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Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 1

Linee di trasmissione

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica

Facoltà di IngegneriaUniversità degli studi di Pavia

Campi Elettromagnetici e Circuiti I

Sommario

• Introduzione• Equazione dei telegrafisti• Tipi di linee di trasmissione e loro caratteristiche• Coefficiente di riflessione, impedenza e

ammettenza d’onda e loro relazioni• Potenza trasmessa, incidente e riflessa• Linea senza perdite e diagramma d’onda

stazionaria• Casi particolari: linea adattata, linea in corto

circuito, linea a vuoto, linea l/2, linea l/4 • Carta di Smith

Introduzione

Finora i fili presenti nei circuiti elettrici sono sempre stati consideraticome elementi ininfluenti nel calcolo di tensioni e correnti. Il loroscopo era solo quello di indicare le interconnessioni topologiche fra ivari elementi circuitali.

Questa ipotesi è valida rigorosamente solo se il circuito opera inregime stazionario e se i fili sono realizzati con conduttori ideali(resistività r = 0) e il materiale che li separa è un dielettrico perfetto(conducibilità s = 0).

Introduzione

Nell’ipotesi che il circuito sia in regime stazionario, la resistività r ≠ 0dei materiali che costituiscono i fili determina cadute di tensione tral’ingresso e l’uscita.

generatore carico

filo di collegamento di sezione A

Rfilo = rd/A

V2+–

V1+–

Esempio:Conduttori di rame r = 20 nW/m, di sezione A = 1 mm2, lunghezza della linea d = 50 m,corrente in ingresso I1 = 1 A, tensione all’ingresso V1 = 100 V.Si ha Rfilo = rd/A = 1 W, caduta di tensione sul filo = Rfilo I1 = 1 V, V2 = 99V

Introduzione

Nell’ipotesi che il circuito sia in regime stazionario, la conducibilitàs ≠ 0 del materiale che li separa determina una dispersione dicorrente tra l’ingresso e l’uscita.

generatore carico

filo di collegamento di sezione A

Gisolante V2+–

V1+–

Esempio:Conduttanza equivalente dell’isolante Gisolante = 0.1 mS, lunghezza della linea d = 50 m,corrente in ingresso I1 = 1 A, tensione sulla linea V2 V1 = 100 V.Si ha I2 = I1 Gisolante V1 = 0.99 A

Introduzione

Nell’ipotesi che il circuito sia in regime non stazionario, ancheconsiderando conduttori ideali e dielettrici perfetti, a causa dei campielettrici e magnetici variabili vi sono effetti di tipo induttivo ecapacitivo lungo i fili.

generatore carico

V2+–

V1+–

Introduzione

Se la frequenza massima di lavoro non è troppo elevata, lo studio delle variazioni ditensione e corrente lungo le linee di collegamento può essere condotto nell’ipotesiche il campo elettrico e quello magnetico su ogni sezione abbiano la stessa formadei campi stazionari. In questo caso, è possibile studiare il fenomeno con lacosiddetta “teoria elementare delle linee di trasmissione” che si basa sui concetticircuitali introdotti finora.Una trattazione più rigorosa, che verrà svolta nei successivi corsi di campielettromagnetici, permetterà di meglio capire i limiti di questa teoria e di ottenere lasoluzione esatta del problema.

generatore carico

linea di trasmissione

Equazione dei telegrafisti

generatore carico

LdzRdz

CdzGdz

R = resistenza per unità di lunghezza [W/m]L = induttanza per unità di lunghezza [H/m]G = conduttanza per unità di lunghezza [S/m]C = capacità per unità di lunghezza [F/m]

generatore carico

caricogeneratore

Una linea di trasmissione può essere considerata come una cascatadi infiniti circuiti di lunghezza infinitesima dz, ciascuno costituito dauna resistenza in serie a un’induttanza e da un elemento conduttivoin parallelo ad uno capacitivo.

LdzRdz

CdzGdz

)()()()()()()()(

zLdzjRdzdzzzdzzCdzjGdzdzzz

IVVVII

I(z) I(z+dz)

V(z+dz)+

)()( )()(

zLjRdz

dzzCjGdz

dz lim

)()()(

zLjRdz

zCjGdz

Queste due equazioni sono dette equazioni dei telegrafisti.

