PotenzePotenzeDefinizioni e Proprietà

ElevamentoElevamento a potenza a potenza

QUINDI: LA POTENZA DI UN NUMERO CON ESPONENTE DIVERSO DA QUINDI: LA POTENZA DI UN NUMERO CON ESPONENTE DIVERSO DA ZERO E DA UNO, È IL PRODOTTO DI TANTI FATTORI UGUALI ALLA BASE ZERO E DA UNO, È IL PRODOTTO DI TANTI FATTORI UGUALI ALLA BASE QUANTE SONO LE UNITÀ DELL’ESPONENTE.QUANTE SONO LE UNITÀ DELL’ESPONENTE.

an = a × a × … × a × a = b BASEBASE

POTENZAPOTENZAESPONENTE

n volte

L’L’ELEVAMENTO A POTENZAELEVAMENTO A POTENZA È L’OPERAZIONE È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA A DUE NUMERI NATURALI ARITMETICA CHE ASSOCIA A DUE NUMERI NATURALI CHIAMATI RISPETTIVAMENTE BASE ED ESPONENTE CHIAMATI RISPETTIVAMENTE BASE ED ESPONENTE UN TERZO NUMERO NATURALE DETTO VALORE UN TERZO NUMERO NATURALE DETTO VALORE DELLA DELLA POTENZAPOTENZA..

E SI LEGGEE SI LEGGE aa ELEVATO ALLA ELEVATO ALLA nn

Esempi:Esempi:24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

E SI PUÒ LEGGERE

DUE ELEVATO ALLA QUARTA

DUE ALLA QUARTA

15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1E SI PUÒ LEGGERE

UNO ELEVATO ALLA QUINTA

UNO ALLA QUINTA

07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0

E SI PUÒ LEGGERE

ZERO ELEVATO ALLA SETTIMA

ZERO ALLA SETTIMA

Quadrati e cubi PerfettiQuadrati e cubi PerfettiI NUMERI CHE SONO QUADRATI (n=2; I NUMERI CHE SONO QUADRATI (n=2; aa22=b=b) DI NUMERI ) DI NUMERI NATURALI SONO DETTI QUADRATI PERFETTINATURALI SONO DETTI QUADRATI PERFETTI

I NUMERI CHE SONO CUBI (n=3 I NUMERI CHE SONO CUBI (n=3 ;; aa33=b=b) DI NUMERI ) DI NUMERI NATURALI SONO DETTI CUBI PERFETTI.NATURALI SONO DETTI CUBI PERFETTI.

Esempio di cubi perfetti:

23 = 2 × 2 × 2 = 833 = 3 × 3 × 3 = 2753 = 5 × 5 × 5 = 12563 = 6 × 6 × 6 = 216

Esempio di quadrati perfetti:

22 = 2 × 2 = 452 = 5 × 5 = 2592 = 9 × 9 = 81132 = 13 × 13 = 169

72 = 7 × 7 = 49E SI PUÒ LEGGERE

SETTE ELEVATO ALLA SECONDA

SETTE ELEVATO AL QUADRATO

SETTE ALLA SECONDA

SETTE AL QUADRATO

43 = 4 × 4 × 4 = 64E SI PUÒ LEGGERE

QUATTRO ELEVATO ALLA TERZA

QUATTRO ELEVATO AL CUBO

QUATTRO ALLA TERZA

QUATTRO AL CUBO

Esempi:Esempi:

Casi ParticolariCasi Particolari

POTENZA CON POTENZA CON ESPONENTE UGUALE A 1ESPONENTE UGUALE A 1

EsempiEsempi

4411 = 4 = 4

2659265911 = 2659 = 2659

10005847910005847911 = 100058479 = 100058479

a1 = a

POTENZA CON POTENZA CON BASE UGUALE A 0 ED BASE UGUALE A 0 ED

ESPONENTE DIVERSO DA 0ESPONENTE DIVERSO DA 0

EsempiEsempi

0044 = 0 = 0 × 0 0 × 0 0 × 0 = 0 0 = 00077 = 0 = 0 × 0 0 × 0 0 × 0 0 × 0 0 × 0 0 × 0 0 = 0= 0

