Post on 09-Aug-2020
AAAppppppuuunnntttiii dddiii AAAnnnttteeennnnnneee CCCaaapppiiitttooolllooo 444 ––– AAAnnnttteeennnnnneee aaaddd aaapppeeerrrtttuuurrraaa (((III)))
Introduzione ........................................................................................................1 Metodo di Fourier ...............................................................................................1
Espressione del campo (in zona lontana) in coordinate sferiche ......................8 Dimostrazione dell’espressione del campo in zona lontana ........................... 11 Radiazione da una apertura rettangolare ........................................................ 12 Radiazione da una apertura circolare ............................................................. 16 Radiazione da una apertura rettangolare con campo a fase lineare ................ 18 Campo irradiato da una apertura con campo rastremato ................................ 20
IntroduzioneIntroduzione Tutte le antenne di cui abbiamo parlato fino ad ora possono essere comodamente
analizzate in termini di distribuzione di corrente sulle antenne stesse. C’è invece un’altra ampia classe di antenne, definite antenne ad apertura, in cui si considera la radiazione elettromagnetica proveniente appunto da una apertura. Due antenne comuni di questo tipo sono il riflettore parabolico e le antenne a tromba.
Una antenna ad apertura deve avere lunghezza e larghezza di almeno qualche lunghezza d’onda se si vuole ottenere un sufficiente guadagno. Questo spiega il motivo per cui queste antenne trovano la maggiore applicazione nel campo delle microonde, alle quali le lunghezze d’onda sono di pochi centimetri.
Metodo di FourierMetodo di Fourier Esistono vari modi per studiare l’irradiazione delle antenne ad apertura. Il
primo di cui ci occupiamo è basato sulla trasformata di Fourier: il pregio fondamentale di questo metodo è quello di mostrare che la distribuzione del campo irradiato è la trasformata di Fourier del campo nell’apertura. Inoltre, l’uso della trasformata di Fourier consente anche di usare le proprietà caratteristiche di tale operatore al fine di predire le prestazioni delle antenne ad apertura.
Nella figura seguente è riportata una apertura circolare, di area Sa, situata nel piano z=0 (cioè nel piano [x,y]):
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
2
x
y
z
Sa
Ear
θ
ϕ
Supponiamo di conoscere la componente tangenziale del campo elettrico su tutta
l’apertura e la indichiamo con aEr
. Il nostro scopo è quello di determinare il campo irradiato nella regione corrispondente a z>0. Non ci interessa invece sapere come è
stato prodotto il campo aEr
: possiamo sommariamente ritenere che esso sia dovuto a sorgenti di qualche natura poste nella regione z<0. Non abbiamo bisogno di
conoscere tali sorgenti proprio perché è solo il campo aEr
che determina il campo irradiato nel semispazio corrispondente a z>0.
Cominciamo col ricordare che, data una generica funzione w(x), la sua trasformata di Fourier è notoriamente definita come
∫+∞
∞−
= dxe)x(w)k(W xjkX
X
In particolare, siamo abituati a considerare funzioni del tempo t, nel qual caso la
variabile kX (il cosiddetto numero d’onda) coincide con la pulsazione angolare ω=2πf.
L’antitrasformata di Fourier è invece definita come
∫+∞
∞−
−
π= X
xjkX dke)k(W
2
1)x(w X
Esiste poi una trasformata di Fourier bidimensionale, applicata cioè a funzioni
w(x,y) di due distinte variabili indipendenti. Le corrispondenti formule sono le seguenti:
∫ ∫
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
−−
+∞
∞−
+∞
∞−
π=
=
YXyjkxjk
YX2
yjkxjkYX
dkdkee)k,k(W4
1)y,x(w
dxdyee)y,x(w)k,k(W
XX
XX
Vediamo allora di applicare questi concetti al problema dell’irradiazione da una
apertura.
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
3
Dallo studio delle equazioni di Maxwell, sappiamo che il campo elettrico soddisfa, in ogni punto dello spazio vuoto, all’equazione generale
JjEkE 020
rrrωµ−=+×∇×∇
Se però consideriamo una regione in cui non ci sono sorgenti di campo (per cui
non ci sono densità di corrente né densità di carica elettrica), sappiamo che il
campo elettrico è irrotazionale ( 0E =⋅∇r
) e quindi scriviamo che tale campo soddisfa alla duplice condizione
0E
0EkE 20
2
=⋅∇
=+∇r
rr
Se ora esplicitiamo le derivate che compaiono in queste due equazioni, otteniamo
0z
)z,y,x(E
y
)z,y,x(E
x
)z,y,x(E
0EkEzyx
ZYX
202
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂
=+
∂∂
+∂∂
+∂∂ rr
In queste due espressioni compaiono delle derivate che rendono le equazioni
difficili da risolvere. Tuttavia, possiamo trasformare secondo Fourier entrambe le equazioni, ricordando alcune proprietà della trasformata di Fourier bidimensionale come quelle qui di seguito riportate:
[ ]
( ) [ ]
[ ]
.....
