AngoloAngolo - UniPDaceccato/Agraria/Lezione_Trigonometria.pdf · La funzione COSENOLa funzione...

Trigonometria - Corso di matematica - Alessia Ceccato 1

AngoloAngoloAngoloAngolo

Si chiama Si chiama angoloangolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O.due semirette uscenti da uno stesso punto O.

Circonferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometrica

Il radianteIl radianteIl radianteIl radiante

Definizione:Il rapporto tra la Il rapporto tra la lunghezza dell’arcolunghezza dell’arcorettificato e il raggio è un numero puro,rettificato e il raggio è un numero puro,in quanto rapporto di due lunghezze.in quanto rapporto di due lunghezze.Quando l’arco rettificato è lungo quanto Quando l’arco rettificato è lungo quanto il raggio (come l’arco AB in figura), il raggio (come l’arco AB in figura), diremo che misura un radiante.diremo che misura un radiante.Anche l’angoloAnche l’angolo AOBAOBmisura un radiante.misura un radiante.

Corrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radianti

Angoli positivi e negativiAngoli positivi e negativiAngoli positivi e negativiAngoli positivi e negativi

Un Un angoloangolo si dice si dice orientatoorientato quando è stabilito quale dei due lati deve quando è stabilito quale dei due lati deve considerarsi come primo lato.considerarsi come primo lato.

Un Un angoloangolo orientato si dice orientato si dice positivopositivo quando è descritto dal lato origine quando è descritto dal lato origine mediante una rotazione antioraria, mediante una rotazione antioraria, negativonegativo in caso contrario. in caso contrario.

Si chiama Si chiama misura di un angolo orientatomisura di un angolo orientato la sua misura assoluta presa con la sua misura assoluta presa con il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.

Seno e cosenoSeno e cosenoSeno e cosenoSeno e coseno

La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO

NON E' INVERTIBILE

La funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENO

La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO

NON E' INVERTIBILE

La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE

La funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTE

RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni

• Esempi: cos (x) = ½ x ∈ [0, π/2]

232/11)sin( 2 =−=x

421)cos( −=−−=x

[22)sin( ππ∈= xx

• sin2(x) + cos2(x) = 1

)(cos1)(tan1 2

)(tan11)(cos 2

)(tan11)cos( 2 x

• La cui somma è π/2:sin(π/2−α) = cos(α)cos(π/2−α) = sin(α)tan(π/2−α) = cot(α)cot(π/2−α) = tan(α)

Angoli complementariAngoli complementariAngoli complementariAngoli complementari

sin(π/2+α) = cos(α)cos(π/2+α) = - sin(α)tan(π/2+α) = - cot(α)cot(π/2+α) = - tan(α)

Angoli anti-complementariAngoli anti-complementariAngoli anti-complementariAngoli anti-complementari

• La cui somma è π:sin(π−α) = sin(α)cos(π−α) = - cos(α)tan(π−α) = - tan(α)cot(π−α) = - cot(α)

Angoli supplementariAngoli supplementariAngoli supplementariAngoli supplementari

sin(π+α) = - sin(α)cos(π+α) = - cos(α)tan(π+α) = tan(α)cot(π+α) = cot(α)

Angoli anti-supplementariAngoli anti-supplementariAngoli anti-supplementariAngoli anti-supplementari

sin(2π−α) =sin(−α)= - sin(α)cos(2π−α) =cos(−α)= cos(α)tan(2π−α) =tan(−α)= - tan(α)cot(2π−α) =cot(-α)= - cot(α)

Angoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed opposti

cos (α ± β) = cos α cos β + sen α sen β

sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β tg α ± tg βtg (α ± β ) = 1 + tg α tg β

Addizione e sottrazioneAddizione e sottrazioneAddizione e sottrazioneAddizione e sottrazione

sinα=cos( π/2-α)

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - 2sen2 = 2cos2 – 1

2 tg αtg 2 α = 1 - tg2 α

DuplicazioneDuplicazioneDuplicazioneDuplicazione

Queste formule di ricavano da quella di duplicazione del coseno sostituendo α /2 ad α

sen α /2 = ± 1 – cos α √ 2

cos α /2 = ± 1 + cos α √ 2

sen α 1 – cos αtg α /2 = = 1 + cos α sen α

BisezioneBisezioneBisezioneBisezione

p + q p - q sen p + sen q = 2 sen cos 2 2

p + q p - q p + q p - q sen p - sen q = 2 cos sensen p - sen q = 2 cos sen 2 22 2

p + q p - q p + q p - q cos p + cos q = 2 cos coscos p + cos q = 2 cos cos 2 22 2

p + q p - q p + q p - q cos p - cos q = - 2 sen sencos p - cos q = - 2 sen sen 2 22 2

Formule di prostaferesiFormule di prostaferesiFormule di prostaferesiFormule di prostaferesi

Identità goniometricheIdentità goniometricheIdentità goniometricheIdentità goniometriche

Si chiama Si chiama identità goniometricaidentità goniometrica ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno una delle due espressioni perde di significato.una delle due espressioni perde di significato.

Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)

Esercizi

ααα

αα 22

cos111 =+⋅−+ tg

αααα

ααα

ααααα

αααα

ααα

coscos

=+−+

=+⋅−+

sensen

trigonometria

Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna determinare le misure dei lati e degli angoli che lo compongono.

Studiamo, quindi le relazioni che intercorrono tra le misure lineari e circolari di un triangolo rettangolo

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Utilizzando la similitudine dei triangoli riusciamo a risolvere facilmente i triangoli retttangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo adiacente al cateto

a = c sen α = c cos β

b = c sen β = c cos α

Teorema 1Teorema 1Teorema 1Teorema 1

In un triangolo qualunque le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

γβα senc

sena ==

Teorema dei seniTeorema dei seniTeorema dei seniTeorema dei seni

Equazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometriche

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“LA FUNZIONE SINUSOIDALE

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