Metodi numerici per equazioni integrali

LUISA FERMOSito Web: http://bugs.unica.it/∼luisaIndirizzo email: fermo@unica.it

Dipartimento di Matematica e InformaticaLe equazioni integrali sono oggetto di studio in vari settori della matematica. Intervengono, infatti, nella:

1.modellistica matematica in quanto sono essenziali nella trattazione di rilevanti problemi di interesse applicativo;2. analisi funzionale visto che e essenziale identificare matematicamente gli ambienti nei quali cercare e caratterizzare le loro soluzioni;3.analisi numerica dato che la generalita delle equazioni integrali non puo essere risolta analiticamente. Per la loro risoluzione e, quindi, indispensabile sviluppare

metodi di calcolo precisi, stabili e computazionalmente non troppo onerosi.

Cosa sono e come si classificano

Le equazioni integrali [4] sono equazioni in cui la funzione incognita sipresenta sotto il segno di integrale. Esse sono classificate in:

1. Equazioni integrali di Fredholm se gli estremi di integrazione (sia finitiche infiniti) sono fissati. Una classica equazione di Fredholm si scrive come:

λ(y)f (y) +

∫ b

ak(x, y)f (x)dx = g(y), y ∈ [a, b]

dove λ e una funzione nota, f e la funzione incognita, k e g sono funzioniassegnate dette, rispettivamente, nucleo e termine noto. A seconda dellafunzione λ, tali equazioni si classificano ulteriormente in equazioni di primaspecie se λ(y) ≡ 0, ∀y ∈ [a, b] e di seconda specie se λ(y) e costanteper ogni y ∈ [a, b].

2. Equazioni integrali di Volterra se gli estremi di integrazione non sonofissati. Le piu frequenti si scrivono come

λ(y)f (y) +

∫ y

ak(x, y)f (x)dx = g(y), y ∈ [a, b]

dove, analogamente a prima, f e la funzione incognita e k, g , λ sonofunzioni assegnate. Anche in questo caso, tali equazioni sono dette di primaspecie specie se λ(y) ≡ 0 per ogni y ∈ [a, b] e di seconda specie seλ(y) e costante per ogni y ∈ [a, b].

Dove intervengono

I Nella tomografia computerizzata [5]. Leequazioni integrali che coinvolgono latrasformata di Radon, sono di Fredholmdi prima specie e conducono a sistemilineari mal condizionati per i quali sononecessarie tecniche diprecondizionamento.

Figura 1: Scansione TC del cervello.

I Nei problemi di fluidodinamica edelettrostatica, tipicamente rappresentatida modelli di tipo ellittico su domini 2Do 3D [4]. La ricerca attuale si proponedi risolvere determinate equazioniintegrali su contorno associate a tali tipidi problemi in presenza di domini conanomalie geometriche.

Figura 2: Esempio di dominio 3D con

punto angoloso.

I Nella propagazione del segnale nelle fibreottiche [6] e nella propagazione di ondesuperficiali in acque profonde.La ricerca attuale mira a risolverespecifiche equazioni integrali di Volterrasu domini bidimensionali cheintervengono in questo secondoproblema.

Figura 3: Nuevo Vallarta, Mexico (by

Mark Ablowitz).

Equazioni integrali associate a modelli ellittici

Recentemente [1] e stato sviluppato un metodo di approssimazioneglobale di tipo Nystrom che consente di risolvere equazioni integrali sucontorni Σ regolari a tratti del tipo:

(−2π + Ω(P))ψ(P) +

∫Σψ(Q)

∂

∂nQ[log |P −Q|]dΣQ = g(P)

dove· ψ e la funzione incognita;· g e una funzione nota;· Ω(P) e l’angolo interno a P ∈ Σ;· nQ e la normale interna Σ a Q.

La tecnica proposta si basa su una opportuna decomposizione dellafrontiera Σ in 3n archi regolari Σi ∀i = 1, 2, ..., n dove n e il numero dicorners del contorno, e utilizza su ciascun arco opportune formule diquadrature di tipo Gaussiano basato su m nodi.Il metodo ha portato soddisfacenti risultati come evidenziato nella seguentetabella che riporta gli errori assoluti della soluzione nel caso in cui:· il contorno Σ e parametrizzato da

σ(t) =

(2√

3sinπt,− sin 2πt

), t ∈ [0, 1]

(corner in (0, 0) con angolo interno 23π);

· g = r32 cos 3

2θ dove r e θ sono le coordinate polari centrate in (0, 0).

m Em,1(0.2) Em,2(0.2) Em,3(0.2)

64 6.25e-03 6.25e-03 6.24e-07128 5.57e-04 5.57e-04 1.06e-08256 4.00e-06 4.00e-06 1.86e-11512 7.15e-10 7.16e-10 4.96e-15

Tabella 1: Errori Em,i(s) = |ψm,i(s)− ψ2048,i(s)|

Equazioni integrali connesse alle fibre ottiche

In tale ambito, come dimostrato recentemente in [2], risulta difondamentale importanza risolvere equazioni integrali del tipo:

ρ(x) +

∫ ∞0

Φ(y)ρ(y + x)dy = −1

2v(

x2

)− Φ(x), x ∈ R

dove· ρ e la funzione incognita;· v e il potenziale iniziale assegnato;· Φ e Φ sono funzioni dipendenti da v , calcolabili, mediante opportuneformule di quadratura, in una infinita numerabile di punti equispaziati.

Un metodo numerico basato sull’analisi di Fourier per la sua risoluzione estato recentemente proposto in [3].

Bibliografia

[1] L. Fermo, C. Laurita. A Nystrom method for a boundary integral equation related to theDirichlet problem on domain with corners. Numerische Mathematik 130 (1):35-71 2015.

[2] L. Fermo, C. van der Mee and S. Seatzu. Scattering data computation for theZakharov-Shabat system. Calcolo 53(3):487-520 2016.

[3] L. Fermo, C. van der Mee and S. Seatzu. Scattering data computation for theZakharov-Shabat system with non smooth potentials. Accepted for publication on AppliedNumerical Mathematics, 2016.

[4] R. Kress, Linear integral equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 82,Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[5] F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, John Wiley and Sons Ltd,Stuttgart 1986.

[6] J.K. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, CBMS-NSF RegionalConference Series in Applied Mathematics 76, 2004.

17-20 Ottobre 2016 Corso di Studi in Matematica