Antenne a schiera (array) - Consorzio Elettra 2000 Tecniche LS/schie… · Definizione generale:...

Antenne a schiera (array)

Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica

bull Lrsquoefficienza di un sistema di telecomunicazione dipende anche dalle antenne utilizzate che devono avere caratteristiche diverse a seconda del tipo di servizio e di applicazione

ndash ponte radio collegamento tra punti fissi antenne fortemente direttive al fine di irradiare la maggior parte della potenza disponibile nella direzione del ricevitore che a sua volta deve essere in grado di raccogliere la maggior parte della potenza

ndash sistemi drsquoarea collegamento tra corrispondenti in posizioni diverse antenne non eccessivamente direttive il trasmettitore dovragrave essere in grado di raggiungere il ricevitore ovunque si trovi ed il ricevitore dovragrave essere in grado di ricevere il segnale da qualsiasi direzione provenga

bull Egrave importante disporre di antenne dalle caratteristiche radiative anche molto diverse sagomare opportunamente il diagramma di radiazione realizzare antenne complesse ldquoassemblandordquo antenne piugrave semplici secondo determinate configurazioni geometriche ed elettriche


bull Il campo irradiato dallrsquoantenna complessiva (detta ARRAY o SCHIERA) egraveuguale alla sovrapposizione dei campi irradiati dai singoli elementi(solitamente uguali fra loro pur non essendo necessario) per ottenere antenne molto direttive occorre che i campi interferiscano costruttivamente nelle direzioni desiderate e distruttivamente in tutte le altre

bull I parametri di progetto sui quali operare per ottenere il diagramma di radiazione assegnato sono

ndash configurazione geometrica della schiera (lineare circolare ecchellip)ndash numero di elementi e distanza tra gli elementindash ampiezza della corrente di eccitazione dei singoli elementindash sfasamenti delle correnti di eccitazione dei singoli elementindash diagramma di radiazione dei singoli elementi


Antenne a schiera

Definizione generale Date n sorgenti (antenne) disposte nello spazio esse costituiscono una Schiera di Antenne se

1 Le n antenne sono uguali ed ugualmente orientate(ad es se sono dipoli devono essere tutti uguali e paralleli)

2 Vale lrsquoipotesi di disaccoppiamento delle sorgenti

CI IeI 0kk0j

kk k isinrealisinδΛsdotΛ= δminus


Antenne a schierabull Si considerino n sorgenti (elettriche) racchiuse negli n volumi V0 V1 Vn-1

bull La sorgente complessiva costituisce una cosiddetta Schiera di Antenne o Array se

1 La sorgente Vk si puograve ottenere per traslazione da V0 (sorgenti Vi uguali ed ugualmente orientate) cioegrave

V0V1

Vn-1

0r1r

1minusnr


2 Le densitagrave di corrente impresse nelle sorgenti Vi sono uguali fra loro a meno di uno sfasamento e una costante moltiplicativa cioegrave

dove Λ0 = 1 e δ0 = 0 Tale relazione esprime lrsquoipotesi che i singoli elementi dellrsquoarray irradino come fossero isolati senza nessun accoppiamento reciproco (si trascurano le correnti di mutua polarizzazione)

A seconda della posizione reciproca degli elementi della schiera si distinguono ad esempio schiere lineari schiere circolari e schiere planari

kk rr λρρρ

+= 0

V0

V1 Vn-1

0r 1r

1minusnr

1λρ

1nminusλρ

)r(J kjδ ekΛ)kr(kJ 00

ρρ minus=


Fattore complesso di schiera

bull Ricordando che per lrsquoantenna complessiva vale il principio di sovrapposizione degli effetti si avragrave per il momento equivalente della schiera

bull e quindi sostituendo le proprietagrave della schiera

summinus

intsdot

sdotsumminus

==1

0

1

0

n

kVk dVrikrjβ

e)kr(kJn

kMM)

ρρρ

( )

