di essere inclinati, cambiano progressivamente di valore con il passare del tempo. Il fattore tempo, che non è considerato dai Ritracciamenti, viene ora introdotto dalle FAN LINES che sono una combinazione di PREZZO e TEMPO
Fan Lines
23,6%
38,2%
50%
61,8%
Fan Lines
23,6%
38,2%
50%
61,8%
Fan Lines
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Archi di Fibonacci
Gli Archi di Fibonacci utilizzano le percentuali dei ritracciamenti in modo simile a quello considerato per le Fan Lines.
I livelli dinamici di reazione al movimento principale sono rappresentati da tre Archi (38,2%, 50% e 61,8%) che identificano sia dei livelli di PREZZO che di TEMPO dove supporti o resistenze dovrebbero entrare in funzione.
Archi di Fibonacci
1998 February March April May June July August September October November December 1999
10000
2000030000
40000
5000060000
70000
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62Caterpillar (46.31, 47.88, 46.00, 46.00)
61,8%
50%
38,2%
Archi di Fibonacci
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Cicli di Fibonacci
La sezione Aurea può anche essere applicata alla DIMENSIONE TEMPORALE per prevedere quando un trend in essere potrebbe cambiare direzione.
Un ciclo puo essere definito come il periodo che separa dei massimi e/o dei minimi rilevanti in un grafico. Se proiettiamo tale periodo in avanti moltiplicandolo per i valori di Fibonacci (0,618, 1, 1,618 e 2,618) potremo trovare degli obbiettivi temporali dove dovrebbero verificarsi altrettanti massimi e/o minimi rilevanti.
Cicli di Fibonacci
Ciclo di 61 mesi
61,8%
100%
161,8%
261,8%
Cicli di Fibonacci
Ciclo di 59 giorni 61,8
%
100%
161,8%
261,8%
Cicli di Fibonacci