)y,x(ukx
)y,x(u
)y,x(ujkx
)y,x(u
)y,x(ujkx
)y,x(u
YX2X2
2
YX
X2
X2
2
X
XXX
ℑ−=
∂
∂ℑ
ℑ−=
∂
∂ℑ
ℑ−=
∂∂
ℑ
Da notare i pedici con cui sono state contrassegnate le trasformate: il simbolo
Xℑ rappresenta la trasformata monodimensionale fatta rispetto ad x, mentre invece
il simbolo YXℑ indica la trasformata bidimensionale fatta rispetto ad y e ad x. L’unica variabile che non sarà mai coinvolta nelle trasformate è la variabile z. Applicando dunque le sopraelencate proprietà della trasformata di Fourier alle
equazioni del campo elettrico, otteniamo
0)z,k,k(Ez
j)z,k,k(Ek)z,k,k(Ek
0)z,k,k(Ek)z,k,k(Ez
kk
YXZYXYYYXXX
YX20YX2
2Y
2X
=∂∂
++
=+
∂∂
+−−rr
E’ importante notare che abbiamo continuato ad usare la “E” maiuscola per
rappresentare il campo elettrico, ma gli argomenti sono cambiati, per cui anche le
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
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funzioni sono adesso cambiate. In altre parole, la funzione )z,y,x(Er
è cosa
completamente diversa dalla funzione )z,k,k(E YX
r: quest’ultima è la trasformata di
Fourier bidimensionale, fatta rispetto ad x ed y, di )z,y,x(Er
e lo stesso discorso vale per le singole componenti del campo.
Adesso, definiamo la nuova variabile 2Y
2X
20
2Z kkkk −−= . Con questa posizione, le
due equazioni del campo (in particolare la prima) assumono la forma seguente:
0)z,k,k(Ez
j)z,k,k(Ek)z,k,k(Ek
0)z,k,k(Ek)z,k,k(Ez
YXZYXYYYXXX
YX2ZYX2
=∂∂
++
=+∂∂ rr
La prima equazione è in una forma a noi ben nota: sappiamo infatti che la sua
soluzione è la classica funzione data dalla combinazione lineare di termini zjk Ze± . In particolare, dato che, per il problema in esame, il campo non può che essere composto da onde che si propagano allontanandosi dalla sorgente (cioè l’apertura), avremo solo l’onda progressiva e cioè una soluzione del tipo
zjk
YXYXZe)k,k(f)z,k,k(E −=
rr
dove naturalmente, al posto della semplice costante di integrazione, abbiamo in
questo caso considerato una generica funzione )k,k(f YX
r da determinare.
Andiamo allora a sostituire la soluzione appena riportata nell’altra equazione cui abbiamo visto deve soddisfare il campo: dato che, in generale, risulterà
ZYXZYYXZXYXXYX a)k,k(fa)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrrr
++=
abbiamo che
[ ] 0e)z,k,k(fz
je)z,k,k(fke)z,k,k(fk zjkYXZ
zjkYXYY
zjkYXXX
ZZZ =∂∂
++ −−−
Calcolando quella derivata ed eliminando la funzione zjk Ze− che risulta comune a
tutti i termini presenti, si ottiene evidentemente l’equazione
0)z,k,k(fk)z,k,k(fk)z,k,k(fk YXZZYXYYYXXX =⋅+⋅+⋅ Possiamo sinteticamente esprimere questa uguaglianza in termini di prodotto
scalare tra i due vettori coinvolti:
ZZYYXX
ZYXZYYXZXYXXYX
akakakk
a)k,k(fa)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrrr
rrrr
++=
++=→ 0k)k,k(f YX =•
rr
Questa equazione ci dice evidentemente che solo due componenti della funzione
)k,k(f YX
r sono indipendenti e questo equivale alla corrispondente restrizione per cui
è nulla la divergenza del campo elettrico (ipotesi dalla quale sia partiti inizialmente).
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
5
Adesso, fermo restando che la funzione )k,k(f YX
r deve ancora essere calcolata,
possiamo comunque risalire al campo elettrico )z,y,x(Er
(nel dominio dei fasori) a
partire dalla sua trasformata di Fourier )z,k,k(E YX
r: applicando infatti le formule di
antitrasformazione precedentemente richiamate, otteniamo
∫ ∫
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
−−−
+∞
∞−
+∞
∞−
−−
π=
=π
=
YXyjkxjkzjk
YX2
YXyjkxjk
YX2
dkdkeee)k,k(f4
1
dkdkee)z,k,k(E4
1)z,y,x(E
XXZ
XX
r
rr
Considerando il raggio vettore ZYX azayaxr
rrrr++= , possiamo riunire i tre
esponenziali in un unico termine, in modo da concludere che
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
⋅−
π= YX
rkjYX2
dkdke)k,k(f4
1)z,y,x(E
rrrr
Questa equazione mostra che un campo elettrico arbitrario, nella regione
corrispondente a z>0, può essere espresso come uno spettro di onde piane, visto
che la funzione rkjYX e)k,k(f
rrr⋅− è appunto un’onda piana, con vettore d’ampiezza
)k,k(f YX
r, che si propaga nella direzione individuata dal vettore k
r (detto vettore
d’onda). E’ interessante notare che, in base a come abbiamo definito la variabile kZ,
risulta
020
2Z
2Y
2XZZYYXX kkkkkakakakk ==++=++=
rrrr
Il modulo del vettore d’onda kr
è dunque pari a k0: • quando 2
02Y
2X kkk >+ → la costante di propagazione kZ è immaginaria e quindi
le onde piane in questa parte di spettro sono esponenzialmente decrescenti (si parla di onde evanescenti) nella direzione z; queste onde evanescenti determinano la regione di campo vicino di fronte all’apertura;
• viceversa, quando 20
2Y
2X kkk <+ → la costante di propagazione kZ è reale e
quindi le onde piane si propagano effettivamente, allontanandosi dalla sorgente, per cui determinano l’irradiazione vera e propria.
