Post on 20-Oct-2015
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI LAQUILA
FACOLTA DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
TESI DI LAUREA
CONTROLLO ATTIVO CON LAMINA PIEZOELETTRICA
DELLE OSCILLAZIONI DI UNA MENSOLA: ANALISI E
SPERIMENTAZIONE
LAUREANDO RELATORE
Tommaso Sulpizi prof. V. Gattulli
ANNO ACCADEMICO 2001-2002
Sommario e indice
SOMMARIO
La tesi discute di un modello per una mensola le cui oscillazioni sono controllate
attivamente attraverso un attuatore piezoelettrico guidato in retroazione da un
accelerometro allestremo libero. La risposta del modello analitico confrontata con
quella di una realizzazione sperimentale del sistema.
Inizialmente sono esposti i caratteri generali della dinamica dei sistemi continui
e sono evidenziate le equazioni del moto, per una trave, scritte attraverso un approccio
diretto (DAlambert) ed un approccio basato sulla potenza virtuale (Germain). Pi in
particolare trattato il caso della mensola che, successivamente, sar oggetto dello
studio per il controllo delle oscillazioni proprie.
E presentato il modello meccanico descritto dallinterazione fra la lamina di
alluminio e la lamina di piezoelettrico. Leffetto di tale interazione analizzato sotto
ladozione di alcune ipotesi semplificative, attraverso due soluzioni, una (non
regolarizzata) detta soluzione debole laltra regolarizzata detta soluzione forte.
Il modello fisico realizzato attraverso una lamina in alluminio, incastrata in
unestremit e libera nellaltra, ed una seconda lamina, di dimensioni minori, in
materiale piezoelettrico che, aderendo perfettamente ad una porzione della lamina di
base realizza il sistema di attuazione. Nellestremit libera della lamina di base infine
posizionato un accelerometro che permette la misura di differenti grandezze quali,
laccelerazione, la velocit e lo spostamento verticale nel punto in cui collocato.
Lapparato sperimentale completato da diversi strumenti dacquisizione,
amplificazione e trattamento di tali informazioni quali LABVIEW. Tali strumenti
permettono leffettuazione di misure dinamiche e la realizzazione di una serie di leggi di
retroazione.
Sommario e indice
INDICE
Sommario...I
INTRODUZIONE1
1. Dinamica dei sistemi continui..3
1.1. Equazioni del moto3
1.1.1. Trave di Eulero-Bernoulli...3
1.1.2. Contributo dello sforzo assiale...6
1.1.3. Contributo delleffetto viscoso...7
1.1.4. Effetto di vincoli mobili..8
1.1.5. Trave di Eulero-Bernoulli (approccio alla Germain)..9
1.2. Oscillazioni libere nella trave di Eulero-Bernoulli.11
1.3. Risposta dinamica dei sistemi continui13
2. Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore..15
2.1. Trave di Eulero-Bernoulli rettilinea..15
2.2. Equazioni del moto.17
2.3. Modi naturali..18
2.4. Parte singolare della soluzione...23
2.5. Funzione di trasferimento della soluzione forte25
2.6. Funzione di trasferimento della soluzione debole.28
3. Sistemi di controllo31
3.1. Condizioni dosservabilit e controllabilit...31
3.2. Controllo attivo...32
3.2.1. Controllo a ciclo aperto e controllo a ciclo chiuso...36
3.2.2. Classi di sistemi di controllo37
3.2.3. Losservatore38
Sommario e indice
3.3. Progetto della legge di controllo39
3.3.1. Controllo di modelli discreti40
3.3.2. Controllo di modelli continui...40
4. Strumentazione..42
4.1. Descrizione del sistema di acquisizione dei dati42
4.2. Scheda pci 6052E...44
4.3. Accelerometro piezoelettrico..45
4.4. Amplificatore di carica Nexus...46
4.5. Amplificatore ACX.47
4.6. Caratteristiche della trave..48
4.7. Lamina piezoelettrica.48
4.7.1. ACX.49
4.8. Programmi realizzati in labview51
4.9. Misure effettuate sollecitando la trave con un attuatore piezoelettrico...51
5. Analisi analitico-numerico di una mensola.54
5.1. Soluzione forte....54
5.1.1. Soluzione statica..55
5.1.2. Funzione di trasferimento56
5.2. Soluzione debole.57
5.2.1. Funzione di trasferimento....57
5.3. Controllo delle oscillazioni per soluzione forte....58
5.3.1. Controllo proporzionale; variabile osservata velocit.60
5.3.2. Controllo integrale; variabile osservata spostamento..61
5.4. Controllo delle oscillazioni per la soluzione debole..63
5.4.1. Controllo proporzionale; variabile osservata velocit.63
5.4.2. Controllo integrale; variabile osservata spostamento..64
6. Analisi sperimentale..66
6.1. Dati sperimentali....66
6.1.1. Controllo proporzionale; variabile osservata spostamento..67
Sommario e indice
6.1.2. Controllo proporzionale; variabile osservata velocit.68
6.1.3. Controllo proporzionale; variabile osservata accelerazione69
6.1.4. Controllo integrale; variabile osservata spostamento..70
6.1.5. Risultati del controllo sperimentale.71
6.2. Effetti di spillover...74
7. Confronto tra la risposta dinamica nel modello analitico e sperimentale76
7.1. Parametri del modello analitico.76
7.1.1. Soluzione forte.76
7.1.2. Soluzione debole..76
7.2. Funzioni di trasferimento...77
7.3. Spostamento, rotazione e curvatura della trave.78
7.4. Influenza del numero dei modi considerati sul controllo retroazione in
velocit.83
7.5. Confronto di poli e radici della matrice controllata..90
8. Conclusioni.92
Appendice...94
Bibliografia.95
Introduzione
1
INTRODUZIONE
La realizzazione di strutture, di grandi e piccole dimensioni, d luogo a frequenti
fenomeni di oscillazione in presenza di carichi dinamici come il vento ed il sisma.
Generalmente una struttura tanto pi in grado di resistere alle azioni dinamiche
quanto maggiore risulta la sua capacit di dissipare lenergia ed elastica.
La progettazione di dispositivi passivi capaci di dissipare lenergia meccanica
indotta nelle strutture dalle azioni esterne, rappresenta un aspetto saliente della dinamica
strutturale, cui stato dato negli ultimi anni forte impulso dalla ricerca. Recentemente
lottimizzazione delle prestazioni ha motivato la ricerca di soluzioni alternative al
controllo passivo, attraverso lapplicazione alla dinamica strutturale di tecniche basate
sul controllo attivo; tecniche in ogni caso utilizzate da qualche tempo in numerosi
settori dellingegneria industriale.
Oggi le tecniche di controllo attivo hanno una vasta applicazione soprattutto in
Giappone, usate con successo per la protezione dalle vibrazioni di grattacieli e ponti.
Lo scopo di questo lavoro di tesi lanalisi di un sistema strutturale
monodimensionale sul quale agisce un sistema di controllo attivo, atto a ridurre nel
tempo le oscillazioni generate dalle azioni esterne.
Il controllo attivo si realizza servendosi dinformazioni parziali sul sistema
esaminato, date da sensori (luscita).
E necessario redigere uno schema idealizzato del sistema, che consenta
lindividuazione delle principali componenti. Molto importante valutare lo stato
attraverso le informazioni disponibili, che consentano di ricostruirlo per la legge di
controllo. Generalmente le informazioni disponibili descrivono la risposta strutturale.
In un sistema di controllo attivo strutturale sindividuano quattro componenti
principali:
1. il sistema strutturale;
2. sensori;
3. il sistema di elaborazione elettronico (controllore);
4. il dispositivo che produce le forze di controllo.
Ad ogni componente attribuita una specifica funzione, che rende possibile
lapplicazione a sistemi strutturali nellingegneria civile. Lobiettivo di unazione di
Introduzione
2
controllo quello di guidare il comportamento dinamico secondo le esigenze della
struttura durante le oscillazioni, e di garantirne un buon funzionamento in presenza di
qualsiasi evento.
Le informazioni parziali sul sistema in esame sono fornite da sensori che ne
stimano lo stato. Il sistema di controllo o algoritmo di controllo interpreta i segnali
forniti dai sensori e genera un segnale per le forze di controllo. Le forze di controllo,
che possono essere realizzate attraverso diversi sistemi dattuazione (attuatori
piezoelettrici, attuatori servoidraulici e da generatori a getto di gas e appendici
aerodinamiche), sono variabili in intensit e con caratteristiche dinamiche valutate
opportunamente in funzione del sistema strutturale dove intervengono.
Attraverso il modello dinamico della struttura necessario determinare se il
sistema di controllo selezionato assicuri le condizioni di osservabilit,
controllabilit e stabilit.
Il progetto della strategia di controllo avviene mediante la definizione della
funzione o vettore di funzioni u che rappresenta lazione di controllo.
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
3
1. DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI
Ogni sistema continuo dinamico, cos come un sistema statico, pu essere
trattato come un problema discreto sulla base dellanalisi modale trasformando un
problema infinito-dimensionale in un problema a dimensione finita.
1.1. EQUAZIONI DEL MOTO
La caratteristica dei sistemi dinamici consiste nellavere ciascuna grandezza
descritta da una funzione spaziale, che descrive tutti i punti appartenenti allasse, e da
una funzione temporale. Inoltre le equazioni del moto di un sistema dinamico possono
ottenersi secondo una formulazione diretta (principio di DAlambert) o attraverso una
formulazione energetica (principio di Germain).
Il principio di DAlambert permette di scrivere le equazioni del moto come
equazioni dequilibrio dinamico, di un concio infinitesimo, semplicemente sommando
alle forze esterne le forze dinerzia.
