Post on 28-Sep-2020
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Analisi di
Reti
in Regime Stazionario
2
Data una rete con l elementi bipolari, identifico un sistema
di l tensioni e l correnti descrittive (ad ex, usando la C.U.).
2l incognite
Le 2l incognite devono soddisfare:
•le relazioni costitutive
•le 2 leggi di Kirchhoff (indipendenti dalla natura dei
componenti)
Le relazioni costitutive sono l occorrono
l equazioni di Kirchhoff indipendenti
L’individuazione di tali equazioni, essendo basata sulle LK,
non dipende dalla natura degli elementi ma solo dal numero
e dal modo in cui essi sono connessi (topologia del circuito).
3
Equazioni indipendenti e sistema completo
Per risolvere un problema di analisi interessa avere un
metodo per l’individuazione delle equazioni delle LKT e delle
LKC indipendenti.
Il circuito ha l bipoli e n nodi
Ipotesi 1: circuito connesso (esiste un cammino attraverso il
circuito che unisce una qualsiasi coppia di nodi).
Applicando la LKC a tutti i nodi del circuito, tranne uno, si
ottiene un sistema di equazioni linearmente indipendenti (in
ognuna di esse compare una corrente che non compare nelle
altre).
Ogni altra equazione LKC, scritta per quella rete, risulta
inutile perché combinazione lineare di quelle scritte per n-1
nodi (sistema completo).
4
5
4
5
1
3
2
Ipotesi 2: circuito planare (se lo distendo nel piano non
contiene fili che si incrociano in punti diversi dai nodi)
Anello: una maglia del circuito planare che non contiene
altri elementi al suo interno.
Non planare
6
Le l-n+1 equazioni LKT agli anelli costituiscono un
insieme di equazioni indipendenti (almeno una tensione
compare solo in una delle m equazioni).
Ogni altra equazione LKT, scritta per quella rete, risulta
inutile perché combinazione lineare di quelle scritte per
gli anelli (sistema completo)
In un circuito planare con l bipoli e n nodi ci sono m=l-n+1 anelli
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Metodi di analisi
Metodo completo
Metodi abbreviati
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Metodo completo (o di tableau sparso )
Data una rete elettrica con n nodi e l lati, consideriamo come
incognite le l correnti di lato e le l tensioni. (2l incognite)
Occorrono 2l equazioni indipendenti
lifondamenta maglie alle LKT
nodi ai LKC 1
ecostitutiv relaz.
m
n
l
lnlnlmnl 2111
Metodo
complesso
molte equazioni
La matrice del sistema risolvente ha molti zeri da qui il nome
‘tableau sparso’
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ESEMPI
u(t)
R1
R3 R2 Scrivere le equazioni topologiche
e dei componenti
a(t) R1 L R2 Scrivere le equazioni topologiche
e dei componenti
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Risoluzione delle reti con metodi abbreviati
Metodo degli anelli
Reti planari di generatori indipendenti di tensione e
resistenze
Incognite: correnti di anello, m=l-n+1
Equazioni: l-n+1 LKT
Termini noti: tensioni dei generatori
Metodo dei potenziali di nodo
Reti di generatori indipendenti di corrente e
resistenze
Incognite: potenziali di nodo, n-1
Equazioni: n-1 LKC
Termini noti: correnti dei generatori
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R3
2E
R1
E1 I1 I2
I3
I6
I5
l=6
n=4
Ricerca degi m=l-n+1=3 anelli
4E
6E
R5
R2
R4 R6
I4 Ja Jb
Jc
0. Individuare una corrente di anello J in ogni anello, di verso
arbitrario ma uguale in tutte gli anelli.
Ja Jb
Jc
Metodo degli anelli
E R
I
A B
Bipolo generalizzato
VAB=E+RI
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1. Esprimere le correnti dei lati in funzione delle correnti di
anello.
Nei lati esterni la corrente di lato coincide a meno del segno
con la corrente di anello.
I1=-Ja
I2=Jb
I3=-Jc
Nei lati interni la corrente di lato coincide con la differenza tra
tra le correnti degli anelli a cui il lato appartiene.
I4= Jc –Ja
I5= Jb –Ja
I6= Jb-Jc
R3
2E
R1
E1 I1 I2
I3
I6
I5
4E
6E
R5 R2
R4 R6
I4 Ja Jb
Jc
13
R3
2E
R1
E1 I2
I3
I6
I5
4E
6E
R5 R2
R4 R6
I4 Ja Jb
Jc
Ja Jb
Jc
LKC al nodo in figura
Ja-Ja + Jb -Jb=0
0=0
I1
Data la natura ciclica delle correnti di anello, le equazioni ai
nodi (LKC) in funzione delle correnti di anello risultano delle
identità è sufficiente considerare le restanti equazioni
(LKT)
