Dipartimento di Matematica e Informatica -...
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Metodi numerici per equazioni integrali LUISA FERMO Sito Web: http://bugs.unica.it/∼luisa Indirizzo email: [email protected] Dipartimento di Matematica e Informatica Le equazioni integrali sono oggetto di studio in vari settori della matematica. Intervengono, infatti, nella: 1. modellistica matematica in quanto sono essenziali nella trattazione di rilevanti problemi di interesse applicativo; 2. analisi funzionale visto che ` e essenziale identificare matematicamente gli ambienti nei quali cercare e caratterizzare le loro soluzioni; 3. analisi numerica dato che la generalit` a delle equazioni integrali non pu` o essere risolta analiticamente. Per la loro risoluzione ` e, quindi, indispensabile sviluppare metodi di calcolo precisi, stabili e computazionalmente non troppo onerosi. Cosa sono e come si classificano Le equazioni integrali [4] sono equazioni in cui la funzione incognita si presenta sotto il segno di integrale. Esse sono classificate in: 1. Equazioni integrali di Fredholm se gli estremi di integrazione (sia finiti che infiniti) sono fissati. Una classica equazione di Fredholm si scrive come: λ(y )f (y )+ Z b a k (x , y )f (x )dx = g (y ), y ∈ [a, b ] dove λ ` e una funzione nota, f ` e la funzione incognita, k e g sono funzioni assegnate dette, rispettivamente, nucleo e termine noto. A seconda della funzione λ, tali equazioni si classificano ulteriormente in equazioni di prima specie se λ(y ) ≡ 0, ∀y ∈ [a, b ] e di seconda specie se λ(y ) ` e costante per ogni y ∈ [a, b ]. 2. Equazioni integrali di Volterra se gli estremi di integrazione non sono fissati. Le pi` u frequenti si scrivono come λ(y )f (y )+ Z y a k (x , y )f (x )dx = g (y ), y ∈ [a, b ] dove, analogamente a prima, f ` e la funzione incognita e k , g ,λ sono funzioni assegnate. Anche in questo caso, tali equazioni sono dette di prima specie specie se λ(y ) ≡ 0 per ogni y ∈ [a, b ] e di seconda specie se λ(y ) ` e costante per ogni y ∈ [a, b ]. Dove intervengono I Nella tomografia computerizzata [5]. Le equazioni integrali che coinvolgono la trasformata di Radon, sono di Fredholm di prima specie e conducono a sistemi lineari mal condizionati per i quali sono necessarie tecniche di precondizionamento. Figura 1: Scansione TC del cervello. I Nei problemi di fluidodinamica ed elettrostatica, tipicamente rappresentati da modelli di tipo ellittico su domini 2D o 3D [4]. La ricerca attuale si propone di risolvere determinate equazioni integrali su contorno associate a tali tipi di problemi in presenza di domini con anomalie geometriche. Figura 2: Esempio di dominio 3D con punto angoloso. I Nella propagazione del segnale nelle fibre ottiche [6] e nella propagazione di onde superficiali in acque profonde. La ricerca attuale mira a risolvere specifiche equazioni integrali di Volterra su domini bidimensionali che intervengono in questo secondo problema. Figura 3: Nuevo Vallarta, Mexico (by Mark Ablowitz). Equazioni integrali associate a modelli ellittici Recentemente [1] ` e stato sviluppato un metodo di approssimazione globale di tipo Nystr¨ om che consente di risolvere equazioni integrali su contorni Σ regolari a tratti del tipo: (-2π + Ω(P ))ψ (P )+ Z Σ ψ (Q ) ∂ ∂ n Q [log |P - Q |]d Σ Q = g (P ) dove · ψ ` e la funzione incognita; · g ` e una funzione nota; · Ω(P ) ` e l’angolo interno a P ∈ Σ; · n Q ` e la normale interna Σ a Q . La tecnica proposta si basa su una opportuna decomposizione della frontiera Σ in 3n archi regolari Σ i ∀i =1, 2, ..., n dove n ` e il numero di corners del contorno, e utilizza su ciascun arco opportune formule di quadrature di tipo Gaussiano basato su m nodi. Il metodo ha portato soddisfacenti risultati come evidenziato nella seguente tabella che riporta gli errori assoluti della