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AAAppppppuuunnntttiii dddiii AAAnnnttteeennnnnneee CCCaaapppiiitttooolllooo 444 ––– AAAnnnttteeennnnnneee aaaddd aaapppeeerrrtttuuurrraaa (((III)))

Introduzione ........................................................................................................1 Metodo di Fourier ...............................................................................................1

Espressione del campo (in zona lontana) in coordinate sferiche ......................8 Dimostrazione dell’espressione del campo in zona lontana ........................... 11 Radiazione da una apertura rettangolare ........................................................ 12 Radiazione da una apertura circolare ............................................................. 16 Radiazione da una apertura rettangolare con campo a fase lineare ................ 18 Campo irradiato da una apertura con campo rastremato ................................ 20

IntroduzioneIntroduzione Tutte le antenne di cui abbiamo parlato fino ad ora possono essere comodamente

analizzate in termini di distribuzione di corrente sulle antenne stesse. C’è invece un’altra ampia classe di antenne, definite antenne ad apertura, in cui si considera la radiazione elettromagnetica proveniente appunto da una apertura. Due antenne comuni di questo tipo sono il riflettore parabolico e le antenne a tromba.

Una antenna ad apertura deve avere lunghezza e larghezza di almeno qualche lunghezza d’onda se si vuole ottenere un sufficiente guadagno. Questo spiega il motivo per cui queste antenne trovano la maggiore applicazione nel campo delle microonde, alle quali le lunghezze d’onda sono di pochi centimetri.

Metodo di FourierMetodo di Fourier Esistono vari modi per studiare l’irradiazione delle antenne ad apertura. Il

primo di cui ci occupiamo è basato sulla trasformata di Fourier: il pregio fondamentale di questo metodo è quello di mostrare che la distribuzione del campo irradiato è la trasformata di Fourier del campo nell’apertura. Inoltre, l’uso della trasformata di Fourier consente anche di usare le proprietà caratteristiche di tale operatore al fine di predire le prestazioni delle antenne ad apertura.

Nella figura seguente è riportata una apertura circolare, di area Sa, situata nel piano z=0 (cioè nel piano [x,y]):

Appunti di “Antenne” – Capitolo 4 (parte I)

Autore: Sandro Petrizzelli

2

x

y

z

Sa

Ear

θ

ϕ

Supponiamo di conoscere la componente tangenziale del campo elettrico su tutta

l’apertura e la indichiamo con aEr

. Il nostro scopo è quello di determinare il campo irradiato nella regione corrispondente a z>0. Non ci interessa invece sapere come è

stato prodotto il campo aEr

: possiamo sommariamente ritenere che esso sia dovuto a sorgenti di qualche natura poste nella regione z<0. Non abbiamo bisogno di

conoscere tali sorgenti proprio perché è solo il campo aEr

che determina il campo irradiato nel semispazio corrispondente a z>0.

Cominciamo col ricordare che, data una generica funzione w(x), la sua trasformata di Fourier è notoriamente definita come

∫+∞

∞−

= dxe)x(w)k(W xjkX

X

In particolare, siamo abituati a considerare funzioni del tempo t, nel qual caso la

variabile kX (il cosiddetto numero d’onda) coincide con la pulsazione angolare ω=2πf.

L’antitrasformata di Fourier è invece definita come

∫+∞

∞−

−

π= X

xjkX dke)k(W

2

1)x(w X

Esiste poi una trasformata di Fourier bidimensionale, applicata cioè a funzioni

w(x,y) di due distinte variabili indipendenti. Le corrispondenti formule sono le seguenti:

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

−−

+∞

∞−

+∞

∞−

π=

=

YXyjkxjk

YX2

yjkxjkYX

dkdkee)k,k(W4

1)y,x(w

dxdyee)y,x(w)k,k(W

XX

XX

Vediamo allora di applicare questi concetti al problema dell’irradiazione da una

apertura.

