1

Analisi di

Reti

in Regime Stazionario

2

Data una rete con l elementi bipolari, identifico un sistema

di l tensioni e l correnti descrittive (ad ex, usando la C.U.).

2l incognite

Le 2l incognite devono soddisfare:

•le relazioni costitutive

•le 2 leggi di Kirchhoff (indipendenti dalla natura dei

componenti)

Le relazioni costitutive sono l occorrono

l equazioni di Kirchhoff indipendenti

L’individuazione di tali equazioni, essendo basata sulle LK,

non dipende dalla natura degli elementi ma solo dal numero

e dal modo in cui essi sono connessi (topologia del circuito).

3

Equazioni indipendenti e sistema completo

Per risolvere un problema di analisi interessa avere un

metodo per l’individuazione delle equazioni delle LKT e delle

LKC indipendenti.

Il circuito ha l bipoli e n nodi

Ipotesi 1: circuito connesso (esiste un cammino attraverso il

circuito che unisce una qualsiasi coppia di nodi).

Applicando la LKC a tutti i nodi del circuito, tranne uno, si

ottiene un sistema di equazioni linearmente indipendenti (in

ognuna di esse compare una corrente che non compare nelle

altre).

Ogni altra equazione LKC, scritta per quella rete, risulta

inutile perché combinazione lineare di quelle scritte per n-1

nodi (sistema completo).

4

5

4

5

1

3

2

Ipotesi 2: circuito planare (se lo distendo nel piano non

contiene fili che si incrociano in punti diversi dai nodi)

Anello: una maglia del circuito planare che non contiene

altri elementi al suo interno.

Non planare

6

Le l-n+1 equazioni LKT agli anelli costituiscono un

insieme di equazioni indipendenti (almeno una tensione

compare solo in una delle m equazioni).

Ogni altra equazione LKT, scritta per quella rete, risulta

inutile perché combinazione lineare di quelle scritte per

gli anelli (sistema completo)

In un circuito planare con l bipoli e n nodi ci sono m=l-n+1 anelli

7

Metodi di analisi

Metodo completo

Metodi abbreviati

8

Metodo completo (o di tableau sparso )

Data una rete elettrica con n nodi e l lati, consideriamo come

incognite le l correnti di lato e le l tensioni. (2l incognite)

Occorrono 2l equazioni indipendenti

lifondamenta maglie alle LKT

nodi ai LKC 1

ecostitutiv relaz.

m

n

l

lnlnlmnl 2111

Metodo

complesso

molte equazioni

La matrice del sistema risolvente ha molti zeri da qui il nome

‘tableau sparso’

9

ESEMPI

u(t)

R1

R3 R2 Scrivere le equazioni topologiche

e dei componenti

a(t) R1 L R2 Scrivere le equazioni topologiche

e dei componenti

10

Risoluzione delle reti con metodi abbreviati

Metodo degli anelli

Reti planari di generatori indipendenti di tensione e

resistenze

Incognite: correnti di anello, m=l-n+1

Equazioni: l-n+1 LKT

Termini noti: tensioni dei generatori

Metodo dei potenziali di nodo

Reti di generatori indipendenti di corrente e

resistenze

Incognite: potenziali di nodo, n-1

Equazioni: n-1 LKC

Termini noti: correnti dei generatori

11

R3

2E

R1

E1 I1 I2

I3

I6

I5

l=6

n=4

Ricerca degi m=l-n+1=3 anelli

4E

6E

R5

R2

R4 R6

I4 Ja Jb

Jc

0. Individuare una corrente di anello J in ogni anello, di verso

arbitrario ma uguale in tutte gli anelli.

Ja Jb

Jc

Metodo degli anelli

E R

I

A B

Bipolo generalizzato

VAB=E+RI

12

1. Esprimere le correnti dei lati in funzione delle correnti di

anello.

Nei lati esterni la corrente di lato coincide a meno del segno

con la corrente di anello.

I1=-Ja

I2=Jb

I3=-Jc

Nei lati interni la corrente di lato coincide con la differenza tra

tra le correnti degli anelli a cui il lato appartiene.

I4= Jc –Ja

I5= Jb –Ja

I6= Jb-Jc

R3

2E

R1

E1 I1 I2

I3

I6

I5

4E

6E

R5 R2

R4 R6

I4 Ja Jb

Jc

13

R3

2E

R1

E1 I2

I3

I6

I5

4E

6E

R5 R2

R4 R6

I4 Ja Jb

Jc

Ja Jb

Jc

LKC al nodo in figura

Ja-Ja + Jb -Jb=0

0=0

I1

Data la natura ciclica delle correnti di anello, le equazioni ai

nodi (LKC) in funzione delle correnti di anello risultano delle

identità è sufficiente considerare le restanti equazioni

(LKT)

