Determinanti

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Lo scopo della teoria dei determinanti è di definire una funzione

det : Mn→ R

chiamata determinante tale che:

• sia calcolabile facendo somme e prodotti delle entrate delle matrici

• det(A) 6= 0 ⇔ A è invertibile

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Matrici 1×1

Per una matrice A ∈M1 la risposta è immediata

A = (a11)

A è invertibile ⇔ a11 6= 0

Definizione Se A ∈M1 il determinante è definito come

det(A) = [A]11

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Matrici 2×2

A =

(a bc d

)A−1 =

(x1 x2x3 x4

)(

a bc d

)(x1 x2x3 x4

)=

(1 00 1

)

⇒

ax1 +bx3 = 1ax2 +bx4 = 0cx1 +dx3 = 0cx2 +dx4 = 1

Supponiamo che a,c 6= 0, allora

⇔

ac x1 +bc x3 = cac x2 +bc x4 = 0ac x1 +ad x3 = 0ac x2 +ad x4 = a

⇔

ac x1 +bc x3 = cac x2 +bc x4 = 0(ad−bc) x3 =−c(ad−bc) x4 = a

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ac x1 +bc x3 = cac x2 +bc x4 = 0(ad−bc) x3 =−c(ad−bc) x4 = a

Se (ad−bc) 6= 0 possiamo andare avanti e concludere che

x1 =d

ad−bc

x2 =−b

ad−bc

x3 =−c

ad−bc

x4 =a

ad−bc

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Se (ad−bc) 6= 0

A =

(a bc d

)A−1 =

d

ad−bc− b

ad−bc

− cad−bc

aad−bc

Definizione Se A ∈M2 il determinante è definito come

det(A) = [A]11[A]22− [A]12[A]21

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Come andare avanti?

Indichiamo A=(A1, . . . ,An)= (A1, . . . ,An) una matrice di righe A1,A2, . . . ,Ane colonne A1,A2, . . . ,An

Definizione Per ogni n ∈ N un determinante è una funzione

det : Mn→ R

tale che:

(i) det(A1, . . . ,An) = 0 se Ai = Aj per qualche i 6= j

(ii)

det(A1, . . . ,Aj +Bj, . . .An) = det(A1, . . . ,Aj, . . .An)+det(A1, . . . ,Bj, . . .An)

det(A1, . . . ,λ Aj, . . .An) = λ det(A1, . . . ,Aj, . . .An)

(iii) det(In) = 1

Stesse proprietà valgono per le colonne

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Permutazioni

Dato un insieme X, sia

S(X) = { f : S→ S : f biettiva}

Definiamo su S(X) la seguente operazione

· : S(X)×S(X) → S(X)(f ,g) 7→ f ·g := f ◦g ,

S(X) munito dell’operazione · è un gruppo

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Sia adesso X un sottoinsieme finito di N X può essere identificatocon

Sn = {x ∈ N : 1≤ x≤ n} n = #(X)

Definizione Una permutazione su n elementi è una applicazionebiunivoca da Sn in sè.

• Denotiamo conσn

l’insieme delle permutazioni su n elementi

• Denotiamo una permutazione τ : Sn→ Sn con

τ =

(1 2 · · · n

τ(1) τ(2) · · · τ(n)

)

• #(σn) = n!

• La premutazione identità di σn è

1n =

(1 2 · · · n1 2 · · · n

)9 / 44

Permutazione inversa

Per ottenere la permutazione inversa basterà capovolgere la tabel-la e riordinare le colonne in modo tale da ottenere nella prima riga1,2, · · · ,n.

Esempio

σ =

(1 2 3 44 1 2 3

),

la sua inversa si ottiene capovolgendo la tabella(4 1 2 31 2 3 4

),

e riordinando le colonne

σ−1 =

(1 2 3 42 3 4 1

).

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Prodotto di permutazioni

Date due permutazioni

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

)τ =

(1 2 · · · n

τ(1) τ(2) · · · τ(n)

),

il prodotto σ · τ, sarà

σ · τ =

(1 2 · · · n

σ(τ(1)) σ(τ(2)) · · · σ(τ(n))

).

