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FACOLTÀ DI SCIENZE M.F.N. CORSO DI LAUREA IN CHIMICA ANNO ACCADEMICO 2012 - 2013

ESAME DI “MATEMATICA I”

PROVA SCRITTA DEL 12 - 02 - 2013

TEMA A

COGNOME ……………………………………………. NOME …………….……………… NUMERO DI MATRICOLA …………………………………….. VOTO …………………. SVOLGERE GLI ESERCIZI UTILIZZANDO ESCLUSIVAMENTE GLI SPAZI PREDISPOSTI

□ Problema n. 1

Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico:

xxy cos22cos +=

2

3

4

□Problema n. 2

Calcolare il seguente integrale indefinito:

dxx

exex xx

∫ +−+

2

24

91

3218

5

□Problema n. 3

Determinare la soluzione della seguente equazione differenziale:

54472525'6" 23 −++=+− xxxyyy

che soddisfa alle seguenti condizioni iniziali:

( ) ( ) 30',5

60 −== yy

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□Problema n. 4

Determinare le forme cartesiana, esponenziale e trigonometrica del seguente numero complesso:

( )522 iz −=

7

□Problema n. 5

Determinare e disegnare il dominio della seguente funzione:

24),( yxyxf −=

8

□Problema n. 6

Determinare e analizzare i punti critici della seguente funzione:

2222 53

53),(yx

yxyxf +++=

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□Problema n. 7

Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫D

dydxx

y2

cos

dove D è la regione limitata del piano compresa fra le curve di equazioni:

ππ2

,1

,0,1 ==== xxyxy

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□Problema n. 8

Studiare la seguente forma differenziale:

( ) ( ) dyyxdxyx 23 2 +++=ϕ

stabilire se ammette un potenziale e, in caso affermativo, calcolarne l’espressione.

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□Problema n. 9

Dare la definizione di prodotto scalare tra vettori ed enunciarne le principali proprietà.