Post on 01-May-2015
BANDE DI ENERGIA
PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI?
In meccanica quantistica le particelle hanno anche una componente ondulatoria
BANDE DI ENERGIA
Una particella confinata in una certa zona dello spazio può essere vista come un’onda stazionaria su una corda con estremi fissi
BANDE DI ENERGIA
Naturalmente l’analogo degli estremi fissi della corda sono le pareti della scatola in cui è confinata la particella
BANDE DI ENERGIA
Il punto fondamentale è che gli estremi devono essere fissi: ma gli unici punti fissi di un’onda sono i nodi
BANDE DI ENERGIA
Questo significa che i nodi devono coincidere con gli estremi della corda
BANDE DI ENERGIA
Ma la distanza tra due nodi vicini è pari a mezza lunghezza d’onda, ciò significa che la metà della lunghezza d’onda deve essere una frazione intera della distanza tra gli estremi della corda
λ/2
BANDE DI ENERGIAIn formule, se λ è la lunghezza d’onda, L quella della corda, n un numero intero:
n
L
2
n
L2
BANDE DI ENERGIA
Nel caso di una particella racchiusa in una scatola L è lo spigolo della scatola
n
L2
L
BANDE DI ENERGIA
Ma la lunghezza d’onda è legata alla velocità dalla relazione di DeBroglie
mv
h
BANDE DI ENERGIA
Combinando queste due e ricavandone la velocità si ottiene:
mv
h
n
L2
nmL
hv2
BANDE DI ENERGIA
Nel caso di una particella che si muova liberamente tra le pareti della scatola l’energia è puramente cinetica
2
2
1mvE
BANDE DI ENERGIA
Quindi, combinando le due formule, si ottiene:
2
2
1mvE n
mL
hv2
22
2
8n
mL
hE
BANDE DI ENERGIA
Questa è la formula dei livelli energetici di una particella che si muove liberamente in una scatola
22
2
8n
mL
hE
n è il numero quantico principale
BANDE DI ENERGIA
Non è, ovviamente, paragonabile alla formula di Bohr per l’atomo di idrogeno; in quel caso infatti l’elettrone non è libero
2
6,13
n
eVE
BANDE DI ENERGIA
Nel legame metallico gli elettroni di valenza sono per certi versi liberi di muoversi nel reticolo degli ioni
BANDE DI ENERGIA
D’altra parte essi risentono ancora fortemente del campo coulombiano generato dagli ioni
BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici nel campo coulombiano sono pochi e separati da un grosso salto di energia,
BANDE DI ENERGIA
Nel caso dell’atomo di idrogeno, ad esempio, i livelli 1 e 2 sono separati da un salto di quasi 10 elettronvolt
BANDE DI ENERGIA
Al contrario, i livelli della particella nella scatola sono moltis-simi ed estremamente ravvicinati
ENERGIA
BANDE DI ENERGIA
I livelli energetici degli elettroni in un solido cristallino assumono una struttura intermedia tra i due casi:
BANDE DI ENERGIA
Vi è un enorme numero di livelli molto ravvicinati, come nel caso della particella nella scatola……ma questi livelli sono raggruppati in BANDE DI ENERGIA, separate da intervalli molto ampi privi di livelli
BANDE DI ENERGIA
Bande
Intervalli
ENERGIA
BANDE DI ENERGIA
Bisogna inoltre ricordare che gli elettroni sono fermioni, quindi su ogni livello ce ne possono stare al più due con spin opposto
ENERGIA
BANDE DI ENERGIA
Poiché ogni banda è formata da un numero grande, ma finito di livelli, ciò significa che le bande verranno riempite di elettroni dalla più bassa a salire
ENERGIA
BANDE DI ENERGIA
La più alta banda piena si dice BANDA DI VALENZA.La prima banda vuota BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
BANDE DI ENERGIA
L’intervallo tra banda di conduzione e banda di valenza si dice ENERGY GAPBANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
L’energy gap è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt, energia paragonabile a quella dei salti tra i livelli atomici
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
In un conduttore percorso da corrente l’energia degli elettroni è di due tipi:• energia termica, che origina il moto caotico degli elettroni nel reticolo cristallino•Energia elettrica, che genera il moto ordinato noto come corrente elettrica
BANDE DI ENERGIA
L’energia termica degli elettroni, a temperature ordinarie, è dell’ordine di qualche centesimo di eV
BANDE DI ENERGIA
L’energia che un generatore elettrico può fornire ad un elettrone è in genere molto più piccola di quella termica, non più di pochi decimillesimi di eV
BANDE DI ENERGIA
Ricordiamo inoltre questo principio basilare: un elettrone può saltare da un livello ad un altro a due condizioni:• che il livello di destinazione sia libero• che gli sia fornita un’energia pari alla differenza di energia tra i due livelli
BANDE DI ENERGIA
Ricapitoliamo poi le energia in gioco:
• Energy gap: qualche elettronvolt• Energia termica: qualche centesimo di elettronvolt• Energia elettrica: qualche decimillesimo di elettronvolt
BANDE DI ENERGIA
Ne concludiamo quindi che
L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’ CONSENTIRE IL SALTO DA UNA BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA LIVELLI DELLA STESSA BANDA
BANDE DI ENERGIA
Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza è totalmente occupata da elettroni mentre la banda di conduzione è vuota
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
Gli elettroni non possono acquistare energia elettrica perché non hanno livelli vuoti abbastanza vicini in cui saltare
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
Il corpo risulterà quindi un ISOLANTE
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGIA
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza non è del tutto piena…
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
O quello equivalente in cui l’energy gap non esiste e le due bande sono fuse
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
BANDE DI ENERGIA
In entrambi i casi gli elettroni possono acquisire anche minime quantità di energia elettrica in quanto hanno livelli liberi vicinissimi
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
BANDE DI ENERGIA
In questo caso il corpo risulta un CONDUTTORE
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
BANDE DI ENERGIA
Si è fin qui trascurato il ruolo dell’energia termica: pur essendo in media molto bassa alcuni elettroni potrebbero averne abbastanza per superare l’energy gap
BANDE DI ENERGIA
Si avrebbero così livelli liberi in banda di valenza ed elettroni in banda di conduzione
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
Questo può avvenire di fatto solo se l’energy gap è piccolo, mentre se è grande l’effetto è insignificanteBANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
Le sostanze in cui nonostante la struttura a bande sia da isolante avviene la conduzione si dicono semiconduttori
BANDA DI VALENZA
BANDA DI CONDUZIONE
ENERGY GAP
BANDE DI ENERGIA
Germanio e silicio hanno un energy gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1 eV, e sono i più noti semiconduttori
BANDE DI ENERGIA
Il carbonio nella forma di diamante ha un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo isolante