14
2. Scrivere le LKT per ogni anello
0
0
0
66443364
55662262
55441141
IRIRIREE
IRIRIREE
IRIRIREE
3. Far comparire le correnti di anello.
c
b
a
UJJJ
UJJJ
UJJJ
EEJRRRJRJR
EEJRJRRRJR
EEJRJRJRRR
cccbcbaca
cbcbbbaba
cacbabaaa
cba
cba
cba
RRR
RRR
RRR
)(
)(
)(
6464364
6266525
4145541
6
5
4
3
2
1
I
I
I
I
I
I
J
J
J
c
b
a
15
Rii>0 autoresistenza
somma delle resistenze presenti nell’anello i
Rij=Rji<0 resistenza mutua o transresistenza
-(somma delle resistenze comuni agli anelli i e j)
Ui
Somma algebrica delle f.e.m dei generatori di tensione
presenti nell’anello i
Ei>0 se concorde col verso della corrente di anello
Considerazioni
m
a
U
U
J
J
RRR
RRR
m
a
mmmbma
amabaa
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ESEMPIO
4 W
2 W 3 W 2 W
1 W 12 V 6 V
3J
1J 2J
Trovare la potenza fornita dal
generatore da 6 V
UJR
0126
932361213
3
2
1
J
J
J
A 5930
3612
216
1
J
W301 VJIVP
17
CASO IN CUI SONO PRESENTI GENERATORI di corrente
• La matrice dei coefficienti nel
metodo degli anelli non è più
simmetrica
• Il metodo si destruttura
E1 J1
R2
R3
J2
J3 R4
12V
IR2
A
AJJ
JRJRJRRR
VJRJR
VEJRJR
x
x
12
24123452
3424
13212
0
12
A
E
V
J
J
J
RRRRR
RR
RR
x
012
0011
0
10
101
3
2
1
43242
44
22
Vx
4 eq.ni e 4 incognite
Se il g.c appartiene ad un sola anello si può ignorare l’eq.ne
corrispondente
18
R3
R1
A1 A2
A6
0. Individuazione degli n-1
nodi indipendenti A, B, C
Nodo n: nodo di riferimentoD
n-1 potenziali indipendenti
VA, VB,VC
R5
R2
R4 R6
A4
Metodo dei potenziali di nodo
D
A
B C
A2
I6 I4
D
A
B C
VA VB
VC
I1 I2
I3
I5
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1. Esprimere le tensioni in funzione dei potenziali dei nodi
indipendenti.
V1=VA-VD= VA
V2=VC - VD =VC
V3=VA - VC
V4=VA-VB
V5=VB - VD =VB
V6=VB -VC
I2
I6 I4
D
A
B C
VA VB
VC
I1 I2
I3
I5
A1 A2
A6 A4
R3 Le equazioni alle maglie fondamentali (LKT), se si
sostituiscono alle tensioni di lato le loro espressioni in
funzione dei potenziali dei nodi indipendenti, risultano delle
identità è sufficiente considerare le restanti equazioni
(LKC)
20 0
0
0
26326
64654
34411
AAIII
AAIII
IAIIA
3. Scrivere le LKC per ogni nodo indipendente
I1=VAG1
I2=VCG2
I3=VACG3=VAG3-VCG3
I4=VACG4=VAG4-VBG4
I5=VBG5
I6=VBCG6=VBG6-VCG6
2. Esprimere le correnti dei lati in funzione dei potenziali dei
nodi indipendenti.
21
3. Far comparire le tensioni di nodo
C
B
A
A
A
A
CCCBCBACA
CBCBBBABA
CACBABAAA
CBA
CBA
CBA
III
VVV
VVV
AAVGGGVGVG
AAVGVGGGVG
AAVGVGVGGG
GGG
GGG
GGG
6263263
6466544
4134431
)(
)(
)(
6
5
4
3
2
1
I
I
I
I
I
I
V
V
V
C
B
A
22
Gii>0 autoconduttanza
somma delle conduttanze dei lati facenti capo al nodo i
Gij<0 conduttanza mutua o transconduttanza
-(somma delle conduttanze connesso tra i nodi i e j)
Ai
Somma algebrica delle correnti dei generatori di corrente
facenti capo al nodo i
Ai>0 se entrante nel nodo i
Considerazioni
111,1,1,1
1,
n
A
n
A
nnBnAn
nAABAA
A
A
V
V
GGG
GGG
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CASO IN CUI SONO PRESENTI GENERATORI di tensione
R1
R2
A R3 R4
E
A B
C D
Conviene prendere il
nodo B come nodo di
riferimento
EV
I
A
A
V
V
V
RR
RRRRR
RRR
D
xD
C
A
44
44311
121
110
11111
0111
4
4
4
4311
121
11
0
01111
0111
R
E
R
EA
A
I
V
V
R
RRRR
RRR
x
C
A
Riduco il numero di
variabili
24
Alternativa
R1
R2
A R3 R4 E
A B
C D
4
4322
221
/1111
111
RE
A
V
V
RRRR
RRR
B
A
R1 R3 R4
E/R4
A B
C
Trasf. Dei generatori
R2
25
Dualità
Scopo della dualità è quello, noto un qualsiasi principio o
equazione per una rete, di poter dedurre il principio o
l’equazione duale (corrispondente) per la parte duale.
Ciò è possibile scambiando i termini duali.
V R serie maglia
I G parallelo nodo
0;00;0
00
VIIV
VGIIRV
VI
Esempi