Libro Studio Funzione

Tutto il necessario per lo studio di funzione

dott. Gennaro Sorrentino

Indice

1 Introduzione 3

2 Studio Completo di una funzione 42.1 Dominio di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Studio delle simmetrie (paritá) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Positivitá e negativitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Intersezioni con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Calcolo degli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui . . . . . . 6

2.5.1 Asintoti Orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2 Asintoti Verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.3 Asintoti Obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Studio della derivata prima: massimi e minimi . . . . . . . . . 72.7 Studio della derivata seconda: punti di flesso . . . . . . . . . . 8

3 I teoremi per lo studio di funzione 93.1 Funzioni Continue su tutto un intervallo . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 funzioni continue su di un intervallo chiuso e limitato:4 teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Teoremi di de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 il criterio di sufficiente derivabiltá . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Concavitá e convessitá di una funzione . . . . . . . . . . . . . 103.5 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 Teoremi principi dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6.1 Unicitá del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6.2 Teorema del confronto (o dei carabinieri) . . . . . . . . 113.6.3 Permanenza del segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.7 Forme indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.8 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.9 Limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.10 Punti di discontinuitá di una funzione . . . . . . . . . . . . . . 163.11 Strumenti per il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

4 Alcuni esempi di Studio Completo di funzione 184.1 Funzioni basilari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 La funzione esponenziale ex . . . . . . . . . . . . . . . 184.1.2 La funzione potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.3 I logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.4 f(x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Funzioni Fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 f(x) = x3

x2−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Funzioni Esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.1 f(x) = (x2 + x)e−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

A prova capitolo 32

2

Capitolo 1

Introduzione

Lo studio di funzione....

3

Capitolo 2

Studio Completo di una funzione

Questi sono i passaggi da fare per lo studio di una funzione:

1. Dominio di una funzione (anche detto Campo di Esistenza)

2. Determinazione del tipo di funzione (paritá)

3. Positivitá e negativitá

4. Intersezione con gli assi

5. Calcolo degli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui

6. Studio della derivata prima: massimi e minimi, crescenza e decrescenza

7. Studio della derivata seconda: punti di flesso, concavitá e convessitá

2.1 Dominio di una funzioneLa prima cosa da fare, ed anche la piú importante é trovare il dominio dellafunzione che stiamo studiando. Trovare il dominio di una funzione vuol diretrovare per quali valori la nostra funzione e’ definita. In altre parole bisognatrovare l’intervallo di valori per i quali ha senso la nostra funzione. Prendiamoad esempio la seguente funzione:

f(x) =1

x− 1(2.1)

Il dominio di questa funzione, ovvero tutti i valori possibili che la x puóassumere, é tutto l’insieme dei numeri reali fatta eccezione per il valore x = 1che non appartiente al dominio poiche’ per quel particolare valore la funzionenon e’ definita. Questo viene espresso in formule come segue:

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D : x ∈ R− {1} (2.2)

In generale, per individuare il domino, bisogna andare a studiare quelle si-tuazioni particolari che matematicamente non so accettabili e sono quin-di da escludere (come il caso del denominatore uguale a zero dell’esempioprecedente). I casi da studiare per il dominio sono:

1. Denominatore(deve essere posto diverso da zero);

2. Logaritmo(l’argomento deve essere posto maggiore (>) di zero)

3. Radice(il radicando deve essere posto maggiore o uguale a zero (≥), o, se laradice si trova al denominatore, strettamente maggiore (>) di zero)

2.2 Studio delle simmetrie (paritá)Studiare la partitá di una funzione é una cosa molto importante per disegnarecorrettamente una funzione. Attraverso la paritá infatti noi possiamo capirese la funzione é simmetrica o meno, e questo renderá molto piú semplice erapido tutto lo studio di funzione. Una funzione si dice pari se:

f(−x) = f(x) (2.3)

mentre di dice dispari sef(−x) = −f(x) (2.4)

