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ESERCIZI CIRCUITI MAGNETICI

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2 Circuiti magnetici 

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 4

 N1i1   i2

0

S

 N2

 

Assumendo che la permeabilità μ  del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,

determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

2

11

3

2

R 

 N  L   =  

0

2

22 3

2

R 

 N  L   =  

0

21

3R 

 N  N  M  =   ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

μδ

=S 0

0R   

Esercizio n. 5

 N1   N2

S

0

i1   i2

 

Assumendo che la permeabilità μ  del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

2

11

3R 

 N  L   =  

0

2

22

3

2

R 

 N  L   =  

0

21

3R 

 N  N  M    −=   ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

μδ

=S 0

0R   

Esercizio n. 6

 N1   N2   N3

i

S0

 

Assumendo che la permeabilità μ  del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,

determinare l’induttanza dell’avvolgimento.

Risultato

0

323121

2

3

2

2

2

1

3

)(2

R 

 N  N  N  N  N  N  N  N  N  L

  −++++=   ⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜

⎝ 

⎛ 

μδ

=S 0

0R   

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Circuiti magnetici  3

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 7

S

 N1

i1

i2

0

 N2

 

Assumendo che la permeabilità μ  del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,

determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 76

R 

 N  L   =  0

22

2 76

R 

 N  L   =  0

21

7R 

 N  N  M  =   ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ 

μδ=S 0

0R   

Esercizio n. 8

 N1

i1

i2 N2

 

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale

ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due

avvolgimenti.

Risultati

0

2

11

5

3

R 

 N  L   =  

0

2

22

5

2

R 

 N  L   =  

0

21

5R 

 N  N  M    −=  

Esercizio n. 9

 N1   N2i1   i2

 

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale

ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due

avvolgimenti.

Risultati

0

2

11 2

3

R 

 N  L   =  

0

2

22 2

3

R 

 N  L   =  

0

21

R 

 N  N  M  =  

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4 Circuiti magnetici 

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 10

 N

 N   2N

i1

i2  

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale

ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due

avvolgimenti.

Risultati

0

2

1

3

2

R 

 N  L   =  

0

2

2

3

14

R 

 N  L   =  

0

2

3R 

 N  M  =  

Esercizio n. 11

 N1   N2  N1

i1   i1i2

 Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale

ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due

avvolgimenti.

Risultati

0

2

11

R 

 N  L   =  

0

2

22

R 

 N  L   =  

0

21

R 

 N  N  M  =  

Esercizio n. 12

 N2 N /21 N /21

i1

i2

 

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale

ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due

avvolgimenti.

Risultati

0

2

11

4

5

R 

 N  L   =  

0

2

22

R 

 N  L   =  

0

21

2R 

 N  N  M    −=  

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Esercizi sui circuiti magnetici

Esercizio  1. Nel circuito magnetico illustrato calcolare, trascurando la riluttanza del ferro, i

coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due

avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 8 cm2, δ = 0.3 mm, N1 = 200, N2 = 100).

Soluzione

Il circuito equivalente “elettrico” si deduce

immediatamente dalle linee d’asse dei

gioghi e delle colonne del circuito

magnetico. La riluttanza R   del traferro di

spessore δ è calcolabile come:

15

0

H10984.2S

−×=µ

δ=R   

Le forze magnetomotrici si deducono, per

quanto riguarda il modulo, dal prodotto del

numero di spire nell’avvolgimento per la

corrente che le attraversa e, per quanto

riguarda il verso, con la regola della vite

destrogira, tenuto conto dei versi assegnati

per le correnti.

Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami

in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due

nodi del circuito è calcolabile direttamente

utilizzando il Teorema di Millman:

21

212

AB i80i401

2

11

i100

2

i200i100

+=

++

++

=ψ 

R R R 

R R R  

( )

( )

+−=ϕ=ϕ

−=ϕ⇒

ϕ−=ψ 

ϕ−=ψ 

ϕ−=ψ 

R 

R 

R 

R 

R 

 / i20i40

 / i40i80

i100

2i200

i100

2132

211

32AB

11AB

22AB

 

Dalle caratteristiche dei tre rami si

deducono quindi direttamente i flussi su

ogni ramo:

I flussi concatenati ai due avvolgimenti,

con i versi di riferimento scelti, sono

dati da: Φc,1 = 200 ϕ1 , Φc,2 = 100 ϕ2 + 100 ϕ3 

R

2 R200 i1 

R

100 i2 

100 i2 

ϕ2 

ϕ3 

ϕ1 

AB

N1 

δ  N2 i1 

2δ 

N2 

i2 

δ 

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I coefficienti di auto e mutua induzione si calcolano quindi direttamente dalle definizioni:

mH6.53i

ΦL

0i1

1c,

1

2

===

  mH8.26i

ΦM

0i2

1c,

1

−===

  mH4.13i

ΦL

0i2

2c,

2

2

===

 

Esercizio  2. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato, calcolare i

coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due

avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 6 cm2, δ = 1 mm, N1 = 100, N2 = 200)

N2

δ

N1

δ

δ

δ

φ  

i1

i2

2δ

L1 = 3.77 mH L2 = 22.6 mH M12 = 7.54 mH

Esercizio  3. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del

flusso di induzione magnetica φ con il verso di riferimento indicato in figura supponendo che gli

avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = −2 A e i2 = 4 A.

φ = − 0.15 mWb

Esercizio 4. Determinare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento illustrato (la sezione

del circuito magnetico è 16 cm2

, N1 = N3 = 30, N2 = 10).

N1 

1 mm 

N3 N2 

1 mm 

3 mm 

1 mm 

1 mm 

L = 0.2 mH

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Esercizio 5. Trascurando la riluttanza dei tratti in ferro, calcolare il flusso sul ramo AB del circuito

magnetico assegnato (sezione 10 cm2)

2 A 

N1 = 30 

0.5 mm 

3 A 

N2 = 40 

0.5 mm 

1 mm 

0.5 mm 

0.5 mm 

0.1 mm 

A 

B 

φAB 

φAB = 0.19 mWb

Esercizio 6. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato in sezione calcolare

il coefficiente di auto induzione dell’avvolgimento (la lunghezza assiale è 20 cm, il raggio del

cilindro interno è R = 50 mm, l’apertura angolare di ogni polo 60°, δ0 = 1 mm, δ1 = 0.1 mm, t =10

mm, N = 100)

L = 233 mH

Esercizio  7. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del

campo di induzione magnetica nei traferri δ0  supponendo che l’avvolgimento sia percorso dalla

corrente i = 2 A .

Β = 0.22 T

i

N

N

R

t

δ1 

δ0 

δ0 

δ1 

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