DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI · 2015. 10. 5. · Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione...

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1Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

DIGITALIZZAZIONE DEISEGNALI

2Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Segnale analogico( o tempo-continuo )

Segnale numerico( o digitale )

A/DADC

Conversione analogico - digitale

xa(t) x(nT)

Campionamento Quantizzazione

x(nT)xa(t)

TQ

Due operazioni:

xc(nT)

3Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

segnalenumerico o digitale

segnaletempo-continuo

segnaletempo-discreto

Relazioni tempo-frequenza (Trasformata di Fourier)

[Cap. 1.6-1.8]Segnale continuo

spettro(T.F. diretta)

(T.F. inversa)

xa(t)

dfefXtx tfjaa

2)()(

dtetxfX tfjaa

2)()(

t f

Xa (f)

4Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Segnale discreto

n

Tnfjcc enTxfX 2)()( T.F. diretta

(tempo-discreta)

n

nFjc enTx 2)(

)(FX c

cffTfF frequenza normalizzata

(è quella che conta nella ENS!)

5Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

T. F. inversadfefXTnTx TnfjT

Tcc

22/1

2/1

)()(

dFeFX nFjc

22/1

2/1

)(

dFeFX nFjc

21

0

)(|Xc( f )|xc(nT)

PERIODO

n-1 0 1 2 3 fT21

0T21

21

21 F1

6

T1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Banda utile del segnale campionato:

per definizione quella compresa fra:

21

2 Fovveroff c

7Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Relazione fra Xc( f ) e Xa( f )

Teorema del campionamento

Xc( f ) è la somma di un numero infinitodi repliche dello spettro di xa(t),ciascuna traslata di un multiplo intero dellafrequenza fc

k

cac fkfXT

fX )(1)(

8Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

k=0

k=1

k=2

|Xa( f )|

N.B.: può presentarsi il fenomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale (distorsione spettrale)

fc

fc

2fc

9

|Xc( f )| N.B.: si sommano le funzioni complesse (non i moduli)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Condizione di assenza di distorsione spettrale(condizione di Nyquist)

1) segnale limitato in banda B

2) fc > 2B (frequenza di Nyquist)

(1 e 2) repliche disgiunte in frequenza

10

BffX a per 0)(

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

-B B f

B fc - B fc + Bfc

Banda di guardia: fc - 2B (necessaria in pratica)Se 1 o 2 non sono entrambe verificate:parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento)

2 fc

11

…....…....

|Xa( f )|

|Xc( f )|

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

12

D/ADAC

ya(t)y(nT)

Ricostruzione del segnale analogico

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Osservazione: Se yc(nT)=xc(nT) i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico originario se le condizioni 1 e 2 sono verificate

B fcfc/2

1

fc /2filtro passa-basso ideale

(analogico)

yc (nT) ya (t)

-B B ff( a meno del fattore di scala 1/T )

f

13

|Yc( f )| |Ya( f )|

-B

Idealmente:

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

RICHIAMI DEL CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI

[per approfondimenti App. A)]

xa(t) segnale aleatorio• xc(nT) ha la stessa densità di probabilità di xa(t)

• segnali stazionari in senso lato

mediamnTxE xc )(

)()()( mTrmTnTxnTxE xcc autocorrelazione

rx(mT) corrisponde al campionamento dellaautocorrelazione continua )(r di xa(t)

14Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

• Spettro di potenza Gx( f ) di xc(nT)

Gx( f ) è la Trasformata di Fourier di rx(mT)

Se Ga( f ) è lo spettro di potenza di xa(t),cioè la trasformata di Fourier di

)(1)( cak

x fkfGT

fG

• Sequenze stazionarie ed ergodiche

Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme

)(r , si ha

15Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

)0( costante)( xx rfG

• Sequenze a spettro bianco

2x

)()0()( mTrmTr xx

• Potenza di una sequenza ( a media nulla)

)0()(2xcx rnTxES

che coincide con la varianza della sequenza

16Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

QUANTIZZAZIONE

17Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Campionamento Quantizzazione

x(nT)xa(t)

TQ

segnaletempo-discreto

Due operazioni:

xc(nT)

18

segnaletempo-continuo

segnalenumerico o digitale

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

QUANTIZZAZIONE

Qxc(nT) x(nT)

19

segnaletempo-discreto

segnalenumerico o digitale

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Quantizzazione uniformearrotondamento

q 2q 3q

2q

q

3q

q passo di quantizzazione

xc(nT)

x(nT)

20Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Errore di quantizzazione

)()()( nTxnTxnTe c ovvero

)()()( nTenTxnTxc

entoarrotondamqnTe2

)(

otroncamentqnTe )(0

21

[ ] non usato in ENS

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Modello dell’errore di quantizzazione( comunemente assunto)

e(nT) : segnale aleatorio indipendente da xc(nT) e quindi da x(nT)

densità di probabilità uniformemente distribuita: (arrotondamento)

2q

2q

q1

e0

bianco valor medio: 0 arrotondamento

[q/2 troncamento ]

varianza:12

1 22

2

22 qdeq

eq

qe

22Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Densità spettrale di potenza:

12)(

12)(

22 qFGovveroqfG ee

Potenza dell’errore di quantizzazione:

12)(

221

21

qdFFGN eq

23Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Rapporto segnale - rumore di quantizzazione

B bit (compreso il segno): 2B livelli

Bq22)1(2 Dinamica quantizzatore

(in uscita)

ionequantizzazdierrPotenza

segnaledelPotenzaNSSNR

qq .