( )intsdot

sdotsdot

summinus

=

minussdotsdotΛ=

=summinus

=

intsdot+

sdotminus

sdotsdotΛ=

00

000

1

0

1

0 0

000 0

VdVrirj

erJn

kkrikj

ek

n

k VdVrikrj

ekjerJkM

)ρ

)λρ

)λρ

ρρ

βδβ

βδ

F(θφ) ( )φθM0

ρ


bull momento equivalente del singolo elemento radiante

bull Il fattore complesso di schiera dipende dalla geometria dal numero di elementi e dalle alimentazioni ma non dal tipo di antenne utilizzate

bull |F(θφ)| prende il nome di fattore di schiera

bull Con queste definizioni il momento equivalente della schiera diventa

bull e ricordando lrsquoespressione del campo elettrico e del potenziale vettore magnetico in zona di campo lontano

( ) summinus δminussdotβ

sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F

ρFattore complesso di schiera

( )φθM0

ρ

( ) ( ) ( )φθφθφθ 0MFMρρ

sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene

bull Lrsquointerferenza tra gli n elementi della schiera va a modificare il campo irradiato dal singolo elemento della schiera nella direzione (θφ) di un fattore pari a F(θφ) il campo complessivamente irradiato dalla schiera potragraverisultare completamente diverso dal campo della singola antenna elementare

bull (nel senso dei vettori complessi) il campo irradiato dalla schiera ha la stessa polarizzazione del campo irradiato dal singolo elemento

)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot

timestimessdotminus=

ρ

campo generato dalla sola sorgente elementare

( ) ( )φθφθ 0 rErEρρ


Grandezze caratteristiche della radiazione per le schiere

bull Scegliendo opportunamente i valori di n λk δk (che compaiono nellrsquoespressione di F) ersquo possibile allora sagomare opportunamente il diagramma di radiazione f(θf) della schiera

( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ

descrive la ldquoSuperficie di Radiazione del Fattore di Schierardquo e rappresenta la superficie di radiazione che avrebbe la schiera se fosse costituita da elementi isotropi

Il rapporto


Schiere lineari uniformi (1)

X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ

Una schiera si dice lineare uniforme se

1 Le n antenne sono allineate lungo una assegnata direzione (detta di allineamento) ed equidistanti

Il vettore egrave detto vettore di allineamento ed il suo modulo rappresenta la distanza fra gli elementi della schiera

2 Le alimentazioni di elementi consecutivi risultano sfasate di una quantitagrave δ costante e cioegrave Λk=1 e δk = ksdotδ

λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ



( ) ( ) ( )φθsdotφθ=φθ rEFrE 0ρρ

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ

F(θφ) fattore complesso di schiera



O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

Dovendo essere 0leψltπ allora necessariamente u1leule u2 dove

2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ

bull Si puograve dimostrare che scegliendo lrsquoorigine del sistema di riferimento nel punto medio della schiera scompare lrsquoesponenziale complesso ed il fattore complesso di schiera diviene una funzione reale

bull fattore di schiera normalizzato

bull Per ottenere una schiera lineare uniforme con determinate caratteristiche si possono scegliere i parametri di progetto (λ n d) in modo che il fattore di schiera normalizzato abbia lrsquoandamento corrispondente alle proprietagraveradiative desiderate

)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==


Fattore di schiera normalizzato

uπ-π 4 5π3π52π5π5

1

0

|F(u)|norm ersquo periodica di periodo π

bull Massimi assoluti |F(u)|norm ha un massimo assoluto (di valore =1) per tutti gli u = kπ k isin Z appartenenti allrsquointervallo permesso [u1u2]

bull Massimi relativi |F(u)|norm presenta inoltre dei massimi relativi approssimativamente in corrispondenza di quei valori di u isin [u1u2] che massimizzano |sin(nu)| cioegrave u = plusmn (2k+1) π2n rArrcosψ = δλ 2πl plusmn (2k+1) λ 2ln k= 123

bull Zeri gli zeri di |F(u)|norm si hanno ovviamente per quegli u isin [u1u2] che annullano |sin(nu)| e cioegrave u = plusmn kπn k= 123hellip n-1n+1hellip cosψ = δλ 2πl plusmn kλ nl k= 123hellip n-1n+1

bull Gli zeri del fattore di schiera normalizzato corrispondono sempre a direzioni di zero della schiera complessiva

bull la funzione di radiazione complessiva egrave data dal prodotto fra il fattore di schiera normalizzato e la funzione di radiazione del singolo elemento radiante Pertanto in virtugrave di tale prodotto le direzioni di massima radiazione della schiera complessiva possono non corrispondere neacute alle direzioni di massimo del fattore di schiera normalizzato neacute ai massimi di radiazione del singolo elemento