1.1.1. Trave di Eulero-Bernoulli
Le deformazioni flessionali di questo sistema si basano sullipotesi di
indeformabilit a taglio cio di sezioni indeformabili nel proprio piano e che rimangono
sempre ortogonali alla linea dasse del sistema (figura 1-1).
figura 1-1: modello di Eulero
EI(x)
v(x,t)
(x) x
p(x,t)
figura 1-2: trave con carico generico
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
4
Utilizzando lapproccio alla DAlambert (metodo diretto) si scrivono le due
equazioni dequilibrio del concio infinitesimo (figura1-3):
dallequilibrio alla traslazione verticale risulta:
da cui:
sostituendo la (1.4) nella (1.3) si ottiene:
dallequilibrio dei momenti attorno il punto A si ottiene:
f (x,t)dx
M(x,t)
i
T(x,t)
p(x,t)
A
M(x,t)+dM(x,t)
T(x,t)+dT(x,t) figura 1-3: concio infinitesimo
= 0V (1.1) 0 ),( ),( ),(),(),( =+
+ dxtxfdxtxpdx
xtxTtxTtxT i (1.2)
),(),(),( txftxpx
txTi=
2
2
t),( )(),(
= txvxtxf i
2
2
t),( )(),(),(
= txvxtxp
xtxT
= 0AM0
2 ),(
2 ),( ),( ),(),(),(
22
=++
+ dxtxfdxtxpdxtxTdxx
txMtxMtxM i
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
5
trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo:
sostituendo la (1.8) nella (1.5) si ottiene:
e dal legame costitutivo:
in forma compatta:
se la sezione della trave costante per tutta la lunghezza allora linerzia e la densit di
massa sono costanti
La (1.13) lequazione di campo che descrive il problema delle oscillazioni
nella trave di Eulero-Bernoulli. Il problema descritto se sono note le sei condizioni al
contorno, quattro di tipo spaziale e due di tipo temporale.
),(),( txTx
txM = (1.8)
2
2
2
2
t),( )(),(),(
= txvxtxp
xtxM (1.9)
2
2 ),( )(),(x
txvxEItxM = (1.10)
),(),( )(),()( 22
2
2
2
2
txpt
txvxx
txvxEIx
=+
(1.11)
),(),( )(),( )( txptxvxtxvxEI IV =+ && (1.12)
),(),( ),( txptxvtxvEI IV =+ && (1.13)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
6
1.1.2. Contributo dello sforzo assiale
Tenendo in conto il contributo dello sforzo assiale N, nelle vibrazioni
flessionali, lequilibrio va fatto nella configurazione variata (figura 1-4).
Nellequilibrio alla traslazione verticale lo sforzo normale non entra in gioco tale
da ottenere lequazione (1.5) vista in precedenza; mentre per lequilibrio dei momenti
attorno al punto A si ha:
da cui:
sostituendo la (1.17) nella (1.5) si ottiene:
se la sezione della trave costante per tutta la lunghezza allora linerzia e la densit di
massa sono costanti ed ipotizzando costante anche lo sforzo N si ottiene:
f (x,t)dx
M(x,t)
i
T(x,t)
T(x,t)+dT(x,t)
M(x,t)+dM(x,t)
p(x,t)
A
N(x,t)
N(x,t)+dN(x,t)
figura 1-4: concio infinitesimo
= 0AM (1.14)
0 ),(),( ),( ),( ),(),( =
+++ dx
xtxMtxMdx
xtxvtxNdxtxTtxM (1.15)
xtxvtxNtxT
xtxM
+=
),( ),(),(),( (1.16)
xtxvtxN
xtxMtxT
= ),( ),(),(),( (1.17)
),(),( )(),( )(),( 22
2
2
txpt
txvxx
txvxNxx
txM =+
(1.18)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
7
La (1.19) lequazione di campo con leffetto assiale. Si pu concludere che la
rigidezza flessionale modificata dalleffetto geometrico dovuto ad N.
1.1.3. Contributo delleffetto viscoso
Un primo contributo viscoso pu essere definito proporzionale alla velocit
attraverso un coefficiente di viscosit per unit di lunghezza c(x).
un secondo contributo viscoso dovuto al fatto che in realt il legame costitutivo del
momento di tipo elasto-viscoso
e lequazione di campo che si ottiene la seguente:
dove in generale il secondo termine tra parentesi quadre non viene considerato.
),( txpvvNvEI =+ && (1.19)
f (x,t)dx
M(x,t)
i
T(x,t) T(x,t)+dT(x,t)
M(x,t)+dM(x,t)
A
f (x,t)dxd
p(x,t)
figura 1-5: concio infinitesimo
xtxvxctxfd
= ),( )(),( (1.20)
[ ] &,aEIM += (1.21)
[ ] ),( , txpvcvvavEI =+++ &&&& (1.22)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
8
1.1.4. Effetto di vincoli mobili
Ipotizzando le estremit variabili nel tempo (figura 1-6) le condizioni al
contorno spaziali sono del tipo:
Leffetto delle condizioni al contorno si traduce in un trascinamento (movimento
sincrono). Se voglio descrivere le oscillazioni, devo partire dalla configurazione
indeformata effetto di trascinamento = effetto quasi statico. Da questa configurazione sono descritte le oscillazioni; quindi la soluzione somma di due contributi:
La (1.27) ha anche valenza analitica perch omogeneizza le condizioni al
contorno, infatti, il problema inizialmente omogeneo nellequazione di campo ma
non omogenea nelle condizioni al contorno.
Considerando lequazione di campo del tipo seguente:
3(t)
(t)1 (t)2
4(t)
figura 1-6
)(),0( 1 ttv = (1.23)
)(),( 2 ttLv = (1.24)
)(),( 30
tx
txvx
=
=
(1.25)
)(),( 4 txtxv
Lx
=
=
(1.26)
),(),(),( txvtxvtxv dinst += (1.27)
),(),( )(),( )(),( )( 22
2
2
2
2
txpt
txvxct
txvxx
txvxEIx
=+
+
(1.28)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
9
)(),0( 1 ttvs =
e sostituendo in essa la (1.27) si ha:
dove in Peff vi sono gli effetti dovuti al trascinamento
La vs(x,t) pu essere espressa attraverso le funzioni Hermitiane cubiche della
trave tale da soddisfare il problema elastico e mettere in relazione Peff con i.
Ho sostituito le in Peff. Inoltre quando sostituisco nelle condizioni al contorno accade che le condizioni geometriche si possono trasformare in condizioni meccaniche
omogenee nelle variabili vd. Poich vs, per sua natura, soddisfa le condizioni al
contorno, quando sostituisco, ho le condizioni al contorno in vd omogenee.
1.1.5. Trave di Eulero-Bernoulli (approccio alla Germain)
Lapproccio si basa sulluguaglianza delle potenze, esterne ed interne, del
sistema.
dove il primo integrale rappresenta la potenza delle forze esterne dovuta,
rispettivamente, alla distribuzione di forze e momenti; mentre il secondo integrale la
potenza interna del sistema dovuta alle tensioni di grado zero (primi due termini) ed alle
tensioni di grado uno (termine terzo e quarto).
eff
ddd
Pt
txvxct
txvxx
txvxEIx
=+
+
),( )(),( )(),( )( 2
2
2
2
2
2
(1.29)
ttxvxc
ttxvx
xtxvxEI
xP
sss
eff
= ),()(),()(),()( 2
2
2
2
2
2
(1.30)
=
=4
1)( )(),(
iii
s txtxv (1.31)
)( )( )(4
1txxP ii
ieff &&
== (1.32)
0),0( ),0(),0(),0()(1 =+== tvtvtvtvt dds
( ) ( ) +++=+L L dmwscwbdcwb0 0
00 (1.33)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
10
w ed rappresentano, rispettivamente, la velocit e la velocit angolare dellasse della trave.
attraverso la (1.34) e la (1.35) la (1.33) diventa:
ed integrando per parti si ottiene:
nel caso scalare si ha la seguente relazione che risulta valida per ogni atto di moto:
dalle integrazioni per parti:
))(()( xxww += (1.34) )()( xw = (1.35)
( ) ( ) ++= L L dmsxwsdcwb0 0
0 (1.36)
( ) ( ) [ ][ ] [ ] [ ] )0( )0()( )()0( )0(
)( )( 000
wmmLwLmmwss
LwLssdcsxmdwbsLL
+++++++++=
+
+ (1.37)
(1.38)
( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) 0)( )0()( )(
)0( )0()( )(
0
=+++++++
+++++
+
+
LwMMLwLMM
wQQLwLQQ
dwcQMwpQL
)0()0()()( 0 0
wMLwLMdwMdwML L
+= (1.39) )0()0()()(
0 0
wQLwLQdwQdwQL L
+= (1.40) )0()0()()(
0 0
wcLwLcdwcdwcL L
+= (1.41)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
11
si ottiene:
da cui ne derivano le equazioni di bilancio
dove il momento definito dal legame costitutivo
p linerzia e c rappresenta le forze esterne tale da riottenere lequazione gi presentata
in (1.13).
1.2. OSCILLAZIONI LIBERE NELLA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI
I problemi che saranno trattati sistemi Hamiltoniani (conservativi) ossia sistemi
privi di smorzamento. Si riparte dalla seguente equazione di campo:
La strategia utilizzata considerare una soluzione a variabili separabili del tipo:
che sostituita nella (1.33):
divido per (x) e q(t):
la (1.36) pu essere vera solo se i rapporti non dipendono ne da x ne da t cio i rapporti
devono essere uguali ad una costante:
),( txpvvEI IV =+ && (1.45)
)( )(),( tqxtxv = (1.46)
0)( )( )( )( =+ tqxtqxEI IV && (1.47)
)()(
)()(
tqtq
EIxxIV &&
= (1.48)
( ) ( )( ) ( ) 0)0( )0()( )(
)0( )0()0()( )()(
)(0
=++++++++
++
+
+
wMMLwLMM
wcMQLwLcLMQ
dwcpML
(1.42)
0=+ cpM (1.43)
)( )( vEIM = (1.44)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
12
siamo cos passati da un problema alle derivate parziali ad un problema differenziale
nello spazio (x) ed un problema differenziale nel tempo (t) ossia:
possiamo legare la frequenza temporale () con la frequenza spaziale ():
la soluzione della (1.40) la seguente:
In genere si calcola prima la frequenza 4 attraverso unequazione caratteristica, ( lautovalore del problema ce ne saranno i ovvero infiniti), data questa equazione, imponiamo le condizioni al contorno (geometriche e meccaniche), e
troviamo i noto questultimo posso calcolare 2.
dove lequazione (1.38) soddisfatta se:
ed attraverso la trasformazione di Eulero otteniamo:
Le condizioni al contorno si impongono nella funzione (x) per determinare le quattro costanti Ci e ricavando un sistema del tipo A()C = 0 dove A() una matrice 4x4 e C il vettore delle incognite. Il sistema citato omogeneo, se cos non fosse
potrei renderlo omogeneo attraverso la (1.27).