BSq

S 22 23

12/

dBdBq SBSNR 77.402.6)( Ogni bit aggiunto fa aumentare SNRq di 6.02 dB

(dB)

24Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Segnale sinusoidale (val. max = 1, S=1/2)

76.102.6)( BdBqSNR

Segnale gaussianoSemi-Dinamica quantizzatore: S441

510 3.64 )( Pr nTxob c

161

S

27.702.6)( BSNR dBq

(dB)

(dB)

25

Esempi particolari

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Degradazione del rapporto segnale/rumore

Qxc(nT) x(nT)

segnale + rumore

segnale + rumore + err. quantizz.

S , Ni

)( qiuq

ii NN

SSNRNSSNR

S , Ni , Nq

26Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati

qiuq SNRSNRSNR111

degradazione

dBuqdBidB SNRSNR )()(

Dati SNRi e B, si determina dB

Dati SNRi e dB si determina SNRq e quindi B.

27Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

28

TRASFORMATA Z

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Trasformata Z

E’ una generalizzazione della Trasformata di Fourier per segnali tempo-discreti (sequenze)[come la Trasformata di Laplace è una generalizzazione della Trasformata di Fourier per segnali tempo-continui]

E’ uno strumento fondamentale per l’analisi e la rappresentazione di segnali discreti e per l’analisi e il progetto di sistemi discreti lineari tempo-invarianti Pre-requisiti: teoria delle variabili complesse

29Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

sequenza:

reale o complessa

Trasformata Z: ,)(

n

nznxzX

z variabile complessa

Definizione:

30

nnTxnx ,)(

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Relazione con la Trasformata di Fourier

Se X(z) esiste sulla circonferenza unitaria, la Trasformata di Fourier X( f ) o X(F) della sequenza x[n] si ottiene per

FjTfj eez 22

TfjezzXfX 2)()(

ovvero

FjezzXFX 2)()(

[ Nota: per semplicità stesso simbolo X(·) per Trasformata Z e Trasformata di Fourier ]

piano z

Re[z]

Im[z]

F=0

1

F=1/2

F=1/4

31Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Esistenza (convergenza della trasformata Z)

X(z) esiste per un certo valore di jerz

|)(| zX

Condizione sufficiente

n

nznx ||

ovvero

|| n

nrnx

se

32Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Regione di convergenza (RdC)

Insieme di valori di z sul piano complesso per i quali X(z) esiste (la serie converge)

33Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

TRASFORMATA Z INVERSA

• La Trasformata Z inversa (o antitrasformata Z) ricostruisce la sequenza x[n] a partire da X(z)

Definizione generale

dzzzXj

nx n

c

1)(2

1

dove l’integrale è calcolato in senso antiorario su un contorno C, interno alla regione di convergenza che contiene l’origine (z=0)

34Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Nell’elaborazione numerica dei segnali interessa principalmente l’inversione di funzioni X(z) razionali

35Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

Iniziamo da funzioni razionali elementari.

Abbiamo visto

azz

zazX

11

1)(

||||:,1

||||:,azRdCnua

azRdCnuanx

n

n

36Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

2)()(

azazzX

nuannx n

RdC: |z| > |a|

Generalizzazione:Applicando più volte il teorema della derivata rispetto a z si ottengono le trasformate Z di funzioni razionali con poli superiori al secondo ordine e le espressioni delle relative sequenze

37Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

38

Tabella delle più comuni trasformate Z

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

39

SISTEMI DISCRETI LINEARI

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

40

Esempi di segnali discreti (sequenze)

0 00 1

nn

n impulso unitario(o sequenza campione)

Alcuni esempi di segnali discreti

Per semplicità : x[n] = x(nT), T passo di campionamento costante

0 1 2 n

n

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

41

0 00 1

nn

nu sequenza gradino

0k

kn

0 1 2 n

u[n]

La sequenza

ha un numero finito (N) di campioni non nulli (sequenza di durata finita)

Nnununx

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

42

nang sequenza geometrica

0 1 2 3 n

… …reale , 10 aa

Caso particolare:

2 Fjea esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

43

Segnale periodico (periodo L ) :

minimo il e LnLnxnx

Da notare che un segnale continuo periodico di periodo P non necessariamente generaun segnale digitale con periodo L=P/T !!

EsempioUna sinusoide a frequenza 30Hz campionata a 90Hz ha un periodo L=3=P/T.Campionata a 91Hz ha un periodo L=91.Campionata a 92Hz ha un periodo L=46.Che periodo ha se campionata a 70Hz?

