Post on 01-May-2015
CONTINUITA’
CONTINUA
DISCONTINUA
Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni
CONTINUITA’
CONTINUA
Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione
Xo
Yo=f(Xo)
P
CONTINUITA’
DISCONTINUA
Questa è discontinua: se facciamo il limite sinistro e destro per x tendente a Xo questi danno due valori diversi, Yo e un altro, H. Il grafico compie un salto pari a Yo-H
Xo
Yo
H
CONTINUITA’
Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite per x tendente ad Xo di f(x):
• ESISTE• E’ FINITO• E’ UGUALE A f(Xo)
Ovvero, in formule: )()( oxx
xfxfLimo
CONTINUITA’
Una funzione continua in tutti i punti di un certo intervallo si dice CONTINUA SU
QUELL’INTERVALLO
CONTINUITA’
Se una di queste clausole non è verificata allora la funzione si dice discontinua in Xo.
CONTINUITA’
I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie
CONTINUITA’
Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a Xo:
• ESISTONO• SONO FINITI• SONO DIVERSI TRA LORO
Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE
CONTINUITA’
La funzione y=INT(x) offre un esempio di tale discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità di prima specie
1 2 3
CONTINUITA’
Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di f(x) per x tendente a Xo:
• NON ESISTE…• …OPPURE NON E’ FINITO
Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA SPECIE
CONTINUITA’
La funzione y=ln(x) offre un esempio di tale discontinuità nell’origine
CONTINUITA’
Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma è diverso della valore della funzione (oppure la funzione non esiste in Xo)
Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE, o ELIMINABILE
)()( oxx
xfxfLimo
CONTINUITA’
La discontinuità si dice eliminabile perché basta alterare leggermente la definizione della funzione ponendo:
Per rendere la funzione continua
)()( xfLimxfoxx
o
CONTINUITA’
Un esempio è la funzione:
Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x tendente a 0 è, come è noto, 1.Basta quindi porre:
f(0)=1
E la funzione risulta continua anche in 0.
x
senxxf )(
CONTINUITA’
Dove si trovano i punti di discontinuità di una funzione?
• Nei punti esclusi dal dominio (che siano però punti di accumulazione del dominio)
• Nei punti in cui l’argomento di un valore assoluto cambia segno
• in altri casi particolari
CONTINUITA’
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluti su quell’intervallo
CONTINUITA’
Una curva senza salti, definita su un intervallo, di fatto può essere racchiusa in un rettangolo, la cui altezza avrà per estremi il massimo e il minimo della funzione
MINIMO
MASSIMO
CONTINUITA’
TEOREMA DI DARBOUX
Una funzione continua su un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo
CONTINUITA’
TEOREMA DI DARBOUX
Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è continua sull’intervallo [a,b] e se il numero k è compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo, allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale che:
f(c)=k
CONTINUITA’
Graficamente è abbastanza evidente che, se una curva è continua, al valore k compreso tra min e max deve corrispondere un valore c tra a e b
MINIMO
MASSIMO
a b
k
c
CONTINUITA’
TEOREMA DEGLI ZERI
Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora esiste almeno un punto dell’intervallo in cui la funzione si annulla
CONTINUITA’
TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione)
Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora l’equazione:
f(x)=0
Ammette almeno una soluzione in tale intervallo
CONTINUITA’
E’ una conseguenza del teorema di Darboux; infatti se la funzione cambia segno sicuramente il massimo sarà un numero positivo e il minimo un numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso tra un numero positivo e uno negativo, allora la funzione deve per forza assumere il valore 0.