Capitolo 2 Idrostatica

Stato tensionale di un fluido in quiete

• Equilibrio di un cilindro infinitesimo di

fluido

x1

F1

F2

F3

dx1

a

z

13

2

1

1

1

F

F

F

xA

Ap

Axx

pp

dd

d

dd

0cos11

1

addddd xAAx

x

ppAp

01

1

zx

x

pdd

01

1

1

1

x

x

zx

x

pdd

La legge di Stevino

• d(z + p/) = 0

• z + p/ = cost.

• zA+pA/=zB+pB/

• …

Attenzione alle ipotesi !!!Simone Stevino, noto anche

come Simon Stevin o Simone

di Bruges

(Bruges, 1548 – L'Aia, 1620)

Under pressure :-)

• Piani orizzontali isobari

• Pressioni assolute, pressioni relative

• Unità di misura della pressione nel SI

• Unità di misura comuni per la pressione

atmosferica (mH2O, mmHg, atm )

Applicazione: l’esperienza di Torricelli

Calcolare il valore della pressione

atmosferica sapendo che:

• hHg=0.76 m

• rHg=13595 kg/m3

• che nel tubo è stato fatto il vuoto

Se si ripetesse l’esperimento con

acqua invece di mercurio, quanto

varrebbe hH2O ?

Evangelista Torricelli

(Faenza 1608 – Firenze 1647)

Pressione atmosferica

1 atm =

= 101325 Pa = 101325 N/m² = 1013.25 hPa = 1013.25 mbar

= 760 mm di mercurio (mmHg)

= 10.33 mH2O

Applicazione: serbatoio aperto

Tracciare (in scala !) il

diagramma delle

pressioni relative lungo

la parete e il fondo del

serbatoio.

Tracciare inoltre il

diagramma delle altezze

piezometriche.

h

Spinta idrostatica e centro di spinta:

pareti piane

• Spinta idrostatica

• Centro di spinta

• Calcolo mediante la geometria delle masse

• Proprietà della spinta e del centro di spinta

Spinta idrostatica su pareti piane

“Il modulo della spinta è pari al prodotto della

pressione nel baricentro della parete bagnata per

l’area della parete stessa”

Centro di spinta su pareti piane

“La coordinata x (distanza dalla retta di sponda) è data dal rapporto tra i momenti d’inerzia e statico rispetto alla retta di sponda.

La coordinata h (distanza dall’asse x) è data dal rapporto tra i momenti centrifugo xy e statico rispetto alla retta di sponda.”

Baricentri e Momenti d’inerzia

G

y

x

b

h

Origine degli assi nell’intersezione

delle diagonali

• xG = 0

• yG = 0

• Ix = bh3/12

• Iy = hb3/12

• Ixy = 0

Baricentri e Momenti d’inerzia

G

y

xb

h

Origine degli assi nell’intersezione

della base e dell’altezza

• xG = 0

• yG = h/3

• Ix = bh3/36

• Iy = hb3/48

• Ixy = 0

Baricentri e Momenti d’inerzia

G

y

x

r

Origine degli assi nel centro del

cerchio

• xG = 0

• yG = 4/3 r sen3a/(2a-2sena)

• Ix = I’+ Ae2

• I’ = r4 (2a/8-1/4 sen 2a cos32a)

• A =1/2 r2 (2a-sen2a)

• Iy = r4/8 (4a-sen 2a)

• Ixy = 0

2a

e

Baricentri e Momenti d’inerzia

G

y

x

r

Origine degli assi nel centro del

cerchio

• xG = 0

• yG =2/3 r sena/a

2a

Esercizio

Nella figura sottostante è rappresentata una paratoia piana

verticale sulla quale si esercita la spinta di un liquido

omogeneo (r = 1000 kg/m3). Sulla base dei dati riportati si

tracci, in scale grafiche a scelta, il diagramma delle pressioni

e si calcoli la spinta per unità di lunghezza della paratoia,

nonché la posizione del centro di spinta.