Per esempio è periodica di periodo L se F=i/L (interi primi) Fnnx 2cos

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

44

In generale, per un qualunque segnale x[n], si può scrivere:

k

knkxnx

Interpretabile come la combinazione lineare di impulsi unitari traslati pesati da coefficienti costanti

kn kx

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

45

Sistemadiscreto

nx nxTrny

,2 nxny s.d. non lineare senza memoria

,123 nxnxny s.d. non lineare con memoria (finita)

Esempi di sistemi discreti (s.d.)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

46

n

kkx

n

nyn

nnxn

ny

1][1

111 s.d. lineare tempo-variante (con memoria infinita)calcolo ricorsivo del valore medio dei valori di una sequenza da 1 a n

,1log nynxny s.d. non lineare con memoria (infinita)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

47

Definizione

Dati nxTrny 11

e nxTrny 22

si ha

SISTEMI DISCRETI LINEARI

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

48

a1 , a2 costanti (reali o complesse) Si estende ad una combinazione lineare di un numero qualunque (anche infinito) di termini.

nxanxaTrny 2211

nxTranxTra 2211

nyanya 2211

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

49

Risposta impulsiva o indice

knTrnhk

risposta del sistema all’impulso applicato all’istante k.In generale è una famiglia di sequenze, una per ogni k

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei SegnaliRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

50

Proprietà fondamentale

k

knTrkxnxTrny

k

k nhkx

L’uscita è una combinazione lineare degli ingressi con coefficienti (generalmente) tempo varianti.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

51

SISTEMI DISCRETI LINEARI TEMPO INVARIANTI(LTI)

Definizione ( x e k)

knyknxTr

knhknhnhk 0

quindi

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

52

L’uscita è data da:

kknhkxny

k

knxkh

nhnx (Convoluzione discreta)

Notare la proprietà commutativa della convoluzione discreta

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

53

Sistema discreto lineare tempo-invariante (LTI)

kk

knhkxknxkhnhnxny

h[n] risposta impulsiva del sistema [ risposta all’impulso unitario ]. caratterizza completamente il sistema

n

h[n]y[n]x[n]

LTI

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

54

Causalità

L’uscita al tempo m dipende solo dagli ingressi passati e presente, cioè per n m.

Equivale a:

Quindi:

0,0 nnh

0k

knxkhny

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

55

Due classi di sistemi discreti causali LTI

IIR (risposta impulsiva infinita)

0k

knxkhny

FIR (risposta impulsiva finita)

1

0

N

kknxkhny

durata della risposta impulsiva: N campioni.Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

56

Da notare che un sistema FIR non causale

1N

Mkknxkhny

può essere sempre trasformato in un sistema FIR causale (della stessa durata) ritardando l’uscita di M campioni e traslando di Mcampioni la risposta impulsiva:

1

0

MN

kknxMkhMnyny

1

0

MN

kknxkh

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

57

Stabilità (BIBO = Bounded Input Bounded Output)

Ogni ingresso limitato in ampiezza genera una uscita limitata in ampiezza.

Condizione necessaria e sufficiente:

kkh ||

FIR: sempre stabili

IIR: stabilità da verificareRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

58

EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE[Cap. 3.5]

Modo alternativo di definire un sistema LTI

Sistema di ordine N (causale)

0,10

nknyaknxbnyN

kk

M

kk

ak , bk coefficienti (costanti) del sistema e condizioni inizialiyi = y[i] , i = - N, ..., -1

FIR : tutti gli IIR : alcuni (salvo casi particolari, v. esempi)0ka

0ka

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

59

Esempio: sistema LTI, causale, stabile,

01,1 ynxnyany

che ha una risposta impulsiva (tipo IIR)

nuanh n

||1

1||0 a

nhn

stabilea 1||

stabilenona 1||

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

60

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

,)(

k

kzkhzH funzione di trasferimento del sistema (ROC)

x[n]

X(z)

h[n]

H(z) Y(z) = X(z) H(z)

nhnxny

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

61

Sistemi causali

FIR

1

0

)(N

k

kzkhzH

IIR

N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zP

zZb

za

zbzH

1

1

1

1

0

1

0

)1(

)1(

1)(

0k

kzkh

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

62

Ordine del sistema: N

Zk : zeri del sistema

Pk : poli del sistema

Stabilità : poli interni al cerchio unitario nel piano z.

Sistemi reali : zeri e poli reali o complessi coniugati

H(z) è la trasformata Z di h[n]h[n] è la trasformata Z inversa di H(z)[ modo alternativo di ottenere h[n]rispetto al calcolo diretto ]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

63

RISPOSTA IN FREQUENZA

Sistema discreto LTI

Ingresso: esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F

nFjenx 2

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

64

k

knFjekhny )(2

k

FkjFnj ekhe 22

FjezFnj zHe

2|)(2

)(2 FHe Fnj Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

65

La funzione complessa

della frequenza normalizzata F

è la risposta in frequenza del sistema

H(F) è la trasformata di Fourier della sequenza h[n]

k

FkjekhFH 2)(

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

66

Risposta di ampiezza:

| H(F ) | simmetrica

Risposta di fase:H(F ) antisimmetrica

Ritardo di fase:

FFFf

2

)()( (campioni)

Per sistemi reali [ sequenze h[n] reali ]

H (-F ) = H* (F )

