Post on 01-May-2015
Analisi di un segnale
Segnale e fondo
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Segnale e fondo
Il problema In funzione di una (o più) variabile(-i) si
ha un segnale che è somma Di un segnale casuale, o comunque non
interessante Fondo, background, noise
Di un segnale importante e significativo Come di fa a separarli? Come si fa a
calcolare gli errori?
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Segnale e fondo
Una soluzione Conoscere in qualche modo il fondo
Teorie, ipotesi Misure prima e dopo il segnale
Simulare il fondo statisticamente Fare l’ipotesi che il fondo sia lo stesso
anche se il segnale è presente Indipendenza oltre che struttura
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Segnale e fondo
Ottenere il segnale a fondo sottratto Calcolo della percentuale di fondo Normalizzazione
Tenere conto dell’additività delle varianze Nella sottrazione le cose peggiorano
Simulazioni statistiche
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Simulazioni statistiche
Chiamate anche MonteCarli Il termine (spregiativo) risale ad anni ’40 In fenomeni molto complessi si ricorse a
simulazioni casuali Oggi si usano di routine in fenomeni
complessi Idrodinamica Plasmi Scontri fra Galassie Sviluppi di popolazioni di organismi
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Simulazioni statistiche
Inizio con gli sciami elettromagnetici Un gamma materializza in una coppia
elettrone-positrone Le cariche passano vicino a dei nuclei e
fanno BS Vengono emessi dei gamma...
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Simulazioni statistiche
Si può studiare con equazioni differenziali...
Ma ne vale la pena? E come si fa a tener conto delle fluttuazioni?
...oppure simulando statisticamente il processo
Simulazioni: oggi molto usate per una varietà di problemi scientifici e tecnici
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Simulazioni statistiche
Alternative Forza bruta del calcolo
Simulazioni Calcolo agli elementi finiti
Uso sofisticato del calcolo differenziale Molto spesso troppo astratto Troppe ipotesi difficilmente controllabili Sistemi di PDE ed IE di difficile soluzione e
controllo Non linearità delle PDE
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Simulazioni statistiche
Vari modelli: PM: Particle-Mesh. Una particella si muove
in un campo predefinito ed immutabile Esempio: un satellite nel campo gravitazionale
terrestre
P3M: Particle-Particle-Particle-Mesh. Idem come sopra, però tenendo conto anche delle interazioni fra le particelle
Esempio: elettroni entro un semiconduttori sottoposti ad un campo esterno (il FET)
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Simulazioni statistiche
Vediamo alcuni vantaggi Facilità di modellizzazione
Parcellizzazione di un fenomeno complesso Possibilità di controllo del calcolo nelle sue varie fasi
Facilità di modifiche al modello Facilità di riprodurre sistemi non lineari Facilità di aumentare l’accuratezza
Svantaggi: tempi di calcolo...
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Simulazioni statistiche
Il confronto fra dati e previsioni ora ha due facce Errori sui dati Errori sulle previsioni Tipicamente quelli statistici
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Simulazioni statistiche
Su eventi le fluttuazioni statistiche sono attese dell’ordine di
Le fluttuazioni percentuali sono dunque
Domanda:
NN
1N
N N
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Simulazioni statistiche
Quanti eventi statistici dobbiamo produrre affinché gli errori
sperimentali non ne risentano
apprezzabilmente?
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Simulazioni statistiche
La risposta sta nell’additività delle varianze
Poniamo che l’errore relativo sia
Regola praticaPer un aumento del 10% dell’errore
relativo occorrono campioni dell’ordine di
x
2
5minN
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Simulazioni statistiche
Quindi se si ha una statistica di 1000 eventi l’errore sarà incrementato del 10% con una simulazione di 5000 eventi
...e se si vuole passare al 5% occorrono 20000 eventi
Ricordate ? ...e se si vuole passare all’1% occorrono
500000 eventi...
N
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Simulazioni statistiche
In genere si accettano statistiche
Nel dubbio è sempre meglio abbondare, se possibile...
2
5 10minN
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Analisi di un segnale
Problema: Abbiamo un segnale di forma nota
Supporremo gaussiano Viene mescolato con un fondo
Supporremo parabolico
Come facciamo a isolare il segnale dal fondo?
Con quali limiti?
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Analisi di un segnale
Nella pratica Segnale gaussiano molto frequente
L’onnipresenza della gaussiana... Nelle alte energie più comune la Breit-
Wigner
2 2m M
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Analisi di un segnale
La massa di una particella che vive poco non è definita esattamente
Calcolate questa relazione con m in MeV e t in s
2
2
E t h
mc t
hm t
h
c
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Analisi di un segnale
Potete dimostrare che la sua energia-massa è distribuita come quella di una risonanza
Dualismo onda-corpuscolo... Questa è una Breit-Wigner La massa della non è facile da
determinare...