In definitiva, solo le onde che provengono dalla parte di spettro corrispondente a
valori di 2Y
2X kk + all’interno del cerchio di raggio k0 nel piano [kX,kY] contribuiscono al
campo di radiazione, in quanto corrispondono a onde in propagazione:
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
6
kX
kY
k0
regione di spettrocorrispondente a ondepiane in propagazione
Adesso, dobbiamo tener conto che la soluzione trovata per il campo elettrico deve
rispettare le condizioni al contorno del nostro problema. Una di queste è senz’altro quella per cui le componenti x ed y del campo elettrico in corrispondenza
di z=0 devono corrispondente a quelle del campo )y,x(Ea
r che abbiamo assunto
inizialmente noto: allora, dato che in z=0 risulta
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
−−
π= YX
yjkxjkYX2
dkdkee)k,k(f4
1)0,y,x(E YX
rr
l’uguaglianza da imporre è banalmente
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
−−
π= YX
yjkxjkYXt2a dkdkee)k,k(f
4
1)y,x(E YX
rr
dove abbiamo indicato con )k,k(f YXt
r la componente tangenziale della funzione
)k,k(f YX
r, visto che la condizione al contorno è relativa solo al campo tangenziale in
z=0:
YYXYXYXXYXt a)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrr
+= L’equazione ottenuta non è altro che l’espressione della antitrasformata
bidimensionale di Fourier della funzione )k,k(f YXt
r, il che significa ovviamente che
possiamo anche invertirla e considerare )k,k(f YXt
r come trasformata di Fourier di
)y,x(Ea
r:
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
= dxdyee)y,x(E)k,k(f yjkxjkaYXt
YXrr
In effetti, questa equazione va perfezionata in quanto abbiamo inteso indicare
con )y,x(Ea
r solo il campo (tangenziale) in corrispondenza dell’apertura, per cui
l’integrazione doppia va limitata all’apertura stessa:
∫∫=a
YX
S
yjkxjkaYXt dxdyee)y,x(E)k,k(f
rr
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
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Vedremo più avanti alcune semplici applicazioni di questa formula. Per il
momento, quello che ci interessa sottolineare è che la funzione )k,k(f YXt
r, che ci
serve per conoscere il campo irradiato in z>0, può essere facilmente calcolata come
trasformata di Fourier del campo elettrico )y,x(Ea
r in corrispondenza dell’apertura,
supponendo ovviamente che questo sia noto o comunque calcolabile. Tuttavia, il problema che generalmente si presenta, seguendo questo metodo,
rimane comunque il calcolo dell’integrale che porta a conoscere )z,y,x(Er
. Generalmente, l’unica regione in cui tale calcolo risulta fattibile è quella del campo lontano (o campo di radiazione), caratterizzata cioè da r>>λλ . D’altra parte, dato che noi siamo interessati a conoscere il campo essenzialmente in tale regione, il problema risulta di minima entità.
Dobbiamo allora vedere come si risolve l’integrale per il calcolo di )z,y,x(Er
, che riportiamo nuovamente, per semplicità:
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
⋅−
π= YX
rkjYX2 dkdke)k,k(f
4
1)z,y,x(E
rrrr
Dobbiamo risolvere questo integrale supponendo r→∞. Ci riserviamo di farlo nei
prossimi paragrafi, mentre ora riportiamo direttamente la soluzione:
)sinsink,cossink(fr
e
2
cosjk)z,y,x(E 00
rjk0
0
ϕθϕθπ
θ≅
− rr
Questa espressione, in cui θ e ϕ sono le note coordinate sferiche, mostra
sostanzialmente che il campo elettrico prodotto dall’apertura in zona lontana è dato dal prodotto di un termine costante jk0/2π, del classico termine di radiazione
r/e rjk0− e di un termine banalmente ottenuto dall’espressione di )k,k(f YX
r
semplicemente sostituendo
ϕθ=ϕθ=
sinsinkk
cossinkk
0Y
0X
Si tratta di un campo che si propaga radialmente allontanandosi dalla sorgente.
Tornando adesso per un attimo al problema di calcolare )k,k(f YXt
r, bisogna tener
conto che il corrispondente integrale rispetto ad x e ad y va calcolato solo per quelle porzioni del piano z=0 in cui il campo elettrico tangenziale risulta non nullo (1):
∫∫=a
YX
S
yjkxjkaYXt dxdyee)y,x(E)k,k(f
rr
Allora, per una apertura che è molto larga in termini di lunghezze d’onda, la
funzione )k,k(f YXt
r risulta fortemente direttiva nella direzione dell’asse z e, in
1 Ad esempio, se l’apertura si trova su un piano metallico perfettamente conduttore, il campo elettrico tangenziale è non nullo in corrispondenza dell’apertura, mentre invece è nullo altrove. Se invece non c’è un piano metallico, allora il campo può essere non nullo anche esternamente all’apertura, nel qual caso i discorsi che si stanno facendo non sono più perfettamente validi. Essi rappresentano fondamentalmente una approssimazione della situazione reale limitatamente al lobo principale (θ=0).
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
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questa direzione, risulta anche fZ molto piccolo e cosθ≅1. Da qui deduciamo che il
campo irradiato dipende essenzialmente dalla funzione )k,k(f YXt
r, ossia dalle
componenti x ed y di )k,k(f YX
r e quindi è legato direttamente alla trasformata di
Fourier del campo in corrispondenza dell’apertura. Non solo, ma osserviamo anche un’altra cosa: abbiamo visto prima che il fatto di
avere un campo elettrico con divergenza nulla impone che risulti 0k)k,k(f YX =•rr
;
questo significa che la funzione )k,k(f YX
r non ha componente nella direzione di
propagazione kr
, ossia che, nella regione di campo lontano, il campo è di tipo TEM, con la componente Ex dipendente solo da fX e la componente Ey dipendente solo da fY, dove fX ed fY sono le trasformate di Fourier monodimensionale del campo in corrispondenza dell’apertura
EEEsssppprrreeessssssiiiooonnneee dddeeelll cccaaammmpppooo (((iiinnn zzzooonnnaaa lllooonnntttaaannnaaa))) iiinnn cccoooooorrrdddiiinnnaaattteee sssfffeeerrriiiccchhheee Risulta, in generale, conveniente esprimere il campo in termini di coordinate
sferiche (tranne nel caso in cui si considera la direzione coincidente con l’asse z). Vediamo allora di fare i necessari passaggi per giungere dall’espressione del campo in coordinate cartesiane a quella del campo in coordinate sferiche.