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Esempio

Siano

σ =

(1 2 3 42 3 4 1

)τ =

(1 2 3 43 1 4 2

)

σ · τ =

(1 2 3 44 2 1 3

)

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Cicli, trasposizioni

Definizione Un ciclo di σn, di lunghezza k ≤ n è una permutazione τ

per cui esistono k elementi distinti i1, · · · , ik ∈ Sn tali che:

• τ(i1) = i2, τ(i2) = i3, · · · , τ(ik−1) = ik, τ(ik) = i1

• τ(j) = j per qualunque j ∈ Sn−{i1, · · · , ik}

Esempio La permutazione

τ =

(1 2 3 44 2 1 3

)è un ciclo di lunghezza 3 sugli elementi (1 4 3)

• Un ciclo sarà indicato con

τ = (i1 . . . ik)

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Definizione Un ciclo di lunghezza 2 è detto trasposizione

Esempio La permutazione

τ =

(1 2 3 44 2 3 1

)è una trasposizione

Esercizio Se τ è una trasposizione ⇒ τ2 = τ · τ = 1

Definizione Due cicli

(i1 · · · ik),(j1 · · · js) ∈ σn

sono detti disgiunti se gli insiemi

{i1, · · · , ik} {j1, · · · , js}

sono disgiunti.

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Esempio

τ =

(1 2 3 4 54 2 1 3 5

)σ =

(1 2 3 4 51 5 3 4 2

)

τ = (143) σ = (25)

Esercizio Il prodotto di due cicli disgiunti è commutativo

Proposizione Ogni permutazione non identica si scrive in modo uni-co (a meno dell’ordine) come prodotto di cicli disgiunti.

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Siaσ ∈ σn

Come si calcolano i cicli disgiunti di cui σ è il prodotto?

1 ⇒ σ(1) ⇒ σ(σ(1)) ⇒ ·· · ⇒ σk(1) = 1

Abbiamo il ciclo(1σ(1) · · · σ k−1(1))

Siaj ∈ Sn−{1, σ(1), · · · , σ

k−1(1)}

operando come prima si trova il secondo ciclo e così via

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Esempio

τ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 94 9 1 3 7 2 5 6 8

)

τ(1) = 4 ⇒ τ2(1) = τ(τ(1)) = τ(4) = 3 ⇒ τ

3(1) = τ2(4) = τ(3) = 1

Il primo ciclo è

(143)

Se prendiamo 2 si trova il ciclo

(2986)

L’ultimo ciclo è la trasposizione

(57)

τ = (143)(2986)(57)17 / 44

Dato un ciclo(i1, · · · , ik)

Questo è uguale al seguente prodotto di trasposizioni:

(ik, ik−1)(ik, ik−2) · · ·(ik, i2)(ik, i1)

o(i1, ik)(i1 ik−1) · · ·(i1, i3)(i1, i2)

Esempio Il ciclo (143) ⇒ i3 = 3 , i2 = 4 , i1 = 1

(143) = (34)(31)

(1 2 3 4 54 2 1 3 5

)=

(1 2 3 4 51 2 4 3 5

) (1 2 3 4 53 2 1 4 5

)

Proposizione Ogni permutazione può essere scritta (non necessa-riamente in modo unico) come prodotto di trasposizioni.

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Esempio

τ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 94 9 1 3 7 2 5 6 8

)

τ = (143)(2986)(57) = (34)(31)(68)(69)(62)(57)

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Segno di una permutazione

Definizione Data una permutazione σ ∈ σn, una inversione per σ èuna coppia (i, j) ∈ Sn×Sn tale che

i < j e σ(i)> σ(j)

Denoteremo con i(σ) il numero totale di inversioni di σ e poniamo

ε(σ) := (−1)i(σ)

Definizione Una permutazione σ è detta:

• pari se ε(σ) = 1

• dispari se ε(σ) =−1

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Esempio

τ =

(1 2 3 4 5 6 74 6 1 3 7 2 5

)Le coppie

(1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6),(4,6),(5,6),(5,7)

sono tutte le inversioni di τ e quindi τ è dispari

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Proposizione Assegnata una permutazione σ , il numero delle tra-sposizioni di cui σ è prodotto è sempre pari o sempre dispari a secon-da che la permutazione sia pari o dispari.