Progetto ottimo Schiere lineari uniformibull Salvo rare eccezioni una schiera lineare uniforme viene usualmente realizzata in modo che il

fattore di schiera normalizzato abbia1 Un solo massimo assoluto nellrsquointervallo [u1u2]2 Massimi relativi nellrsquointervallo [u1u2]decrescenti3 Massima ampiezza dellrsquointervallo [u1u2] (nel rispetto delle condizioni 1 e 2)

Le condizioni 1) ndash 3) definiscono il cosiddetto progetto ottimo di una schiera e si traducono quantitativamente nelle seguenti disuguaglianze

[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00

schiera generica ottima

Esempio n=5Nel caso di progetto ottimo il fattore di schiera normalizzato |F(u)|norm presenta un numero di massimi nellrsquointervallo [-π2π2] pari a n-1 (uno assoluto e n-2 relativi decrescenti)


Esempi di schiere broadside

bull Schiera uniforme broadside di 5 dipoli a mezzrsquoonda aventi y come direzione di allineamento

bull Applicazioni radar di sorveglianza (lobo principale ldquoa ventagliordquo(fan-beam))

λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆

direzione di allineamento

lobo principale della schiera broad-side

piano di massimo per |F| Ψ= π2

Schiera a radiazione trasversale Broad-SideSono schiere lineari e uniformi aventi la direzione di massimo di |F|normperpendicolare alla direzione di allineamento cioegrave per Ψ=π2


Schiere Broadside (Ψmax= π2)

022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ

bull Lobo principale incluso

bull Lobi secondari decrescenti

Progetto ottimoProgetto ottimo

222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll

δδ = 0 (elementi alimentati in fase) = 0 (elementi alimentati in fase) ll = = λλ22


Schiere Broadside

bull Direzione di massimo (u = 0) ψ = π2

uπ-π 4 5ππ5-π2 π2

1

ψ=0

0

ψ=π ψ=π2 schiera BROADSIDEu u1 2 ottima


bull Superficie di radiazione del fattore di schiera di antenna di una antenna broadside a 5 elementi allineati lungo lrsquoasse z

y

z

x

Schiere Broadside


bull Diagramma (polare) di radiazione del fattore di schiera (normalizzato)

47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside


bull Apertura lobo principale nel caso di progetto ottimo

bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20

bull Allrsquoaumentare del numero degli elementi cresce la direttivitagrave

n22OTTIMO arcsen=ψ∆

deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆

3011OTTIMO deg=ψ∆

Schiere Broadside


Es di schiere broadside (n=5)

z

x y

x

y

z

x

y

x

y


Esempi di schiere end-fire

bull Schiera uniforme end-fire di 5 dipoli a mezzrsquoonda aventi y come direzione di allineamento

bull Applicazioni ricezione televisiva (media direttivitagrave e basso costo)

λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f


Schiera Schiera EndEnd--FireFire

lobo principale della schiera end-fire

0 n21

∆

direzione di allineamento direzione di massimo per |F| Ψ= 0

Sono schiere lineari e uniformi aventi la direzione di massimo di |F|normcoincidenti con la direzione di allineamento cioegrave per Ψ=0


Schiere End-fire (Ψmax= 0)

llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44

Lo sfasamento introdotto sulle alimentazioni deve essere uguale in modulo a quello introdotto dalla propagazione sulla distanza tra le antenne


Schiere End-fire

bull Direzione di massimo (u = 0) ψ = 0

uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00

ψ=π schiera END-FIRE ottimau u1 2


bull Superficie di radiazione del fattore di schiera di antenna end-fire a 5 elementi allineati lungo lrsquoasse z

y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5


Schiere End-firebull Apertura lobo principale nel caso di progetto ottimo

bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)

bull Piano verticale (xz) solo lobi secondari


1l = y l = y

dipolofattore di schiera

SCHIERAe

xx

1

z zzfattoredi schiera SCHIERAdipolo

y yy11 1


Es di schiere end-fire ottima (n=5)

z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n

distanza λysfasamento δy

distanza λxsfasamento δx

θr

φ

P modo che gli elementi di ogni riga e di ogni colonna rappresentino una schiera lineare (con sfasamenti dx e dycaratteristici rispettivamente di ogni riga ed ogni colonna)