Al fine di condurre un discorso il più generale possibile, partiamo dall’espressione
)sinsink,cossink(fr
e
2
cosjk)z,y,x(E 00
rjk0
0
ϕθϕθπ
θ≅
− rr
dove naturalmente
ZYXZYYXZXYXXYX a)k,k(fa)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrrr
++=
Dobbiamo sostanzialmente passare dall’espressione di )k,k(f YX
r in coordinate
cartesiane a quella in coordinate sferiche. Andiamo allora ad esprimere i versori delle direzioni cartesiane in funzione di quelli delle “direzioni sferiche”:
x
y
ϕ
y
θ⊥a
r
rar
piano z passante per P
P
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
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Abbiamo intanto che
( )
θ−θ=
ϕ+ϕ=
ϕ+ϕ−=ϕ+ϕ−°−=
θ
⊥ϕ
⊥ϕ⊥ϕ
sinacosaa
sinacosaa
cosasinacosa90cosaa
rZ
Y
X
rrr
rrr
rrrrr
dove abbiamo indicato con ⊥a
r il versore ortogonale ad ϕa
r. Esso ha perciò
espressione θ+θ= θ⊥ sinacosaa r
rrr
Sostituendo, concludiamo che
( )( )
θ−θ=
ϕθ+θ+ϕ=
ϕθ+θ+ϕ−=
θ
θϕ
θϕ
sinacosaa
sinsinacosacosaa
cossinacosasinaa
rZ
rY
rX
rrr
rrrr
rrrr
Queste sono dunque le formule che ci consentono di passare dalle coordinate
cartesiane a quelle sferiche. Andando allora nell’espressione di )k,k(f YX
r, otteniamo
quanto segue:
ϕ+ϕ−=
θ−ϕθ+ϕθ=θ+ϕθ+ϕθ=
ϕ
θ
cosfsinff
sinfsincosfcoscosff
cosfsinsinfcossinff
YX
ZYX
ZYXr
Del resto noi sappiamo che solo due delle tre componenti di )k,k(f YX
r sono
indipendenti, in quanto vale la relazione
0fkfkfk ZZYYXX =⋅+⋅+⋅
Da qui ricaviamo che Z
YYXXZ k
fkfkf
⋅+⋅−= e quindi, sostituendo nelle tre
componenti sferiche di )k,k(f YX
r, otteniamo
ϕ+ϕ−=
θ⋅+⋅
+ϕθ+ϕθ=
θ⋅+⋅
−ϕθ+ϕθ=
ϕ
θ
cosfsinff
sink
fkfksincosfcoscosff
cosk
fkfksinsinfcossinff
YX
Z
YYXXYX
Z
YYXXYXr
A questo punto, ci ricordiamo che la funzione )k,k(f YX
r compare, nell’espressione
del campo elettrico irradiato in zona lontana, con gli argomenti dati da
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
10
ϕθ=ϕθ=
sinsinkk
cossinkk
0Y
0X
Sostituendo allora anche queste condizioni, otteniamo
ϕ+ϕ−=
θ⋅ϕθ+⋅ϕθ
+ϕθ+ϕθ=
θ⋅ϕθ+⋅ϕθ
−ϕθ+ϕθ=
ϕ
θ
cosfsinff
sink
fsinsinkfcossinksincosfcoscosff
cosk
fsinsinkfcossinksinsinfcossinff
YX
Z
Y0X0YX
Z
Y0X0YXr
Non solo, ma ricordando che 2
Y2X
20
2Z kkkk −−= e sostituendo in questa espressione le
rispettive espressioni di kX e kY riportate poco fa, si trova facilmente che θ= coskk 0Z . Sostituendo quest’ultima condizione e facendo gli opportuni passaggi matematici, troviamo i seguenti risultati:
ϕ+ϕ−=
ϕ+ϕ==
ϕ
θ
cosfsinff
cosfsinff
0f
YX
XY
r
Queste espressioni mostrano essenzialmente due proprietà della funzione
)k,k(f YX
r, e quindi anche del campo irradiato (in zona lontana): essa non presenta la
componente radiale (e lo sapevano già, in base alla condizione 0k)k,k(f YX =•rr
) e le componenti θ e ϕ non dipendono da fZ, ma solo da fX e fY, che dipendono a loro volta dalle corrispondenti componenti del campo in corrispondenza dell’apertura.
