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Metodologa
Lenguaje de Prosa: Permite comunicar facilmente los supuestos causales de los
modelos mentales
Diagrama Causal: Expresa relaciones de influencia, ciclos de realimentacion y el
sentido de cambio que un elemento produce sobre otro
Diagrama de Niveles y Flujos: Metafora hidrodinamica que ilustra el modo en el
cual la estructura causal exhibe la distincion entre estado y flujo (estado y cambio),
por lo tanto ofrece una representacion mas rica de las hipotesis causales y ofrece el
esqueleto del modelo en ecuaciones
Ecuaciones: Permite una expresion formal del modelo que nos lleva a la simulacion
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Variables de flujo y variables de Nivel
Las variables de Nivel (Variables de Estado) representan magnitudes que acumulan
los resultados de acciones tomadas en el pasado.
Las variables de flujo determinan las variaciones en los estados del sistema. Car-
acterizan las acciones que se toman en el sistema y son acumuladas en los corre-
spondientes estados
Las variables auxiliares representan pasos o etapas en los que se descompone elcalculo de una variable de flujo a partir de los valores tomados por las variables de
estado [ARA, 1997].
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Diagramas causales: Problema 1
La industria automotriz de EE.UU. Esta concentrada en la produccion de automoviles
grandes. As, si los consumidores aumentan su preferencia por coches pequenos, dis-
minuyen las ventas de automoviles norteamericanos grandes y crecen las ventas de
autos importados. Por otro lado, si el costo de los materiales llega a aumentar,
tambien lo hace el valor de venta de los coches grandes fabricados en USA y en con-
secuencia, aumenta la preferencia de los consumidores por los automoviles pequenos.
Esto ultimo tambien ocurre por supuesto, si aumenta el costo de la gasolina.
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Diagramas causales: Problema 2
La biosfera es el espacio alrededor de la Tierra donde existe la vida, conteniendo el
aire, el agua y el suelo necesarios para los seres vivientes. La biosfera contiene miles
de sistemas de componentes que se influencian mutuamente. Realice un diagrama
de influencias del sistema que mantiene el equilibrio del agua fresca en la Tierra.
El agua de la Tierra esta moviendose constantemente, transformandose de vapor a
lquido, de ah a nieve, o a hielo, o constituyendo un glaciar por miles de anos, o
fluyendo a traves de las races de las plantas durante la fotosntesis, etc.
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Cuando el sol alumbra sobre una superficie de agua lquida, se produce evaporacion.
El vapor sube y forma nubes, que el viento trae sobre tierra. Eventualmente, las
nubes se transforman en lluvia. Cuando las nubes pasan, el sol comienza a formar
nuevas nubes. Estas acciones no solo regulan la cantidad de agua fresca que llega de
los oceanos a la tierra, sino que controlan la temperatura de la tierra. Cuando el sol
calienta la tierra, aumentan la evaporacion y la formacion de nubes. Con mas nubes
en el cielo, disminuye la cantidad de calor del sol que llega al suelo. Cuando baja la
temperatura, las nubes se condensan, generando lluvia, y despues desaparecen. El
sol brilla sobre el suelo de nuevo, y el ciclo comienza nuevamente.
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Utilice las siguientes componentes para el diagrama:
EV: Evaporacion del agua
AGUA: Cantidad de agua lquida en el suelo
SOL: Cantidad de luminosidad solar que llega al suelo,
NUBES
LLUVIA
T: Temperatura en el suelo.
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Diagramas causales: Problema 3
El Sahel es una zona de Africa al sur del desierto del Sahara. Por siglos era un lugar de
nomadas. Nunca fue un lugar facil de vivir, pero los nomadas se las haban arreglado.