Proposizione Per una permutazione σ si ha

ε(σ) = (−1)#t

dove #t è il numero di trasposizioni di una sua qualunque decomposi-zione

Proposizione

1 ε(1) = 1

2 se t è una trasposizione allora ε(t) =−1

3 ∀σ ,τ ∈ σn si ha ε(στ) = ε(σ)ε(τ)

4 ∀σ ∈ σn si ha ε(σ−1) = ε(σ)

5 se t è una trasposizione, ∀σ ∈ σn si ha ε(σ t) =−ε(σ)

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• il prodotto di due permutazioni pari è pari

• il prodotto di due permutazioni dispari è pari.

• Indichiamo con

An l’insieme delle permutazioni pari

Ln l’insieme delle permutazioni dispari

Esercizio Dimostrare che An munito del prodotto di parmutazioni èun gruppo.

Esercizio Dimostrare che data la trasposizione (h k) l’applicazione

ϕh,k : An→Ln

definita daϕh,k(σ) = σ · (h k)

è biunivoca.

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σ =

(1 · · · i · · · j · · · n

σ(1) · · · σ(i) · · · σ(j) · · · σ(n)

)Se moltiplichiamo σ per la trasposizione (i j) otterremo

σ · (i j) =(

1 · · · i · · · j · · · nσ(1) · · · σ(j) · · · σ(i) · · · σ(n)

)

Moltiplicando per un certo numero trasposizioni, diciamo t1, · · · tk, siottiene la permutazione identità.

σ t1t2 · · · tk = 1 ⇒ σ t1t2 · · · tktk = 1tk

⇒ σ t1t2 · · · tk−1 = tk ⇒ σ = tktk−1 · · · t1

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Esempio

τ =

(1 2 3 4 5 6 74 6 1 3 7 2 5

)

τ(57) =(

1 2 3 4 5 6 74 6 1 3 5 2 7

)

τ(57)(13) =(

1 2 3 4 5 6 71 6 4 3 5 2 7

)

τ(57)(13)(26) =(

1 2 3 4 5 6 71 2 4 3 5 6 7

)

τ(57)(13)(26)(34) =(

1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7

)τ(57)(13)(26)(34) = 1

τ = (34)(26)(13)(57)

⇒ τ è una permutazione pari25 / 44

Determinante di una matrice quadrata

Definizione Data una matrice quadrata A = (aij) di ordine n, chiame-remo determinante di A il numero reale così definito:

det(A) := ∑τ∈σn

ε(τ) a1τ(1)a2τ(2) · · ·anτ(n)

• nella definizione appare un addendo per ogni permutazione su nelementi, per un totale di n! addendi

• ogni addendo è il prodotto di n entrate che si trovano tutte in righediverse e colonne diverse

• Data la matrice A = (aij), denoteremo il determinante di A anchecon con

|aij|

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Il caso 1×1

det(A) := ∑τ∈σn

ε(τ) a1τ(1)a2τ(2) · · ·anτ(n)

A = (a11)

det(A) = ∑τ∈σ1

ε(τ) a1τ(1) = a11

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Il caso 2×2

σ2 = {1,σ = (2,1)} con ε(σ) =−1

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = ∑τ∈σ2

ε(τ) a1τ(1)a2τ(2)

= ε(1)a11(1)a21(2)+ ε(σ)a1σ(1)a2σ(2)

= a11a22−a12a21

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Il caso 3×3

Ci sono 6 permutazioni su 3 elementi:

(1 2 31 2 3

)(1 2 31 3 2

)(1 2 32 1 3

)(1 2 32 3 1

)(1 2 33 1 2

)(1 2 33 2 1

)

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = ∑τ∈σ3

ε(τ) a1τ(1)a2τ(2) a3τ(3)

= a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33

+a12a23a31 +a13a21a32−a13a22a31

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Proposizione Il determinante di una matrice quadrata gode delleseguenti proprietà:

(i) det(A1, . . . ,An) = 0 se Ai = Aj per qualche i 6= j

(ii)

det(A1, . . . ,Aj +Bj, . . .An) = det(A1, . . . ,Aj, . . .An)+det(A1, . . . ,Bj, . . .An)

det(A1, . . . ,λ Aj, . . .An) = λ det(A1, . . . ,Aj, . . .An)

(iii) det(In) = 1

(iv) det(A) = det(At)

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Dimostrazione di (iv)

detA := ∑τ∈σn

ε(τ) a1τ(1) · · ·anτ(n)

detAt := ∑σ∈σn

ε(σ) aσ(1)1 · · ·aσ(n)n

a1τ(1)a2τ(2) · · ·anτ(n) =aτ−1(τ(1))τ(1) · · · a

τ−1(τ(n))τ(n)

=aτ−1(1)1 · · · a

τ−1(n)n

detA = ∑τ∈σn

ε(τ) a1τ(1) · · ·anτ(n)

= ∑τ−1∈σn

ε(τ) a1τ(1) · · ·anτ(n)

= ∑τ−1∈σn

ε(τ−1) aτ−1(1)1 · · · a

τ−1(n)n

= ∑σ∈σn

ε(σ) aσ(1)1 · · ·aσ(n)n = detAt

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Dimostrazione di (i)Supponiamo che la riga h sia uguale alla riga k con h < k

⇒ ahi = aki ∀ i

Ogni permutazione dispari σ si può scrivere come

σ = τ · (h k)

con τ pari

∑σ∈Ln

a1σ(1) · · ·anσ(n) = ∑τ∈An

a1τ·(hk)(1) · · ·anτ·(hk)(n)

detA = ∑σ∈σn

ε(σ) a1σ(1) · · ·anσ(n)

= ∑τ∈An

a1τ(1) · · ·anτ(n)− ∑σ∈Ln

a1σ(1) · · ·anσ(n)

= ∑τ∈An

a1τ(1) · · ·anτ(n)− ∑τ∈An

a1τ·(hk)(1) · · ·anτ·(hk)(n)

= ∑τ∈An

[a1τ(1) · · ·ahτ(h) · · ·ak τ(k) · · ·anτ(n) − a1τ(1) · · ·ahτ(k) · · ·ak τ(h) · · ·anτ(n)

]=0

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Dimostrazione di (ii) e (iii)

Esercizio

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Ulteriori proprietà del determinante

1 se una riga (o una colonna) della matrice A è nulla, allora

det(A) = 0

2 se B si ottiene da A permutando le righe con una permutazioneσ , allora si ha

detB = ε(σ)detA

3 se B = λA alloradetB = λ

n detA

4 se A = (A1, · · · ,Aj−1,∑s αsBs,Aj+1, · · · ,An) allora si ha

detA = ∑s

αs det(A1, · · · ,Aj−1,Bs,Aj+1, · · · ,An)

5 il determinante di una matrice non cambia se ad una sua riga(rispettivamente colonna) si somma una combinazione linearedelle altre righe (rispettivamente colonne).

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Teorema (Binet) Date due matrici quadrate A,B ∈Mn si ha:

det(AB) = detAdetB

Corollario Se una matrice quadrata A è invertibile allora

detA 6= 0 , det(A−1) =1

detA

Dimostrazione Se A è invertibile, allora esiste A−1 tale che

A−1A = AA−1 = I ⇒ det(A−1A) = 1

Applicando il Teorema di Binet si ha

det(A−1)detA = 1

⇒ detA 6= 0 ⇒ det(A−1) =1

detA

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Dimostrazione del Teorema di Binet

Sia A = (aij) e B = (bij) allora C = AB = (cij) dove

cij = ∑k

aikbkj

Usando la notazione per righe si trova

C = (C1, . . . ,Cn) = (∑k

a1kBk, . . . ,∑k

ankBk)

det(C) =det(∑k

a1kBk, . . . ,∑k

ankBk)

=∑k

a1k det(Bk, . . . ,∑k

ankBk)

= ∑d∈Dn

a1d(1) a2d(2) · · ·and(n) det(Bd(1), . . . ,Bd(n))

doveDn

rappresenta le disposizioni con ripetizione di n oggetti.

