Elettromagnetismo

E lo studio deli fenomeni collegati alle cariche elettriche in quiete o inmovimento

Alcuni fenomeni sono stati osservati fin dall’antichita sull’ambra(electron) e su materiali provenienti da una cava vicina alla citta diMagnesia

Le forze che tengono insieme gli atomi e le molecole

Protoni ed elettroni si attraggono e si legano a formare atomi

Le applicazioni sono tantissime: luce elettrica, forno a microonde,cellulari, radio e televisione

In medicina: radiografie, risonanza magnetica, PET e vari strumentidi diagnosi

Radioterapia e adroterapia per i tumori, laser per la chirurgia

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Outline

Inizialmente si studia l’interazione di cariche puntiformi

Si introduce quindi il campo elettrico

Poi le distribuzioni di carica superficiali e volumetriche

Per semplificare i problemi con elevata simmetria e per alcuni risultatiteorici, si usano il concetto di flusso ed il teorema di Gauss

Con questo si possono studiare i conduttori, ed i condensatori inparticolare

Si vede che il campo elettrico porta energia

Si studiano i dipoli, che sono i ”mattoni” elementari utili per capiregli isolanti

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Atomi

Sono costituiti da un nucleo fatto da cariche positive e neutre(protoni e neutroni) e da particelle piu esterne negative (elettroni)

Protoni e neutroni hanno massa quasi 2000 volte piu grande deglielettroni

Protoni e neutroni sono tenuti insieme dalle interazioni nucleari forti

Gli elettroni si possono pensare come fossero pianeti che giranoattorno al nucleo

La loro forza centripeta e data dall’attrazione elettrica tra protone edelettrone

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Quantizzazione e conservazione della carica elettrica

La carica elettrica e quantizzata: le cariche piu piccole misurate sonoquelle del protone, positiva, indicata con +e e quelal dell’elettrone,negativa, indicata con −e; queste sono tra loro opposte. Tutte lealtre cariche osservate sono multiple di queste

I quark, se esistono, hanno carica ±23e oppure ± 1

3e, ma queste nonsono mai state osservate da sole

La carica elettrica totale di ogni reazione e conservata: non si sonomai osservate sparizioni o creazioni di carica elettrica, neppurequando la materia si trasforma in energia.

materia e antimateria devono avere cariche elettriche opposte,altrimenti non si potrebbero annichilare

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Densita di carica

Spesso conviene trattare la carica come un continuo, anche se so chee quantizzata.

Si puo distribuire sulla superficie, quindi posso definire la carica perunita di superficie come

σ =

∑i qiS

σ e la densita di carica superficiale

questo avviene di solito sui conduttori

si puo distribuire nello spazio, dove ho

ρ =

∑i qiV

ρ e la densita di carica volumetrica

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Forza tra cariche

Sperimentalmente trovo che la forza tra protone ed elettroneeattrattiva e vale

F =k

r2

k vale 2.308 · 10−28 N ·m2

La forza tra due protoni e tra due elettroni e la stessa in modulo maopposta in verso, quindi e repulsiva

La forza che agisce tra due cariche qualsiasi e proprzionale a ciascunadelle cariche

l’unita di misura della carica nel SI e il Coulomb ed e tale che lacarica del protone vale

e = 1.6022 · 10−19 C

Quando si dice che su di un corpo e presente una certa carica elettrica,significa che quella e la differenza tra carica positiva e negativa

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Campi

Come si trasmette la forza?

La meccanica quantistica relativistica stabilisce che avvienescambiando particelle

Nella fisica classica abbiamo l’azione a distanza

Se mettiamo una carica (di prova) q0 in presenza di un’altra carica q,c’e una forza tra le due: dico che q crea un campo

Una particella carica in un campo elettrico e magnetico sente unaforza (di Lorentz)

~FL = q(~E + ~v × ~B

)Diciamo che ~E e il campo elettrico e ~B e il campo magnetico

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Carica puntiforme

E una carica le cui dimensioni possono essere trascurate

Genera un campo elettrico della forma

~E =1

4πε0εr

Q

r2r

ε0 e una costante universale che vale

ε0 = 8.85 · 10−12N ·m2/C 2

εr dipende dal materiale nel quale si trovano le cariche ed e sempreεr ≥ 1. Nel vuoto εr = 1

La forza tra due cariche puntiformi ha quindi modulo

F =1

4πε0εr

q1 q2r2

Legge di Coulomb

Ha per direzione la retta congiungente le due cariche ed e attrattivase le cariche hanno segno opposto, repulsiva altrimenti

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Principio di sovrapposizione

Se ho due cariche q1 e q2, queste generano campi elettrici ~E1 ed ~E2

Dall’espressione per la forza di Lorentz, per cariche in quiete vedo che

~F = q~E

Una carica di prova q0 sarebbe soggetta alle forze

~F1 = q0~E1 e ~F2 = q0~E2

e quindi ad una forza totale

~F = ~F1 + ~F2 = q0(~E1 + ~E2)

Ne deduco che anche il campo elettrico e un vettore e che vale ilprincipio di sovrapposizione per cui