Andando adesso a sostituire nell’espressione del campo irradiato, concludiamo che
( ) ( )[ ]ϕθ
−
⋅θϕ−ϕ+⋅ϕ+ϕπ
= acossinfcosfasinfcosfr
e
2
jk)r(E XYYX
rjk0
0 rrrr
Infine, ricordiamo che, una volta noto il campo elettrico in zona lontana, il campo
magnetico si otterrà con la “classica” relazione
Ea1
H r0
rrr×
η=
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
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DDDiiimmmooossstttrrraaazzziiiooonnneee dddeeelll lll ’’’eeesssppprrreeessssssiiiooonnneee dddeeelll cccaaammmpppooo iiinnn zzzooonnnaaa lllooonnntttaaannnaaa Vediamo ora di dimostrare rigorosamente perché l’integrale che compare nella
espressione
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
⋅−
π= YX
rkjYX2 dkdke)k,k(f
4
1)z,y,x(E
rrrr
porta, in zona lontana, alla seguente espressione del campo irradiato:
)sinsink,cossink(fr
e
2
cosjk)z,y,x(E 00
rjk0
0
ϕθϕθπ
θ≅
− rr
(vedere sul COLLIN)
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
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RRRaaadddiiiaaazzziiiooonnneee dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa rrreeettttttaaannngggooolllaaarrreee Cominciamo ad esaminare alcuni casi pratici di antenne ad apertura. Un caso
particolarmente semplice è quello di una apertura, sempre posizionata nel piano z=0, di forma rettangolare, con dimensione 2a lungo x e dimensione 2b lungo y:
x
y
z
Sa
Ea r
θ
ϕ2a
2b
Assumiamo che il campo elettrico in tale apertura sia costante sul valore E0 e
diretto parallelamente ad x (per cui è un campo tangenziale): scriviamo perciò che
≤≤
=altrimenti 0
b|y| , a|x| aE)y,x(E X0
a
rr
Sulla base di questa informazione, possiamo immediatamente calcolare la
componente tangenziale della funzione )k,k(f YX
r, tramite una semplice trasformata
di Fourier bidimensionale:
ak
)aksin(a2
bk
)bksin(b2aEdx]e[D
ik
1dy]e[D
jk
1aE
dxedyeaEdxdyeeaEdxdyee)y,x(E)k,k(f
X
X
Y
YX0
a
a
b
b
xjk
X
yjk
YX0
a
a
b
b
xjkyjkX0
a
a
b
b
yjkxjkX0
yjkxjkaYXt
XY
XYYXYX
⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅=⋅==
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+∞
∞−
+∞
∞−
rr
rrrr
In base a questa espressione, è evidente che )k,k(f YXt
r presenta solo la
componente lungo x ed è un risultato intuitivo in quanto anche il campo in corrispondenza dell’apertura ha solo la componente x.
Nota la funzione )k,k(f YXt
r, possiamo andare a calcolare il campo lontano,
tenendo conto che )k,k(f YXX
r ha l’espressione trovata poco fa, mentre )k,k(f YXY
r è
nulla: abbiamo perciò che
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
13
( ) ( )[ ]
[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
⋅θϕ−⋅ϕ⋅ϕθ
⋅ϕθ⋅ϕθ
⋅ϕθπ
=
=⋅θϕ−⋅ϕ⋅ϕθ
⋅ϕθ⋅
⋅ϕθ⋅ϕθ
⋅⋅π
=
=⋅θϕ−⋅ϕπ
=
=⋅θϕ−ϕ+⋅ϕ+ϕπ
=
acossinacosacossink
acossinksin
bsinsink
bsinsinksin
r
eabEk2j
acossinacosacossink
acossinksina2
bsinsink
bsinsinksinb2E
r
e
2
jk
acossinfacosfr
e
2
jk
acossinfcosfasinfcosfr
e
2
jk)r(E
0
0
0
0rjk
00
0
0
0
00
rjk0
XX
rjk0
XYYX
rjk0
0
0
0
0
rr
rr
rr
rrrr
dove evidentemente, in base alle considerazioni fatte nel paragrafo precedente, abbiamo fatto le sostituzioni
ϕθ=ϕθ=
sinsinkk
cossinkk
0Y
0X
Generalmente, si fanno anche le seguenti due posizioni:
bsinsinkbkv
acossinkaku
0Y
0X
⋅ϕθ==⋅ϕθ==
per cui concludiamo che il campo irradiato dall’apertura rettangolare in zona lontana assume l’espressione
( ) ( )[ ]ϕθ
−
⋅θϕ−⋅ϕπ
= acossinacosu
usin
v
vsin
r
eabEk2j)r(E
rjk00
0 rrrr
Questa espressione risulta molto simile a quella che viene fuori da una schiera
bidimensionale di tipo broadside ed infatti i pattern di radiazione dei due casi sono molto simili nella regione visibile dello spazio u,v, che corrisponde a |u|≤≤k0a e |v|≤≤k0b. Nel caso della schiera, il pattern di radiazione risulta essere una funzione periodica, mentre invece il pattern di una antenna ad apertura presenta lobi secondari sempre più piccoli man mano che u e v si muovono all’interno della regione del non visibile.
Consideriamo adesso il valore del campo in corrispondenza di ϕϕ=0 (cioè nel piano [x,z], che è in questo caso un piano E-principale):
( )
θ
−
⋅θ
θπ
= asinak
sinaksin
r
eabEk2j)r(E
0
0rjk
000 rrr
Si tratta evidentemente di un campo con la sola componente lungo θ. Il profilo del
modulo di tale campo è riportato nella figura seguente, in cui si è posto u=k0asinθθ:
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
14
u
1
π− π+ +k0a-k0a
regionevisibile
0.22
Possiamo calcolare l’apertura angolare del lobo principale nel piano [x,z], in base
ai due punti u=±π in cui tale lobo va a zero:
π=θ=∆Ψ→
π=θ→π=θ=
aksinar22
aksinarsinaku
0Z
0ZZ0Z
Dato che k=2π/λ, dove λ è la lunghezza d’onda di lavoro, concludiamo che
λ
⋅=∆Ψa2
sinar2xz
Supponendo che a>>λλ , questa espressione può essere approssimata direttamente
con λλ/a, il che ci dice che l’antenna è tanto più direttiva quanto maggiore è la dimensione a rispetto a λ.
Possiamo ora seguire un discorso del tutto analogo per studiare l’andamento del campo nel piano [y,z], corrispondente cioè a ϕϕ=ππ/2: in questo caso, considerando che 0acossinku 0 =⋅ϕθ= e θ=⋅ϕθ= sinbkbsinsinkv 00 , si ottiene
( )
ϕ
−
⋅θθ
θπ
−= acossinbk
sinbksin
r
eabEk2j)r(E
0
0rjk
000 rrr
Si tratta di un campo con la sola componente ϕ, il cui modulo presenta una
differenza sostanziale con quello nel piano [x,z]: infatti, è ancora presente un termine del tipo sin(x)/x, ma è anche presente un termine moltiplicativo cosθ, che fornisce quindi una modulazione del campo non presente nel piano [x,z].