Lo studio della paritá ci da informazione sulla simmetria della funzione.Se la funzione é pari allora questa sará simmetrica rispetto all’asse delle y,mentre se la funzione é dispari sará simmetrica rispetto all’origine degli assi.Ai fini del grafico, conoscere la simmetria di una funzione é una cosa diestrema importanza,

Un esempio di funzione pari é la funzione f(x) = x2, per la quale otte-niamo:

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) (2.5)

mentre un esempio di funzione dispari é f(x) = x3, per la quale otteniamo:

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x) (2.6)

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2.3 Positivitá e negativitáPer determinare la positivitá e la negativitá di una funzione basta porre lafunzone maggiore di zero.

f(x) > 0 (2.7)

2.4 Intersezioni con gli assiPer calcolare le intersezioni con gli assi bisogna porre uguale a zero la x (ecalcolare la y corrispondente) e la y (e calcolare la x corrispondente).

{y = 0

x = ....(2.8){

x = 0f(x = 0) = y

(2.9)

2.5 Calcolo degli asintoti verticali, orizzontalied obliqui

2.5.1 Asintoti Orizzontali

Per trovare gli asintoti orizzontali bisogna studiare il limite della funzioneper x→ ±∞, quindi bisogna calcolare i seguenti limiti:

limx→+∞

f(x) (2.10)

limx→−∞

f(x) (2.11)

2.5.2 Asintoti Verticali

Per calcolare gli asintoti verticali bisonga fare il limite della f(x) per x→ x0,dove x0 é un punto di discontinuitá della funzione.

limx→x0

f(x) (2.12)

2.5.3 Asintoti Obliqui

Gli asintoti obliqui sono rette alla quale la funzione puó tendere all’infinito.Bisogna quindi trovare i parametri m, q di questa retta:

y = mx+ q (2.13)

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i parametri m e q si ottengono nel seguente modo:

limx→+∞

f(x)

x= m (2.14)

limx→+∞

(f(x)−mx) = q (2.15)

2.6 Studio della derivata prima: massimi e mi-nimi

In matematica si dice che una funzione a valori reali f : D → R ha in unpunto x0 del proprio dominio D un massimo assoluto se in x0 assume unvalore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti di D, ovvero:

f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ D (2.16)

Viceversa f ha un minimo assoluto in un punto x0 di D se

f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ D (2.17)

Si dice che una funzione f ha in x0 un massimo locale o massimo relativose x0 é interno al dominio D di f , e inoltre f(x0) ≥ f(x) in un intorno dix0 : (x0 − δ, x0 + δ).

f ha invece un minimo locale o relativo in x0 se x0 é interno al dominioD di f, e inoltre f(x0) ≤ f(x) in un intorno di x0 : (x0 − δ, x0 + δ).

Attenzione, perché se esistono massimi o minimi assoluti (global maxi-mum, global minimum), non necessariamente questi sono anche massimi ominimi relativi (local maximum, local minimum), come si evince dalla figurain alto a destra, in quanto i massimi e i minimi relativi devono corrisponde-re, per definizione, a punti interni al dominio, mentre quelli assoluti possonoanche essere raggiunti ai suoi estremi. I punti di massimo e minimo relativovengono anche detti punti estremanti. Lo studio della derivata prima ci per-mette di sapere se la funzioni ha punti di massimo o di minimo. Questi sonopunti in cui la derivata prima assume il valore 0 (zero). Attenzione perchéa priori non si puó sapere se il punto (o i punti) in cui la derivata primadella funzione si annulla sono dei massimi o dei minimi. Per ottenere questeinformazioni é necessario studiare il segno di quest’ultima.