Definizione un array planare egrave costituito da (msdotn) antenne elementari disposte in un piano a formare una ldquomatrice di m righe e n colonnerdquo in


Schiere planari

bull Offrono ulteriori gradi di libertagrave premettono un maggior controllo sulla forma del diagramma di radiazione

bull Diagrammi di radiazione ad elevata simmetria e piccoli lobi secondari

bull Adatte per la scansione elettronica (antenne adattative)

bull Applicazioni radar e comunicazioni


Schiere planaribull Rispetto alla schiera monodimensionale le cose si complicano solo formalmente

bull Due direzioni di allineamento x e y (ad esempio)

bull Fattore complesso di schiera lungo x

bull Fattore complesso di schiera lungo y

bull Fattore complesso di schiera planare F = F = FFxx FFyy

( )[ ] ( )[ ]sumsumminus

=

minus

=

δminusφθβΛ=δminussdotβΛ=1M

0mxxm

1M

0mxrxmx cossenljmexpiljmexpF

ρ


=

minus

=

δminusφθβΛ=δminussdotβΛ=1N

0nyyn

1N

0nyryny sensenljnexpiljnexpF

ρ


Schiere circolaribull Una schiera si dice circolare se gli elementi radianti sono disposti nello spazio in

modo che ciascun elemento possa essere sovrapposto al successivo per mezzo di una rotazione (di ampiezza costante) attorno ad un asse detto asse della schiera

bull In tal modo i centri di fase delle antenne che formano la schiera appartengono ad una circonferenza di raggio ρ

bull Offrono ulteriori gradi di libertagravebull Diagrammi di radiazione ad elevata

simmetria e piccoli lobi secondaribull Applicazioni radar e direction-finding

0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

φk=2π(kn) k=012hellipn-1


Riepilogo Antenne a Schiera

Relazione generale che descrive il comportamento di una schiera di antenne

Essendo

campo complessivo irradiato nel punto (rθφ)

campo irradiato nel punto (rθφ) dal singolo elemento

fattore complesso di schiera

( ) ( ) ( )φθφθφθ 0 rEFrEρρ

sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF

dipende dal numero degli elementi dalla loro disposizione geometrica e dalle costanti (complesse) di proporzionalitagrave fra le densitagrave di corrente impressa (cioegrave dai valori di Λk e δk)


Valgono inoltre i seguenti risultati

( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ

Il campo irradiato complessivo ha la stessa polarizzazione del campo irradiato dal singolo elemento che compone la schiera

Funzione di radiazione del Fattore di schiera normalizzato = della schiera di elementi isotropi



La direttivitagrave d della schiera aumenta al crescere del numero n di elementi

La disposizione geometrica degli elementi determina le (eventuali) proprietagrave di simmetria e di invarianza del fattore di schiera |F(θφ)|

- se gli elementi radianti appartengono ad un piano |F(θφ)| egravesimmetrica rispetto al piano

- se gli elementi radianti sono allineati |F(θφ)| egrave invariante per rotazioni attorno alla direzione di allineamento



diagramma di radiazionedel singolo elemento

diagramma di radiazione dellaschiera di elementi isotropici = diagramma di radiazione

complessivodiagramma di radiazionedel singolo elemento


complessivodiagramma di radiazionecomplessivo

REGOLA di KRAUSS il valore della funzione di radiazione di una schiera di antenne puograve essere determinato per ogni direzione moltiplicando il valore della funzione di radiazione del singolo elemento radiante per il valore della funzione di radiazione di una schiera di elementi isotropici posizionati ed eccitati come gli elementi della schiera reale



Antenne adattative (ldquosmartrdquo)

Controllo fase dellrsquoalimentazione degli elementi radianti di una schiera

Controllo direzione della maggior parte del campo irradiato dalla schiera

Fasi delle sorgentiFasi delle sorgenti


Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl

bull Condizione di sfasamento affincheacute ψ0 isin [0π] sia la direzione di massimo della schiera

bull Variando con continuitagrave lo sfasamento tra gli elementi si ottiene unrsquoantenna a scansione continua

bull Questa operazione egrave realizzata elettronicamente mediante lrsquouso di sfasatori a ferrite o a diodi