soluzione nel caso in cui: · il contorno Σ ` e parametrizzato da σ (t )= 2 √ 3 sin π t , - sin 2π t , t ∈ [0, 1] (corner in (0, 0) con angolo interno 2 3 π ); · g = r 3 2 cos 3 2 θ dove r e θ sono le coordinate polari centrate in (0, 0). m E m,1 (0.2) E m,2 (0.2) E m,3 (0.2) 64 6.25e-03 6.25e-03 6.24e-07 128 5.57e-04 5.57e-04 1.06e-08 256 4.00e-06 4.00e-06 1.86e-11 512 7.15e-10 7.16e-10 4.96e-15 Tabella 1: Errori E m,i (s )= | ¯ ψ m,i (s ) - ¯ ψ 2048,i (s )| Equazioni integrali connesse alle fibre ottiche In tale ambito, come dimostrato recentemente in [2], risulta di fondamentale importanza risolvere equazioni integrali del tipo: ρ(x )+ Z ∞ 0 Φ(y )ρ(y + x )dy = - 1 2 v x 2 - ¯ Φ(x ), x ∈ R dove · ρ ` e la funzione incognita; · v ` e il potenziale iniziale assegnato; · Φ e ¯ Φ sono funzioni dipendenti da v , calcolabili, mediante opportune formule di quadratura, in una infinit` a numerabile di punti equispaziati. Un metodo numerico basato sull’analisi di Fourier per la sua risoluzione ` e stato recentemente proposto in [3]. Bibliografia [1] L. Fermo, C. Laurita. A Nystr¨ om method for a boundary integral equation related to the Dirichlet problem on domain with corners. Numerische Mathematik 130 (1):35-71 2015. [2] L. Fermo, C. van der Mee and S. Seatzu. Scattering data computation for the Zakharov-Shabat system. Calcolo 53(3):487-520 2016. [3] L. Fermo, C. van der Mee and S. Seatzu. Scattering data computation for the Zakharov-Shabat system with non smooth potentials. Accepted for publication on Applied Numerical Mathematics, 2016. [4] R. Kress, Linear integral equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 82, Springer-Verlag, Berlin, 1989. [5] F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, John Wiley and Sons Ltd, Stuttgart 1986. [6] J.K. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 76, 2004. 17-20 Ottobre 2016 Corso di Studi in Matematica
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Metodi numerici per equazioni integrali
LUISA FERMOSito Web: http://bugs.unica.it/∼luisaIndirizzo email: [email protected]
Dipartimento di Matematica e InformaticaLe equazioni integrali sono oggetto di studio in vari settori della matematica. Intervengono, infatti, nella:
1.modellistica matematica in quanto sono essenziali nella trattazione di rilevanti problemi di interesse applicativo;2. analisi funzionale visto che e essenziale identificare matematicamente gli ambienti nei quali cercare e caratterizzare le loro soluzioni;3.analisi numerica dato che la generalita delle equazioni integrali non puo essere risolta analiticamente. Per la loro risoluzione e, quindi, indispensabile sviluppare
metodi di calcolo precisi, stabili e computazionalmente non troppo onerosi.
Cosa sono e come si classificano
Le equazioni integrali [4] sono equazioni in cui la funzione incognita sipresenta sotto il segno di integrale. Esse sono classificate in:
1. Equazioni integrali di Fredholm se gli estremi di integrazione (sia finitiche infiniti) sono fissati. Una classica equazione di Fredholm si scrive come:
λ(y)f (y) +
∫ b
ak(x, y)f (x)dx = g(y), y ∈ [a, b]
dove λ e una funzione nota, f e la funzione incognita, k e g sono funzioniassegnate dette, rispettivamente, nucleo e termine noto. A seconda dellafunzione λ, tali equazioni si classificano ulteriormente in equazioni di primaspecie se λ(y) ≡ 0, ∀y ∈ [a, b] e di seconda specie se λ(y) e costanteper ogni y ∈ [a, b].
2. Equazioni integrali di Volterra se gli estremi di integrazione non sonofissati. Le piu frequenti si scrivono come
λ(y)f (y) +
∫ y
ak(x, y)f (x)dx = g(y), y ∈ [a, b]
dove, analogamente a prima, f e la funzione incognita e k, g , λ sonofunzioni assegnate. Anche in questo caso, tali equazioni sono dette di primaspecie specie se λ(y) ≡ 0 per ogni y ∈ [a, b] e di seconda specie seλ(y) e costante per ogni y ∈ [a, b].