• f ′(x) = 0 Punti di massimo o di minimo

• f ′(x) > 0 Crescenza o decrescenza della funzione

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2.7 Studio della derivata seconda: punti di fles-so

Lo studio della derivata seconda ci da informazione sui flessi, ovvero queipunti in cui la funzione cambia concavitá o convessitá. La procedura è ugualeallo studio della derivata prima. I punti di flesso infatti sono quesi punti cheannullano la derivata seconda, e lo studio del segno della derivata seconda cida informazione sulla concavitá o convessitá della funzione.

• f ′′(x) = 0 Punti di flesso

• f ′′(x) > 0 Cavitá o convessitá della funzione

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Capitolo 3

I teoremi per lo studio di funzione

3.1 Funzioni Continue su tutto un intervalloIniziamo dalla definizione di funzione continua: Siano A ⊆ R, x0 ∈ A,f : A → R. Allora f é continua SE E SOLO SE limx→x0 f(x) = f(x0)∀x0 ∈ A

3.1.1 funzioni continue su di un intervallo chiuso e limi-tato: 4 teoremi

Qui sono riportati i teoremi sulle funzioni continue necessari per lo studio difunzione:

• Teorema di Weierstrass: Siano A ⊆ R e f ∈ C(A,R). Se f écontinua su A e se A é compatto, allora f é dotata di massimo e minimosu A

• Teorema di Bolzano: Siano a, b ∈ R con a < b e sia f ∈ C([a, b], R)tale che f(a)f(b) < 0. Allora esiste x0 ∈ [a, b] tale che f(x0) = 0

• Teorema di Rolle: sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso[a, b] e derivabile almeno su (a, b). Sia poi f(a) = f(b). Allora esisteun punto c ∈ (a, b) tale che f ′(c) = 0

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3.2 Teoremi di de l’Hopital

3.3 il criterio di sufficiente derivabiltá

3.4 Concavitá e convessitá di una funzioneSia I un intervallo di R, e sia f : I → R una funzione continua e derivabilein I. Si dice che f é convessa se comunque prendo un x1 ed x2 di I ed unnumero λ (0 ≤ λ ≤ 1) si ha:

f(λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2) (3.1)

Sia f : I → R una funzione continua e derivabile in I. Condizionenecessaria e sufficiente affinché la f(x) sia convessa é che la f ′(x) sia crescente(f ′′(x) > 0).

3.5 DerivatePiú precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x0 si dicederivabile nel punto x0 se esiste ed é finito il limite:

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(3.2)

e il valore di questo limite, indicato normalmente con f ′(x0), prende il nomedi derivata della funzione nel punto x0. Se la funzione f(x) é derivabile inogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa é derivabile in(a, b), e la funzione f ′(x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x éla funzione derivata di f .Significato geometrico della derivataIl valore della derivata di f(x) calcolata inx0 ha un significato geometrico: é il coef-ficiente angolare della retta tangente allacurva rappresentata dal grafico di f(x), nelpunto di coordinate (x0, f(x0)).In altre parole, la derivata é il valore dellatangente trigonometrica dell’angolo che laretta tangente a una curva in un suo puntoforma con l’asse delle ascisse. L’equazionedella retta tangente in x0 risulta:

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) (3.3)

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3.6 Teoremi principi dei limiti

3.6.1 Unicitá del limite

Una funzione f : X → R definita su un aperto X dei numeri reali non puóavere due limiti distinti in un punto x0 di accumulazione per X. Se la funzioneha limite in x0, questo é unico.Dimostrazione Supponiamo che l1,l2 siano limiti della funzione in x0. Mo-streremo che l1 = l2, ragionando per assurdo e supponendo quindi che l1 e l2siano distinti. Allora esistono due intorni V1 di l1 e V2 di l2 disgiunti.

Per definizione di limite, esistono due intorni U1 e U2 di x0 in per cui vale:

f(x) appartiene a V1∀x ∈ U1 ∩X diverso da x0

f(x) appartiene a V2∀x ∈ U2 ∩X diverso da x0

L’insieme U1 ∩ U2 é un altro intorno di x0, quindi contiene un punto x di Xdiverso da x0: per questo punto, f(x) é contemporaneamente in V1 e V2, cheperó sono disgiunti: questo é assurdo.