Schiere lineari a scansione elettronica

bull Superficie di radiazione di schiera con elementi allineati lungo lrsquoasse z e direzione di massimo θ0 = 60deg

y

z0θ = 60deg

x


Antanne adattative beamforming network

Applicazioni direction finding


Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ

bull Si consideri unrsquoantenna trasmittente costituita da una schiera uniforme formata da sorgenti isotrope allineate lungo lrsquoasse y distanti una distanza d tra loro e con ampiezze complesse alternativamente pari a 1 e ndash1

bull Si calcolibull Il fattore di schiera di questa schiera di antennebull Le direzioni di zero di radiazione della schiera nel caso sia d=λ4


Soluzionebull Nel caso in esame la schiera egrave lineare e uniforme costituita da 4 sorgenti alimentate

con ampiezza unitaria e sfasamento relativo pari a δ=π Il fattore di schiera egrave quindi dato dalla

bull dove Ψ egrave lrsquoangolo tra lrsquoasse della schiera e la generica direzione di osservazione

bull Nel caso in cui sia d=l4 il fattore di schiera diventa

bull poicheacute le sorgenti elementari sono sorgenti isotrope le direzioni di zero della radiazione si hanno per quelle direzioni per cui lrsquoargomento del numeratore del fattore si schiera si annulla

( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2

121 1cos1scrivere puograve si quindi 1 e 1- tracompreso egrave cos il ma

2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin

minusleplusmnleminusrArr

minusleplusmnminusgeplusmn

leplusmngeplusmn

leplusmnleminusrArrleleminus

plusmn=rArrplusmn=minusrArrplusmn=

minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


bull Lrsquoefficienza di un sistema di telecomunicazione dipende anche dalle antenne utilizzate che devono avere caratteristiche diverse a seconda del tipo di servizio e di applicazione

ndash ponte radio collegamento tra punti fissi antenne fortemente direttive al fine di irradiare la maggior parte della potenza disponibile nella direzione del ricevitore che a sua volta deve essere in grado di raccogliere la maggior parte della potenza

ndash sistemi drsquoarea collegamento tra corrispondenti in posizioni diverse antenne non eccessivamente direttive il trasmettitore dovragrave essere in grado di raggiungere il ricevitore ovunque si trovi ed il ricevitore dovragrave essere in grado di ricevere il segnale da qualsiasi direzione provenga

bull Egrave importante disporre di antenne dalle caratteristiche radiative anche molto diverse sagomare opportunamente il diagramma di radiazione realizzare antenne complesse ldquoassemblandordquo antenne piugrave semplici secondo determinate configurazioni geometriche ed elettriche






Antenne a schiera




CI IeI 0kk0j






V0V1

Vn-1

0r1r

1minusnr





kk rr λρρρ

+= 0

V0

V1 Vn-1

0r 1r

1minusnr

1λρ

1nminusλρ


ρρ minus=





summinus

intsdot

sdotsumminus

==1

0

1

0

n

kVk dVrikrjβ

e)kr(kJn

kMM)

ρρρ

( )

( )intsdot

sdotsdot

summinus

=

minussdotsdotΛ=

=summinus

=

intsdot+

sdotminus

sdotsdotΛ=

00

000

1

0

1

0 0

000 0

VdVrirj

erJn

kkrikj

ek

n

k VdVrikrj

ekjerJkM

)ρ

)λρ

)λρ

ρρ

βδβ

βδ

F(θφ) ( )φθM0

ρ








sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F


( )φθM0

ρ


sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ






Antenne a schiera




CI IeI 0kk0j






V0V1

Vn-1

0r1r

1minusnr





kk rr λρρρ

+= 0

V0

V1 Vn-1

0r 1r

1minusnr

1λρ

1nminusλρ


ρρ minus=





summinus

intsdot

sdotsumminus

==1

0

1

0

n

kVk dVrikrjβ

e)kr(kJn

kMM)

ρρρ

( )