Aprendieron a seguir los desplazamientos de sus animales de una zona de pastoreo
a otra. Debido a la cantidad limitada de alimentos y agua disponible al ganado,
los rebanos nunca fueron muy grandes. Las personas y los animales frecuentemente
moran por la dureza del clima, las enfermedades y las pestes. Ademas, cada 20 o
30 anos, la sequa mataba animales y gente, haciendo que la poblacion se redujera.
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Hace no muchos anos, organizaciones con apoyo de la ONU decidieron tratar de
mejorar la vida de estos nomadas. Hicieron dos actividades. En primer lugar, intro-
dujeron la medicina moderna: vacunaron a los nomadas contra las pestes mas letalesy controlaron la malaria y la enfermedad del sueno. Esta accion mejoro notablemente
la esperanza de vida de los nomadas. Las enfermedades animales tambien se contro-
laron. La segunda accion fue obtener mas agua. Hay agua subterranea abundante en
el Sahel que con la tecnologa de los nomadas, no poda extraerse. Con maquinaria
apropiada, se extrajo agua con pozos profundos.
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Esto posibilito el aumento en el numero de animales que podan tener los no-
madas. Sin embargo, estos animales adicionales pronto consumieron toda la hier-ba disponible. Una sequa de 6 anos disminuyo aun mas el pasto. Los animales
empezaron a morir de hambre. Debido a la sequa y perdida de animales, muchos
nomadas padecieron de hambre. La ONU estaba con un problema mas grave que el
que trato de resolver.
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Utilice las siguientes componentes para el diagrama:
Cantidad de pasto
Medicina modernaAlimentos disponibles
Profundidad de los pozos
Cantidad de ganado
Agua disponible
SequaNumero de nomadas
Enfermedades
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Realimentacion
Informalmente, la realimentacion es un proceso en el cual una causa inicial se rela-
ciona consigo misma a traves de una cadena de causas.
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Realimentacion Positiva
En la realimentacion positiva todas las influencias son positivas (o si las hubiese
negativas, tendran que compensarse por pares). Representa un proceso en el que un
estado determina una accion, que a su vez refuerza este estado, y as indefinidamente,
tambien es conocido como bola de nieve. La forma mas sencilla de explicar el
concepto de realimentacion es con un ejemplo:
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Realimentacion Positiva: Modelo Poblacional
el ejemplo por excelencia de un sistema de realimentacion positiva es un modelo de
crecimiento poblacional basado en la siguiente hipotesis:
La velocidad de crecimiento de la poblacion es proporcional al tamano
de la poblacion.
Es decir; la razon de cambio de la poblacion unicamente depende del tamano de
la misma. En particular, las limitaciones de espacio y recursos no tienen efecto al-
guno y por lo tanto nuestra hipotesis es razonable para poblaciones pequenas en
entornos grandes. Por ejemplo el brote de moho en una pieza de pan o los primeros
asentamientos en America latina.
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Realimentacin Positiva
Tasa de+ Estado Accin+
Crecimiento+
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Las variables implicadas en nuestro modelo son:
1. t: Tiempo (variable independiente)
2. P: Poblacion (variable dependiente)
3. k: Constante de proporcionalidad (parametro) de la tasa de crecimiento pobla-
cional y el tamano de la poblacion
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Nuestra hipotesis se expresa en la ecuacion:
dP
dt= kP (1)
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Diagrama de Forrester Modelo
Poblacional
Poblacintamao de la
poblacin
tasa de
crecimiento
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Realimentacion Positiva: Modelo de Ahorro
Supongamos que realizamos un deposito de $500000 en una cuenta de ahorros
con un interes compuesto de 5 %. Si A(t) denota la cantidad de dinero en la cuentaen el tiempo t, tenemos la ecuacion:
dA
dt= 0,05A
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Realimentacin Positiva
Ahorro Tasa de Ahorro+
+
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Diagrama de Forrester Modelo de
Ahorro
Ahorro
Tasa de Ahorro
Tasa fraccional de
Ahorro
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Suponga que en el Modelo de Ahorro se retiran m unidades monetarias por unidad
de tiempo obteniendose la ecuacion:
dA
dt= kA m
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Realimentacion Negativa
El bucle de realimentacion negativa, representa un tipo de situacion en el que setrata de decidir acciones para modificar el comportamiento con el fin de alcanzar un
determinado objetivo. Su estructura basica correspondiente es la de realimentacion,
ya que las decisiones se toman a partir de la informacion sobre los resultados de las
acciones previamente adoptadas. Como estas acciones son a su vez el resultado de
decisiones anteriores se tiene as una cadena circular sin fin.