)(F

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

67

Ritardo di gruppo:

dFFdFg

)(21)(

(campioni)

Sistemi non distorcenti in ampiezza (o passa-tutto)

| H (F ) | = costante

Sistemi non distorcenti in fase (o a fase lineare)

cost)()( FF gf

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

68

TRASFORMATA DISCRETADI FOURIER

(DFT)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

69

TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT)

Definita per sequenze periodiche (o finite)

N periodo (o durata) di x[n], n = 0, 1, ..., N -1

1

0

/2:N

n

NknjenxkXDFT 1,,1,0 Nk

1

0

N

n

knNWnx )( /2 Nj

N eW

1

0

1

0

/2 11:N

k

knN

N

k

Nknj WkXN

ekXN

nxIDFT

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

70

pNkXkX

pNnxnx

p intero qualsiasi

X[k] e x[n] sono due sequenze (generalmente complesse) periodiche di periodo N

Valori significativi: 10 Nn

10 Nk

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

71

Se x[n] è una sequenza di durata finita N essa va considerata come un periodo di una sequenza periodica

m

mNnxnx~

m intero

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

72

Relazione utile

npN

jN

n

eN

21

0

1

= 1 , p = m N m intero

= 0 , altrimenti

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

73

Dimostrazione IDFT

1

0

21 N

k

nkN

jekX

Nnx

moltiplicando entrambi i membri pernr

Nj

e2

e, sommando da n=0 a N-1, si ha

1

0

1

0

)(221

0

1 N

n

N

k

rknN

jnrN

jN

n

ekXN

enx

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

74

Scambiando l’ordine della sommatoria

1

0

1

0

)(221

0

1N

k

N

n

rknN

jnrN

jN

n

eN

kXenx

ed essendo

altrimentirkper

eN

N

n

rknN

j

,0,11 1

0

)(2

si ha

1

0

2N

n

nkN

jenxkX

periodica con periodo N

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

75

Teorema di Parseval

1

0

21

0

2 1 N

k

N

nkX

Nnx Energia di un periodo

della sequenza

1

0

22

1

0

2 11 N

k

N

nkX

Nnx

NPotenza della sequenza

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

76

Traslazione circolare

0 1 2 3 4 n

N=5x[n]

0 1 2 3 4 n

x[n-2]5

kmN

j

N ekXmnx2

rotazione di fase pari a: Nkm2

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

77

Analogamente (in modo duale)

nlN

j

N enxlkX2

modulazione con esponenziale complesso

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

78

Convoluzione circolare

Proprietà molto importante per le implicazioni applicative e realizzative

Definizione nxnxnyc 21

NN

m

mnxmx

21

1

0

kXkXkYc 21Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

79

Il prodotto X1[k] X2[k] è la DFT di una convoluzione circolare di due sequenze(e non di una convoluzione discreta tradizionale, detta per distinzione lineare o aperiodica)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

80

Convoluzione lineare

m

l mnxmxnxnxny 2121

Per es. per sequenze di durata N :yc[n] è periodica con periodo N

yl [n] è aperiodica di durata L = 2N-1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

81

In generale:se x1[n] e x2[n] sono due sequenze rispettivamente di durata L e M (L > M), la loro convoluzione lineare ha una durata

L + M – 1

Per la loro convoluzione circolare occorre definire un periodo N (> L), allungandole rispettivamente con N-L e N-Mcampioni nulli.

Caso 1Se N > L +M – 1, yl [n] = yc [n] per n=0,1,…..,L+M-2

Caso 2Se L < N < L +M – 1

yl [n] = yc [n] per n=L+M-1-N, L+M-1-N+1,……,N-1ovvero per gli ultimi 2N-(L+M-1) della convoluzione circolare

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

82

Per poter utilizzare la DFT per il calcolo della convoluzione discreta lineare [p.es. y[n] = x[n] h[n] ], occorre usare tecniche opportune:

Overlap and add Overlap and save

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

83

TRASFORMATA VELOCEDI FOURIER

(FFT)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

84

TRASFORMATA VELOCE DI FOURIER (FFT)

La DFT

,1

0

N

n

nkNWnxkX N

j

N eW2

richiede

N2 moltiplicazioni complesse [ 4 N2 m. reali + 2 N2 s. reali ]

N (N-1) somme complesse [ 2N (N-1) s. reali ]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

85

Algoritmi FFT

Radice-2 decimazione nel tempo

Radice-2 decimazione in frequenza

Estensioni di questi algoritmi base

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

86

FFT RADICE-2 DECIMAZIONE NEL TEMPO

vN 2

disparin

nkN

parin

nkN WnxWnxkX

1

2

0

21

2

0

2 122

N

p

pkN

kN

N

p

pkN WpxWWpx

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

87

)( 2/

222

NN

j

N WeW

1

2

02/

12

02/ 122

N

p

pkN

kN

N

p

pkN WpxWWpx

kBWkA kN

)1,.....,0( Nk

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

88

A[k], B[k] sono DFTN/2

camp.dispari

DFT

DFT

A[k]

B[k]

camp.pari X[k]

kNX

2

WNkWN

N/2+k = -

stadioN/2 m.c. + N s.c.