Per ricavare l’apertura angolare del lobo principale nel piano [y,z], possiamo dunque cercare i punti in cui si annulla il lobo principale, ossia i primi due zeri
della funzione ( )
θθ
θcos
sinbk
sinbksin
0
0 . Il termine del tipo sin(x)/x presenta i primi due zeri
per k0bsinθ=±π, mentre invece il termine cosθ presenta i primi due zeri per θ=±π/2. Le due condizioni da imporre sono perciò
π=θ→π=θ
bksinarsinbk
01,Z1,Z0
22,Z
π=θ
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
15
Dobbiamo vedere quale dei due zeri compare prima: ad esempio, verifichiamo se è soddisfatta la disuguaglianza θZ,1≤θZ,2, nel qual caso l’apertura sarà data da 2θZ,1, mentre invece, in caso contrario, sarà data da 2θZ,2. Abbiamo che
b212
sinbk2bk
sinar /2k
002,Z1,Z
0 ≤λ →=π
≤π
→π
≤
π→θ≤θ λπ=
Dato che, in generale, si suppone 2b>>λ, deduciamo che l’apertura angolare del
lobo principale nel piano [y,z] vale
λ
⋅=∆Ψb2
sinar2yz
L’altro piano di interesse è quello dell’apertura, ossia il piano [x,y],
corrispondente a z=0 e quindi anche a θθ=ππ/2: in tale piano, il campo risulta essere
( ) ( )θ
−
⋅ϕ⋅ϕ
⋅ϕ⋅ϕ
⋅ϕπ
= acosacosk
acosksin
bsink
bsinksin
r
eabEk2j)r(E
0
0
0
0rjk
000 rrr
Il campo presenta solo la componente ϕ, ossia è parallelo al piano [x,y], come era
ovvio che fosse in base alle ipotesi fatte. Passando invece adesso ad una analisi più generale, andiamo a caratterizzare
questa antenna in termini di antenna trasmittente. Ci interessiamo perciò all’intensità di radiazione, al guadagno, alla direttività ed alla potenza irradiata.
Ricordiamoci, ad esempio, che la direttività (cioè il massimo guadagno) è
irr
max
P
I4D
⋅π=
dove l’intensità di radiazione è data da 2
att rpI ⋅= : dato che
r
1abEk2E 00
max π=
r
deduciamo che
( ) ( )200
0
2
max Ekab4
I ⋅η
=
Ci resta da calcolare la potenza irradiata e possiamo usare la classica formula
valida per le onde piane, che in questo caso ci porta a scrivere che
( )ab4E
2
1P
0
20
irr ⋅η
=
dove ovviamente 4ab è l’area dell’apertura.
Andando quindi nell’espressione della direttività, concludiamo che
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
16
( ) ( )
( )( ) ( )
23
2
220
0
20
200
0
2
irr
max ab432
4ab48kab48
ab4E
2
1
Ekab4
4
P
I4D
λ⋅π=
λπ
⋅⋅π=⋅⋅π=⋅
η
⋅η
⋅π=
⋅π=
A prescindere dal risultato matematico in sé, questa espressione mostra che la
direttività è maggiore se l’apertura è più estesa (cioè se è maggiore la sua area 4ab).
Anziché condurre un discorso così rigoroso, avremmo anche potuto fare una
semplice stima della direttività, tramite la formula approssimata xzyz
4
∆Ψ⋅∆Ψπ
già
usata per altre antenne. Anche con l’applicazione di questa formula, si trova la stessa conclusione, ossia che la direttività è tanto maggiore quanto maggiore è l’estensione dell’apertura.
RRRaaadddiiiaaazzziiiooonnneee dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa ccciiirrrcccooolllaaarrreee Consideriamo adesso una apertura circolare, di raggio a, posta sempre nel
piano z=0:
x
y
z
Sa
Ear
θ
ϕ
a
Supponiamo ancora il campo diretto lungo x e uniforme su tutta l’apertura, il
che significa che
≤+
=altrimenti 0
ay x aE)y,x(E
222X0
a
rr
Andiamo allora a calcolare la componente tangenziale della funzione )k,k(f YX
r,
come abbiamo fatto nel precedente paragrafo: cominciamo perciò a scrivere che
∫ ∫∫ ∫ ⋅==+∞
∞−
+∞
∞− Sa
yjkxjkX0
yjkxjkaYXt dxdyeeaEdxdyee)y,x(E)k,k(f YXYX
rrr
Essendo Sa una circonferenza, ci conviene introdurre le coordinate cilindriche
ρρ,ϕϕ’ al posto di quelle cartesiane: sappiamo che
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
17
'siny
'cosx
yx 22
ϕρ=ϕρ=
+=ρ
per cui
∫ ∫π
ϕρϕρ ρϕρ⋅=a
0
2
0
'sinjk'cosjkX0YXt d'deeaE)k,k(f YX
rr
Sappiamo inoltre che
ϕθ=ϕθ=
sinsinkk
cossinkk
0Y
0X
per cui quella funzione assume l’espressione
∫ ∫π
ϕϕθρϕϕθρ ρϕρ⋅=ϕθϕθa
0
2
0
'sinsinsinkj'coscossinkjX000t d'deeaE)sinsink,cossink(f 00
rr
Per risolvere l’integrale così ottenuto, si deve necessariamente ricorrere alle
funzioni di Bessel di primo tipo e di ordine 0 ed 1, che indichiamo rispettivamente con J0(x) e J1(x): si trova infatti, sfruttando queste funzioni, che
( ) ( )θρθρ
⋅π=ρρθρπ⋅=ϕθϕθ ∫ sink
sinkJaEa2dsinkJ2aE)sinsink,cossink(f
0
01X0
2a
0
00X000t
rrr
Senza scendere nei dettagli analitici, riportiamo direttamente l’andamento del
modulo del campo che si ottiene, a partire da quella espressione, nel piano [x,z]:
u
1
+k0a-k0a
regionevisibile
0.13
3.83
L’andamento è del tutto analogo a quello trovato per l’apertura rettangolare, con
due differenze fondamentali: la prima è che il primo lobo secondario è meno pronunciato rispetto a quello dell’apertura rettangolare (0.13 contro 0.22); la seconda è che il lobo principale nel piano è leggermente più esteso, in quanto si annulla in ±3.832 e non più in ±π (cioè ±3.414). In particolare, il valore u=3.832 è quello del primo zero della funzione di Bessel J1. Andando a calcolare l’apertura angolare del lobo principale, abbiamo dunque quanto segue:
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
18
πλ⋅
=
=θ=∆Ψ→
=θ→=θ=
a2
832.3sinar2
ak
832.3sinar22
ak
832.3sinar832.3sinaku
0Zxz
0ZZ0Z
Ritenendo ancora una volta a>>λ, possiamo approssimare il Seno con il suo
argomento, in modo da scrivere che
a2
832.3xz
λπ
≅∆Ψ
Si trova inoltre anche in questo caso una direttività Dmax proporzionale all’area πa2
dell’apertura.