Dove intervengono
I Nella tomografia computerizzata [5]. Leequazioni integrali che coinvolgono latrasformata di Radon, sono di Fredholmdi prima specie e conducono a sistemilineari mal condizionati per i quali sononecessarie tecniche diprecondizionamento.
Figura 1: Scansione TC del cervello.
I Nei problemi di fluidodinamica edelettrostatica, tipicamente rappresentatida modelli di tipo ellittico su domini 2Do 3D [4]. La ricerca attuale si proponedi risolvere determinate equazioniintegrali su contorno associate a tali tipidi problemi in presenza di domini conanomalie geometriche.
Figura 2: Esempio di dominio 3D con
punto angoloso.
I Nella propagazione del segnale nelle fibreottiche [6] e nella propagazione di ondesuperficiali in acque profonde.La ricerca attuale mira a risolverespecifiche equazioni integrali di Volterrasu domini bidimensionali cheintervengono in questo secondoproblema.
Figura 3: Nuevo Vallarta, Mexico (by
Mark Ablowitz).
Equazioni integrali associate a modelli ellittici
Recentemente [1] e stato sviluppato un metodo di approssimazioneglobale di tipo Nystrom che consente di risolvere equazioni integrali sucontorni Σ regolari a tratti del tipo:
(−2π + Ω(P))ψ(P) +
∫Σψ(Q)
∂
∂nQ[log |P −Q|]dΣQ = g(P)
dove· ψ e la funzione incognita;· g e una funzione nota;· Ω(P) e l’angolo interno a P ∈ Σ;· nQ e la normale interna Σ a Q.
La tecnica proposta si basa su una opportuna decomposizione dellafrontiera Σ in 3n archi regolari Σi ∀i = 1, 2, ..., n dove n e il numero dicorners del contorno, e utilizza su ciascun arco opportune formule diquadrature di tipo Gaussiano basato su m nodi.Il metodo ha portato soddisfacenti risultati come evidenziato nella seguentetabella che riporta gli errori assoluti della soluzione nel caso in cui:· il contorno Σ e parametrizzato da
σ(t) =
(2√
3sinπt,− sin 2πt
), t ∈ [0, 1]
(corner in (0, 0) con angolo interno 23π);
· g = r32 cos 3
2θ dove r e θ sono le coordinate polari centrate in (0, 0).
m Em,1(0.2) Em,2(0.2) Em,3(0.2)
64 6.25e-03 6.25e-03 6.24e-07128 5.57e-04 5.57e-04 1.06e-08256 4.00e-06 4.00e-06 1.86e-11512 7.15e-10 7.16e-10 4.96e-15
Tabella 1: Errori Em,i(s) = |ψm,i(s)− ψ2048,i(s)|
Equazioni integrali connesse alle fibre ottiche
In tale ambito, come dimostrato recentemente in [2], risulta difondamentale importanza risolvere equazioni integrali del tipo:
ρ(x) +
∫ ∞0
Φ(y)ρ(y + x)dy = −1
2v(
x2
)− Φ(x), x ∈ R
dove· ρ e la funzione incognita;· v e il potenziale iniziale assegnato;· Φ e Φ sono funzioni dipendenti da v , calcolabili, mediante opportuneformule di quadratura, in una infinita numerabile di punti equispaziati.
Un metodo numerico basato sull’analisi di Fourier per la sua risoluzione estato recentemente proposto in [3].
Bibliografia
[1] L. Fermo, C. Laurita. A Nystrom method for a boundary integral equation related to theDirichlet problem on domain with corners. Numerische Mathematik 130 (1):35-71 2015.
[2] L. Fermo, C. van der Mee and S. Seatzu. Scattering data computation for theZakharov-Shabat system. Calcolo 53(3):487-520 2016.
[3] L. Fermo, C. van der Mee and S. Seatzu. Scattering data computation for theZakharov-Shabat system with non smooth potentials. Accepted for publication on AppliedNumerical Mathematics, 2016.
[4] R. Kress, Linear integral equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 82,Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[5] F. Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, John Wiley and Sons Ltd,Stuttgart 1986.
[6] J.K. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, CBMS-NSF RegionalConference Series in Applied Mathematics 76, 2004.
17-20 Ottobre 2016 Corso di Studi in Matematica