44
)()( - e
)()(
==tqtq
EIxxIV &&
(1.49)
0)( )( 4 = xxIV (1.50)
0)( )( 4 =+ tqEItq && (1.51)
0)()( 242 =+= tqtqEI && (1.52)
tBtAtq cos sin )( += (1.53)
xeCx )( = (1.54)
===
0 )(3,4
1,2 44 ieC x (1.55)
xCxCxCxCx cosh sinh cos sin )( 4321 +++= (1.56)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
13
Il sistema ammette soluzione (oltre quella banale) se il determinante della
matrice A nullo ottenendo, in generale, una funzione trascendente in che ammette infinite soluzioni. Individuate le i, attraverso la (1.40), risalgo al valore delle i. i la forma, o modo, di vibrare dellautovalore i-esimo. Inoltre la soluzione sar data da un numero infinito di modi; effettuando il troncamento dei modi si ha un problema
discretizzato o a dimensione finita.
1.3. RISPOSTA DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI
Poich il problema elastico lineare ed lineare anche lequazione di campo,
valido il principio di sovrapposizione degli effetti tale da poter scrivere la soluzione
come somma infinita di modi di vibrare:
Una volta noto il problema modale devo valutare il problema temporale ovvero
vado ad individuare le qi. Facendo riferimento alla trave di Eulero-Bernoulli non
smorzata (1.13) e sostituendo in essa la (1.57) si ha:
moltiplicando per il generico modo ed integrando sulla lunghezza dellelemento:
per lortogonalit delle forme modali nullo il prodotto tra due modi i-esimo e j-esimo
(con ij) quindi rimane solo il modo n-esimo nella (1.59):
=
=n
iii tqxtxv
1)( )(),( (1.57)
),()( )()( )( )( 22
1 12 txptqdx
dxEI
dxdtqxx ii
n
i
n
iii =
+
= =
&& (1.58)
( ) ),( )(
)( )( )(
)()( )( )( )(
0
1 02
2
2
2
1 0
=
=
+
==L
n
in
n
i
Li
i
n
i
L
in
dxtxpx
tqdxxdx
xdxEI
dxdtqdxxxx
&&
(1.59)
( ) =+ L nnnLL nn dxtxpxdxxxxEIdxdtqxxtq 00 22
0
2 ),( )( )( )( )()()( )()( &&
(1.60)
Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui
14
ed in forma compatta:
Sfruttando la propriet di ortogonalit dei modi riesco ad ottenere n equazioni
disaccoppiate di oscillatori semplici dove il termine a secondo membro della (1.62) il
carico modale ossia la parte di carico che eccita il modo n-esimo.
)()( )( tPtqKtqM nnnnn =+&& (1.61)
n
nnnn M
tPtqtq )()( )( 2 =+&& (1.62)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
15
2. PICCOLE OSCILLAZIONI NELLA MENSOLA CON ATTUATORE
Il modello che si vuol risolvere dal punto di vista teorico, quello poi realizzato
in laboratorio e studiato da un punto di vista sperimentale. Sostanzialmente esso
consiste in una lamina di base in alluminio ed una lamina piezoelettrica di lunghezza
ridotta rispetto alla prima che esplica due coppie in corrispondenza dellestremit del
piezoelettrico (vedere cap.4) tale da poter far riferimento alla modellazione di mensola
con due coppie opposte (figura 2-1). A partire dalle equazioni del moto di questo
modello saranno individuati i modi naturali del sistema, la soluzione statica e la
descrizione del moto. In particolare per questultima saranno seguiti due approcci detti
rispettivamente soluzione forte o regolarizzata e soluzione debole o non regolarizzata.
2.1. TRAVE DI EULERO-BERNOULLI RETTILINEA
Ripartendo dalle equazioni viste in (1.42):
nel caso di una mensola si ha:
per atti di moto compatibili con i vincoli la (2.1) diventa:
( ) ( )( ) ( ) 0)0( )0()( )(
)0( )0()0()( )()(
)(0
=++++++++
++
+
+
wMMLwLMM
wcMQLwLcLMQ
dwcpML
(2.1)
0)0( 0)0( == vv (2.2)
figura 2-1: modello di calcolo
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
16
ne derivano lequazioni di bilancio:
con le condizioni al bordo:
e definendo la funzione di risposta tale che
sostituendo alla (2.3)
tale che le (2.4) e (2.5) diventano
a cui vanno aggiunte le (2.2)
( ) ( ) 0)( )()( )()( )(
0
=++++++
++
LwLMMLwLcLMQ
dwcpML
(2.3)
0=+ cpM
( ) 0)()( =+++ LcLMQ( ) 0)( =+ LMM
(2.4)
(2.5)
)( )( vEIM = (2.6)
( ) ( ) 0)( )()( )()( )(
0
=++++
++
LwLvEIMLwLcLvEIQ
dwcpvEIL
(2.7)
0=+ cpvEI (2.8)
(2.9) ( ) ++ =+= MLvEILcQLvEI )( )()(
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
17
2.2. EQUAZIONI DEL MOTO
Ponendo
la (2.7) e la (2.12) diventano
con le condizioni al bordo
in termini di trasformate di Fourier
con le condizioni al bordo
),( ),( tLvAtp && =( ))()( )(),( 21 llhtNtc p =
),( )( tLvmtQ a &&=+
),( )( 2 tLvhmtM aa =+ &&
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
( )( )( )( ) 0)( ),( ),(
)( ),( ),(
)()( )(),( ),(
2
021
=+++
++LwtLvEItLvhm
LwtLvEItLvm
dwllhtNtvAtvEI
aa
a
L
p
&&&&
&&
( ) 0)()( )(),( ),( 21 =+ llhtNtvAtvEI p && (2.15)
0),0( 0),0( == tvtv (2.16)
0),( ),(
0),( ),( 2 =+
=tLvEItLvhm
tLvEItLvm
aa
a
&&&&
(2.17)
( ) 0)()( )(),(v),(v 2122
= llMk p
(2.18)
0),(v),(v
0),(v),( v
0),0(v 0),0(v
2
2
2
2
=+
=+==
LLk
LLk
a
a (2.19)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
18
avendo posto
ed avendo indicato con v( ,) e Mp() le trasformate di Fourier di v(,t) e Np(t) h/EI. La trasformata di Fourier della (2.14)
2.3. MODI NATURALI
Si consideri lequazione
con le condizioni al bordo (2.19). Riguardando tale equazione, per un valore fissato di
, come unequazione differenziale in , se ne consideri la forma normale
con
Ahm
Am
AEIk aaaaa
,
,
22
=== (2.20)
( )
0)( ),(v),(v
)( ),(v),(v
)()( )(),(v),(v
2
2
2
2
0212
2
=
++
+
+
+
LwLLk
LwLLk
dwllMk
a
a
L
p
(2.21)
(2.22) 0), v(-),(v 22
= k
)y(A )(y =
=
=
000
100001000010
A
),(v),(v),(v),v(
y
2
2
k
(2.23)
(2.24)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
19
la soluzione
per valutare lesponenziale occorre ridurre la matrice A nella forma di Jordan. Gli
autovalori si possono indicare con
con > 0 tale che
essendo gli autovalori distinti, la matrice A diagonalizzabile. Disponendo gli
autovettori per colonne
si ha
la prima riga di questa matrice risulta
pertanto lespressione di v(,) data dal prodotto di tale riga per y0, i cui elementi sono delle costanti arbitrarie
0A y )(y e= (2.25)
ii , ,- , (2.26)
2
24
k = (2.27)
=3333
2222
11
T
ii
ii
(2.28)
T
000000000000
T 1A
=
i
i
ee
ee
e (2.29)
2)sinh()(sin
2)cosh()(cos
2)sinh()(sin
2)cosh()cos( ++++
(2.30)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
20
le condizioni al bordo (2.19) implicano
la matrice delle condizioni al bordo ha per prima colonna
e per seconda colonna
il determinante risulta
per calcolarne gli zeri, in forma approssimata, conviene dividere lespressione (2.36) per
il grafico del determinante cos scalato riportato in figura 2-2. indicando con n gli zeri del determinante, a ciascuno di questi corrisponde uno spazio nullo di dimensione uno
per la matrice delle condizioni al bordo. Dalla (2.27) discende
3423
21
2)sinh()(sin )(
2)cosh()cos( )(
2)sinh()(sin )(
2)cosh()cos( )(),v(
+++
++++=
cc
cc (2.31)
2)sinh()(sin )(
2)cosh()cos( )(
2))sinh()(sin( )(
2))cosh()cos(( )(),(v
43
2
2
1
+++
++++=
cc
cc
(2.32)
0 0)( 43 == cc (2.33)
+++
)sinh( )sin( )cosh()cos()sinh()sin()cosh( )cos(
33
LLLLLLLL
aa
aa (2.34)
++++
)sinh()sin()cosh( )cos( )sinh( )sin( )cosh()cos(
33 LLLL
LLLL
aa
aa (2.35)
( )] )sin( )( )cos( ) 1( )cosh()sinh( )cos( )( 1[ 2
24
24
LLLLL
aaaa
aaaa
++++++ (2.36)
( ) ( )2422 1 )cosh( 4 aaaaL +++ (2.37)
2 =k (2.38)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
21
ponendo
si ottiene infine per v(, ) lespressione
la trasformata inversa di Fourier della (2.40)risulta
riorganizzando i coefficienti lespressione precedente diventa
Questa la descrizione del moto corrispondente alle equazioni (2.22), (2.19).