(farfalle)

WNk

N/2

N/2k=0,…,N/2 -1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

89

Il procedimento può essere iterato fino ad arrivare a DFT2 .

Il numero di stadi : v = log2 N

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

DFT4

90

GrafoEsempio: N = 8

WN0

-1

WN0

-1

WN0

-1

WN0

-1

WN0

WN0

WN2

WN2

-1

-1

-1

-1

WN0

WN2

WN3

WN1 -1

-1

-1

-1

x[0]

x[4]

x[2]

x[6]

x[1]

x[5]

x[3]

x[7]

X[0]

X[1]

X[2]

X[3]

X[4]

X[5]

X[6]

X[7]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

91

Complessità finale

2log

2 2NN

moltiplicazioni complesse

m.c. eliminando le moltiplicazioni del primo stadio

somme complesse

]NN

2log2

NN 2log

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

92

Ingressi: bit-reversed order (ordine a bit invertiti)

Gli ingressi non sono in sequenza. Devono essere ordinati come nell’esempio (N = 8):

Posizione0 = 000 1 = 001 2 = 010 3 = 011 4 = 100 5 = 101 6 = 110 7 = 111

Campionex[0] = x[000]x[4] = x[100]x[2] = x[010]x[6] = x[110]x[1] = x[001]x[5] = x[101]x[3] = x[011]x[7] = x[111]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

93

Calcolo “in-place”

Gli ingressi e le uscite di ogni “farfalla” stanno sulla stessa linea orizzontale. Bastano N locazioni di memoria (complesse), perché a coppie subiscono una trasformazione e il risultato può essere rimemorizzato nelle stesse locazioni degli ingressi.

[p]

[q]

decim. nel tempo

[q]

[p]

-1WNr

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

94

N m.c. s.c. m.c. s.c.

32 1024 992 80 160

1024 1048576 1047552 5120 10240

DFT FFT

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

95

FFT RADICE - 2 DECIMAZIONE IN FREQUENZA

vN 2

Algoritmo duale

Scompone la sequenza di uscita X[k] in due parti, la prima relativa agli indici pari (k=2r), la seconda relativa agli indici dispari (k=2r+1), r = 0,1,….,N/2-1.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

96

FFT: CONSIDERAZIONI FINALI

1

0

1 N

k

nkNWkX

Nnx

La IDFTN

può essere calcolata (a meno del fattore 1/N ) da un algoritmo FFT sul quale si operi la sostituzione

1 NN WW(FFT) (IFFT)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

97

La divisione per il fattore N può essere eseguita mediante divisione per un fattore 2 ad ogni stadio.

In pratica per il calcolo della DFTconviene sempre impiegare un algoritmo di FFT, a meno che non interessino pochipunti della DFT.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

98

STIME SPETTRALI

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

99

Si vuole stimare la densità spettrale di potenza(spettro di potenza) di un segnale con potenza finita a partire dalla sequenza generalmente di durata molto lunga (“infinita”) dei suoi campioni

Utilizzando la DFT (FFT) si può effettuare la stima spettrale per qualunque tipo di segnale (stima non parametrica) e non si richiede l’ipotesi di un “modello” del segnale (stima parametrica)

Poiché la DFT ha dimensione finita, come può essere impiegata? Iniziamo a considerare un segnale (a energia finita) che abbia la TF

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

100

1

0

N

n

knNWnxkX

NkFn

nFjenwnx

|2

altrove 0

101 Nnnw (finestra rettangolare)con

La sua DFTN (a N punti), per esempio sui primi N campioni,

x[n] sequenza di durata molto lunga con TF X(F)

Operazione di modifica dello spettro (filtraggio) della DFT

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

101

che ha come TF

)()(

11)( )1(

2

2

FsenFNsene

eeFW NFj

Fj

NFj

cffTfF /con frequenza normalizzata

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

102

)()(

FsenFNsen

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

103

TFenwnxkXNkFn

nFj la è|2

calcolata alle frequenze normalizzate Nk

cfNk

NTk

(ovvero alle frequenze fisiche )

della sequenza

nwnxnx il cui spettro è

21

21

)()()()()( duuFWuXFWFXFX

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

104

Spettro di un segnale e della funzione finestra rettangolare centrato in F.

F

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

105

in definitiva:

)(FXkX

ovvero il coefficiente k-esimo della DFT è il valore mediato dello spettro X(F) di x[n]pesato dalla funzione W(F) centrata sulla frequenza normalizzata k/N.

Generalmente la DFT non coincide con i valori desiderati di X(F) alle frequenze k/N.

NkF

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

106

Risoluzione algoritmica e risoluzione spettrale

Valori spaziati di

ovvero diNTN

ff c 1

La risoluzione spettrale è la minima distanza di due componenti spettrali che possono essere ‘risolte’: dipende dall’ampiezza del lobo principale della finestra. Generalmente si assume la risoluzione spettrale uguale all’ampiezza del lobo principale.