14

2. Scrivere le LKT per ogni anello

0

0

0

66443364

55662262

55441141

IRIRIREE

IRIRIREE

IRIRIREE

3. Far comparire le correnti di anello.

c

b

a

UJJJ

UJJJ

UJJJ

EEJRRRJRJR

EEJRJRRRJR

EEJRJRJRRR

cccbcbaca

cbcbbbaba

cacbabaaa

cba

cba

cba

RRR

RRR

RRR

)(

)(

)(

6464364

6266525

4145541

6

5

4

3

2

1

I

I

I

I

I

I

J

J

J

c

b

a

15

Rii>0 autoresistenza

somma delle resistenze presenti nell’anello i

Rij=Rji<0 resistenza mutua o transresistenza

-(somma delle resistenze comuni agli anelli i e j)

Ui

Somma algebrica delle f.e.m dei generatori di tensione

presenti nell’anello i

Ei>0 se concorde col verso della corrente di anello

Considerazioni

m

a

U

U

J

J

RRR

RRR

m

a

mmmbma

amabaa

16

ESEMPIO

4 W

2 W 3 W 2 W

1 W 12 V 6 V

3J

1J 2J

Trovare la potenza fornita dal

generatore da 6 V

UJR

0126

932361213

3

2

1

J

J

J

A 5930

3612

216

1

J

W301 VJIVP

17

CASO IN CUI SONO PRESENTI GENERATORI di corrente

• La matrice dei coefficienti nel

metodo degli anelli non è più

simmetrica

• Il metodo si destruttura

E1 J1

R2

R3

J2

J3 R4

12V

IR2

A

AJJ

JRJRJRRR

VJRJR

VEJRJR

x

x

12

24123452

3424

13212

0

12

A

E

V

J

J

J

RRRRR

RR

RR

x

012

0011

0

10

101

3

2

1

43242

44

22

Vx

4 eq.ni e 4 incognite

Se il g.c appartiene ad un sola anello si può ignorare l’eq.ne

corrispondente

18

R3

R1

A1 A2

A6

0. Individuazione degli n-1

nodi indipendenti A, B, C

Nodo n: nodo di riferimentoD

n-1 potenziali indipendenti

VA, VB,VC

R5

R2

R4 R6

A4

Metodo dei potenziali di nodo

D

A

B C

A2

I6 I4

D

A

B C

VA VB

VC

I1 I2

I3

I5

19

1. Esprimere le tensioni in funzione dei potenziali dei nodi

indipendenti.

V1=VA-VD= VA

V2=VC - VD =VC

V3=VA - VC

V4=VA-VB

V5=VB - VD =VB

V6=VB -VC

I2

I6 I4

D

A

B C

VA VB

VC

I1 I2

I3

I5

A1 A2

A6 A4

R3 Le equazioni alle maglie fondamentali (LKT), se si

sostituiscono alle tensioni di lato le loro espressioni in

funzione dei potenziali dei nodi indipendenti, risultano delle

identità è sufficiente considerare le restanti equazioni

(LKC)

20 0

0

0

26326

64654

34411

AAIII

AAIII

IAIIA

3. Scrivere le LKC per ogni nodo indipendente

I1=VAG1

I2=VCG2

I3=VACG3=VAG3-VCG3

I4=VACG4=VAG4-VBG4

I5=VBG5

I6=VBCG6=VBG6-VCG6

2. Esprimere le correnti dei lati in funzione dei potenziali dei

nodi indipendenti.

21

3. Far comparire le tensioni di nodo

C

B

A

A

A

A

CCCBCBACA

CBCBBBABA

CACBABAAA

CBA

CBA

CBA

III

VVV

VVV

AAVGGGVGVG

AAVGVGGGVG

AAVGVGVGGG

GGG

GGG

GGG

6263263

6466544

4134431

)(

)(

)(

6

5

4

3

2

1

I

I

I

I

I

I

V

V

V

C

B

A

22

Gii>0 autoconduttanza

somma delle conduttanze dei lati facenti capo al nodo i

Gij<0 conduttanza mutua o transconduttanza

-(somma delle conduttanze connesso tra i nodi i e j)

Ai

Somma algebrica delle correnti dei generatori di corrente

facenti capo al nodo i

Ai>0 se entrante nel nodo i

Considerazioni

111,1,1,1

1,

n

A

n

A

nnBnAn

nAABAA

A

A

V

V

GGG

GGG

23

CASO IN CUI SONO PRESENTI GENERATORI di tensione

R1

R2

A R3 R4

E

A B

C D

Conviene prendere il

nodo B come nodo di

riferimento

EV

I

A

A

V

V

V

RR

RRRRR

RRR

D

xD

C

A

44

44311

121

110

11111

0111

4

4

4

4311

121

11

0

01111

0111

R

E

R

EA

A

I

V

V

R

RRRR

RRR

x

C

A

Riduco il numero di

variabili

24

Alternativa

R1

R2

A R3 R4 E

A B

C D

4

4322

221

/1111

111

RE

A

V

V

RRRR

RRR

B

A

R1 R3 R4

E/R4

A B

C

Trasf. Dei generatori

R2

25

Dualità

Scopo della dualità è quello, noto un qualsiasi principio o

equazione per una rete, di poter dedurre il principio o

l’equazione duale (corrispondente) per la parte duale.

Ciò è possibile scambiando i termini duali.

V R serie maglia

I G parallelo nodo

0;00;0

00

VIIV

VGIIRV

VI

Esempi