0n = 0 con n diverso da 0

POTENZA CON POTENZA CON BASEBASE DIVERSA DIVERSA DA DA 00 ED ESPONENTE UGUALE A ED ESPONENTE UGUALE A 00

a0 = 1 con a diverso da 0

NON HA SIGNIFICATO LA SCRITTURANON HA SIGNIFICATO LA SCRITTURA 00

(INDETERMINATO)

EsempiEsempi

1100 = 1 = 1

29729700 = 1 = 1

16200016200000 = 1 = 1

Proprietà delle PotenzeProprietà delle Potenze

PRODOTTO DIPRODOTTO DI POTENZE POTENZE DI UGUALEDI UGUALE BASEBASE

an × am = an+m

Prodotto di due o più potenze con Prodotto di due o più potenze con uguale è una potenza che ha per uguale è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.la somma degli esponenti.

23 × 22 = 2(3+2) = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

EsempiEsempi

52 × 52 = 5(2+2) = 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

104 × 102 = 10(4+2) = 106 = = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = = 1000000

QUOTO DIQUOTO DI POTENZE POTENZE DI UGUALEDI UGUALE BASEBASE

an : am = an-m

con n>m

Quoto di due potenze con uguale Quoto di due potenze con uguale basebase, ma con esponente della prima potenza , ma con esponente della prima potenza non minore di quello della seconda, è una non minore di quello della seconda, è una potenza che ha per base la stessa base e per potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.esponente la differenza degli esponenti.

27 : 23 = 2(7-3) = 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

EsempiEsempi

58 : 55 = 5(8-5) = 53 = 5 × 5 × 5 = 125

74 : 73 = 7(4-3) = 71 = 7

POTENZA DIPOTENZA DI POTENZAPOTENZA

(an)m = an×m

La potenza di una potenza è una potenza che ha La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.degli esponenti.

(23)4 = 2(3×4) = 212 = 4096

EsempiEsempi

(32)3 = 3(2×3) = 36 = 729

(22)2 = 2(2×2) = 24 = 16

PRODOTTO DI POTENZE PRODOTTO DI POTENZE DI UGUALE ESPONENTEDI UGUALE ESPONENTE

Il prodotto di due o più potenze con Il prodotto di due o più potenze con uguale esponente è una potenza che uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.per esponente lo stesso esponente.

an × bn = (a × b)n

23 × 53 = (2 × 5)3 = 103 = 1000

EsempiEsempi

42 × 52 = (4 × 5)2 = 202 = 400

33 × 73 = (3 × 7)3 = 213 = 9261

QUOTO DI POTENZE QUOTO DI POTENZE DI UGUALE ESPONENTEDI UGUALE ESPONENTE

Il quoto di due o più potenze con uguale Il quoto di due o più potenze con uguale esponente è una potenza che ha per base il quoto esponente è una potenza che ha per base il quoto delle basi e per esponente lo stesso esponente. delle basi e per esponente lo stesso esponente.

an : bn = (a : b)n

con b diverso da 0

EsempiEsempi

153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27

642 : 42 = (64 : 4)2 = 162 = 256

12003 : 2003 = (1200 : 200)3 = 63 = 216

POTENZA DI UN PRODOTTOPOTENZA DI UN PRODOTTO

La potenza di un prodotto è uguale al prodotto La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze con uguale esponente nei singoli delle potenze con uguale esponente nei singoli fattori. fattori.

(a × b)n = an × bn

EsempiEsempi

(3 × 5)3 = 33 × 53 = 27 × 125= 3375

(2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36

(2 × 4)4 = 24 × 44 = 16 × 256 = 4096

POTENZA DI UN QUOTOPOTENZA DI UN QUOTO

La potenza di un quoto è uguale al prodotto delle La potenza di un quoto è uguale al prodotto delle potenze con uguale esponente nel dividento e nel potenze con uguale esponente nel dividento e nel divisore.divisore.

(a : b)n = an : bn

con b diverso da 0

(30 : 10)3 = 303 : 103 = 27000 : 1000= 27

(36 : 12)2 = 362 : 122 = 1296 : 144 = 3

(10 × 2)4 = 104 × 24 = 10000 × 16 = 625

EsempiEsempi