Tuttavia:

NF 1

Risoluzione algoritmica

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

107

Finestra Risoluzione Picco lobo laterale spettrale ( F) (dB)

Rettangolare 2/N - 13

Hanning 4/N - 31

Hamming 4/N - 41

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

108

Stime spettrali (Periodogramma)

È uno dei metodi di stima spettrale per segnali a potenza finita. Impiega la DFT (FFT). x[n] segnale aleatorio discreto di durata molto lunga ( L ), supposto stazionario (in senso lato) per tutta la sua durata.

Algoritmo si suddivide x[n] in M = L/N blocchi

di N campioni

10,10, MiNniNnxnxi

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

109

Si forma

finestraopportuna , nwnwnxn'x ii

Si calcola

n'xDFTk'X iNi

21 |k'|XNW

kA ii

,nwN

WN

n

1

0

21con potenza della finestra

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

110

Si calcola la media

1

0

1 M

iix kA

MkP

Il valore Px[k] è la stima dello spettro di potenza del segnale x[n] alla frequenza F = k/N ovverof = fc k/N.

Il fattore 1/NW è introdotto per avere una stima non polarizzata (per N )Modifica possibile: i blocchi xi[n] possono essere anche parzialmente sovrapposti (in genere di N/2 ) per migliorare le stime.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

111

CONVOLUZIONE DISCRETA LINEARE

Convoluzione discreta lineare fra due sequenze (filtraggio FIR) effettuata mediante l’impiego della DFT.

h[n] di durata N (FIR)x[n] di durata >> N (generalmente)

x[n]h[n]

X(z) H(z) Y(z)=X(z) H(z)

nhnxny

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

112

Due tecniche

1. Sovrapposizione e somma (Overlap and add)

2. Sovrapposizione e selezione (Overlap and save)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

113

quando le durate N e M non sono “troppo diverse” essa realizza direttamente la loro convoluzione

quando la durata del segnale di ingresso è >> N, la convoluzione lineare può essere realizzata con DFT di dimensioni opportune.

Prima di descrivere queste due tecniche occorre considerare la convoluzione lineare mediante DFT di due sequenze di durata finita ( N e Mrispettivamente) per due motivi:

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

114

Convoluzione lineare fra sequenze finite

Durata delle sequenze “non troppo lunga”

h[n], durata N

x[n], durata M

,nhnxny durata L = N + M - 1

nhnx 00

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

115

1010

0 LnNNnnh

nh

1010

0 LnMMnnx

nx

sequenze allungate con valori nulli (zeri)

kHkXkY La DFT dell’uscita è il prodotto delle DFT delle due sequenze di partenza allungate con valori nulli.

DFT a L punti

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

116

Schema realizzativo

x[n]

(M)

h[n]

(N)

x0[n]

(L)

h0[n]

(L)

Allungamentocon

N - 1 zeri

Allungamentocon

M - 1 zeri

DFT L IDFTL

H[k]

(L)

X[k]

(L)(L)(L)

Y[k] y[n]

DFT L

L=N+M-1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

117

Osservazione

La parte dello schema racchiusa nel rettangolo tratteggiato può essere calcolata una sola volta se la stessa h[n] è usata per filtrare successivamente sequenze diverse aventi durata M.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

118

Sovrapposizione e somma (Overlap and add)

i

ii

i nynhnxny

Nh[n]

x[n]

yi-1[n]

Mxi-1[n] xi+1[n]xi [n]

L=N+M-1

+yi [n]

yi+1[n]

y [n]

+

N-1 N-1 N-1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

119

Schema realizzativo

Scelta di L : L N + M - 1

h[n]

x[n]BlocchiM camp.

DFTL IDFTL

DFT LH[k]

(RAM, ROM)

sovrap.e somma

y[n]Xi[k] Yi[k]

yi[n]xi[n]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

120

Osservazione

- Per semplicità nello schema l’operazione di allungamento con zeri è inclusa nel blocco DFT

- La parte racchiusa nel rettangolo tratteggiato è calcolata una sola volta.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

121

Overlap and addComplessità realizzativa

(algoritmo FFT radice-2)

L log2 L + L m.c.

L log2 L + L m.c./campioneL-N+1

da confrontare con N (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta

ovvero

4L (log2 L + 1) m.r./campioneL-N+1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

122

Sovrapposizione e selezione (Overlap and save)

Osservazione:

nella convoluzione circolare ad L punti di una sequenza di N campioni con una di L ( > N ) campioni, i primi N -1 campioni sono diversi mentre i successivi L-N+1 sono identici a quelli della convoluzione lineare fra le stesse sequenze

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

123

h[n]

x[n]Lxi-1[n] xi+1[n]

xi [n]

N-1

N-1

N-1

N

A

B

C

A B Cy[n]

L-N+1

yi[n]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

124

Schema realizzativo

x[n]BlocchiL camp.

DFTL IDFTL

H[k]

sovrap.e selez.

y[n]

L campioni

Xi[k] Yi[k]yi[n]xi[n]

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

125

Overlap and saveComplessità realizzativa

(algoritmo FFT radice-2)

L log2 L + L m.c.