Esse mostrano come la tensione e la corrente lungo una linea possa

cambiare a causa delle sue non idealità

Soluzione dell’equazione dei telegrafisti

)()()( )()()( zCjGdz

zdzLjRdz

zd VIIV

)())(()()()(2

zCjGLjRdz

zdLjRdz

zd VIV

Derivando la prima equazione rispetto a z e sostituendo si ottiene:

))(()( 22 CjGLjRjk

Introducendo la quantità complessa

si può scrivere:

0)()( 22

0)()()( 22

La soluzione dell’equazione

è del tipo

zjjzjjz)(

ee ee)(

Dove e sono costanti arbitrarie che, come vedremo, si possonocalcolare una volta che siano note le caratteristiche del carico e delgeneratore collegati alla linea.

Quale fenomeno fisico descrivono queste funzioni fasoriali?

zjzj )(0

)(0 e e VV

)argcos(ωe||)(

βzttv

Passando al dominio del tempo si ha:

Sono funzioni periodiche di periodo T=2p/ rispetto al tempo, masono anche periodiche di periodo l=2p/ rispetto alla variabilespaziale z.Pertanto si può scrivere:

)arg2cos(2e||)(

)argcos(ωe||)()argcos(ωe||)(

βzttvβzttv

)arg2cos(2e||)( 00 VV

Tttv z

Plot animato

Tttv z

La funzione v+(t) è quindi un’onda che si propaga lungo la lineanel verso positivo dell’asse z e che si attenua esponenzialmente.

Le costanti che appaiono nell’espressione di v+(t) prendono iseguenti nomi:

= costante di attenuazione [1/m]

= costante di fase [rad/m]

l = lunghezza d’onda [m]

Tttv z

Con quale velocità si muovono le creste dell’onda?

Se un osservatore è nell’origine (z=0) all’istante t=0 e si muove nella direzionez con velocità v=z/t, esso avrà la stessa velocità dell’onda se per luil’argomento della funzione coseno rimane costante:

)( costantearg22 0 tz, zTt

lpp ff

Tt 2 022

Tttv z

Plot animato

La funzione v(t) è quindi un’onda che si propaga lungo la lineanel verso negativo dell’asse z e che si attenua esponenzialmente.

Tttv z

22)( 22222 jjjk

Solitamente l’attenuazione lungo la linea è abbastanza piccolarispetto alla costante di fase (<<) e si può quindi scrivere:

)())(( 22 GLRCjLCRGCjGLjRk

Ricordando che:

si ottiene:

RGLCGLRCRGLC

Normalmente, anche a frequenze relativamente basse, è benverificata l’ipotesi R << L e G << C.

Ad esempio, valori tipici per una linea possono essere R = 0.02 W/m, G = 0.01 mS/m,C = 0.1 nF/m e L = 0.25 mH/m. Assumendo = 1 Mrad/s si ha R L/10 eG C/10.

Si può quindi scrivere:

LCGLRC

RGLCGLRC

LCRGLC

Sostituendo l’espressione

nell’equazione

zjzjz )(0

)(0 ee)( VVV

)()()( zLjRdz

si ottiene

La quantità

GLRCLjR

è detta impedenza caratteristica della linea di trasmissione.

Nell’ipotesi R << L e G << C si ha

Cosa non è l’impedenza caratteristica?

ZLZ0ZLZ0

L’impedenza caratteristica non è un carico equivalente che puòessere sostituito all’interno del circuito al posto della linea!

Soluzione dell’equazione dei telegrafistiRiassumendo:

)()()(

zLjRdz

zCjGdz

200 GZZR

LCGLRC

Soluzione dell’equazione dei telegrafistiL’andamento generale di tensioni e correnti sulla linea è quindi:

)argcos(ωe)argcos(ωe)(

)argcos(ωe||)argcos(ωe||)(

ZZβzt

βztβzttv

che nel dominio del tempo risulta:

Soluzione dell’equazione dei telegrafistiGraficamente l’andamento di tensioni e correnti sulla linea risulta:

Plot animato

Tipi di linee: linea bifilare

campo elettricocampo magnetico

er e0 mr m0

Per sufficientemente grande (R << L, G << C):

r lnln1 0

dove WW 377 120/ 000 pem

Solitamente si ha mr = 1:

r lnln 000 ep

Tipi di linee: filo su piano di massa

er e0 mr m0

piano di massa

Tipi di linee: filo su piano di massa

er e0 mr m0

Per sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha:

ln00 ep

Tipi di linee: cavo coassiale

er e0 mr m0

CLZ ln

DDRzVzR

ieR p 2

)(),( )/ln(

)(),( uHuE

Attenuazione d = outside diameter of inner conductor in mm

D = inside diameter of outer conductor in mm

er = relative dielectric constant

f = frequency in GHz

rrd = inner conductor material resistivity relative to copper

rrD = outer conductor material resistivity relative to copper

d = loss angle

Attenuazione: esempio pratico

Perché 50W di impedenza caratteristica?Standardizzato intorno al 1930, rappresenta un buon compromesso tra perdite e potenza massimatrasmissibile (per cavo in aria): è una via di mezzo tra la media aritmetica (53.3 W) e quellageometrica (48 W) tra 30 W (massima potenza) e 77 W (perdite minime)

Cavo in aria, diametro conduttore esterno 10 mm, f = 10 GHz.