Tale descrizione stata ottenuta attraverso una selezione, indotta dalle condizioni al
bordo, delle funzioni e-iwt utilizzate nella trasformata di Fourier.
Le funzioni n() si dicono modi naturali. Queste soddisfano la (2.22) con = n, assieme alle condizioni al bordo (2.19). Si ha pertanto
knn 2 = (2.39)
( )=
++=1
()()()( )(),(vn
nnnnn cc (2.40)
( )( ) ] )sin()cos( )(
sin()cos( )([ )( 21
),v(21),(
1
titc
titc
detv
nnn
nnnnn
ti
+++=
=
=
+
(2.41)
( )=
+=1
)sin()cos( )(),(n
nnnnn tbtatv (2.42)
)( )( 4 nnn =
0)0(0)0(
==
n
n
0)()(
0)()( 4
4
=+=+
LLLL
nnan
nnan
(2.43)
(2.44)
(2.45)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
22
poich la (2.22), con le prime delle (2.19), equivalente alla parte omogenea della
(2.21)
le funzioni n() soddisfano tale condizione per qualsiasi w, con = n. In particolare dunque
figura 2-2: calcolo degli zeri del determinante
( )( )( ) 0)( ),(v),(v
)( ),(v),( v
),( v),(v
4
40
4
=++++
+
LwLLLwLL
dw
a
a
L
( )( )( ) 0)( )()(
)( )()(
)( )()(
4
40
4
=++++
+
LLL
LLL
d
jiiai
jiiai
j
L
iii
(2.46)
(2.47)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
23
attraverso ripetute integrazioni per parti si ha
sottraendo a questa lespressione ottenuta dalla (2.47) scambiando i con j,
si ottiene
questa la propriet dortogonalit dei modi.
2.4. PARTE SINGOLARE DELLA SOLUZIONE
Nel caso in cui
la (2.12) diventa
( )( )( ) 0)( )()(
)( )()(
)( )()(
4
40
4
=++++
+
LLL
LLL
d
ijjai
ijjai
i
L
jij
( )( )( ) 0)( )()(
)( )()(
)( )()(
4
40
4
=++++
+
LLL
LLL
d
ijjaj
ijjaj
i
L
jjj
( ) 0)( )( )( )( )( )( 0
44 =
++
L
ijaijaijij LLLLd
(2.48)
(2.49)
(2.50)
0)( =p
( ))()( )( 21 llhNc p = 0=+Q0=+M
(2.52)
(2.51)
(2.53)
(2.54)
( ) 0)()( 21 = llhNvEI p (2.55)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
24
con le condizioni al bordo
integrando la (2.55) si ottiene, per via delle (2.56) e (2.57)
avendo indicato con h la funzione di Heaviside. Dalla (2.62) definita la funzione
che soddisfa le condizioni al bordo (2.56) e (2.57). Nella figura 2-3 sono riportati: lo
spostamento, la rotazione ed il momento della soluzione statica.
0)0( ,0)0( == vv0)( ,0)( == LvLv
( ))()( )( 21 llEIhN
v p =
( ))()( )( 21 llEIhN
v p =
( ))( )()( )( 221 lllEIhN
v p = hh
( ))( )()( )( )( 2211 llllEIhN
v p = hh
= )( )(21)( )(
21 )( 2211 llllEI
hNv p hh
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
)( )(21)( )(
21)( 2
221
21 llll = hh (2.63)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
25
2.5. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DELLA SOLUZIONE FORTE
In termini di trasformate di Fourier la descrizione del moto data dallequazione
(2.21) con le condizioni al bordo (2.19). definendo
si ponga
in questo modo si descrive la parte regolare di v(,)
come combinazione lineare dei modi. Sostituendo lespressione (2.65) nella (2.21) con
= j si ottiene
figura 2-3: spostamento, rotazione e curvatura della soluzione statica
)( )(),(v pM=
),(v)( )(),(v1
+= =
i
N
iiq
(2.64)
(2.65)
),(v),(v (2.66)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
26
per la (2.63) e (2.57) questespressione diventa
per la (2.47) si ha
( )( )( )
( )( )( ) 0)( ),(v),(v
)( ),(v),(v
)( ),(v),(v
)( )()( )(
)( )()( )(
)( ] )()( )(
)()([)(
4
4
L
0
4
1
4
1
4
21
1 0
4
=++++
++
+++
+++
+
=
=
=
LLL
LLL
d
LLLq
LLLq
dllM
q
ja
ja
j
j
N
iiiai
j
N
iiiai
jp
i
N
i
L
ii
(2.67)
( )( )( )
0)( ),(v)( ),(v )( ),(v
)( )()( )(
)( )()( )(
)( )( )()(
0
4
1
4
1
4
1 0
4
=
++
+++
++
+
=
=
=
LLLL
LLLq
LLLq
dq
jajaj
L
j
N
iiiai
j
N
iiiai
N
i
L
jiii
(2.68)
( ))
0)( ),(v )( ),(v )( ),(v
)( )( )( )(
)( )( )(
0
4
1 0
44
=
++
+++
=
L
jajaj
jiajia
j
N
i
L
iii
LLLLd
LLLL
dq
(2.69)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
27
che, per la propriet dortogonalit (2.50), diventa
si noti che per la (2.55) e la (2.64)
con le (2.56) e (2.57). integrando per parti si ha per le (2.45)
essendo poi j = j j, dalla precedente si ha
la (2.70) diventa pertanto
ponendo
( )0)( ),(v )( ),(v )( ),(v
)( )( )( )(
0
4
0
22244
=
++
+
++
LLLLd
LLdq
jaja
L
j
L
jajajjj
( ) dllMd jL L
pj )( )()()( )( ),(v0 0
21 =
( ))( ),(v )( ),(v )( ),(v )( ),(v
4
0
0
LLLLd
d
jajajj
L
L
j
++=
=
( )
dllM
LLLLd
j
L
p
jaj
L
ajj
)( )()()(
)( ),(v )( ),(v )( ),(v
021
0
4
=
++
( )( ))()( )(
)( )( )( )(
124
4
0
22244
llM
LLdq
jjpj
L
jajajjj
=
++
(2.70)
(2.71)
(2.72)
(2.73)
(2.74)
++= L jajajj LLdk 0
2222 )( )( )(
1 (2.75)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
28
la (2.73) si scrive
da cui si ottiene
sostituendo questespressione nella (2.65) si ottiene
la funzione di trasferimento risulta dunque
2.6. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DELLA SOLUZIONE DEBOLE
Se si utilizza per v( ,), invece dellespressione (2.65), lespressione
dalla (2.21), con = j, si ottiene
( ) ( ))()( )( )( 122222 llMq jjpj
jjj = (2.76)
( ) ( ))()( )( )( 122222
llMq jjpjjj
j = (2.77)
( ) ( ) )( )()( )()( ),(v 121 2222
piii
N
i iii
Mll
+= = (2.78)
( ) ( ) )()( )()( ),( 121 2222
+= = iii
N
i iii
llH (2.79)
=
=N
iiiq
1)( )(),(v (( (2.80)
(( ) ( )( ))
( )( ) 0)( )()( )(
)( )()( )(
)( )(
)( )( )(
1
4
1
4
21
1 0
4
=++
+++
+
=
=
=
LLLq
LLLq
dllM
q
j
N
iiiai
N
ijiiai
jp
N
i
L
iii
(
(
(
(2.81)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
29
per la (2.47) si ha
che, per la propriet dortogonalit (2.50), diventa
si ottiene infine
e, corrispondentemente
la funzione di trasferimento risulta, in questo caso
la differenza tra le due espressioni della funzione di trasferimento
interessante interpretarne il significato. Si noti che la (2.73) implica
( ))
( ) ( )( )
=++++
+
=
L
jp
jiajia
N
i
L
jiii
dllM
LLLL
dq
021
1 0
44
0 )( )(
)()( )( )(
)( )( )(
(
(2.82)
( )( ) ( )( )
=
+
++
L
jp
L
jajajji
dllM
LLdq
021
0
22244
0 )( )(
)( )( )( )(
((2.83)
( ) ( ))()( )( 1)( 1222 llMq jjpjji =(
(2.84)
( ) ( ) )( )( )()( 1),(v 1 1222 piN
iii
ii
Mll
= =
( (2.85)
( ) ( ) )( )()( 1),( 1 1222 iN
iii
ii
llH =
=(
(2.86)
)(
)()()(),(),(
12
12 i
N
i ii
ii llHH =
= ( (2.87)
( ))()( )( )( )( )( )( )(
12
0
4
ll
LLLLd
jj
L
jajajj
==
++
(2.88)
Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore
30
poich per lortogonalit dei modi
risulta
pertanto dalla (2.87) si ha
La differenza tra le funzioni di trasferimento consiste dunque nel resto della
serie (2.90) troncata ai primi N termini. Si noti che tale differenza non dipende da . E anche utile rilevare che, dal confronto della (2.77) con la (2.84), risulta
in figura 2-4 e figura 2-5 sono riportati i grafici di () assieme al grafico dellespressione data dalla serie (2.90) troncata rispettivamente ai primi N termini o ai
primi 3N termini.
