t test per dati appaiati e per dati indipendenti - uniroma2.italenardi/sonniferiNardi0313.pdf ·...

Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over

t-test per datiappaiati

Dati indipendenti

t test per datiindipendenti

t test per dati appaiati e per dati indipendenti

Alessandra Nardi

13 gennaio 2013

Alessandra Nardi Sonniferi

Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Indice

1 Introduzione

2 Disegno cross-over

3 t-test per dati appaiati

4 Dati indipendenti

5 t test per dati indipendenti


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Student

Quello che e generalmente noto come t-test, e che piu correttamentecorrisponde ad una famiglia di test dipotesi, nasce nel 1908 quandoWilliam Sealy Gosset pubblica, sotto lo pseudonimo di Student unarticolo dal titolo The probable error of a mean. Ve ne raccontiamobrevemente la storia (ma solo per chi conosce linglese)


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Gosset

Schooled in mathematics and chemistry, Gosset was hired by ArthurGuinness, Son & Co., Ltd. to apply recent innovations in the field ofstatistics to the business of brewing beer. As a brewer, Gossetanalyzed how agricultural and brewing parameters (e.g., the type ofbarley used) affected crop yields and, in his words, the behavior ofbeer. Because of the cost and time associated with growing cropsand brewing beer, Gosset and his fellow experimental brewers couldnot afford to gather the large amounts of data typically gathered bystatisticians of their era. Statisticians, however, had not yetdeveloped accurate inferential methods for working with smallsamples of data, requiring Gosset to develop methods of his own.With the approval of his employer, Gosset spent a year (1906-1907)in the biometric laboratory of Karl Pearson, developing The probableerror of a mean.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Student

The most immediately striking aspect of The Probable Error of aMean is its pseudonymous author: Student. Why would a statisticianrequire anonymity? The answer to this question came publicly in1930, when fellow statistician Harold Hotelling revealed that Studentwas Gosset, and that his anonymity came at the request of hisemployer, a large Dublin Brewery. At the time, Guinness consideredits use of statistics a trade secret and forbade its employees frompublishing their work. Only after negotiations with his supervisorswas Gosset able to publish his work, agreeing to neither use his realname nor publish proprietary data.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Studio crossover

Esperimento

Sono stati provati due diversi sonniferi (A e B) su un campione dipiccole dimensioni di pazienti affetti da insonnia. Ogni paziente haassunto entrambi i sonniferi, lordine di assunzione e stato deciso inmodo casuale e per ogni periodo di trattamento e stato registrato ilnumero medio di ore di sonno guadagnate. Tra i due trattamenti estato inserito un periodo di wash out al fine di eliminare gli effettidel primo farmaco riportando il paziente nelle condizioni iniziali.

Risultati

I risultati sono presentati nella seguenta tabella:


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Ore di sonno guadagnate

Pazienti A B B-A1 +0.7 +1.9 +1.22 -1.6 +0.8 +2.43 -0.2 +1.1 +1.34 -1.2 +0.1 +1.35 -0.1 -0.1 +0.06 +3.4 +4.4 +1.07 +3.7 +5.5 +1.88 +0.8 +1.6 +0.89 0.0 +4.6 +4.6

10 +2.0 +3.4 +1.4Media: yA = 0.75 yB = 2.33 yBA = 1.58


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Caratteristiche del disegno sperimentale

Provando i farmaci sullo stesso paziente tutti i fattori diconfondimento legati alle caratteristiche dei soggetti vengonoeliminate garantendo una elevata potenza del test che andremoad eseguire e consentendo di raggiungere spesso risultaticonclusivi anche in presenza di campioni di piccola dimensione.

Il disegno puo essere utilizzato solo per patologie croniche percui e ipotizzabile sospendere il trattamento e ricondurre ilpaziente in condizioni simili a quelle iniziali.

Esiste il rischio che nonostante il periodo di wash out leffetto delprimo farmaco si trascini sul secondo. La scelta casuale del primofarmaco consente di verificare la presenza di questo effetto ditrascimento che e tuttavia praticamente impossibile correggere.

Obiettivo dello studio

Verificare quale farmaco garantisce la risposta attesa migliore


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Assumiamo che la nostra variabile risposta, di natura continua, segua(almeno approssimativamente) una distribuzione normale.

YiA N(A, 2A)

YiB N(B , 2B)

Trattandosi di campioni di piccola dimensione questa assunzione ecruciale e deve essere valutata con attenzione.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Nuova variabile D

Trattandosi di risposte osservate sullo stesso paziente e naturale (enecessario) passare a considerare la loro differenza Di = YiB YiADallipotesi di normalita su YiA ed YiB segue che

Di N(, 2CO)

dove 2CO = V AR(YiB YiA).

Sistema di ipotesi

Il sistema di ipotesi da portare alla verifica dei dati sara{H0 : = 0

H1 : 6= 0


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Statistica test

Costruiamo la nostra statistica test a partire dallo stimatore naturaledel valore atteso in un modello normale, cioe la media campionaria

= D =

Din

con

D N(, 2CO

n).

Standardizzando otteniamo la statistica Z

Z =D COn

distribuita secondo una normale con valore atteso nullo e varianzaunitaria.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Statistica test T

Tuttavia la variabilita della risposta 2CO non e generalmente nota ede necessario stimarla attraverso la varianza campionaria

S2CO =

(Di D)2

n 1.