Antenne ad apertura: uso della trasformata di Fourier


3

Dallo studio delle equazioni di Maxwell, sappiamo che il campo elettrico soddisfa, in ogni punto dello spazio vuoto, all’equazione generale

JjEkE 020

rrrωµ−=+×∇×∇

Se però consideriamo una regione in cui non ci sono sorgenti di campo (per cui

non ci sono densità di corrente né densità di carica elettrica), sappiamo che il

campo elettrico è irrotazionale ( 0E =⋅∇r

) e quindi scriviamo che tale campo soddisfa alla duplice condizione

0E

0EkE 20

2

=⋅∇

=+∇r

rr

Se ora esplicitiamo le derivate che compaiono in queste due equazioni, otteniamo

0z

)z,y,x(E

y

)z,y,x(E

x

)z,y,x(E

0EkEzyx

ZYX

202

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂

=+

∂∂

+∂∂

+∂∂ rr

In queste due espressioni compaiono delle derivate che rendono le equazioni

difficili da risolvere. Tuttavia, possiamo trasformare secondo Fourier entrambe le equazioni, ricordando alcune proprietà della trasformata di Fourier bidimensionale come quelle qui di seguito riportate:

[ ]

( ) [ ]

[ ]

.....

)y,x(ukx

)y,x(u

)y,x(ujkx

)y,x(u

)y,x(ujkx

)y,x(u

YX2X2

2

YX

X2

X2

2

X

XXX

ℑ−=

∂

∂ℑ

ℑ−=

∂

∂ℑ

ℑ−=

∂∂

ℑ

Da notare i pedici con cui sono state contrassegnate le trasformate: il simbolo

Xℑ rappresenta la trasformata monodimensionale fatta rispetto ad x, mentre invece

il simbolo YXℑ indica la trasformata bidimensionale fatta rispetto ad y e ad x. L’unica variabile che non sarà mai coinvolta nelle trasformate è la variabile z. Applicando dunque le sopraelencate proprietà della trasformata di Fourier alle

equazioni del campo elettrico, otteniamo

0)z,k,k(Ez

j)z,k,k(Ek)z,k,k(Ek

0)z,k,k(Ek)z,k,k(Ez

kk

YXZYXYYYXXX

YX20YX2

2Y

2X

=∂∂

++

=+

∂∂

+−−rr

E’ importante notare che abbiamo continuato ad usare la “E” maiuscola per

rappresentare il campo elettrico, ma gli argomenti sono cambiati, per cui anche le



4

funzioni sono adesso cambiate. In altre parole, la funzione )z,y,x(Er

è cosa

completamente diversa dalla funzione )z,k,k(E YX

r: quest’ultima è la trasformata di

Fourier bidimensionale, fatta rispetto ad x ed y, di )z,y,x(Er

e lo stesso discorso vale per le singole componenti del campo.

Adesso, definiamo la nuova variabile 2Y

2X

20

2Z kkkk −−= . Con questa posizione, le

due equazioni del campo (in particolare la prima) assumono la forma seguente:

0)z,k,k(Ez

j)z,k,k(Ek)z,k,k(Ek

0)z,k,k(Ek)z,k,k(Ez

YXZYXYYYXXX

YX2ZYX2

=∂∂

++

=+∂∂ rr

La prima equazione è in una forma a noi ben nota: sappiamo infatti che la sua

soluzione è la classica funzione data dalla combinazione lineare di termini zjk Ze± . In particolare, dato che, per il problema in esame, il campo non può che essere composto da onde che si propagano allontanandosi dalla sorgente (cioè l’apertura), avremo solo l’onda progressiva e cioè una soluzione del tipo

zjk

YXYXZe)k,k(f)z,k,k(E −=

rr

dove naturalmente, al posto della semplice costante di integrazione, abbiamo in

questo caso considerato una generica funzione )k,k(f YX

r da determinare.