= ++
++=
1
0
222
0 )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )()(
iiL
aai
L
iaiai
LLd
LLLLd
(2.89)
)(
)()()(
)(
)()()(
12
12
1
0
24
12
=
=
==i
iii
ii
iiL
ii
ii ll
d
ll(2.90)
)(
)()(),(),( 2
12
=
=Ni
iii
ii llHH(
(2.91)
)( )( 22
j
jj qq
(= (2.92)
figura 2-4: approssimazione della curvatura con N modi
figura 2-5: approssimazione della curvatura con 3N modi
Capitolo 3 Sistemi di controllo
31
3. SISTEMI DI CONTROLLO
In questa sezione si esaminano le condizioni necessarie e sufficienti per stabilire se
un sistema controllabile o meno. Inoltre, introdotto il concetto di controllo attivo a
ciclo aperto ed a ciclo chiuso ed il progetto della legge di controllo.
3.1. CONDIZIONI DOSSERVABILITA E CONTROLLABILITA
Prima di sottoporre a studio un modello controllato necessario determinare se
il sistema di controllo selezionato assume le condizioni dosservabilit, controllabilit e
stabilit.
La propriet di controllabilit di un sistema risiede nella struttura del sistema
meccanico da controllare e nellallocazione delle azioni di controllo.
Preso in esame un sistema autonomo del tipo
il sistema detto completamente controllabile se per x(0)=0 e per un assegnato possibile
stato del sistema x1 esiste un istante di tempo t1, che definisce un intervallo continuo di
tempo 0 t t1, in cui lazione di controllo u(t) permette di assicurare che x(t1)=x1. Cos, in maniera pi semplice, un sistema completamente controllabile se il
suo stato pu essere guidato da uno stato iniziale ad altri stati in un numero finito di
steps.
Losservabilit la propriet duale della controllabilit. Losservabilit di un
sistema fornisce le condizioni per la scelta delle grandezze da osservare.
Preso in esame il sistema autonomo (5.1) corredata della relazione lineare
il sistema detto completamente osservabile se esiste un istante t1 tale che
nellintervallo continuo 0 t t1 la conoscenza delle grandezze osservate y(t) sia sufficiente a determinare il valore dello stato iniziale x(0).
BuAxx +=&
Cxy =
(3.1)
(3.2)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
32
I due concetti introdotti dellosservabilit e controllabilit sono di fondamentale
importanza per ogni strategia di controllo. Uninterpretazione fisica di questi concetti
non n semplice n immediata.
3.2. CONTROLLO ATTIVO
La parola controllo, ha nelluso tecnico il significato della parola inglese control,
diverso da quello corrente della lingua italiana di verifica. Per controllo sintende la
strategia atta ad imporre, ad una certa grandezza fisica, un preciso valore o una
prefissata serie di valori nel tempo.
Oggetto di studi relativamente recenti, il controllo ha permesso di raggiungere
prestazioni indispensabili nelle molte applicazioni ingegneristiche, tali da poter guidare
il comportamento di un sistema secondo opportune funzioni obiettivo.
Il controllo delle vibrazioni strutturali ha come obiettivo quello di mantenere
alcune grandezze dinamiche sotto dei prestabiliti limiti.
Possiamo parlare di tecniche di controllo classiche, che permettono la sintesi di
controllori fixed gain, per i quali i parametri sono fissati in modo definitivo, e di
tecniche di controllo moderne, tra le quali ritroviamo il controllo ottimo, il controllo in
norma ed il controllo adattivo.
Le tecniche di controllo classiche si basano sulle seguenti ipotesi:
Il processo da controllare modellabile attraverso una funzione di trasferimento (es. P(z));
La P(z) una funzione nota e stazionaria (a parametri costanti); Il regolatore descritto da una funzione R(z) a parametri costanti. Si basa sulla
controreazione (figura3-1), che consente di attenuare gli effetti dei disturbi
presenti nel processo controllato.
R(z) P(z)
+
-
figura 3-1
Capitolo 3 Sistemi di controllo
33
Il controllo ottimo una metodologia che ha avuto grande attenzione per le
applicazioni nellingegneria civile. Con tale termine sintende la ricerca ottimale del
soddisfacimento di due esigenze: lesigenza di avere il massimo beneficio raggiungibile
dal sistema di controllo e quella di limitare il costo dellazione di controllo.
Immaginando una formulazione nello spazio di stato possiamo andare a definire
il criterio di ottimo per progettare una legge di controllo. La legge di controllo si ottiene
come minimizzazione di un funzionale scalare L (indice di prestazione), pensato
direttamente nel dominio del tempo, che definisce le prestazioni del sistema controllato.
L assume la seguente forma:
dove L0 e L1 sono funzioni scalari non negative; x il valore di stato; u il vettore delle
forze di controllo. L0 il costo relativo alla deviazione tra il valore assunto dallo stato e
quello desiderato per lo stesso nellistante finale tf. L1 rappresenta la somma dei costi
associati alla deviazione dello stato, da quello che si desidera nel transiente di moto e
del livello di controllo richiesto. Le due funzioni sono scelte in modo tale da dare
maggiore o minore importanza sullaccuratezza che sintende avere nellistante finale
dellapplicazione del controllo, sul comportamento del sistema nel transiente in cui
agisce lazione di controllo e sul valore da assegnare alla forza di controllo.
Quando scelta la forma delle due funzioni si pu procedere alla
minimizzazione del funzionale L attraverso metodi come la programmazione dinamica,
o il principio di minimo di Pontryagin. Con questultimo metodo, che si basa sul calcolo
variazionale, si minimizza la funzione Hamiltoniana (H), dove H=H(x(t),(t),u(t),t) e con (t) sintendono le condizioni agli estremi del sistema. Quando si hanno sistemi con molti gradi di libert non molto semplice ottenere
una soluzione analitica. Un metodo alternativo pu essere di assumere che x(t) e (t) soddisfino una relazione lineare del tipo:
dove P(t) una matrice incognita e T(t) un vettore incognito. Nel controllo delle
strutture civili soggette ad eccitazioni variabili, si trascura il termine T(t), che comporta
( ) ( )+= ft
ff dtttutxLttxLuxL0
10 ),(),(),(),(
)()()()( tTtxtPt +=
(3.3)
(3.4)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
34
a trascurare il termine a ciclo aperto ( 3.2.1.), e si considera la forza di controllo ottimo
u(t) nella forma di una legge di retroazione lineare:
dove G(t) la matrice di guadagno che pu essere determinata a priori durante il
progetto del controllore.
Il progetto di un classico regolatore lineare quadratico (LQR) d una legge di
controllo a retroazione, lineare nel vettore di stato x(t). Nel caso di un unico controllore
la legge di retroazione pu essere scritta nella forma:
con g si indica il vettore dei guadagni. Si tratta di una legge somma di due termini, uno
proporzionale agli spostamenti e laltro proporzionale alle velocit.
Questo progetto di controllo ottimo con i guadagni costanti nel tempo
sicuramente di facile applicazione ma non permette ai sistemi di controllo di regolare
linfluenza sulla risposta strutturale, del transitorio iniziale, e si deve trascurare la diretta
influenza delleccitazione esterna.
Il progetto di controllo in norma permette di andare a considerare sistemi
strutturali sottoposti ad una definita classe deccitazioni (come ad esempio eccitazioni di
tipo sinusoidale). Si tratta di una metodologia di controllo che si presta ad assicurare la
robustezza del controllo, cio il raggiungimento dellobiettivo preposto pur in presenza
di incertezze sui parametri del sistema, o delle loro variazioni nel processo di controllo.
E un metodo di progetto nel dominio delle frequenze e quindi consente di
soddisfare i requisiti ingegneristici quale il raggiungimento dellattuazione delleffetto
di uneccitazione esterna in un prefissato dominio delle frequenze. Si tratta di un
metodo che opera direttamente nel dominio delle frequenze e si basa sullimporre un
valore massimo, alla norma della funzione di trasferimento scelta. In figura 3-2 si
riporta il diagramma a blocchi per il progetto di controllori in norma. Nel diagramma si
considera il caso in cui il vettore y la variabile di risposta misurata, il vettore d
rappresenta linsieme delle grandezze scelte come risposta del sistema e che sintende
)()()( txtGtu =
)()()()( txgtxgtxgtu TxTx
T &&+==
(3.5)
(3.6)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
35
regolare u il vettore delle grandezze di controllo (entrata), e f leccitazione. Secondo
la scelta della funzione di trasferimento si hanno le varie metodologie.
E opportuno puntualizzare che esiste unampia classe di funzioni di
trasferimento che consentono di identificare il legame, nel dominio delle frequenze, tra
leccitazione esterna f e le grandezze desiderate d.
In generale nel controllo delle vibrazioni strutturali si suppone che il sistema
presenti piccoli spostamenti e un comportamento lineare. Quando si hanno modelli a
parametri non noti, incerti,variabili, necessario introdurre delle tecniche di controllo
capaci di mantenere le grandezze dinamiche al di sotto di prestabiliti limiti in presenza
di non linearit del sistema e di incertezze di modellazione. La capacit di un sistema di
controllo di assicurare il raggiungimento dellobiettivo definita come robustezza del
controllo. Le tecniche di controllo adattivo sembrano particolarmente promettenti in
questo senso. Si tratta di una tecnica che in linea di principio prevede la presenza di un
sistema di regolazione, detto controllore, che modifica nel tempo, in maniera
automatica, i parametri delle sue leggi.
Un progetto di un controllore adattivo consiste nel definire un meccanismo che
garantisca, al sistema di controllo, la stabilit e che lerrore di trascinamento converga a
zero al variare dei parametri adattivi.
Progettare un controllo adattivo significa:
scegliere la legge di controllo contenente i parametri adattivi; scegliere la legge adattiva che modifichi questi parametri; analizzare le propriet di convergenza del sistema controllato.
Eccitazione Sistema
strutturale Uscita
Controllore
figura 3-2: diagramma a blocchi per il progetto di controllori
f(t) d(t)
y(t) u(t)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
36
Si tratta di una tecnica di controllo efficace sia per sistemi lineari incerti, che a
coefficienti variabili nel tempo, sia per sistemi non lineari.
I sistemi strutturali con non linearit (diffuse o concentrate) possono essere
controllati con tecniche adattive.