( )intsdot

sdotsdot

summinus

=

minussdotsdotΛ=

=summinus

=

intsdot+

sdotminus

sdotsdotΛ=

00

000

1

0

1

0 0

000 0

VdVrirj

erJn

kkrikj

ek

n

k VdVrikrj

ekjerJkM

)ρ

)λρ

)λρ

ρρ

βδβ

βδ

F(θφ) ( )φθM0

ρ








sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F


( )φθM0

ρ


sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





V0V1

Vn-1

0r1r

1minusnr





kk rr λρρρ

+= 0

V0

V1 Vn-1

0r 1r

1minusnr

1λρ

1nminusλρ


ρρ minus=





summinus

intsdot

sdotsumminus

==1

0

1

0

n

kVk dVrikrjβ

e)kr(kJn

kMM)

ρρρ

( )

( )intsdot

sdotsdot

summinus

=

minussdotsdotΛ=

=summinus

=

intsdot+

sdotminus

sdotsdotΛ=

00

000

1

0

1

0 0

000 0

VdVrirj

erJn

kkrikj

ek

n

k VdVrikrj

ekjerJkM

)ρ

)λρ

)λρ

ρρ

βδβ

βδ

F(θφ) ( )φθM0

ρ








sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F


( )φθM0

ρ


sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





kk rr λρρρ

+= 0

V0

V1 Vn-1

0r 1r

1minusnr

1λρ

1nminusλρ


ρρ minus=





summinus

intsdot

sdotsumminus

==1

0

1

0

n

kVk dVrikrjβ

e)kr(kJn

kMM)

ρρρ

( )

( )intsdot

sdotsdot

summinus

=

minussdotsdotΛ=

=summinus

=

intsdot+

sdotminus

sdotsdotΛ=

00

000

1

0

1

0 0

000 0

VdVrirj

erJn

kkrikj

ek

n

k VdVrikrj

ekjerJkM

)ρ

)λρ

)λρ

ρρ

βδβ

βδ

F(θφ) ( )φθM0

ρ








sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F


( )φθM0

ρ


sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





summinus

intsdot

sdotsumminus

==1

0

1

0

n

kVk dVrikrjβ

e)kr(kJn

kMM)

ρρρ

( )

( )intsdot

sdotsdot

summinus

=

minussdotsdotΛ=

=summinus

=

intsdot+

sdotminus

sdotsdotΛ=

00

000

1

0

1

0 0

000 0

VdVrirj

erJn

kkrikj

ek

n

k VdVrikrj

ekjerJkM

)ρ

)λρ

)λρ

ρρ

βδβ

βδ

F(θφ) ( )φθM0

ρ








sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F


( )φθM0

ρ


sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

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δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ








sdotΛ=φθ

1n

0kriklj

ek F


( )φθM0

ρ


sdot=

reMAiAijE

rj

rr

β

πmicroϖ

minus

=timestimesminus=4

e ˆˆ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

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u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

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=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

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2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

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Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

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yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

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sen

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51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

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202

u0

0

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1

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πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

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0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

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Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


bull si ottiene



)(0)(

2ˆ)(0 )(ˆ)(

φθφθ

λ

βφθφθ

εmicroφθ

rEF

r

rjeriMFrijrE

sdot=

=minus

sdot


ρ






( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

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)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

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FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

)()(

)()(

)()(

)()(

)()( 00

0 φθφθφθ

φθφθ

φθφθ

φθφθφθ f

FF

II

FF

IIf

MMMMR

R

MMMMR

R ===

20

22 )(

)()()()( φθ

φθφθφθφθ f

FFfd

MM

=prop


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


( )( )MM F

Fφθ

φθ


Il rapporto



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



X

Z

Y

λρ

P(rθφ)

0dϖ

kdϖ

1dϖ





λρρ

λρρρ

kddd 0k0k +=+=

λρ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ




( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

cosucon usin

nusineF

eF

u1nj

k

ijk r

δminusΨ

λπ

=sdot=φθ

=φθ

minus

δminussdotβsumλ

λρ




O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]

O l l0

P

1

r

r

ψ

i

2

ψ isin [0π]


2u

2

u

2

1

δλπ

δλπ

minus=

minusminus=

λ

λ




)usin()nusin()u(F =

( )( )unu

nFF

FMAX

norm sinsin1

==




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ




1

0











[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





[ ] 22

2

2

- u u

2

21π

leδ

plusmnλπ

rArr

ππ

sub

δge

λπ

λ

λ

u

u u1 2

π-π 4 5ππ2-π2 π5

1

ψ=π ψ=00







λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





λ2 z

x l = y



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



yx

z

z

y

xx

z

y

( )