RRRaaadddiiiaaazzziiiooonnneee dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa rrreeettttttaaannngggooolllaaarrreee cccooonnn cccaaammmpppooo aaa fffaaassseee lll iiinnneeeaaarrreee
Torniamo adesso al caso dell’apertura rettangolare, supponendo però questa volta che il campo, pur continuando ad avere un modulo costante su tutta l’apertura, abbia una variazione di fase lineare sia lungo x sia lungo y. In termini analitici, ciò significa porre
≤≤
=β−α−
altrimenti 0
b|y| , a|x| aeeE)y,x(E X
yjxj0
a
rr
Calcoliamo come al solito la funzione )k,k(f YX
r:
( )( )( )
( )( )( )ak
aksina2
bk
bksinb2aEdxeedyeeaE
dxdyeeeeaEdxdyee)y,x(E)k,k(f
X
X
Y
YX0
a
a
b
b
xjkxjyjkyjX0
a
a
b
b
yjkxjkyjxjX0
yjkxjkaYXt
XY
YXYX
α−α−
⋅β−
β−⋅=⋅⋅=
=⋅==
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫+
−
+
−
α−β−
+
−
+
−
β−α−+∞
∞−
+∞
∞−
rr
rrr
Confrontando questa espressione con quella ottenuta in assenza di variazioni di
fase, si deduce che, rispetto a quel caso, adesso abbiamo semplicemente kY-β al posto di kY e kX-α al posto di kX.
Andando allora nell’espressione del campo irradiato in zona lontana, otteniamo
( ) ( )[ ]
[ ]( )( )
( )( )( )
( ) [ ]( )( )
( )( )( )
( ) [ ]ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
⋅θϕ−⋅ϕα−
α−β−
β−π
=
=⋅θϕ−⋅ϕα−
α−⋅
β−β−
⋅⋅π
=
=⋅θϕ−⋅ϕπ
=
=⋅θϕ−ϕ+⋅ϕ+ϕπ
=
acossinacosak
aksin
bk
bksin
r
eabEk2j
acossinacosak
aksina2
bk
bksinb2E
r
e
2
jk
acossinfacosfr
e
2
jk
acossinfcosfasinfcosfr
e
2
jk)r(E
X
X
Y
Yrjk
00
X
X
Y
Y0
rjk0
XX
rjk0
XYYX
rjk0
0
0
0
0
rr
rr
rr
rrrr
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
19
Facciamo le seguenti posizioni:
β=⋅ϕθ==
α=
⋅ϕθ==
bv
bsinsinkbkv
au
acossinkaku
0
0Y
0
0X
Così facendo, possiamo concludere che il campo vale
( ) ( )[ ]ϕθ
−
⋅θϕ−⋅ϕ−
−−
−π
= acossinacosuu
uusin
vv
vvsin
r
eabEk2j)r(E
0
0
0
0rjk
000 rrrr
Considerando allora lo spazio u,v, è evidente che la distribuzione del campo è la
stessa vista in precedenza, salvo il fatto che la posizione del massimo non è più u=v=0, bensì u=u0 e v=v0.
Se allora restringiamo l’osservazione allo spazio del visibile, il lobo principale non si trova più sull’asse z, ma sulla direzione individuata dalle condizioni
β==⋅ϕθα==⋅ϕθ
bvbsinsink
auacossink
00
00
Queste due relazioni possono essere riscritte anche nella forma
0
22
ksin
tan
β+α=θ
αβ
=ϕ
In base a queste espressioni, è evidente che possiamo posizionare il lobo
principale (e quindi il massimo di radiazione) in una qualsiasi direzione semplicemente controllando la variazione (lineare) di fase del campo nell’apertura.
Ad esempio, supponiamo di prendere β=0 (cioè di lasciare nulla la fase del campo lungo l’asse y): in questo caso, otteniamo
α=θ=ϕ
→
α=θ=ϕ
)arcsin(
0
sin
0tan
Queste equazioni dicono che il massimo si trova nel piano [x,z] (dato che ϕ=0), in
corrispondenza di un angolo θ dipendente dal valore di α. Possiamo anche valutare ancora una volta l’ampiezza angolare del lobo
principale, seguendo il “procedimento solito”:
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) →θ
πθ±=θ−θ→πθ±=θθ−θ→
→πθ±θ=θθ−θ+θ→πθ±=θθ−θ+θ→
→π±=θ→π±=−θ→π±=− θ
00
Z0ZZ00Z0
Z0000Z00Z000Z00
a attornoTaylor di seriein espansione una usando0Z00Z00Z
cosakcosak
sinakcossinakucossinak
usinakusinakuu 0
Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)
Autore: Sandro Petrizzelli
20
( )00
Z0Z cosak
22θ
πθ=θ−θ=∆Ψ
dove osserviamo che l’ espansione in serie di Taylor utilizzata è stata centrata sull’angolo θ0 corrispondente al punto u0=k0asinθ in corrispondenza del quale si trova il massimo di radiazione.