Le tecniche adattive sono una soluzione, per esempio, nelle diverse applicazioni
di robotica, dove si richiedono prestazioni dinamiche e annullamento o minimizzazione,
delleffetto delle variazioni di grandezze elettriche e meccaniche.
3.2.1. Controllo a ciclo aperto e controllo a ciclo chiuso
Si soliti distinguere le grandezze che interagiscono con lesterno in ingressi e
uscite nellambito di una distinzione tra causa ed effetto. Diversi sono i criteri che
permettono di classificare i sistemi di controllo, tra i quali si considera quello che si
basa sulle modalit attraverso le quali si sviluppa lazione di controllo. La distinzione
pi importante che si fa quella tra sistemi a ciclo aperto (figura 3-3) e sistemi a ciclo
chiuso (figura 3-4)
dove:
v sono le variabili controllate (ingresso); u la funzione di controllo; y sono le variabili controllate (uscita);
Controllore Sistema v y u
figura 3-3: controllo a ciclo aperto
Controllore Sistema v u y
figura 3-4: controllo a ciclo chiuso
Capitolo 3 Sistemi di controllo
37
Per differenziare i due tipi di controllo si esamina la grandezza di ingresso (o
comando) v, e quella di uscita (o controllata) y del sistema e si fa riferimento allazione
di controllo sviluppata, dalla prima sulla seconda.
Il controllo si dice a ciclo aperto (open loop) se la grandezza dingresso agisce in
modo diretto su un a seconda grandezza e questa su di una terza e cos via, fino a
giungere alla grandezza che agisce direttamente su quella controllata.
Il controllo detto a ciclo chiuso (closed loop) se la grandezza duscita, o
unaltra dipendente da questultima, confrontata con la grandezza dingresso e si
utilizza la differenza tra le due. Questo tipo di controllo si dice anche a controreazione
(feedback).
3.2.2. Classi di sistemi di controllo
In genere si tratta di sistemi di controllo non lineare. Per essi si pu parlare di
pi classi. Una classe di sistemi di controllo non lineare molto usata nelle applicazioni
formata da un insieme di equazioni differenziali ordinarie del tipo:
nel quale x Rn lo stato, x0 la condizione iniziale, u : R+ Rm lingresso di controllo, y Rs il vettore duscita. Se m=s=1, si tratta di sistemi ad un ingresso ed unuscita (SISO), se invece m>1
ed s>1, si parla di sistemi multivariabili (MIMO).
Si considera in una successiva fase una sottoclasse di sistemi non lineari del tipo
affine per il quale imposto il vincolo che, nel modello ingresso-stato possibile
separare una parte f che non dipende da u ma soltanto da x, e una parte g che dipende
solo da x ed moltiplicata per u. Per le funzioni f, g, h, si fa lipotesi di funzioni
continue e derivabili.
( ) 0)0( , xxuxfx ==&( )xhy =
uxgxfx )()( +=&)(xhy =
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
38
A qualsiasi classe appartenga il sistema di studio sempre importante la
valutazione del suo grado relativo e la sua proiezione nello spazio di stato, elementi
molto importanti per definire la controllabilit e losservabilit di un qualsiasi sistema.
3.2.3. Losservatore
Quando un sistema le cui variabili sono la stima delle variabili di stato di un
altro sistema, si dice osservatore di tale sistema. Il sistema osservatore stima, da misure
dellingresso e delluscita, lo stato non misurabile come indicato in figura 3-5.
Questo termine fu introdotto da Luenberger nella teoria dei sistemi. Per ogni
sistema osservabile pu essere progettato un osservatore con assegnate caratteristiche di
convergenza dellerrore.
Nellipotesi di conoscere le matrici A e B, e che A sia stabile, allequazione (3.7)
aggiungiamo:
Il sistema dinamico che simula il comportamento del sistema reale (osservatore
asintotico) potrebbe essere descritto da:
Modello
sistema
fisico Osservatore
u
y
x
figura 3-5: sistema osservatore
( )xOy =
BuAxx +=&
( )xOy =
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
39
Il sistema dinamico (3.12)-(3.13) chiamato osservatore dello stato e la sua
principale caratteristica quella di far tendere lo stato stimato x al reale andamento
rappresentato da x.
Facendo la differenza fra le variabili di uscita sul sistema reale y e le grandezze
stimate y si ha la valutazione dellerrore fra i due sistemi dinamici. Lerrore
dellosservatore definito:
Se questo errore viene considerato proporzionalmente ad una matrice di peso C e
aggiungiamo allequazione (3.12) come termine correttivo, possiamo scrivere la
dinamica dellosservatore come:
considerando le equazioni (3.11) e (3.13) lerrore tra lo stato completo e la sua
stima :
ed utilizzando la (3.14) la dinamica dellerrore ha la seguente equazione
differenziale:
Per assicurare la convergenza a zero dellosservatore, con una velocit di
convergenza maggiore di quanto avviene la risposta del sistema, necessario valutare la
matrice C di progetto dellosservatore.
3.3. PROGETTO DELLA LEGGE DI CONTROLLO
Il progetto della legge di controllo per un sistema pu essere fatto partendo dalle
equazioni del moto nella forma integro differenziali (PDE) oppure partendo dalle
equazioni del moto nella forma dequazioni differenziali ordinarie (ODE).
xxeo =
( )xxCBuxAx ++=&
( ) ( )xxCOxxAxx += &&
( ) 0 eCOAeo +=&
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Capitolo 3 Sistemi di controllo
40
3.3.1. Controllo di modelli discreti
Eseguire un progetto del controllo su un modello discreto, ha il vantaggio di
operare su un modello matematico strutturalmente ben definito, in cui sono facilmente
riconoscibili le grandezze del sistema strutturale. Si hanno per delle limitazioni dovute
sia al numero di modi scelti per il controllo, che alla serie di assunzioni fatte nellambito
della definizione del modello stesso.
Partendo da un modello discreto abbiamo n equazioni differenziali ordinarie del
secondo ordine nella variabile tempo. Quando fissiamo il numero dei modi che
intendiamo studiare usiamo parlare di modello ridotto.
Inoltre, sempre per un modello discreto, si pu eseguire un progetto nello spazio
modale oppure nello spazio di stato.
3.3.2. Controllo di modelli continui
Un modo di procedere al progetto di un controllo su un modello continuo
quello di scrivere le equazioni del moto del sistema ed includervi le forze di controllo
come naturali condizioni presenti agli estremi. Si tratta di un metodo basato sul
teorema di stabilit di Lyapunov.
Secondo questo teorema uno stato dequilibrio xc di un sistema stazionario a
dimensione finita, regolare, stabile (asintoticamente stabile) se esiste una funzione
V(x) detta di Lyapunov, tale che:
V(xc)=0; V(x) definita positiva in un opportuno intorno di xc; (x)V& semidefinita (definita) negativa nello stesso intorno.
Modello discreto (ODE)
Modello continuo (PDE)
Progetto controllo
figura 3-6: progetto del controllo
Capitolo 3 Sistemi di controllo
41
Si tratta di un metodo che comporta la definizione di una funzione candidata di
Lyapunov che abbia le seguenti caratteristiche:
nulla nel punto dequilibrio differenziabile rispetto ai parametri (variabili) del sistema definita positiva in un opportuno intorno del punto dequilibrio
Lunico difetto del metodo basato sulla stabilit, che esso richiede la misurabilit
di tutte le variabili di stato, perch esse compaiono nella funzione di Lyapunov.
Capitolo 4 Strumentazione
42
4. STRUMENTAZIONE
Il seguente capitolo illustra la strumentazione, di laboratorio, utilizzata per
lacquisizione dei dati e la manipolazione di questultimi grazie allutilizzo di
programmi ad interfaccia grafica visualizzabili nel sistema operativo Windows di un pc.
4.1. DESCRIZIONE DEL SISTEMA DI ACQUISIZIONE DEI DATI
La componente fondamentale di un sistema DAQ consiste nella misura o nella
generazione di segnali nel mondo fisico. Prima che un sistema basato su un computer
possa misurare un segnale fisico necessario che un sensore, o un trasduttore, lo
converta in un segnale elettrico come una tensione o in una corrente. Quindi la scheda
DAQ solo uno dei componenti del sistema DAQ; talvolta non possibile collegare dei
segnali alle schede DAQ, , infatti, necessario disporre di un condizionatore di segnale
che trasforma il segnale prima che la scheda DAQ lo converta in segnale digitale. Il
software controlla il sistema DAQ per acquisire i dati, analizzarli e presentarne i
risultati.
Quando si misura un segnale analogico con la scheda DAQ occorre considerare
che la qualit del segnale digitalizzato dipende da diversi fattori, come il tipo dingresso
(single-ended oppure differenziale), lintervallo di misura, la risoluzione, la velocit di
campionamento, laccuratezza ed il rumore.
Gli ingressi single-ended sono tutti riferiti ad una massa comune. Si utilizzano
questi ingressi quando i segnali sono forti (superiori a 1 V), i cavi che collegano la
sorgente del segnale allhardware sono corti (meno di 3 metri) e tutti i segnali in
ingresso possiedono la stessa massa. Se i segnali non ottemperano a questi criteri,
occorre utilizzare ingressi differenziali; in questo caso ciascun input ha una massa
distinta dagli altri.
La risoluzione il numero di bit che il convertitore analogico/digitale (ADC)
utilizza per rappresentare il segnale analogico. Pi alta la risoluzione, maggiore risulta
il numero di divisioni in cui suddiviso lintervallo e, quindi, pi piccola la variazione
di tensione rilevabile.
Capitolo 4 Strumentazione
43
Lintervallo di misura (range) riguarda i valori di tensione minimi e massimi che
lADC pu convertire. La scheda DAQ offre la possibilit di selezionare il range di
misura (in genere da 0 a 10 V o da 10 a 10 V), cos da consentire di adattare il range
del segnale a quello dellADC, in modo da misurare il segnale con la massima
risoluzione disponibile.