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2 4 6 8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
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Analisi di un segnale
Sotto al segnale e nelle immediate vicinanze ogni fondo... O è lineare O al massimo è quadratico
Il resto è filosofia teoretica
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Analisi di un segnale
Iniziamo con una simulazione di dati gaussiani
2000 casi segnale
Ecco i dati: segnale, fondo, segnale+fondo
0 1.5
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Analisi di un segnale
Aggiungiamo un fondo di forma parabolica
Poi sommiamo il tutto 800 casi di fondo
...e vediamo l’istogramma finale Questo è ciò che ci apparirebbe in un
ipotetico esperimento
20.085 1.6 6.0x x
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-4 -2 0 2 40
50
100
150
200
250
300
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-4 -2 0 2 40
20
40
60
80
100
120
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-4 -2 0 2 40
50
100
150
200
250
300
350
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Analisi di un segnale
Se si sa la forma del fondo Se si sa la forma del segnale
2
2
( )2
( , , , , , )
1
2
x
F x
x x e
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Analisi di un segnale
Ci sono 18 punti Quindi 12 gradi di libertà Ci attendiamo un 2 12
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Analisi di un segnale
Ed adesso calcoliamo il
Questo deve venir minimizzato rispetto alle 8 lettere greche...
Chiaro che la regressione lineare...
2
2exp,22
( ), , , , ,
k
k
y F x
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Analisi di un segnale
Se non si sa la forma del fondo
SI SIMULA IL FONDO Tipico caso dell’uso di un MonteCarlo Spesso si preferisce questo metodo
anche se si sa la forma del fondo
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Analisi di un segnale
Si cerca di parametrizzare il fondo sotto il segnale Lineare o quadratico
Oppure si calcola il contributo del fondo bin per bin
Poi si procede come sopra
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Analisi di un segnale
Ecco cosa succede con 800 casi di segnale e 2000 di fondo...
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-4 -2 0 2 40
20
40
60
80
100
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-4 -2 0 2 40
50
100
150
200
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-4 -2 0 2 40
50
100
150
200
250
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Analisi di un segnale
Ce ne vuole di buona volontà a vedere il segnale...
Ed ecco 8000 casi di segnale contro 20000 casi di fondo...
Statistica 10 volte superiore Errori che calano di circa un fattore 3
Ricordate Poisson?
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-4 -2 0 2 40
200
400
600
800
1000
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-4 -2 0 2 40
500
1000
1500
2000
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-4 -2 0 2 40
500
1000
1500
2000
2500
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Analisi di un segnale
Ecco cosa succede se sottraiamo il fondo. Plots in sequenza
Segnale Fondo Fondo + segnale Precedente meno il fondo calcolato con
simulazione 2000 casi di fondo e 800 di segnale
Notate l’aumento dell’errore nella sottrazione!
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-4 -2 0 2 40
20
40
60
80
100
120
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-4 -2 0 2 40
50
100
150
200
250
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-4 -2 0 2 40
50
100
150
200
250
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-4 -2 2 4-25
25
50
75
100
125
150
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Analisi di un segnale
Ora una statistica 10 volte superiore
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-4 -2 0 2 40
200
400
600
800
1000
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-4 -2 0 2 40
500
1000
1500
2000
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-4 -2 0 2 40
500
1000
1500
2000
2500
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-4 -2 2 4
200
400
600
800
1000
A proposito di masse...
Ricordate:
La misura è una ricetta...
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Massa di una particella
...che vive poco e scoppia in due
Misuriamo i momenti dei prodotti di decadimento
Il modulo: di solito da campo magnetico
, , , ,x y z x y zp p p p p p
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Massa di una particella
Facile se è uniforme Se no il calcolo non è così semplice
Ed il campo non è mai uniforme... La direzione: dalle equazioni della
curva Un’elica nello spazio
I punti dell’elica sono misurati L’elica viene calcolata col
Ma va?
2
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Massa di una particella
Poi dobbiamo sapere le masse delle particelle uscenti Facile, di solito: non ce ne sono molte fra
cui scegliere Quindi la massa come invariante
relativistico 2
22 2 2 2 2m p m p m p p
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Massa di una particella
Brutte cose per energie alte
C’è una differenza in mezzo Il valore si calcola come differenza di
numeri grossi... E gli errori aumentano
È un mondo difficile...
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Massa di una particella
Errori Da errori sul modulo sui momenti Da errori sugli angoli dei momenti
Quindi dal fit! ...e le correlazioni fra gli angoli?
Incertezza fisica: dalla Breit-Wigner
0.8
1.1
770.0
150.7
m MeV
MeV
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Massa di una particella
Attenzione: Le misure possono essere diverse a
seconda dei tipi di decadimento! Cambia la vita media...
La Natura è complicata...
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Massa di una particella
Supponiamo di avere un fondo parabolico
Ecco la situazione della distribuzione ...e la statistica con 30000 e con 2000
casi
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4 6 8
5
10
15
20
25
30
35
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2 4 6 8
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
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2 4 6 8
75
100
125
150
175
200
225