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Realimentacin Negativa
Objetivo Deseado
Estado
+
Discrepancia
Accin
+ -+
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Realimentacion Negativa: Desintegracion radiactiva
La semivida de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda una cantidad inicial
de esta en reducirse a la mitad. Se asume que todos los atomos tienen la misma
probabilidad de desintegracion en la unidad de tiempo y que esa probabilidad nodepende del momento en que tenga lugar ni de la cantidad de masa presente en
cada instante, denotada por x(t). La ecuacion que rige dicho fenomeno es:
dxdt
= kx
con k > 0
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El signo negativo tiene que ver con el hecho que se produce a lo largo del proceso,un decrecimiento de la masa. k se conoce como constante de desintegracion,
depende de cada sustancia radiactiva y se determina mediante observaciones.
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Ejercicios Propuestos
1. Muestre que la semivida de una sustancia radiactiva no depende de la cantidad
inicial considerada pero si de la constante de desintegracion k
2. Una sustancia radiactiva mantiene al cabo de 50 horas el 95 % de su masa
inicial. Determine su constante de desintegracion y su semivida
3. Si la radiactividad de unos restos arqueologicos es el 25 % de la radiactividad
de una muestra viva. Determine la edad de los restos.
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Realimentacion Negativa: El termostato
Considere que existe un cambio brusco de temperatura en la habitacion causado por
una racha de aire fro. La cada de la temperatura puede desencadenar varios tipos de
acciones. Por ejemplo, algunas personas en la habitacion se podran poner un abrigoo desplazarse hacia otra parte mas caliente de la casa. Tambien puede ocurrir que
el termostato ponga en marcha la calefaccion. El funcionamiento de la calefaccion
puede a su vez provocar nuevos cambios. Por ejemplo; puede causar que el nivel del
deposito de combustible disminuya, lo cual a su vez provocara una futura compra
de mas combustible. El funcionamiento de la calefaccion podra causar un desgastey rotura de la caldera, lo cual puede provocar que esta se avere y deban hacerse
reparaciones.
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Cadenas causales
Cambio en la
Racha de aire frio
+
Uso de abrigo
+
Reparacin de a
calefaccin
Desplazamiento a
lugares ms calientes
Uso de la
calefaccin
+
Nivel de depsito de
combustible-
Compra de
combustible+
Desgaste y rotura de
la caldera
+
+
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Note que ninguna de estas ultimas cadenas causales modifica la temperatura de la
habitacion. El efecto mas importante de la actividad de la calefaccion, dado nuestro
especial interes en analizar el control de la temperatura de la habitacion, es el calorque sale de los radiadores de la habitacion, el cual provoca que la temperatura de
la habitacion se eleve. Este ejemplo del termostato proporciona idea de un sistema
de bucle cerrado como una cadena circular de causalidad que se realimenta (cada
variable es a la vez causa y efecto):
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La temperatura de la habitacion disminuye y esto activa el termostato, el cual pone
en marcha la caldera de la calefaccion, la cual calienta los radiadores que elevan la
temperatura de la habitacion. De esta manera un cambio en la temperatura de lahabitacion provoca otro cambio en la temperatura de la habitacion: Una cada en la
temperatura de la habitacion provoca un posterior aumento de la temperatura de la
habitacion. Si el termostato funciona correctamente, la temperatura en la habitacion
nunca debera alejarse mucho del ideal deseado.