Per uso commerciale (bassa potenza), l’impedenza caratteristica standard è tipicamente 75 W.Sembrerebbe naturale poiché abbiamo visto che un’impedenza di 77 W minimizza le perdite. Ma nonè così! Se il cavo non è in aria, il valore di Z0 che minimizza le perdite cambia con er e, nel caso tipicodi er 1.5, il valore ottimo sarebbe intorno ai 60 W.

Allora perché 75 W?

Il conduttore centrale di cavi a bassocosto è spesso realizzato in acciaio ericoperto in rame. Poiché impedenzecaratteristiche basse richiedonoconduttori interni di sezione maggiore,la scelta dei 75 W è probabilmente stataun buon compromesso fra basseperdite e flessibilità del cavo.

Tipi di linee: cavo coassialePerché 75W di impedenza caratteristica?

Come scegliere?I parametri da considerare sono molteplici:

Misure a Microonde Prof. Luca Perregrini Cavi coassiali, pag. 41

Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 42Misure a Microonde Prof. Luca Perregrini Cavi coassiali, pag. 42

Esempio di struttura reale

Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 43Misure a Microonde Prof. Luca Perregrini Cavi coassiali, pag. 43

Tipi di linee: linea bifilare schermata

er e0 mr m0

Tipi di linee: linea bifilare schermata

er e0 mr m0

)()(2ln

hDdhDhL

hDdhDh

)()(2ln 22

0 hDdhDh

Tipi di linee: linea a striscia (stripline)

er e0 mr m0

piani di massa

Tipi di linee: microstriscia

h er e0 mr m0

piano di massa campo elettrico

Coefficiente di riflessione

)()(ee)( )(0

)(0 zzz zjzj VVVVV

zjzjzj

zzz )(2)(2

)(0 e)0(eee

)()()(

Z0, , ZL

Il rapporto fra la tensione dell’onda riflessa (che si propaga nel verso negativo di z)e la tensione dell’onda incidente (che si propaga nel verso positivo di z) si definiscecoefficiente di riflessione :

(z) L=(0)

Z0, , ZL

Il rapporto fra la tensione e la corrente in ogni sezione z viene detto impedenzad’onda:

Impedenza d’onda

zjzjzjzj

ZZzz )(

)(0 ee)( ee)(

VVIVVV

)(1)(1

e)0(1e)0(1

e/1e/1

)()()(

ZZzzzZ

ZL=Z(z)

Z0, , ZL

Il rapporto fra la corrente e la tensione in ogni sezione z viene detto ammettenzad’onda:

Ammettenza d’onda

zjzjzjzj

ZZzz )(

)(0 ee)( ee)(

VVIVVV

)(1)(1

e)0(1e)0(11

e/1e/11

)()()(

ZzZzzzY

YL=Y(z)

Relazioni fra , Z e Y su una sezione z

)(1)(1)( 0 z

zjzjzj

zzz )(2)(2

)(0 e)0(eee

)()()(

YzYYzY

ZzZZzZz

Relazioni fra su diverse sezioni

/42)(2

ee)(e)(

)()()(

dzdzdz

Z0, , ZL

z0(zd) z(z)zd

�1.0 �0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5

Relazioni fra su diverse sezionilp /42 ee)()( djdzdz

(z) = 0.9+j0.3(zl/2) = 0.667+j0.222

Esempio:a = 0.1 m1

l = 1 m (z2l) = 0.27+j0.09

Relazioni fra impedenze su diverse sezioni

Z0, , ZL

z0Z(zd) zZ(z)zd

djzZZdjZzZZ

ZzZZzZZzZZzZ

dzdzZdzZ

)(tanh )()(tanh )(

e)()(1

e)(1e)(1

)(1)(1)(

Relazioni fra ammettenze su diverse sezioni

Z0, , ZL

z0Y(zd) zY(z)zd

djzYYdjYzYY

YzYYzYYzYYzY

dzdzYdzY

)(tanh )()(tanh )(

e)()(1

e)(1e)(1

)(1)(1)(

Relazioni ingresso/uscita per , Z, Y

Z0, , ZL

z0L, ZL, YL

I, ZI, YI

lp /42)(2 eee djdL

djZZdjZZZZ

LI )(tanh

)(tanh

djYYdjYYYY

LI )(tanh

)(tanh

Potenza lungo la linea

Z0, , ZL

z0z(z), Z(z), Y(z)

