Alberi binari

DefinizioneSottoalberiPadre, figliFoglie, nodi interni e percorsiProfondità e altezzaAlbero binario pieno e completo

Albero binario

• Un albero binario è un albero dove ogni nodo ha al massimo due figli.

• Tutti i nodi tranne la radice ha un nodo padre.• Le foglie dell’albero non hanno figli.

Sottoalberiradice

Sottoalbero sinistro Sottoalbero destro

Sottoalberiradice

Sottoalbero sinistro

Sottoalbero destro

Sottoalbero sinistro

Sottoalbero destro

Radice del sottoalbero

sinistro

Radice del sottoalbero

destro

Padre e figliradice

i

k j

Arco tra i e j

• i è padre di k e j

• j e k sono i due figli di i

• (i,j) è l’arco che unisce i e j

Figli di i

Foglie, nodi interni e percorsi

• In nodo di un albero binario si dice nodo foglia (o solo foglia) se non ha figli (cioè se entrambi i sottoalberi di cui è radice sono vuoti).

• Un nodo si dice nodo interno se ha almeno un figlio.

• Un percorso dal nodo i al nodo j è la sequenza di archi che devono essere attraversati per raggiungere il nodo j dal nodo i.

Foglie, nodi interni e percorsi

radice

i

j

Percorso tra i e j

Nodi interni

Foglie

Profondità e altezza

• In un albero binario la profondità di un nodo è la lunghezza del percorso dalla radice al nodo (cioè il numero di archi tra la radice e il nodo).

• L’altezza dell’albero è la profondità massima che può avere un nodo dell’albero.

Profondità e altezza

radice

profondità 1

profondità 0

profondità 2

profondità 3

altezza 3

Albero binaro pieno• Un albero binario si dice pieno se:

1. tutte le foglie hanno la stessa profondità h

2. tutti i nodi interni hanno grado 2

• Un albero pieno di n nodi ha altezza esattamente .

• Un albero pieno di altezza h ha esattamente 2h+1-1 nodi (2h-1 nodi interni + 2h foglie).

nlog2

1212

122 1

1

0

h

hh

i

in

Albero binaro pienoradice

2

4 5

• Nodi totali n = 2h+1-1 = 24-1 = 15

• Nodi interni 2h-1 = 7

• Foglie 2h = 8

• Altezza h = = 3

altezza

h=3

3

6 7

1

8 10 12 149 11 13 15

nlog2

Albero binaro completo

• Un albero binario si dice completo se

1. tutte le foglie hanno profondità h o h-1, dove h è l’altezza dell’albero

2. tutti i nodi interni hanno 2 figli, eccetto al più uno.

Albero binaro completo

radice

2

4 5

altezza

h=3

3

6 7

1

8 10 129 11

Unico nodo interno con

1 figlio

profondità h

profondità h-1