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En un sistema con realimentacion un cambio en el estado real del sistema (por ejem-
plo, un cambio en la temperatura de la habitacion) lleva a una decision (tomada
por el termostato) que provoca una accion (poner en marcha la caldera de calefac-cion) que afecta al estado real del sistema (los radiadores elevan la temperatura de
la habitacion) y a su vez tienen influencia en futuras decisiones (la caldera de la
calefaccion se detiene una vez que se ha alcanzado la temperatura deseada en la
habitacion).
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Realimentacin Negativa
Temperatura
Nivel de
Temperatura+Deseada
Discrepancia
Calefaccin
+ -+
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Realimentacion Negativa: Produccion-Inventarios
El director de una fabrica decide cuantos productos acabados desea tener en el al-macen. Al principio, la fabrica trabaja a toda su capacidad porque tiene muchos
productos que producir para lograr que en el almacen se encuentre la cantidad de-
seada. Cuando se va aproximando a la cantidad deseada, la diferencia disminuye y la
produccion se ralentiza, hasta que al final se logra disponer de la cantidad deseada
de productos acabados en el almacen.
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Produccion-Inventario.pdf
Diagrama Causal Produccin-
Inventario
Inventario
Deseado
Nivel de Inventario
+
Discrepancia
Produccin
+ -+
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Produccion-Inventario.pdf
Modelo Produccin-Inventario
Inventario deseado Inventario
Discrepancia
+
ro ucc n
+
-Tasa de
produccion
+
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dIdt
= k(Id I)
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Realimentacion Negativa: Compra de Automoviles
Un estudio de mercado en la ciudad de Bogota concluyo que la tasa de ventas de
automoviles depende de la cantidad de individuos que no poseen uno. Sea x0 lacantidad de individuos que conforman el mercado potencial de automoviles en la
ciudad, x el numero de personas que ya compraron un automovil. Establezca una
relacion que permita conocer el numero de personas que compran el producto en un
tiempo determinado t. Asuma que en el tiempo cero ningun individuo ha adquirido
un automovil.
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Automoviles.pdf
Compras Automviles
Compradores de
automoviles (x)
mercado potencial
Compras
+
Discrepancia
+ -
Tasa de compras
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dxdt
= k1(x0 x) (2)
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Suponga ahora que el automovil puede venderse con o sin un accesorio. Denote y
como la cantidad de individuos que compran el accesorio. Encuentre una expresion enfuncion del tiempo que permita establecer la cantidad de individuos que compran el
accesorio para el automovil (Note que la venta del accesorio depende de la cantidad
de automoviles que se venden).
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Accesorios Automoviles.pdf
Compras Accesorios Automviles
Compradores de
automoviles (x)
mercado potencial
Discrepancia
+ -
Compras
+
Tasa de compras
+
Compradores
Accesorioscompra accesorios
Tasa compras
accesorios
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dydt
= k2(x y) (3)
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d2y
dt2+ (k1 + k2)
dy
dt+ k1k2y = k1k2x0 (4)
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dy
dt
= v
dv
dt
= k1k2y (k1 + k2)v
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Realimentacion Positiva y
Realimentacion Negativa
Es habitual encontrar sistemas en los que coexisten bucles de realimentacion, tantopositivos como negativos. En tal caso el comportamiento resultante dependera delos bucles que sean dominantes en cada momento. Algunas situaciones en las que se
presentan bucles de realimentacion tanto negativa como positiva son:
1. La introduccion de un nuevo producto en el mercado (con una fase inicial deimplantacion y gran crecimiento, y una fase final de saturacion)
2. Introduccion de una nueva especie en un habitat
3. Aprendizaje
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Realimentacin Positiva y
Realimentacin Negativa
BA+
+
C+
-
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Realimentacin Positiva y
Realimentacin Negativa
EstadoAccin Reforzante
+ Accin+
+ -
Condicin limitante
+
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Retrasos
En algunos casos interesa distinguir entre las influencias que se producen mas o
menos instantaneas e influencias que tardan un cierto tiempo en manifestarse, en
este ultimo caso se tienen influencias a las que se le asocian retrasos.