))(Im(2

)(1)()(1e2

)()()()(1Ree22

)()(Re)(2

La potenza attiva che attraversa nel verso positivo una qualunque sezione z è datada:

)(1e)( )(1e)( )(

0)(0 z

Zzzz zjzj

Z0, , ZL

z0z(z), Z(z), Y(z)

)()()(1)(2

)()(Re)( riflinc2

zPzPzzPzzzP

0inc e

68.810ln

1010ln

eln10 elog10 e

elog10)(

)(log102

210)(2

)(inc zP )(inc dzP

L’attenuazione in decibel tra le sezioni z e z+d risulta:

dB = 8.68

Casi particolari: linea senza perdite

Z0, ZL

z0L, ZL, YLI, ZI, YI

LI ee /4)(2 lp

djZZdjZZZ

djZZdjZZZZ

tantan

)(tanh )(tanh

djYYdjYYY

djYYdjYYYY

tantan

)(tanh )(tanh

Diagramma d’onda stazionaria

|e1|||)e1(e|)(|

|e1| |||)e1(e||)(|

Al variare di z, le ampiezze della tensione e della corrente variano fradue estremi:

maxminmaxmin |)(| |)(| IzIVzV IV

|)|1(|| |)|1( ||

0max0max

0min0min

�1.4 �1.2 �1.0 �0.8 �0.6 �0.4 �0.2 0.0

|e1||e1|

2.01.0 jL |e1|||)e1(e|)(|

|e1| |||)e1(e||)(|

reale positivo

reale negativo

Si definisce rapporto d’onda stazionaria la quantità

||1||1

E’ evidente che

Si ha:

11||||

ROSROS

�1.4 �1.2 �1.0 �0.8 �0.6 �0.4 �0.2 0.0

|e1||e1|

2.01.0 jL Ricordando che

)(1)(1)( 0 z

11||||

ROSROS

= ||, Z(z) = Zmax = Z0 ROS

= ||, Z(z) = Zmin = Z0/ROS

Casi particolari: linea senza perdite

0 )(12

PPzP LI V

Poiché la linea è senza perdite la potenza che giunge al caricocoincide con quella d’ingresso:

||1||1

|| max0max0

Tenendo conto delle relazioni

si ottiene

ROSZVPPzP LI 22

)(2max0

Casi particolari: linea adattata

Z0, , ZL

0e 0 )(2 djLIL

)(tanh )(tanh ZZdjZZdjZZZZ I

)(tanh )(tanh YYdjYYdjYYYY I

ZL = Z0YL = Y0

Casi particolari: linea adattata

Poiché non vi è riflessione sul carico ((z) = L = 0) si ha:

ZzPzzPzP 2

2inc e

2)()(1)()(

quindi

dIL PP 2e

Casi particolari: linea in corto circuito

lp /42)(2

0 eee 1 djddjLI

djZdjZZdjZZZZ

LI )(tanh

)(tanh )(tanh

djYYdjYYYY

LI )(tanh

1 )(tanh )(tanh 0

ZL = 0YL = ∞

0.5 1.0 1.5 2.0

�400

�200

/4 cos2cosh /4sin )Im(

/4 cos2cosh 2sinh )Re(

dddjZZX

dddZZR

corto circuito

circuito aperto

lp /4e 1 djIL

vdjZdjZdjZZ I

lp tan2tantan 000

2cos2ee

2sin2ee

�1.4 �1.2 �1.0 �0.8 �0.6 �0.4 �0.2 0.0

|2cos|2

|2sin|2

ROS=∞

|2cos|||2||

|2sin|||2||

Casi particolari: linea a vuoto

djZZdjZZZZ

LI )(tanh )(tanh

)(tanh 0

djYdjYYdjYYYY

LI )(tanh

)(tanh )(tanh

ZL = ∞YL = 0

lp /42)(2

0 eee 1 djddjLI

Casi particolari: linea a vuoto

lp /4e 1 djIL

vdjYdjYdjYYI

lp tan2tantan 000

2sin2ee

2cos2ee

Casi particolari: linea l/2 senza perdite

Z0, , ZL

LI lp /42)(2 eee

jZZjZZZ

djZZdjZZZZ

tanh tanh

)(tanh )(tanh

djYYdjYYYY

)(tanh )(tanh

dd = l/2, = 0d = p , d = 0

0tanh pj

ZZZZjj

Poiché:

