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Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 1 Spiega cosa si intende con il simbolo a n m Dato a ≥ 0, con il suddetto simbolo si intende n m a o, il che è lo stesso, ( m n a ESEMPIO 3 4 5 = 4 5 3 = ( 5 4 3 CONTROESEMPIO ( 3 - 4 5 non si può fare perché per definizione la base non può essere negativa. ___________________________________________ Come si può scrivere la radice n-ma di un numero sotto forma di potenza? Dato un numero a ≥ 0, per la definizione di potenze con esponente razionale, si ha che: n a = a n 1 ESEMPIO: 3 5 = 5 3 1 o 2 7 = 7 2 1
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Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 1
Spiega cosa si intende con il simbolo
an
m
Dato a ≥ 0, con il suddetto simbolo si intende n ma
o, il che è lo stesso, ( )mn a
ESEMPIO 34
5
= 4 53 = ( )54 3
CONTROESEMPIO ( )3- 45
non si può fare perché per definizione la base non può essere negativa. ___________________________________________ Come si può scrivere la radice n-ma di un numero sotto forma di potenza? Dato un numero a ≥ 0, per la definizione di potenze con esponente razionale, si ha che: n a = an
1
ESEMPIO: 3 5 = 53
1
o 2 7 = 72
1
Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 2
Calcola le seguenti potenze:
45.0
83
5
326.0
10003
1
( ) 5.04− Motivare le risposte
45.0
= 42
1
= 2 4 = 2
83
5
= ( )53 8 = 25
= 32
326.0
= 3210
6
= 325
3
= ( )35 32 = ( )32 = 8
10003
1
= 3 1000 = 10
( ) 5.04− NON SI PUÒ FARE perché per definizione le potenze con base negativa e esponente non intero non si possono fare nei numeri reali. Questa definizione è giustificata dalla seguente considerazione:
( ) 5.04− = ( )2
1
4− = ( )2 4- (IMPOSSIBILE IN R). Calcolare le seguente potenze
45.0− 8 3
5− 25.0
5.1− 001.0 3
2−
Motivare le risposte
45.0− =
5.0
4
1
=
2
1
41
= 2
4
1
= 2
1
8 3
5− =
3
5
81
=
5
3
81
=
5
21
= 32
1
25.05.1− =
10
15
41
−
=
2
3
41
−
= 42
3
= ( )32 4 = ( )32 = 8
001.0 3
2− = 3
2
10001
−
= 10003
2
= ( )23 1000 = ( )210 = 100
Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 3
Calcolare le seguenti potenze
2
3
41
−
− 03
5
0 3
5−
Motivare la risposta 2
3
41
−
− NON SI PUÒ FARE perché per definizione non si possono
considerare potenze con base negativa ed esponente frazionario.
03
5
= ( )53 0 = 05 = 0
0 3
5− NON SI PUÒ FARE perché non si può mai considerare una
potenza con base 0 ed esponente negativo (ciò è vero anche per i numeri interi). Infatti:
0 3
5− =
3
5
01
, ma 0
1 non si può fare.
Come giustifichi il fatto che per definizione ( )mnn
m
aa = ?
Intanto giustifichiamo il fatto che nn aa =1
.
Ricordiamo che, per definizione di radicale, n a è quel numero che elevato ad n dà a
Calcoliamo a n
1
alla potenza di n, imponendo la validità delle proprietà delle potenze.
n
na
1
= an
n
1
= a1= a .
Quindi anche a n
1
è quel numero che elevato ad n dà a
Perciò nn aa =
1
.
A questo punto, imponendo ancora le regole delle potenze:
=a n
m m
na
1
= ( )mn a
Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 4
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Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 7
Potenze con esponente non intero. DOMANDE E RISPOSTE 8
Qual è la limitazione che hanno le potenze con esponente non intero (frazionario o irrazionale) rispetto alle potenze con esponente intero? Le potenze con esponente intero possono avere anche base negativa, invece le potenze con esponente non intero non possono avere base negativa.