5.4 m

Esercizio

Si consideri l’autoclave in figura a cui è collegato un manometro a

mercurio (rHg = 13546 kg/m3) e un manometro metallico (M).

a) si determini la spinta per unità di larghezza

sulla parete A’M essendo h = 3 m e ∆ = 0,10 m;

b) si determini il nuovo valore di ∆ nel caso

l’apertura del rubinetto R faccia abbassare di 1

m il livello dell’acqua (h=2 m) e il manometro

metallico segni una pressione (assoluta) pari a

pM = 90 kN/m2.

c) con riferimento alle due condizioni di

funzionamento descritte ai punti precedenti, si

tracci nelle opportune scale grafiche il

diagramma delle pressioni relativo ad una

verticale interna all’autoclave.

Equazione globale dell’idrostatica

Equilibrio di un volume

infinitesimo|V

Legge di Stevino

x1

F1

F2

F3

dx1

a

z

Equilibrio di un volume

finito|V

Equazione globale

W

s=(W)

FTOT = FMASSA+FSUPERFICIE = 0

Equazione globale dell’idrostatica

Forze di massa (G):

– In generale f = (fx,fy,fz)

– Se agisce il solo peso f = (0,0,-g)

W

s=(W)

dG = f dM = f r dW

G = fW f r dW

dW

Equazione globale dell’idrostatica

Forze di superficie (P):

– Dipendenti dallo stato tensionale

dP = fn ds = p n ds

P = fs p n ds

p = p(z) (legge di Stevino)

W

s=(W)

ds

n

Spinta su pareti curve

• Differenze rispetto al caso di

parete piana

• Tre componenti della spinta

(in generale)

• Il caso piano

• Scelta del volume di

controllo

• Applicazione dell’equazione

globale per il calcolo delle

singole componenti

W

Esercizio

Si determini il modulo della spinta complessiva e la sua retta di

azione sulla parete di lunghezza unitaria di profilo ABC. Si

rappresentino i risultati ottenuti anche in forma grafica.

A

r

r

r

r=1020 Kg/m3

C

B

r = 2.50 m

Esercizio

Si determini il modulo e la retta d’azione della spinta

dell’acqua sulla paratoia a settore circolare AB lunga L = 5 m

rappresentata in figura. Si rappresentino anche in forma

grafica i risultati dei calcoli svolti.

h1= 3 m

h2 = 4 m

Esercizio

Sia dato un serbatoio a base quadrata, con una

coppia di pareti opposte inclinate sulla orizzontale

dell’angolo a, pieno di acqua per una altezza h. Si

tracci il diagramma delle pressioni e delle altezze

piezometriche lungo le pareti del serbatoio. Si

calcoli, inoltre, la pressione vigente nel baricentro

delle pareti a contatto con il liquido.

Per il tirante h=3.00 m fare i calcoli adottando per

l’angolo a i seguenti valori: a = 30°, a = 45°, a =

60°. Per l’angolo a = 60° effettuare i calcoli

adottando il tirante h=3.00 m, h=5.00 m, h=10.00 m.

Esercizio

Sia dato il serbatoio in figura, alto

10.00 m, riempito nello strato

inferiore con olio di densità r = 850

kg/m3 per una altezza h = 7.00 m.

Tracciare il diagramma delle altezze

piezometriche lungo la parete

verticale nelle ipotesi che il gas che

sovrasta l’olio presenti in un caso la

pressione po=2000 N/m2 e in un

secondo caso la pressione po = patm.

h

Esercizio

Esercizio

E’ dato un serbatoio con pianta

rettangolare di dimensioni: BC = 2.5

m, BL = 3.5 m ed altezza 3.0 m.

Sul fondo della parete lunga è

inserito uno sportello alto CE = 0.40

m e largo CM = 0.50 m. Detto

sportello è incernierato in E ed è

contrastato da un dente in C.

Calcolare la forza agente sul dente C

quando il serbatoio è pieno di acqua

per una altezza AB di 3.20 m.

Variante…lo sportello CE ha forma

circolare …

Obiettivi formativi essenziali

• Il concetto di pressione

• Definizione di quota piezometrica

• Saper applicare la legge di Stevino

• Calcolare la spinta idrostatica ed il centro di

spinta su una parete piana

• Saper applicare l’equazione globale al

calcolo della spinta su una parete curva