ILIL IIVV

si ha:

indipendentemente dal valore del carico

Z0, , ZL

LI lp /42)(2 eee

ZjZZjZZZ

djZZdjZZZZ

00 2/tanh

2/tanh )(tanh )(tanh

YdjYYdjYYYY

00 )(tanh

)(tanh

pjtanh

d = l/4, = 0d = p/2, d = 0

Poiché:

ZjjZ I

LILVIIV

si ha:

indipendentemente dal valore del carico

Collegando in parallelo gli ingressi di N linee l/4 chiuse su carichi Z1,Z2, …, ZN, le correnti sui carichi risultano tutte in fase e dipendonosolo dalla tensione d’ingresso e dalle impedenze caratteristiche dellelinee.

ZjZjZj

VIVIVI

Z02 Z2

Matrice di trasmissione di una linea

La matrice di trasmissione è comunemente utilizzata per descriverele relazioni fra tensioni e correnti all’ingresso e all’uscita di una linea.

V2Z0, ,

zjzjzjzj

ZZzz )(

)(0 ee)( ee)(

VVIVVV

)0(ee)(

VVIIVVII

VVVVVVVV

In z = 0 e z = d si ha:

V2Z0, ,

Eliminando e dalle precedenti equazioni, si ricava:

)cosh()sinh(

)sinh()cosh(

V2Z0, ,

V0+–

V2Z0, ,

Vogliamo calcolare i valori di VA e ZA affinché il circuito

Sia equivalente a

VA+–

V0+–

V2Z0, ,

gggg ZZZZ22010

BIAVVVVDICVI

da cui:

Poiché per il circuito equivalente si ha:VA

+–+–

confrontando con la formula

Si ottiene

La potenza disponibile del generatore equivalente risulta:

)Z)(Z/(Re

ReZReZ

ReZ8ZRe8

CADBCA

Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0)

)sinh(ZZ

)cosh(

)cosh(Z)sinh(ZZZ

djddjddjddjddjd

eeeeeeeeee

)sinh(ZZ

)cosh(Z

djddjddjddjd

eeeeeeee

Pdjdjdjdj

)cosh()sinh(

))sinh())(cosh()cosh()(sinh(Re

)Z)(Z/(Re

dddA ePP 2

djdA ee 0VV

V0+– Z0, ,

VA+–

Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0)linea senza perdite ( = 0)

ddA PP

djA e 0VV

V0+– Z0, ,

VA+–

Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0), linea senzaperdite ( = 0)

ddA PP

djA e 0VV

V0+– Z0, ,

VA+–

ZAN.B.:cambia solo la fase della tensione

Carta di Smith

jvujvu

ZzZzXjzRzZ

)(1)(1)()()()(

Si definisce l’impedenza normalizzata:

)()()()(Z

zZzXjzRzZ

Indicando con u e v la parte reale e immaginaria di ( = u+jv) si ha :

),( XR ),( vu

Esiste una relazione biunivoca fra le coppie e le coppie (u,v):),( XR

Carta di Smith

XjRZ jvu

Quali curve descrivono e sul piano (u,v)?costcost XR

Carta di Smith

jvujvuXjR

RRucostR

costX 2

22 111

Carta di Smith

RRucostR

Circonferenze con centro nel punto e raggio

Carta di Smith

XjRZ jvu

5.0R2.0R

0.50.20 2

costX 2

22 111

Carta di Smith

Circonferenze con centro nel punto e raggio

X1 , 1

Carta di Smith

XjRZ jvu

0.50.2

Carta di Smith

z0L, ZLI, ZI

lp /42 ee djdLI

djZZdjZZZZ

LI )(tanh

)(tanh

Z0, , ZL

punto notevole

Carta di Smith

)(1)(1)()()()(

0 zZjvujvu

YzYzBjzGzY

Se si definisce l’ammettenza normalizzata:

)()()()(Y

zYzBjzGzY

Indicando con u e v la parte reale e immaginaria di ( = u+jv) si ha :

Carta di Smith

Con la Carta di Smith è immediata la trasformazione da impedenzaad ammettenza e viceversa.

Carta di Smith

altri dati

Carta di Smith

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