Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 1

Spiega cosa si intende con il simbolo

an

m

Dato a ≥ 0, con il suddetto simbolo si intende n ma

o, il che è lo stesso, ( )mn a

ESEMPIO 34

5

= 4 53 = ( )54 3

CONTROESEMPIO ( )3- 45

non si può fare perché per definizione la base non può essere negativa. ___________________________________________ Come si può scrivere la radice n-ma di un numero sotto forma di potenza? Dato un numero a ≥ 0, per la definizione di potenze con esponente razionale, si ha che: n a = an

1

ESEMPIO: 3 5 = 53

1

o 2 7 = 72

1

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 2

Calcola le seguenti potenze:

45.0

83

5

326.0

10003

1

( ) 5.04− Motivare le risposte

45.0

= 42

1

= 2 4 = 2

83

5

= ( )53 8 = 25

= 32

326.0

= 3210

6

= 325

3

= ( )35 32 = ( )32 = 8

10003

1

= 3 1000 = 10

( ) 5.04− NON SI PUÒ FARE perché per definizione le potenze con base negativa e esponente non intero non si possono fare nei numeri reali. Questa definizione è giustificata dalla seguente considerazione:

( ) 5.04− = ( )2

1

4− = ( )2 4- (IMPOSSIBILE IN R). Calcolare le seguente potenze

45.0− 8 3

5− 25.0

5.1− 001.0 3

2−

Motivare le risposte

45.0− =

5.0

4

1

=

2

1

41

= 2

4

1

= 2

1

8 3

5− =

3

5

81

=

5

3

81

=

5

21

= 32

1

25.05.1− =

10

15

41

−

=

2

3

41

−

= 42

3

= ( )32 4 = ( )32 = 8

001.0 3

2− = 3

2

10001

−

= 10003

2

= ( )23 1000 = ( )210 = 100

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 3

Calcolare le seguenti potenze

2

3

41

−

− 03

5

0 3

5−

Motivare la risposta 2

3

41

−

− NON SI PUÒ FARE perché per definizione non si possono

considerare potenze con base negativa ed esponente frazionario.

03

5

= ( )53 0 = 05 = 0

0 3

5− NON SI PUÒ FARE perché non si può mai considerare una

potenza con base 0 ed esponente negativo (ciò è vero anche per i numeri interi). Infatti:

0 3

5− =

3

5

01

, ma 0

1 non si può fare.

Come giustifichi il fatto che per definizione ( )mnn

m

aa = ?

Intanto giustifichiamo il fatto che nn aa =1

.

Ricordiamo che, per definizione di radicale, n a è quel numero che elevato ad n dà a

Calcoliamo a n

1

alla potenza di n, imponendo la validità delle proprietà delle potenze.

n

na

1

= an

n

1

= a1= a .

Quindi anche a n

1

è quel numero che elevato ad n dà a

Perciò nn aa =

1

.

A questo punto, imponendo ancora le regole delle potenze:

=a n

m m

na

1

= ( )mn a

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 4

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 5

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 6

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 7

Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 8

Qual è la limitazione che hanno le potenze con esponente non intero (frazionario o irrazionale) rispetto alle potenze con esponente intero? Le potenze con esponente intero possono avere anche base negativa, invece le potenze con esponente non intero non possono avere base negativa.