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Dimostrazione del Teorema di Binet

det(C) = ∑d∈Dn

a1d(1) a2d(2) · · ·and(n) det(Bd(1), . . . ,Bd(n))

= ∑σ∈σn

a1σ(1) a2σ(2) · · ·anσ(n) det(Bσ(1), . . . ,Bσ(n))

= ∑σ∈σn

a1σ(1) a2σ(2) · · ·anσ(n) ε(σ)det(B)

= ∑σ∈σn

ε(σ) a1σ(1) a2σ(2) · · ·anσ(n) det(B)

=det(A) det(B)

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Sottomatrici e minori

Definizione Data una matrice A ∈Mm×n e dei numeri naturali

1≤ i1 < i2 · · ·< ik ≤ m

e1≤ j1 < j2 · · ·< jl ≤ n

la sottomatrice di A individuata da

I = {i1, i2, · · · , ik} , J = {j1, j2, · · · , jl}

è la matrice B con k righe e l colonne definita come segue:

[B]sr := aisjr

• Quando k = l, la matrice B è quadrata e sarà detta minore di A diordine k

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Esempio

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

•

I = {2,3} , J = {2,3,4}

La sottamatrice individuata da I e J è(a22 a23 a24a32 a33 a34

)•

I = {1,3} , J = {2,4}

La sottamatrice individuata da I e J è(a12 a14a32 a34

)39 / 44

Definizione

• Data una matrice quadrata A di ordine n ed una sua entrata aij,diremo minore complementare di aij il minore di ordine n− 1 ottenutoda A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna. Tale minore saràdenotato con Mij

• Il complemento algebrico o cofattore di aij è il numero reale definitocome segue:

Aij := (−1)i+j detMij

Teorema (Primo teorema di Laplace) Sia A ∈Mn, allora per ognih = 1, · · · ,n, si ha:

detA =n

∑j=1

ahj Ahj =n

∑i=1

aih Aih

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Teorema (Secondo teorema di Laplace) Sia A ∈Mn, allora per ognih,k = 1, · · · ,n, si ha:

n

∑j=1

ahj Akj =n

∑i=1

aih Aik = detA δhk

Definizione Data una matrice quadrata A, definiamo aggiunta di A,la matrice:

Ad(A) := (Aij)t,

• Il secondo teorema di Laplace può essere espresso come segue:

A Ad(A) = Ad(A) A = (detA)In

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Teorema Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se il suodeterminante è non nullo

Dimostrazione Se A è invertibile, per il teorema di Binet

detA 6= 0

Viceversa, se detA 6= 0, per il secondo teorema di Laplace

A Ad(A) = Ad(A) A = (detA) In

dividendo per detA

AAd(A)detA

=Ad(A)detA

A = In

⇒ A è invertibile con inversa

A−1 =Ad(A)detA

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Torniamo ai sistemi

Consideriamo il sistema quadrato

AX = B , A ∈Mn , X,B ∈Mn1

Se

det(A) 6= 0 ⇒ ∃ A−1 ⇒ A−1AX = A−1B ⇒ X = A−1B

⇒ xi = ∑k[A−1]ik bk = ∑

k

[Ad(A)]ikdetA

bk =∑k [Ad(A)]ik bk

detA

⇒ xi =∑k Aki bk

detA=

∑k bk Aki

detA

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xi =∑k bk Aki

detADal 1o Teorema di Laplace

detA = ∑k

aki Aki

x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 · · · a1nb2 a22 · · · a2n...

.... . .

...b1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣detA

, x2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 · · · a1na21 b2 · · · a2n...

.... . .

...an1 bn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣detA

xi =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1(i−1) b1 a1(i+1) · · · a1na21 · · · a2(i−1) b2 a2(i+1) · · · a2n...

......

......

......

an1 · · · an(i−1) bn an(i+1) · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣detA

• Questa regola prende il nome di Regola di Cramer44 / 44