Student intu per primo che la sostituzione di 2CO con S2CO

nellespressione di Z non e indolore. Infatti la statistica

T =D SCOn

contiene adesso due elementi aleatori, D e SCO, che varierannocongiuntamente in ipotetiche ripetizioni dellesperimento.Ne segue che T non seguira piu una distribuzione normale.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


La t di Student

Student dimostra che, sotto H0 ( = 0), abbiamo

T t(n1)

dove t indica la famiglia di distribuzioni nota proprio come t diStudent. Tale famiglia dipende da un solo parametro, i gradi diliberta utilizzati per la stima di 2, nel nostro caso n 1.Osserviamo che al crescere di n (e quindi dei gradi di liberta) S2COdiventera uno stimatore sempre piu preciso di 2CO e al tendere di nad infinito la t di Student convergera alla densita normale rimettendole cose a posto.Ma Gosset aveva piccoli campioni . . .


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Nel nostro esempio:

d = 1.58 (1)

sCO = 1.23 (2)

toss =(1.58 0)

10

1.23= 4.062 (3)

Intervallo di confidenza: (0.70 , 2.46).


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Regione di rifiuto

Per = 0.05 troviamo nelle tavole t2 ,9

= 2.262

La regione di rifiuto eR = {t : |t| > 2.262} = (,2.262] [2.262,+)

Il valore osservato di T appartiene evidentemente alla regione dirifiuto del test conducendo quindi a rifiutare H0 con unaprobablita di errore di prima specie pari a 0.05.Il p-value e = 0.0028 : quale informazione aggiuntiva ci fornisce?


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Dati indipendenti

Immaginiamo ora che i due sonniferi siano stati assegnaticasualmente ai pazienti arruolati nello studio generando due gruppidistinti di soggetti, il gruppo A e il gruppo B.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Il modello

Assumiamo che la variabile risposta ad entrambi i sonniferi segua unadistribuzione normale:

YiA N(A, A), i = 1, . . . , nAYjB N(B , B), j = 1, . . . , nB

Segue che

Y A N(A,AnA

)

Y B N(B ,BnB

)


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Le ipotesi

Formalizziamo il problema attraverso il seguente sistema di ipotesi:{H0 : A = B

H1 : A 6= B

o in modo equivalente: {H0 : A B = 0H1 : A B 6= 0


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Assunzione supplementare

Ipotizziamo che2A =

2B =

2.

Si tratta di unipotesi particolarmente importante dal punto di vistalogico poiche implica una identica variabilita nella risposta ai duefarmaci che non e affatto scontata e andrebbe semprepreliminarmente verificataa

aUsiamo il test F di Fisher per verificare se le varianze sono uguali nelle duepopolazioni, con le seguenti ipotesi:{

H0 : 2A = 2B

H1 : 2A 6= 2B


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


t test per dati indipendenti

Statistica test

Costruiamo la nostra statistica test a partire da un opportunostimatore per la quantita di interesse che e adesso A B :

Stimatore della differenza dei valori attesi

A B = Y A Y Bdove Y A Y B N(A B , 2( 1nA +

1nB

)).


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Stima della varianza

Stimiamo la varianza 2 come media ponderata di S2A e S2B :

S2 =(nA 1)S2A + (nB 1)S2B

nA + nB 2.

Sarebbe stato possibile utilizzare la varianza campionaria relativa adun singolo gruppo?


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Statistica test

Definiamo la statistica test

T =Y A Y B (A B)

S

1nA

+ 1nB

.

Sotto lipotesi H0 (B = B)

T =Y A Y B

S

1nA

+ 1nB

t(nA+nB2)

dove t(nA+nB2) e la distribuzione t con nA +nB 2 gradi di liberta.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Esempio

Nel nostro esempio (fitizio):

yA = 0.75

yB = 2.33

s = 1.898

Sotto l ipotesi nulla A B = 0:

toss =2.33 0.75

1.898

110 +

110

= 1.861.


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Fissato = 0.05, avremo t18,0.975 = 2.101 e la regione di rifiuto:

R = {t : |t| 2.101} = (,2.101] [2.101,+).

Adesso non possimo rifiutare H0 (il p-value e 0.079): cosa eaccaduto?


Sonniferi

Alessandra Nardi

Introduzione

Disegnocross-over


Dati indipendenti


Utilizzando un statistica T per campioni indipendenti quando invece inostri dati erano appaiati abbiamo sovrastimato la varianza adenominatore (i numeratori delle due statistiche sono identici,perche?) e quindi sottostimato il valore di T .Infatti

V ar(Y A Y B) = V ar(Y A) + V ar(Y B) 2Cov(Y A, Y B)

Lultimo addendo, nel caso di dati appaiati, e generalmente positivoriducendo la varianza rispetto al caso di dati indipendenti quando lacovarianza e nulla.

Bibliografia

Student (William Sealy Gosset) The probable error of a mean.Biometrika 6 (1): 125. March 1908.


IntroduzioneDisegno cross-overt-test per dati appaiatiDati indipendentit test per dati indipendenti

t test per dati appaiati e per dati indipendenti - uniroma2.italenardi/sonniferiNardi0313.pdf ·...

Documents

Transcript of t test per dati appaiati e per dati indipendenti - uniroma2.italenardi/sonniferiNardi0313.pdf ·...