Los retrasos en los bucles de realimentacion positiva determinan que el crecimiento
no se produce tan rapidamente como se esperaba. Mientras que los retrasos en losbucles de realimentacion negativa, se puede determinar que ante la lentitud de los
resultados se tomen decisiones drasticas que conducen a una oscilacion del sistema.
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Retrasos (Demoras)
A B+
-
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Introduccion a los Sistemas Lineales
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Tenga en cuenta para la formulacion del modelo:
Y:Ordenes de resurtimiento de inventario ya pedidos al proveedor
V:Tasa de surtimiento del proveedor
T: Retraso en la entrega del proveedor.
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Produccion Inventario Empresa Comercial.pdf
Modelo Produccin-Inventario
Empresa Comercial
Proveedor Inventario
Empresatasa de surtimienro
del proveedor
tasa de surtimiento
de la fbrica ventas
retraso
control
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Modelo Almacen-Empleo: Descripcion
del problemaEl comportamiento del almacen de una fabrica esta determinado inicialmente, por laproduccion y las ventas. Enseguida puede preguntarse por las variables que influyenla produccion, en este caso se supone que la produccion depende de dos variables:El empleo y la productividad. Construya un modelo de simulacion que explique elcomportamiento del inventario en el almacen, sabiendo que el empleo depende de lasiguiente poltica de contratacion:
Se contrata o descontrata de acuerdo a la correccion de la discrepancia(cociente entre la discrepancia y el tiempo de ajuste del inventario).
Involucre en su modelo las variables auxiliares PD: Productividad por empleado yTAE: Tiempo de ajuste del empleo.
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Modelo Almacn-Empleo
Almacen
VentasProduccion
EmpleoContratacionProductividad
almacen deseadoTiempo de ajuste
del almacen
Tiempo de ajuste
del empleo
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Modelo Almacen-Mano de Obra
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Modelo Almacn-Mano de Obra
Almacenproduccin ventas
productividad
cobertura de
existencias
Mano de
obracontratacin
neta
existencias
deseadas
correccin de
existencias
plazo para corregir
las existencias
plazo para ajustar la
mano de obra
mano de obra
deseada
produccin
deseada
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El problema de Gestin de
Inventarios
InventarioTasa de
Adquisicin
Ajuste para el
Inventario
Inventario
DeseadoTiempo de Ajuste
para el Inventario
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Problema de Gestin de
Inventarios con Tasa de Prdida
Inventario
Tasa de
Adquisicin
Tasa de slida
Ajuste para el
Inventario
Inventario
Deseado
Tiempo de Ajuste
para el Inventario
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Inventario
Tasa de
Adquisicin
Tasa de slida
El problema de Gestin de Inventarioscon Tasa Deseada de Adquisicin
Ajuste para el
Inventario
Inventario
DeseadoTiempo de Ajustepara el Inventario
Tasa de Adquisicin
Deseada
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Gestin de Inventarios: Control
Inventario S
Tasa de
adquisicin TA
Tasa de prdida
TP
vida promedio
-
+
Tasa de adquisicin
deseada TAD
+
Ajuste delinventario
AS
Inventario
deseado S*
Tiempo de ajuste del
inventario TAS
Tasa de prdidaesperada TPE
Inventario inicial
deseado
-
+
+-
+
+
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Bibliografa
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Espana, 2003.
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khalil Hassan, Nonlinear Systems, Third Edition, Prentice Hall, 2002
Sterman John, Business Dynamics: Systems Thinking and Modeling for a ComplexWorld,Mc Graw Hill, 2000
http://www.egr.msu.edu/ khalil/NonlinearSystems/Sample/
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