3.6.2 Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Siano f, g, h : X ⊆ R → R con f, g, h ∈ C0(X;R). E sia x0 un punto diaccumulazione per X.Allora se:

limx→x0

f(x) = limx→x0

h(x) = l

e se esiste un intorno U di x0 tale che risulti: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)∀x ∈U ∩X\ {x0} allora:

limx→x0

g(x) = l

Dimostrazione: Sia l ∈ R. Preso un intorno V di l, (l − ε, l + ε) esistonointorni U1 e U2 di x0. Per definizione abbiamo:

x 6= x0 ∈ U1 =⇒ f(x) ∈ V

x 6= x0 ∈ U2 =⇒ h(x) ∈ V

Allora, preso l’intorno U = U1 ∩ U2 di x0 succede, per ipotesi, che:

l − ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ l + ε

cioé:x ∈ U\ {x0} =⇒ g(x) ∈ V

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3.6.3 Permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione é positiva.Sia f una funzione continua nel suo dominio, f : X ⊆ R → R e x0, l ∈ R∗con x0 di accumulazione per X allora:

limx→x0

f(x) = l > 0 (< 0)⇒ f(x) > 0 (< 0) per x→ x0 (3.4)

Dimostrazione: Poniamo l ∈ R,l > 0. Preso l’intorno V = (l − ε; l + ε)con 0 < ε < l (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione dilimite, esiste un intorno U di x0, per il quale:

f(x) ∈ V ∀x ∈ U ∩X\ {x0}

cioé:l + ε > f(x) > l − ε > 0

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3.7 Forme indeterminateNella matematica, ed in particolare nel calcolo infinitesimale, le scritture:

00,∞∞ ,0 · ∞, 1∞,00,∞0,∞−∞

individuano le cosiddette forme indeterminate.

3.8 Funzioni continueNel caso di funzioni con dominio e codominio nell’ insieme dei numeri realisi puó dare una definizione di funzione continua connessa con il concetto dilimite di una funzione. Dato un punto x0 sulla retta reale una funzione f(x)si definisce continua in x0 se il suo limite per x tendente a x0 coincide con ilsuo valore in x0, ovvero con f(x0). In simboli:

limx→x0

f(x) = f(x0) (3.5)

In alcuni casi si esprime questo fatto dicendo che l’operazione di limite in x0

commuta con la funzione f :

limx→x0

f(x) = f( limx→x0

x) (3.6)

Esplicitando il concetto di limite la definizione di continuitá si puó riformu-lare nel seguente modo: Una funzione f a valori reali é continua in x0 se ogniintorno di f(x0) include l’immagine di un intorno di x0. Ovvero:

∀ε > 0 ∃δ > 0; |x− x0| < δ implica |f(x)− f(x0)| < ε

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3.9 Limiti di funzioniSiano dati una funzione f : X → R definita su un sottoinsieme X della rettareale R ed un punto di accumulazione x0 di X. Un numero reale l é il limite dif(x) per x tendente a x0 se la distanza fra f(x) ed l é arbitrariamente piccolaquando x si avvicina a x0.

∀ε ∈ R+∃δ ∈ R+; |f(x)− l| < ε∀x ∈ X con 0 < |x− x0| < δ (3.7)

In questo caso si scrive:lim

x→x0

f(x) = l (3.8)

Una definizione equivalente che usa gli intorni é la seguente: l é limitese:∀U ⊆ Ul∃V ⊆ vx0 ; f(x) ∈ U∀x 6= x0 ∈ V ∩X.

