CONOSCERE CONOSCERSI COMUNICARE

 

Parte Quinta Conoscere - Conoscersi - Comunicare Sonia Fiori

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Nikolaus

Disegnare la casa di Babbo Natale non staccando mai la penna dal foglio e non ripassando mai sullo stesso lato.

Quante soluzioni ci sono?

Si deve seguire qualche

regola?

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Soluzione• 44

• Si deve partire dal basso

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Ponti di königsbergI cittadini di Königsberg, oggi Kaliningrad,

erano soliti passeggiare lungo le sponde del fiume Pregel.

Possono farlo attraversando tutti i 7 ponti una sola volta?

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AiutoIl problema fu posto al matematico svizzero

Leonhard Euler il quale nel 1736 ne formulò la soluzione.

Il problema può essere rappresentato con un grafo

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Grafo dei ponti

• il numero nel nodo indica il numero di collegamenti = grado

• se un nodo è di passaggio il grado deve essere pari

• un nodo di grado dispari è la partenza o la fine del cammino

3

5 3

3

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Conclusione

Non esiste un cammino che attraversi tutti i ponti perché il numero di nodi dispari è > 2 !

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Passeggiate di EuleroCammino euleriano = un cammino che

partendo da un vertice utilizzi tutti i lati del grafo una sola volta

Circuito euleriano = cammino euleriano in cui la partenza coincide con il traguardo

e allora?….

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Teorema di EuleroDato un grafo G(V, E) connesso:

• se esistono solo due vertici di grado dispari allora esiste un cammino euleriano di G

• se tutti i nodi sono di grado pari allora esiste un circuito euleriano di G.

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• Casa di babbo Natale ha soluzione perché ha solo 2 nodi dispari.

• I ponti Königsberg non ha soluzione perché ha 4 nodi dispari.

Risposte

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Altri problemiTrovare i cammini euleriani

tre quadrati quattro cerchi

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StrategiaQuesti tipi di giochi furono proposti da

Lewis Carroll (tre quadrati) e T.H. O’Beirne di Glasgow (quattro cerchi) trovò un metodo rapido per risolverli:

si colorano alternativamente le regioni, il cammino è il contorno della superficie colorata.

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Soluzioni

Il contorno è un circuito euleriano

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Ottaedro

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Applicazioni dei cammini euleriani

• Distribuzione della posta

• pulizia delle strade

• raccolta nettezza urbana

• ispezione e manutenzione sistemi distribuiti: reti elettriche, telefoniche, stradali

• ……

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Esempio raccolta nettezza urbanaEsiste un percorso economico?• se tutti gli incroci hanno un numero pari di strade si! • se gli incroci dispari sono 2 si!• se il numero di incroci di grado dispari (strade senza

uscita) è maggiore di 2 ?Come si possono accoppiare gli incroci critici in modo

più economico? cioè in modo che il cammino sia minimo?……Algoritmo di Mei-Ko Kwan, cinese, del 1962 famoso con il nome “problema del postino cinese”.

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Le cose si complicano

..… e se alcune strade sono a senso unico?

non esiste ancora un algoritmo efficiente che risolve il caso in generale.

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Parole chiave

• Grado di un nodo

• Cammino di Eulero

• Circuito di Eulero

• Teorema di Eulero

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Fine

quinta parte

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(Basilea, in Svizzera, il 15 aprile 1707- S. Pietroburgo, in Russia, il 18 settembre 1783)

Conosciuto in Italia con il nome di Eulero, produsse moltissime opere, 88 volumi

in vari campi (ottica, nautica,acustica, idraulica,..). Lo colpì la cecità già dall’età di 30 anni.Padre di molte notazioni divenute standard , e, i,.. e della più bella formula della matematica …...

Leonhard Euler

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Le miss della matematica

Le più belle formule• Formula di Eulero

• Teorema di Fermatl’equazione non ha soluzioni

intere per n>2

• e l’ultima……..

01ie

nnn zyx

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la neonata superformulala superformula della natura scoperta dal botanico Johan

Gielis nel 2003

per ulteriori informazioni: www.matematicamente.it/cimolin/formula/formula19.htmoppurehttp://users.quipo.it/base5/analisi/superforma.htmtornare indietro

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Pierre Fermat(Francia Agosto 1601-1665)

Letterato e giurista si occupò di matematica per diletto.

Nel margine di un libro scrive “ho scoperto una dimostrazione veramente bella che questo margine è troppo piccolo per contenere”. Ma….

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Andrew Wiles (Cambridge 11 Aprile 1953)

…occorreranno più di 300 anni per trovare la dimostrazione di questo teorema.

Nel 1995 Andrew Wiles, dopo 7 anni di lavoro, dimostra il teorema di Fermat, la dimostrazione è circa 200 pagine ed è oltre la comprensione della maggior parte dei matematici di oggi.

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Lewis Carroll(Inghilterra, Daresbury 27 Gennaio 1832 -

Guildford 14 Gennaio 1898)

Charles Lutwidge Dodgson, più noto con lo pseudonimo di Lewis Carroll, famoso scrittore inglese nonché, matematico, logico e fotografo, celebre soprattutto per “Alice’s Adventures in Wonderland”.

Insegnò matematica, con una certa apatia, per 26 anni.