Il guadagno sta ad indicare una qualunque operazione damplificazione o
dattenuazione del segnale prima che esso sia digitalizzato. Applicando il guadagno ad
un segnale possibile diminuire lintervallo di valori in ingresso dellADC
consentendogli cos di utilizzare tutte le divisioni digitali possibili per rappresentare il
segnale. Per esempio, supponiamo di avere un segnale che fluttua tra 0 e 5 Volt, con un
impostazione dellintervallo di misura da 0 a 10 Volt. Se non viene applicato nessun
guadagno, il che equivale a dire che il guadagno pari ad 1, lADC usa solamente met
delle divisioni disponibili per effettuare la conversione analogico-digitale. Se invece si
amplifica il segnale con un guadagno di 2 prima di effettuare al digitalizzazione, lADC
utilizza tutte le divisioni digitali possibili e la rappresentazione del segnale
conseguentemente pi accurata.
Il range di misura, la risoluzione ed il guadagno di una scheda DAQ determinano
la variazione di tensione minima rilevabile, che rappresenta il pi piccolo bit
significativo (LSB) del valore digitale, ed spesso chiamata larghezza del codice. La
minima variazione del segnale che pu essere rilevata calcolata come:
LSB = Range di tensione guadagno2risoluzione in bit
La velocit di campionamento (scan rate) determina la frequenza con cui ha luogo la
conversione. Una velocit di campionamento elevata permette lacquisizione di pi
punti in un dato intervallo temporale e quindi consente di ottenere una migliore
rappresentazione del segnale originale rispetto a una velocit di campionamento
inferiore. Tutti i segnali in ingresso devono essere campionati ad una velocit
sufficientemente elevata, tale da rappresentare adeguatamente il segnale analogico.
Prima di essere convertito in un segnale digitale, il segnale analogico distorto
dalla presenza del rumore, la cui sorgente pu essere interna o esterna al computer. E
Capitolo 4 Strumentazione
44
possibile ridurre il rumore generato dallesterno utilizzando un opportuno
condizionatore di segnale, oppure eseguendo un numero di campionamenti superiore al
necessario e calcolando il valore medio dei punti cos acquisiti.
4.2. SCHEDA PCI 6052E
Scheda AT-MIO-16XE-50 della National Instruments installata su PC con
processore PENTIUM III 800 Mhz 128 MB di RAM.
LAT-MIO una scheda multi funzione: Input/Output analogico, digitale,
calcolo del tempo. La scheda non ha interruttori, jumpers, potenziometri, quindi
configurata e calibrata tramite software. DMA (direct memory access), interrups, base
I/O addresses sono tutti configurabili tramite software; in questo modo si pu
facilmente cambiare la configurazione della scheda senza rimuoverla dal computer.
La scheda AT-MIO va inserita in un solo slot a 16 bit e possono essere eseguiti
due tipi di configurazioni:
1) la configurazione delle connessioni del bus che include lindirizzo I/O base, il
canale DMA e i canali dinterrupt
2) la configurazione della connessione dellacquisizione dati che include i
settaggi come polarit e range degli input analogici, sorgente di riferimento degli output
analogici.
La scheda AT-MIO ha tre differenti modalit di input:
1) NRSE non referenced single-ended input
2) RSE referenced single-ended input
3) DIFF input differenziale
La configurazione di input single-ended consente di usare fino a 16 canali mentre
quella differenziale consente di usare fino ad 8 canali.
La scheda AT-MIO ha due polarit di input: unipolare, con un range di 10 Volt
[0; +10], e bipolare, con un range di 20 Volt [-10; 10].
Nel configurare la scheda possiamo consentire lincertezza abilitando il dither
aggiungendo rumore al segnale.
Capitolo 4 Strumentazione
45
I segnali di output analogico sono DAC0OUT DAC1OUT. DAC0OUT il
segnale di output di tensione per il canale 0 di output analogico, DAC1OUT per il
canale 1. il trigger, cio grilletto o scatto, generato quando il segnale supera il valore
massimo; ci molto importante per evitare di danneggiare la scheda.
Si pu, inoltre, fissare un guadagno per la scheda tale da utilizzare un maggior
numero di bit per la rappresentazione del segnale. Dando un guadagno alla scheda DAQ
non si amplifica il segnale ma si riduce il range configuration tale che i bit invece di
essere suddivisi da 0 a 10 sono suddivisi, con gain pari a 10, da 0 ad 1.
4.3. ACCELEROMETRO PIEZOELETTRICO
Lelemento attivo degli accelerometri sono dischi o porzioni di piezoelettrico, in
piombo zirconati titanati, compressi da una massa sismica e tenuti in posizione da un
anello che agisce come una morsa. Quando laccelerometro soggetto a vibrazioni, la
massa sismica, combinata con quei piezoelettrici, esercita una forza variabile sugli
elementi piezoelettrici. Proprio per effetto piezoelettrico, questa forza produce una
corrispondente carica elettrica. Per frequenze molto vicine alla corrente continua, fino a
circa un terzo della frequenza di risonanza dellaccelerometro, laccelerazione della
massa sismica uguale allaccelerazione di tutto il trasduttore. Conseguentemente la
carica prodotta dallelemento piezoelettrico proporzionale allaccelerazione alla quale
il trasduttore soggetto. Il segnale in uscita dagli accelerometri B6K autogenerato,
sebbene i tipi con preamplificatore incorporato richiedano di fornire una potenza
esterna, perch questo segnale possa essere misurato. Questi strumenti misurano
laccelerazione in una sola direzione, il modello secondo cui sono costruiti detto
Delta Shear.
Un accelerometro piezoelettrico pu essere trattato come una sorgente di carica
o di tensione. La sua sensitivit definita dal rapporto tra loutput e laccelerazione alla
quale soggetto, e pu essere espressa in termini di carica per unit di accelerazione o
in termini di tensione per unit di accelerazione. La sensitivit fornita nei dati tecnici
stata misurata a 160 Hz con unaccelerazione di 100 m/s2. per un livello di sicurezza del
99,9% laccuratezza della calibrazione di fabbrica 2% e include linfluenza del cavo di connessione fornito con ogni accelerometro. Gli accelerometri sono poco sensibili ad
Capitolo 4 Strumentazione
46
accelerazioni perpendicolari al loro asse principale di sensibilit. Questultima
misurata durante il processo di calibrazione di fabbrica ed data come percentuale della
corrispondente sensitivit nella direzione principale.
La risposta di un accelerometro alle basse frequenze dipende principalmente dal
tipo di preamplificatore usato. Inoltre ogni accelerometro ha una sua curva caratteristica
di risposta in frequenza, fornita con il foglio di calibrazione. Gli accelerometri possono
essere usati a frequenze fino al 30% della loro frequenza di risonanza senza che sia
introdotta una distorsione di fase rilevante. In generale pi piccolo laccelerometro pi
alto il livello di vibrazione al quale esso pu essere usato. Il limite massimo dipende
dal tipo di vibrazione al quale esso sottoposto, ed determinata dalla precompressione
degli elementi piezoelettrici.
Gli accelerometri (figura 4-1) presentano una leggera sensibilit alle fluttuazioni
di temperatura, questeffetto significante quando sono misurate basse frequenze, basse
accelerazioni. La sensibilit acustica bassa e, per la maggior parte delle applicazioni,
nelle misure di vibrazioni trascurata. Il cavo coassiale da collegare allaccelerometro
a basso disturbo ed isolato con teflon. Inoltre esso va bloccato come in figura x-x per
ridurre il rumore generato dal cavo.
4.4. AMPLIFICATORE DI CARICA NEXUS
Se Vi la tensione rilevata dallaccelerometro, laccelerazione risulta pari al
rapporto tra Vi e la sensitivit dellaccelerometro, fornita con i certificati di collaudo
dello strumento.
SensivityVoltage
VoneAccelerazi i
=
figura 4-1: accelerometro Bruel & K
Capitolo 4 Strumentazione
47
Il voltage sensitivity espresso in V/ms-2 ed pari al rapporto tra la sensitivit di
carica e la capacit dellaccelerometro pi cavo.
4.5. AMPLIFICATORE ACX
Lamplificatore (figura 4-2) controlla gli attuatori piezoelettrici applicando una
differenza di potenziale; il segnale di input amplificato fino ad ottenere un output di al
massimo 200 V con una intensit di corrente di 200 mA. E possibile modificare il guadagno in modo continuo da 1x a 20x. Per proteggere i dispositivi piezoelettrici
esistono due interruttori che limitano il segnale di output: uno che limita la differenza di
potenziale a 100 V oppure a 200 V, ed un altro che limita la corrente a 50 mA oppure a 200 mA.
Il connettore dellinput accetta un segnale, prodotto da un generatore di funzione
o da altra sorgente, con differenza di potenziale di 10 V, se il controllo del guadagno fissato a 20x, oppure 200 V se il guADAGNO 1x. Se sono superati questi limiti lamplificatore manda comunque un segnale in output, ma entro i limiti consentiti; ne
risulta il troncamento del segnale. Se, poi, il segnale in input moltiplicato per il
guadagno superiore a 400 V allora, al fine di proteggere lamplificatore stesso, salta il fusibile di input.
Il connettore di output, fornisce una differenza di potenziale pari al segnale di
input moltiplicato per il guadagno, sempre entro i limiti 200 V, o anche meno qualora linterruttore si trovi su 100 V. questultimo limite relativo ad alcuni tipi di attuatori piezoelettrici.
Per prevenire danni, esiste anche un fusibile per lalimentazione
dellamplificatore; esso salta se la corrente supera 1,5 A.
figura 4-2: amplificatore ACX
Capitolo 4 Strumentazione
48
4.6. CARATTERISTICHE DELLA TRAVE
Come elemento su cui eseguire le misure, stata presa una trave incastrata
(figura 4-3) con le seguenti caratteristiche:
la barra lunga complessivamente 61 cm, la parte incastrata di 10 cm, quindi
la lunghezza libera risulta
L = 0,51 m
La barra pesa complessivamente 136,4 grammi; dividendo per la lunghezza
complessiva della barra stessa si ottiene la densit che ha le dimensioni di una massa per unit di lunghezza. Il valore di :
= 0,2236 kg/m la sezione della barra larga un pollice (2,54 cm) ed alta 3,175 mm.