Il valore x0 non é necessariamente contenuto nel dominio di f. Il valore écomunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipenderesoltanto dai valori di f in punti arbitrariamente vicini ad x0 ma non dal valoreche f assume in x0.La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casiin cui x0 e/o l sono infiniti. La funzione f ha limite infinito l = +∞ in unpunto finito x0 se:

∀N ∈ R+∃δ ∈ R+; f(x) > N∀x ∈ X con 0 < |x− x0| < δ


x→x0

f(x) = +∞

Analogamente si definisce il limite −∞ sostituendo f(x) > N con f(x) <−N .

Per definire il limite per x0 = +∞, é ancora necessario che x0 = +∞ siapunto di accumulazione per il dominio X: questo si traduce nella richiesta cheX contenga valori arbitrariamente grandi, cioé che il suo estremo superioresia infinito: supX = +∞.In questo caso, un numero finito l é limite di f per x→ +∞ se:

∀ε ∈ R+∃S ∈ R+; |f(x)− l| < ε ∀x ∈ X con x > S

In questo caso si scrive

limx→+∞

f(x) = l

Analogamente si definisce il limite per x→ −∞, sostituendo x > S con x <−S.

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Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi x0 ed l sono infiniti. Lafunzione f ha limite +∞ per x→ +∞ se:

∀N ∈ R+∃S ∈ R+; f(x) > N ∀x ∈ X con x > S


x→+∞f(x) = +∞

Si definiscono analogamente i casi in cui x0 = −∞ e/o l = −∞.

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3.10 Punti di discontinuitá di una funzione1. Prima specie: se i limiti da destra e da sinistra della funzione esistono

ma sono diversi. (l-s = salto della funzione)

2. Seconda specie: se almeno uno dei due limiti (da destra o da sinistra)o non esiste oppure é infinito

3. Terza specie: esistono i limiti della funzione sia da destra che da sinistrae sono uguali (discontinuitá eliminabile)

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3.11 Strumenti per il calcolo dei limitiFunzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. Inmolti casi é possibile determinare il limite della funzione risultante dai limitidelle singole funzioni.

Siano f e g due funzioni con lo stesso dominio X, e x0 un punto diaccumulazione per X. Se esistono i limiti

limx→x0

f(x) = l1, limx→x0

g(x) = l2

allora:lim

x→x0

(c · f(x)) = c · l1 ∀c ∈ R

limx→x0

(f(x)± g(x)) = l1 ± l2

limx→x0

(f(x) · g(x)) = l1 · l2

limx→x0

1

f(x)=

1

l1se l1 6= 0

limx→x0

f(x)

g(x)=l1l2

se l2 6= 0

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui l1 e/o l2 siainfinito, facendo uso delle operazioni seguenti: l +∞ = +∞, l −∞ = −∞,+∞+∞ = +∞, −∞−∞ = −∞.Se l 6= 0 , anche l · ∞ = ∞, 1

0= ∞, 1

∞ = 0 con i segni opportuni calcolaticon la usuale regola del prodotto.

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Capitolo 4

Alcuni esempi di StudioCompleto di funzione

4.1 Funzioni basilari

4.1.1 La funzione esponenziale ex

La funzione esponenziale come funzionedella variabile reale x, ex é sempre po-sitivo e crescente. L’asse x é un asin-toto orizzontale al grafico. La funzio-ne esponenziale ex puó essere definita indue modi equivalenti, come limite di unasuccessione:

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)n

o come somma della serie:

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+x3

3!+ ...

ProprietáUsando il logaritmo naturale é possibile generalizzare la nozione di funzioneesponenziale. La funzione

ax = ex ln a

definita per ogni a > 0, e tutti i numeri reali x, é chiamata funzione espo-nenziale di base a.