L log2 L + L m.c./campioneL-N+1

da confrontare con N (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta. O&A e O&S hanno la stessa complessità

ovvero

4L (log2 L + 1) m.r./campioneL-N+1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

126

CORRELAZIONE

Data h[n] di durata N e x[n] di durata > N ,sappiamo che la loro correlazione (lineare) può essere espressa mediante la convoluzione discreta (lineare)

nxnhmnxmhnvN

m

1

0

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

127

- usando h[-n] al posto di h[n], ovvero

usando H[L – k] al posto di H[k]

Si possono applicare tutte le tecniche precedenti (sequenze entrambe finite, sovrapposizione e somma, sovrapposizione e selezione):

(con L dimensione della DFT usata)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

128

Convoluzione e correlazione veloce

Si chiamano così quando si impiega un algoritmo FFT per il calcolo della DFT negli schemi precedenti.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

129

PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA FINITA

(FIR)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

130

Considerazioni generali sul progetto di filtri numericiSpecifiche di progetto

_______________________________________________________________________

L’obiettivo è di progettare una funzione di trasferimento H(z) di un sistema LTI realizzabile (FIR o IIR) la cui risposta in frequenza H(F) approssimi (con criterio opportuno) la desiderata (ideale) Hd (F). In genere Hd(F) non può essere realizzata esattamente. Occorre stabilire delle tolleranze accettabili della approssimazione → Specifiche di progetto

)()()( FXFHFY d)(FX)(FHd

• Operazione di filtraggio di un segnale

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

131

Esempio: passa-basso

12δ

21 FF1 F2

1

21 FF0

1

F0

ideale)( FH d

progettareda )( FH

Il filtro ideale non è realizzabile (discontinuità):• si impone una banda di transizione F1÷F2 • si impongono una deviazione max in banda passante

e una deviazione max in banda attenuata• nessun vincolo nella banda di transizione (salvo ovvie anomalie)

2δ1δ

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

132

PROGETTO DI FILTRI FIR(Finite Impulse Response)

nx

1

0

N

k

knxkhny nh

Proprietà e caratteristiche principali:+ Filtri FIR sono fra i più usati+ Possono avere una risposta in fase

esattamente lineare (assenza di distorsione di fase e di gruppo)

Progettare h[n] che abbia una accettabile risposta in frequenza H(F)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

133

+ Sempre stabili

+ Strutture più facili da realizzare

+ Minore sensibilità nei confronti di una realizzazione con aritmetica a precisione finita

- Possono richiedere un numero di operazioni anche elevato

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

134

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO e

RISPOSTA IN FREQUENZA

1

0

N

k

knxkhny

Funzione di trasferimento

1

0

)(N

n

nznhzH solo zeri (escludendo l’origine)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

135

Risposta in frequenza

,)(1

0

2

N

n

nFjenhFH

cffF frequenza normalizzata

)()( FjeFA

,)(FA

,)(F

risposta di ampiezza

risposta di fase

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

136

da cui si ottengono:

,2

)()(F

FF

,)(21)(

dFFdF

ritardo di fase (campioni)

ritardo di gruppo(campioni)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

137

Fase lineare

aFF )(

cost 2

)()(

aFF

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

138

FIR a fase lineare:

z-1

z-1 z-1

x[n]

h[0] h[1]

y[n]

z-1

z-1 z-1

N dispari

h[N-1 ]2

h[N-3 ]2

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

139

z-1

z-1 z-1

x[n]

h[0] h[1]

y[n]

z-1

z-1 z-1

N pari

h[N-1]2

h[N-2]2

z-1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

140

Complessità

Moltiplicazioni :

Somme :

( N dispari)

( N pari)

21N

2N

1N

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

141

- Un FIR più N IIR del 1° ordine (complessi)

- Struttura conveniente quando pochi H[k] 0 (filtri a banda stretta)

- I filtri IIR hanno poli sul cerchio unitario: per evitare problemi di instabilità si spostano leggermente all’interno

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

142

PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA INFINITA

(IIR)

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

143

FILTRI IIR (Infinite Impulse Response)

Sistema causale

DOMINIO TEMPORALE (equazione alle differenze finite)

N

kk

M

kk knyaknxbny

10

Ordine del filtro: N

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

144

DOMINIO DELLA TRASFORMATA Z (funzione di trasferimento)

N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zP

zZb

za

zbzH

1

1

1

10

1

0

)1(

)1(

1)(

NM

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

145

Se M > N filtro IIR di ordine N + filtro FIR di ordine M - N

Zk zeri del filtro

Pk poli del filtro (interni al cerchio unitario per filtri stabili e causali)

ak e bk reali per ogni k : filtro realeak e/o bk complessi per qualche k : filtro complesso

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

146

DOMINIO DELLA FREQUENZA)()()()( 2

Fjez eFHzHFH Fj

Risposta impulsiva infinita

Eccellenti risposte di ampiezza ma risposte di fase non lineari (filtri causali)

È necessario verificare la stabilità dal filtro

CARATTERISTICHE

Progetto: determinare gli ak e bk in modo che H(F) soddisfi le specifiche

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

147

Caso particolare: N = 2

Sezione del 2° ordine (reale)