Il momento dinerzia risulta:
I = 6,774610-11 m4 Il momento modulo elastico dellalluminio , approssimativamente:
E = 71099,81 N/m2
4.7. LAMINA PIEZOELETTRICA
La piezoelettricit un fenomeno nel quale alcune sostanze cristalline, quando
sono soggette a pressione o forze, generano un campo elettrico proporzionale alla
pressione oppure, quando sono soggette ad un campo elettrico, mostrano una
deformazione meccanica (si espandono o si contraggono). Questo fenomeno stato
inizialmente osservato in singoli cristalli come il quarzo; poi stato indotto in alcune
sostanze policristalline. Questo reciproco accoppiamento tra energia meccanica ed
elettrica rende i materiali piezoelettrici utili in molte applicazioni.
figura 4-3: lamina di base
Capitolo 4 Strumentazione
49
I materiali piezoelettrici possono essere usati contemporaneamente come sensori
ed attuatori, grazie alle loro capacit di convertire energia elettrica in energia meccanica
e viceversa. Leffetto piezoelettrico presente solo in cristalli che non hanno centro di
simmetria; infatti ogni materiale policristallino composto da una moltitudine di
cristalli orientati in modo random. La maggior parte dei cristalli possono essere allineati
applicando, ad elevata temperatura, un forte campo elettrico che polarizza il materiale
mostrando leffetto piezoelettrico; pi cristalli o domini sono orientati, maggiore
leffetto del piezoelettrico. Il materiale piezoelettrico ha una propria frequenza di
risonanza alla quale vibra pi facilmente; il valore di tale frequenza determinato dalla
composizione del materiale, dalla forma e dalla dimensione. Se il materiale
piezoelettrico sollecitato con un campo elettrico a questa frequenza di risonanza esso
oscilla con maggiore efficienza convertendo energia elettrica in meccanica (acustica).
Le propriet fisiche dei materiali piezoelettrici:
1. Modulo di Young: la misura dellelasticit, bisogna considerare che da una
parte dellenergia richiesta per deformare il materiale trasformata in energia elettrica.
Perci il valore del modulo cambia se gli elettrodi sono cortocircuitati con un filo o se
non sono connessi. Il modulo di Young il rapporto tra lo sforzo e la deformazione
quando vibra alla frequenza di risonanza.
2. Temperatura di Curie: la polarizzazione spontanea nei materiali piezoelettrici
persa se la temperatura cresce fino al punto critico conosciuto come temperatura di
Curie. Esiste, quindi, una temperatura al di sotto della quale utilizzare il materiale, in cui
il materiale rimane stabile.
3. Q meccanico: un numero dimensionale che d la qualit del materiale come
oscillatore armonico; il reciproco del fattore di smorzamento meccanico mentre
nellanalogia del circuito equivalente il rapporto della reattanza sulla resistenza.
4.7.1. ACX
Il materiale piezoelettrico (figura 4-4) utilizzato nellesperimento una
sottilissima lamina tra due conduttori. Gli elettrodi di colore grigio sono di Nickel e il
loro spessore ha valori compresi tra 0,00005 0,0002 inch. Possiamo quindi considerare il disposit6ivo come un condensatore a facce piane e parallele in cui il
Capitolo 4 Strumentazione
50
dielettrico rappresentato dalla lamina di materiale piezoelettrico. Lattuatore
piezoelettrico utilizzato nellesperimento il modello QP10N dellACX (active control
experts)
dimensioni 5,08 x 2,54 x 0,0381 (cm3)peso 2,835 gcostante dielettrica (1 kHz) 1800fattore di perdita dielettrica (1kHz) 1,80%temperatura di Curie 350 Cdensit 7700 kg/m2
campo elettrico coercitivo misurato < 1 Hz 14,9 KV/cmcoefficiente di accoppiamento nel piano 0,63coefficiente di accoppiamento diretto 0,7coefficiente di accoppiamento trasversale 0,3coefficiente di accoppiamento 0,4coefficiente piez. diretto di carica 350 10-12 m/Vcoefficiente piez. trasversale di carica -179 10-12 m/Vcoefficiente piez. diretto di potenziale 24,2 10-3 Vm/Ncoefficiente piez. trasversale di potenziale -11,0 10-3 Vm/Nmodulo elastico longitudinale 6,9 1010 N/m2
modulo elastico trasversale 5,5 1010 N/m2
lunghezza della lamina piezoelettrica 4,597 10-2 mlarghezza della lamina piezoelettrica 2,057 10-2 mspessore della lamina piezoelettrica 2,54 10-4 m
CARATTERISTICHE DEL DISPOSITIVO
figura 4-4: lamina di piezoelettrico
Tabella 4-1: caratteristiche delle lamine
Capitolo 4 Strumentazione
51
4.8. PROGRAMMI REALIZZATI IN LABVIEW
LabVIEW (acronimo di Laboratori Virtual Instrument Engeneering Workbench)
un sistema di sviluppo potente e flessibile per applicazioni di acquisizione e analisi
dati per PC in ambiente Microsoft Windows. LabVIEW si differenzia nettamente dai
linguaggi tradizionali di programmazione mettendo a disposizione un ambiente di
programmazione grafica e tutti gli strumenti necessari per sviluppare applicazioni
rivolte allacquisizione dati e alla loro analisi e presentazione. Con questo linguaggio di
programmazione grafica, chiamato G, possibile scrivere programmi disegnando dei
diagrammi a blocchi che LabVIEW compila, generando il codice macchina. LabVIEW
integra in un unico sistema lacquisizione dei dati, la loro analisi e la presentazione la
presentazione dei risultati. Lacquisizione dei dati effettuata con LabVIEW tramite la
scheda AT-MIO. E utilizzato per gestire la scheda DAQ, per rilevare i segnali di input
ed eventualmente rielaborarli e per mandare un segnale di output. Virtual Instrument:
perch le applicazioni di LabVIEW si comportano come uno strumento virtuale,
controllato attraverso il mouse, la tastiera ed il monitor.
Sono stati realizzati alcuni programmi per gestire al meglio lesperimento, sia
per quanto riguarda lacquisizione dei dati che la loro rielaborazione.
4.9. MISURE EFFETTUATE SOLLECITANDO LA TRAVE CON UN ATTUATORE PIEZOELETTRICO
La struttura sulla quale sono state effettuate le prove una mensola di alluminio
sulla quale stato posizionato, tramite incollaggio, una lamina piezoelettrica sulla faccia
superiore della mensola. Il dispositivo dincastro fissato sul tavolo. Lattuatore posto
in prossimit dellincastro, ad una distanza di sei cm, mentre laccelerometro, che rileva
i movimenti della barra, posto sullestremit libera.
La lamina piezoelettrica, che funge da attuatore, stata sollecitata tramite
unonda sinusoidale di ampiezza e frequenza variabili. Londa, prodotta dalla scheda
DAQ, passa poi, tramite un connettore BNT, nellamplificatore di potenza ACX che ne
aumenta lampiezza di 20 volte, lasciando inalterata la frequenza.
Lampiezza dellonda stata indicata con Apz ed il suo valore, espresso in Volt,
quello che viene assegnato tramite la scheda senza tenere conto della successiva
Capitolo 4 Strumentazione
52
amplificazione. Per Apz stato scelto il valore di 5 Volt. Per avere unonda la pi
definita possibile, cio con unampiezza di oscillazione prossima ai 5 Volt, si variato
il guadagno, utilizzando i valori di 10, 100 e 1000, proprio perch la risposta del sistema
in alcuni casi risultava eccessiva (in prossimit delle frequenze di risonanza) e in altri
scarsamente rilevabile. Sono state assegnate frequenze da 3 Hz fino a 2120 Hz, gli
intervalli tra una frequenza e la successiva sono stati infittiti in corrispondenza dei
picchi di risonanza. Valori pi bassi di 3 Hz non sono stati analizzati perch la risposta
dellaccelerometro, data in termini di differenza di potenziale, risulta fortemente
disturbata, sia perch risente troppo dei rumori ambientali sia perch a basse frequenze
diminuisce la sensibilit dellaccelerometro. Oltre 2120 Hz non possibile andare, non
per limitazioni dellaccelerometro, ma per il limite della scheda nella velocit di
campionamento che 20000 campionamenti al secondo. Questo significa che ogni
periodo della risposta campionato, a 1650 Hz, con 10 punti circa. Lupdate rate, che
rappresenta il numero di punti con i quali, nellintervallo di un secondo, discretizzata
londa di output in uscita dal DAC1_OUT, non pu superare il valore di 20000, ma, con
lintento di avere unonda pi definita, questo valore forzato a 50000 e a 100000.
Queste operazioni sono importanti quando si raggiungeranno frequenze elevate.
Se ne avverte la differenza da una caratteristico rumore dellattuatore che in alcuni casi,
pi che ricevere unonda sinusoidale, ricevere unonda con differenze tra un valore e
laltro piuttosto rilevanti.
La scheda filtro, per frequenze fino a 25 Hz, stata lasciata a 50 Hz per ridurre
gli effetti di eventuali disturbi; poi, per frequenze maggiori, stata aumentata tale da
non perdere eventuali armoniche superiori.
Il preamplificatore utilizzato quello con matricola 0: da questa informazione si
ricavano i valori effettivi di guadagno, leggermente diversi da quelli teorici. Il segnale
rilevato dallaccelerometro va comunque amplificato. Per avere la migliore risoluzione
del segnale il guadagno dovrebbe avere valore tale che la risposta sia compresa tra [-5;
+5] Volt. Ma dato che non sono disponibili valori continui del guadagno, e al fine di
avere una pi immediata visione dei risultati delle prove dur