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Ovviamente l’equazione appena citata é valida per a = e, poiché ex ln e =ex(1) = ex.Le funzioni esponenziali godono delle seguenti proprietá:

• a0 = 1

• a1 = a

• ax+y = axay

• axy = (ax)y

• 1ax =

(1a

)x= a−x

• axbx = (ab)x

Esse sono valide per tutti i numeri reali a e b e tutti i numeri reali x ed y.Le espressioni contenenti frazioni e radici possono spesso essere semplificateutilizzando la notazione esponenziale perché 1

a= a−1 e, per ogni a e b numeri

reali con a > 0, e per ogni intero n > 1: n√ab = ( n

√a)

b= ab/n

4.1.2 La funzione potenza

Una funzione potenza é una funzione del tipo:

f(x) = xn

Qui n (l’esponente) é un numero fisso. Considereremo in particolare i casin = 1, 2, 3, 4,−1,−2,−3e− 4.Si ricordi che esponenti negativi significano che viene formato anche il reci-proco (x−2 significa 1/x2). Per n = 1 abbiamo f(x) = x, cioé la funzione chead ogni x assegna se stesso (la cosiddetta funzione identica).

Le seguenti proprietá sono di immediata verifica nel caso in cui gli espo-nenti sono numeri interi positivi:

• an · am = an+m

• an

am = an−m

• (an)m = an·m

• an · bn = (a · b)n

• an

bn =(

ab

)n• b1 = b e quindi :b = b1

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• La potenza :00 é priva di significato!

Notiamo che la definizione a0 := 1 risulta ora piú comprensibile poiché éconsistente con le proprietá appena viste, infatti

an

an= an−n = a0 = 1

E lo stesso vale per la definizione di a− k, infatti:

a−x = a0−x =a0

ax=

1

ax

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4.1.3 I logaritmi

Si dice logaritmo in base a di un numero x l’esponente da dare ad a perottenere x (x viene chiamato argomento del logaritmo). In altre parole, sex = ay, segue che:

y = loga x (4.1)

I logaritmi vennero proposti nel 1614da John Napier, o in italiano Nepero,come ausilio per semplificare i calco-li. Infatti, al prezzo di due conver-sioni da un numero al suo logarit-mo e una conversione inversa é possi-bile trasformare un prodotto in unasomma, un quoziente in una differen-za, un elevamento a potenza in unprodotto e, addirittura, un’operazio-ne complicatissima come l’estrazionedi radice ennesima in una semplicedivisione per n.

Proprietá dei logaritmi

1. loga a = 1

2. logm1 = 0

3. aloga x = loga ax = x

4. logm(a · b) = logm a+ logm b

5. logmab

= logm a− logm b

6. logm1a

= − logm a

7. logm ak = k · logm a

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4.1.4 f(x) = x3

• Campo di Esistenza il campo di esistenza della funzione é tutto Rquindi scriviamo

D : ∀x ∈ R (4.2)

• Studio della paritá

f(−x) = −x3 = −f(x) (4.3)

la funzione é dispari

• Positivitáf(x) = x3 > 0 (4.4)

La funzione é negativa per x < 0 ed é positiva per x > 0

• Intersezione con gli assi {y = 0

x = ....(4.5)

• AsintotiLa funzione non ha asintoti verticali perché non ci sono punti di di-scontinuitá nel dominio.La funzione non ha neanche asintoti obliqui, perché per averne dovreb-be avere al denominatore un polinomio di un grado inferiore (nel nostrocaso dovrebbe essere di grado 2).L’unica cosa che ci rimane da fare é di andare a guardare se ci sonoasintoti orizzontali, facendo il limite della funzione agli infiniti.

• Studio della derivata Prima: massimi e minimi

f ′(x) = D(x3) = 3x2 (4.6)

Ora che abbiamo trovato la derivata prima vediamo che questa é sem-pre positiva (é un quadrato), e quindi la nostra funzione sará semprecrescente.