22

11

22

110

1)(

zazazbzbbzH

Due zeri complessi coniugati: 00 ZeZ

Due poli complessi coniugati: 00 PeP

e/o

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

148

Filtro passa - tutto (2° ordine)

)()(

)()(

1)(

12

22

11

2112

zDzDz

zDzN

zazazzaazH p

reali) (coeff. 1 )()(

)( 2

2

Fj

Fj

p eDeD

FH

0)( F

N(z) e D(z) sono polinomi speculari

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

149

Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase 0.25 ,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

150

Sezione del 2° ordine con solo poli(filtro accordato)

jer Poli

221cos211)(

zrzr

zH

Im

Re

x

x

r

2

pF Frequenza naturale del polo

pFje 2

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

151

Si può verificare che

)(FH ha un max relativo se :21

2cosrr

per ,2

cos)1(2cos:2

00 rrFF

che valesenrr

HM )1(1

11

per r ≈1(<1) il max è in corrispondenza della frequenza naturale del polo e inversamente proporzionale alla distanza del polo dalla circonferenza unitaria

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

152

Per , la banda a - 3dB

rB dB

13

il filtro è tanto più selettivo quanto più il polo si avvicina al cerchio unitario

1r

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

153

Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con soli poliPoli: modulo 0.9, fase 0.25

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

154

IIR del 2° ordine con zeri sul cerchio unitario

Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con zeri e poli.Poli: modulo 0.9, fase 0.24 Zeri: modulo 1, fase 0.5

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

155

STRUTTURE REALIZZATIVE per IIR

STRUTTURE REALIZZATIVE CANONICHE

Sono quelle che impiegano il minimo numero di operatori (memorie, moltiplicatori, addizionatori) elementari

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

156

Struttura canonica diretta

N

k

kkN

k

kk

N

k

kk

N

k

kk

zbzaza

zbzH

0

11

0

1

1

1)(

N

kk

N

kk

N

kk

N

kk

knwbny

knwanxnw

knyaknxbny

0

1

10

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

157

z-1

x[n] y[n]

z-1

z-1

b0

b1

b2

bN

-a1

-a2

-aN

w[n]

)1/(1 kkkza k

kkzb

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

158

Struttura canonica trasposta

Si ottiene con le operazioni di trasposizione per reti lineari

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

159

z-1

x[n] y[n]

z-1

z-1

b0

b1

bN-1

bN - aN

- aN-1

- a1

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

160

Caratteristica

Ciascun campione attuale dell’ingresso x[n]e dell’uscita y[n] è moltiplicato per tutti i corrispondenti coefficienti in successione: può semplificare la realizzazione HW/SW.

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

161

Realizzazione con sezioni in cascata

Si decompone

,)()(1

)(21

1

)2(

1

)1(

1

0

K

ii

K

iiN

k

kk

M

k

kk

zHzHGza

zbzH

21 2KKN

Hi(1) (z), sistema del 1° ordine con poli e zeri reali

Hi(2) (z), sistemi del 2° ordine con poli e/o zeri

complessiRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

162

x[n]H1(z) H2(z) H3(z)

K1+K2 filtri realizzati con strutture del 1° e del 2° ordine

y[n])(

21zH KK

Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali

163

Problemi connessi con questa struttura

1. Associazione di zeri e poli per ogni sezione2. Ordinamento delle sezioni in cascata3. Fattore di scala fra una sezione e l’altra per

prevenire il generarsi di valori troppo grandi (overflow) o troppo piccoli (underflow).

Aritmetica esatta (a precisione “infinita”): 1, 2 e 3 non hanno conseguenze.

Aritmetica a precisione “finita”: necessità di soluzioni adeguate per 1, 2 e 3

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164

Associazione zeri e poli

Per ridurre gli effetti della realizzazione con aritmetica a precisione finita, si segue in pratica la seguente procedura:

i) partire dal polo più vicino alla circonferenza unitaria ed associare ad esso lo zero più vicino

ii) continuare come in (i) fino ad esaurimento di tutti i poli restanti

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165

Ordinamento delle sezioni

La procedura seguita in pratica per ridurre gli effetti di una realizzazione in aritmetica a precisione finita è la seguente:

- sezioni ordinate in ordine decrescente dei valori massimi delle loro risposte in ampiezza.

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Struttura parallela

Si esprime (mediante scomposizione in fratti semplici [Cap. 2])

K

iiN

k

kk

M

k

kk

zHAza

zbzH

1

1

0 )(1

)(

con

K = intero opportunoA = bN / aN (M=N)

Hi (z) sezione del I o II ordine (a seconda del tipo di zeri e poli)

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H1(z)

H2(z)

HK(z)y[n]

x[n]

A

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FIR IIR Fase può essere

esattamente linearenon lineare

per filtri causaliStabilità sempre da controllare

Strutture realizzative

più facili e semplici più complicate

Numero di operazioni

maggiore minore

Precisione finita

effetti minori e più facili da analizzare

effetti maggiori e più difficili da analizzare

Procedure diprogetto

mediante calcolatore per filtri semplici procedura algebricain genere mediante

calcolatore

Confronto filtri FIR e IIR

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