CCCaaammmpppooo iiirrrrrraaadddiiiaaatttooo dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa cccooonnn cccaaammmpppooo rrraaassstttrrreeemmmaaatttooo In molte applicazioni di antenne, è desiderabile avere ampiezze dei lobi secondari
molto piccole al fine di ridurre gli effetti di interferenza tra segnali diversi. Infatti, se una antenna riceve un forte segnale incidente interferente lungo una direzione corrispondente ad un lobo secondario, tale segnale andrà a interagire con il segnale utile (più debole) ricevuto nella direzione del lobo principale. Allora, è spesso necessario ridurre l’ampiezza dei lobi secondari almeno di 30 dB rispetto a quella del lobo principale. Tanto per avere una idea concreta, si è visto in precedenza che l’apertura rettangolare, illuminata da un campo tangenziale uniforme, ha il primo lobo secondario con ampiezza pari al 22% di quella del lobo principale, ossia 13 dB al di sotto di quest’ultimo. Nel caso dell’apertura circolare, abbiamo invece visto che la differenza è maggiore, circa 17.6 dB (il lobo secondario è il 13% di quello primario), ma non di molto. Bisogna allora trovare il modo di aumentare ulteriormente questa differenza.
Quando abbiamo studiato le schiere, abbiamo osservato come minori ampiezze dei lobi secondari si possano ottenere alimentando le antenne più esterne con correnti meno intense di quelle con cui vengono alimentate le antenne centrali. In modo del tutto analogo, anche nel caso delle aperture si possono trarre vantaggi, in termini di ampiezza dei lobi secondari, riducendo l’intensità del campo in corrispondenza degli estremi (si parla di alimentazione rastremata). A fronte di questo, però, si paga in termini di maggiore larghezza del lobo principale (quindi antenne meno direttive da questo punto di vista) e di minore direttività, il che equivale, in una sola parola, ad una minore efficienza di utilizzazione dell’area disponibile.
Per renderci conto di questo fatto, consideriamo nuovamente l’apertura rettangolare, ma ipotizziamo che il modulo del campo sia linearmente decrescente dagli estremi verso il centro; ad esempio, ipotizziamo una distribuzione triangolare del campo nell’apertura lungo la direzione x, secondo la seguente legge:
≤≤
−
=altrimenti 0
b|y| , a|x| aa
|x|1E
)y,x(E X0a
rr
Andiamo allora a calcolare la funzione )k,k(f YXt
r, tramite la classica trasformata
di Fourier bidimensionale:
Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier
Autore: Sandro Petrizzelli
21
2
X
X
Y
YX0
a
a
b
b
xjkyjkX0
a
a
b
b
yjkxjkX0
yjkxjkaYXt
2
ak
2
aksin
abk
)bksin(b2aE...dxe
a
|x|1dyeaE
dxdyeea
|x|1aEdxdyee)y,x(E)k,k(f
XY
YXYX
⋅⋅==
−⋅⋅=
=
−⋅==
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+∞
∞−
+∞
∞−
rr
rrr
Facendo le solite posizioni
bsinsinkbkv
acossinkaku
0Y
0X
⋅ϕθ==⋅ϕθ==
e sostituendo nell’espressione del campo irradiato in zona lontana, otteniamo
( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
ϕθ
−
⋅θϕ−⋅ϕ
⋅⋅π
=
=⋅θϕ−⋅ϕ
⋅⋅π
=
=⋅θϕ−⋅ϕπ
=⋅θϕ−⋅ϕπ
=
=⋅θϕ−ϕ+⋅ϕ+ϕπ
=
acossinfacos
2
u2
usin
v
)vsin(
r
eabEjk
acossinfacos
2
u2
usin
av
)vsin(b2E
r
e
2
jk
acossinfacosfr
e
2
jkacossinfacosf
r
e
2
jk
acossinfcosfasinfcosfr
e
2
jk)r(E
X
2
rjk00
X
2
0
rjk0
XX
rjk0
XX
rjk0
XYYX
rjk0
0
0
00
0
rr
rr
rrrr
rrrr
La prima osservazione che possiamo fare su questa espressione è che, nel punto di
massimo u=v=0, l’ampiezza del campo risulta essere abE0k0/rπ al posto di 2abE0k0/rπ come avevamo trovato per l’apertura rettangolare uniformemente illuminata. Questa riduzione è dovuta appunto all’uso di una distribuzione triangolare del campo nell’apertura.
Per quanto riguarda, invece, il pattern di radiazione, il pattern lungo la coordinata
u coinvolge la funzione ( )[ ]2)2/u/(2/usin e non più ( ) u/usin ; questo comporta due conseguenze: la prima è che il lobo principale si allarga, in quanto i punti di zero sono adesso a distanza doppia rispetto alla funzione ( ) u/usin ; la seconda è che l’ampiezza del primo lobo secondario passa da 13 dB a 26 dB al di sotto di quella del lobo principale.
Questo esempio mostra dunque come la tecnica di rastremare l’alimentazione possa effettivamente produrre lobi secondari meno pronunciati e quindi maggiore robustezza dell’antenna (usata in ricezione) all’interferenza.
Autore: Sandro Petrizzelli e-mail: sandry@iol.it
sito personale: http://users.iol.it/sandry