• Studio della derivata Seconda: punti di flesso

f ′′(x) = D(f ′(x)) = D(3x2) = 6x (4.7)

Studiando la positivitá della derivata seconda vediamo che questa énegativa per x < 0 ed é positiva per x > 0, quindi nella prima parteha la concavitá rivolta verso il basso, mentre nella seconda parte laconcavitá é rivolta verso l’alto. Notiamo che la derivata secondo siannulla nel punto P = (0, 0), che é proprio un punto di flesso

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Figura 4.1: Il grafico della funzione f(x) = x3

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4.2 Funzioni Fratte

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4.2.1 f(x) = x3

x2−1

• Campo di EsistenzaPer trovare il campo di esistenza della funzione bisogna porre il deno-minatore diverso da zero (x2 − 1 6= 0). Risolvendo otteniamo che aldenominatore bisogna avere x 6= ±1 quindi il dominio sará:

D : ∀x ∈ R−−1, 1 (4.8)


f(−x) =−x3

x2 − 1= −f(x) (4.9)

la funzione é dispari

• Positivitá

f(x) =x3

x2 − 1> 0 (4.10)

x3 > 0 (4.11)x2 − 1 > 0 (4.12)

quindi otteniamo

x > 0 (4.13)x < −1x > 1 (4.14)

La funzione é negativa per ed é positiva per

• Intersezione con gli assi {x = 0y = 0

(4.15)

• AsintotiAsintoti Orizzontali:

limx→±∞

x3

x2 − 1= ±∞ (4.16)

Asintoti Verticali:

limx→−1−

x3

x2 − 1=−1

0−= +∞ (4.17)

limx→−1+

x3

x2 − 1=−1

0+= −∞ (4.18)

25

limx→+1−

x3

x2 − 1=

+1

0−= −∞ (4.19)

limx→+1+

x3

x2 − 1=

+1

0+= +∞ (4.20)

Asintoto Obliquo:

m = limx→+∞

x3

x2−1

x=

x3

x3 − x= 1 (4.21)

q = limx→+∞

x3

x2 − 1−mx =

x3 − x(x2 − 1)

x2 − 1= 0 (4.22)

y = x (4.23)


f ′(x) = D(x3

x2 − 1) =

x2(x2 − 3)

(x2 − 1)2(4.24)


f ′′(x) = D(f ′(x)) (4.25)

26


x2−1

27

4.3 Funzioni Esponenziali

28

4.3.1 f(x) = (x2 + x)e−x

• Campo di Esistenzail campo di esistenza della funzione é tutto R quindi scriviamo

D : ∀x ∈ R (4.26)


f(−x) = ((−x)2 + (−x))e−(−x) = (x2 − x)e+x (4.27)

La funzione non é né pari né dispari.

• Positivitáf(x) = (x2 + x)e−x > 0 (4.28)

Per studiare la positivitá di questa funzione devo fare lo studio delsegno e quindi:

(x2 + x) > 0e−x > 0

(4.29)

da cui ottengo:x < −1 ∪ x > 0∀x ∈ R (4.30)

e dunque la funzione é positiva per x < −1 ∪ x > 0

• Intersezione con gli assi Intersezione con l’asse delle ordinate{y = (x2 + x)e−x = 0x = 0

(4.31)

Intersezione con l’asse delle ascisse{y = (x2 + x)e−x

y = 0(4.32)

{x = 0 x = 1y = 0

(4.33)

Dalle intersezioni con gli assi abbiamo quindi ottenuto i punti O(0; 0),A(1; 0)

29

• AsintotiLa funzione non ha asintoti verticali perché non ci sono punti di di-scontinuitá nel dominio.La funzione non ha neanche asintoti obliqui, perché per averne dovreb-be avere al denominatore un polinomio di un grado inferiore (nel nostrocaso dovrebbe essere di grado 1).L’unica cosa che ci rimane da fare é di andare a guardare se ci sonoasintoti orizzontali, facendo il limite della funzione agli infiniti.


f ′(x) = (2x)e−x + (x2 + x)(−e−x) = x(1− x)e−x (4.34)


f ′′(x) = ..... (4.35)

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31

Appendice A

prova capitolo

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