~E = ~E1 + ~E2

Il campo elettrico generato da due cariche e uguale alla somma deicampi elettrici generati separatamente da ciascuna delle cariche

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Flusso di un campoattraverso una superficie

Disegno le linee di campo, alle quali il campo e tangente in ogni punto

Le linee sono tanto piu fitte quanto piu il campo e intenso

Definisco il flusso Φ attraverso una superficie come una quantitaproporzionale alle linee del campo che attraversano la superficie

Per una superficie con normale che fa un angolo θ col campo elettricosara Φ(E ) = E · S · cos(θ)

Considero positive le linee che vengono da un verso, negative da versoopposto (angolo maggiore di 180o)

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Teorema di Gauss

Se la sorgente del campo e esterna a una superficie chiusa, tante lineeentrano quante escono: il flusso e quindi nulloSe la sorgente e interna, non importa in quale punto la metto, le lineeche escono sono sempre le stesse e quindi anche il flussoSe deformo la superficie questo non canbia, e importante solo saperese la sorgente sta dentro o fuoriSe prendo una superficie sferica con una carica nel mezzo, il flusso eproporzionale a

Φ =Q

4πε0εr r2· 4πr2 =

Q

ε0εrQuindi posso dire che questo e vero per ogni superficie chiusa

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Teorema di Gaussforma matematica

Posso scrivere il flusso come un integrale

Se ho piu cariche il flusso si somma, dato che cosı fanno i campielettrici

Ogni flusso dovuto a cariche interne da’ un contributo Φ = Qε0εr

Ogni carica esterna da’ un contributo nullo

Formalmente posso scrivere il teorema di Gauss

Φ =

∫S

~E · n =Qint

ε0εr

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Conduttori

All’equilibrio le cariche non subiscono alcunaforza, altrimenti si muoverebbero

Fanno eccezione le cariche sulla superficie,dove si possono muovere solo paralellamentealla superficie

Ne deduco che1 Il campo elettrico nell’interno e nullo2 Sulla superficie ~E deve essere perpendicolare alla superficie

Posso calcolare ~E sulla superficie dal teorema di Gauss

Φ =Q

ε0εr= E · S

Dividendo per la superficie

E =σ

ε0εr

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CondensatoriCondensatori piani

Due superfici conduttrici piane e parallele formano un condensatorepiano

Se c’e una carica Q sulla prima superficie, ci deve essere una caricaopposta sull’altra (per il teorema di Gauss)

Il sistema ha simmetria per traslazione in due direzioni, e il campoelettrico deve essere perpendicolare alle superfici ed uniforme

Il campo elettrico vale σε0εr

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CondensatoriCondensatori cilindrci

E costituito da due cilindri coassiali, di raggio R1 e R2

Posso calcolare il campo elettrico attraverso una superficie coassialedi raggio r

Il teorema di Gauss, applicato ad un cilindro di lunghezza L e raggior , con R1 < r < R2 da’

E (r) · 2π r L = Q/ε = σ · 2π R1 L/ε

con ε = ε0 · εr . Ne deduco che

E (r) =σ

ε

R1

r

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Energia di un condensatore

Immagino di fare del lavoro per caricare un condensatore piano,inizialmente scarico

Dopo averci portato una carica dq, compare un campo elettricocontrario dq/Sε.

Dopo aver ripetuto questa operazione un certo numero di volte, cisara una carica q sul condensatore, e uun campo contrario q/Sε

Per portare un’altra carica elettrica dq devo quindi fare un lavorocontro il campo dato da

dW = dq · q

Sε· d

Per calcolare il lavoro totale, devo integrare al variare della carica tra0 e Q

W =

∫ Q

0

q

Sεd dq =

Q2

2Sεd

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Densita di energiadel campo elettrico

Dove risiede l’energia nel condensatore?

Posso immaginare che sia distribuita nello spazio tra le armature

Calcolo allora la densita di energia

w =Q2d

2Sε

/(S · d) =

1

2ε

(Q

S

)2

=σ2

2ε=

1

2εE 2

Questo risultato e del tutto generale, e non limitato al caso delcondensatore piano. L’energia del campo elettrico e quindi distribuitauniformemente nello spazio con densita

w = 12εE

2

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Dipolo elettrico

E costituito da due cariche elettriche opposte a distanza piccolarispetto a quella dove si osserva il campo elettrico

Il prodotto carica×distanza si chiama momento di dipolo elettrico

Il campo elettrico del dipolo va a zero, per grandi distanze, come 1r3

.Quindi ci si ”accorge” del dipolo solo per le sostanze neutre

Gli atomi delle sostanze isolanti diventano dipoli sotto l’azione di uncampo elettrico esterno

i dipoli di queste sostanze scheramano il campo elettrico

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Dipolo elettrico

Sul dipolo, in un campo elettrico agisce un momento torcente dimodulo τ = qE · b = qE · d · sin(θ) = pE sin(θ)

Se considero il verso di rotazione, vedo che posso scrivere l’equazionevettoriale

~τ = ~p × ~E

Per spostare un dipolo in un campo elettrico devo fare del lavoro,quindi c’e un’energia potenziale associata alla posizione del dipolodata da

U = −~p · ~EMarcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13