φθ

π

φθ

π

sdotθ

θ

π

sdot=φθsinsin

2sin

sinsin2

5sin

sen

cos2

cos

51f


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


0 n21

∆







022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



022

0u2

2 =δ

=

δ

minusψλπ

rArr=π=ψ

π=ψ

cosl

2uu

2uu

1

02

πminus==

π==

π=ψ

=ψ




222λ

=rArrπ

=δ

minusλπ ll



Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


Schiere Broadside



1

ψ=0

0




y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



y

z

x

Schiere Broadside



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



47deg 9rsquo

02 04

06 08

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ψ

Caso n = 5

Schiere Broadside



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 20



deg=ψ∆ 180OTTIMO

deg=ψ∆ 60OTTIMO

947OTTIMO deg=ψ∆


Schiere Broadside



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



z

x y

x

y

z

x

y

x

y





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





λ4 z

x l = y



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



yz

z

zy

( )( )

( )

φθminussdot

π

φθminussdot

π

θ

θ

π

=φθsinsin1

4sen

sinsin14

5sen

sen

cos2

cos

51f




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ




0 n21

∆





llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



llcoslβ=

λπ

=δrArr=

δ

minusψλπ

==ψ

=ψ

202

u0

0

2uu

0uu

1

02

πminus==

==

π=ψ

=ψ




2422 π

=δrArrλ

=rArrπ

minus=λπ

minus ll

δδ = = ππ2 2 ll = = λλ44



Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


Schiere End-fire


uπ-π 4 5π3π52π5-π2 π5

1

ψ=00




y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



y

z

x

Schiere End-fire



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



02 04

06 08 1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

156deg 55rsquo

ψ

Schiere End-fire

Caso n = 5



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



bull n = 2

bull n = 4

bull n = 5

bull n = 8

bull n = 20

bull n = 40



deg=ψ∆ 360OTTIMO

deg=ψ∆ 180OTTIMO


deg=ψ∆ 120OTTIMO




bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


bull Piano H (xy)

bull Piano E (yz)



1l = y l = y


SCHIERAe

xx

1


y yy11 1



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



z

x

y

z

x

x

y

x

y

y


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


Schiere planari

z

y

x

12

2

3

3

m

n



θr

φ




Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ


Schiere planari












=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ








=

minus

=


0mxxm

1M


ρ


=

minus

=


0nyyn

1N


ρ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ







0 1n-1 k

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk

0 1n-1

φk

φminusφk

ρ

(r θ φ)z

x

yrkρ

Rk

Ψk





Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ




Essendo





sdot=

( )φθrEρ

( )φθ0 rEρ

( )φθF




( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ



( ) ( ) ( ) IFI 0R2

R φθsdotφθ=φθ

( ) ( )( )

( )( ) ( ) f

FF

IIf 0

MMMMR

R φθsdotφθφθ

=φθφθ

=φθ

( ) ( ) ( )( ) ( ) f

FFfd 2

0

2

MM

2 φθsdotφθφθ

=φθpropφθ
























Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





















Antenne adattative

020

2u

0

ψλπ

=δrArr=δ

minusψλπ

=ψ=ψ

coslcosl







y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ




y

z0θ = 60deg

x





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ





Esercizio

x

y

d

d

d

1

-1

1

-1

Rx

Ψ









( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ







( ) ( )u

nuFsin

sin =ϕθ2

cos δψλ

πminus=

du

( ) ( )

minus

minus

==

2cossin

2cos4sin

sinsin

πψλ

π

πψλ

π

ϕθd

d

unuF

( ) ( )

minus

minus

=

minus

minus

=

minus

minus

==1

2cos

2sin

12

cos2sin

12

cos2

sin

12

cos2

4sin

2cos

4sin

2cos

44sin

sinsin

ψπ

ψπ

ψπ

ψπ

πψλλπ

πψλλπ

ϕθu

nuF

13 13

1k2-1k2


2cos 2cos 12

cos2 012

cos2sin



leplusmngeplusmn



minusrArr=

minus

kkk

k

kkk

ψψ

ψψπψπψπ

Antenne a schiera (array) - Consorzio Elettra 2000 Tecniche LS/schie… · Definizione generale:...

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Transcript of Antenne a schiera (array) - Consorzio Elettra 2000 Tecniche LS/schie… · Definizione generale:...