Andiamo allora a sostituire la soluzione appena riportata nell’altra equazione cui abbiamo visto deve soddisfare il campo: dato che, in generale, risulterà

ZYXZYYXZXYXXYX a)k,k(fa)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrrr

++=

abbiamo che

[ ] 0e)z,k,k(fz

je)z,k,k(fke)z,k,k(fk zjkYXZ

zjkYXYY

zjkYXXX

ZZZ =∂∂

++ −−−

Calcolando quella derivata ed eliminando la funzione zjk Ze− che risulta comune a

tutti i termini presenti, si ottiene evidentemente l’equazione

0)z,k,k(fk)z,k,k(fk)z,k,k(fk YXZZYXYYYXXX =⋅+⋅+⋅ Possiamo sinteticamente esprimere questa uguaglianza in termini di prodotto

scalare tra i due vettori coinvolti:

ZZYYXX

ZYXZYYXZXYXXYX

akakakk

a)k,k(fa)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrrr

rrrr

++=

++=→ 0k)k,k(f YX =•

rr

Questa equazione ci dice evidentemente che solo due componenti della funzione

)k,k(f YX

r sono indipendenti e questo equivale alla corrispondente restrizione per cui

è nulla la divergenza del campo elettrico (ipotesi dalla quale sia partiti inizialmente).



5

Adesso, fermo restando che la funzione )k,k(f YX

r deve ancora essere calcolata,

possiamo comunque risalire al campo elettrico )z,y,x(Er

(nel dominio dei fasori) a

partire dalla sua trasformata di Fourier )z,k,k(E YX

r: applicando infatti le formule di

antitrasformazione precedentemente richiamate, otteniamo

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

−−−

+∞

∞−

+∞

∞−

−−

π=

=π

=

YXyjkxjkzjk

YX2

YXyjkxjk

YX2

dkdkeee)k,k(f4

1

dkdkee)z,k,k(E4

1)z,y,x(E

XXZ

XX

r

rr

Considerando il raggio vettore ZYX azayaxr

rrrr++= , possiamo riunire i tre

esponenziali in un unico termine, in modo da concludere che

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

⋅−

π= YX

rkjYX2

dkdke)k,k(f4

1)z,y,x(E

rrrr

Questa equazione mostra che un campo elettrico arbitrario, nella regione

corrispondente a z>0, può essere espresso come uno spettro di onde piane, visto

che la funzione rkjYX e)k,k(f

rrr⋅− è appunto un’onda piana, con vettore d’ampiezza

)k,k(f YX

r, che si propaga nella direzione individuata dal vettore k

r (detto vettore

d’onda). E’ interessante notare che, in base a come abbiamo definito la variabile kZ,

risulta

020

2Z

2Y

2XZZYYXX kkkkkakakakk ==++=++=

rrrr

Il modulo del vettore d’onda kr

è dunque pari a k0: • quando 2

02Y

2X kkk >+ → la costante di propagazione kZ è immaginaria e quindi

le onde piane in questa parte di spettro sono esponenzialmente decrescenti (si parla di onde evanescenti) nella direzione z; queste onde evanescenti determinano la regione di campo vicino di fronte all’apertura;

• viceversa, quando 20

2Y

2X kkk <+ → la costante di propagazione kZ è reale e

quindi le onde piane si propagano effettivamente, allontanandosi dalla sorgente, per cui determinano l’irradiazione vera e propria.

In definitiva, solo le onde che provengono dalla parte di spettro corrispondente a

valori di 2Y

2X kk + all’interno del cerchio di raggio k0 nel piano [kX,kY] contribuiscono al

campo di radiazione, in quanto corrispondono a onde in propagazione:



6

kX

kY

k0

regione di spettrocorrispondente a ondepiane in propagazione

Adesso, dobbiamo tener conto che la soluzione trovata per il campo elettrico deve

rispettare le condizioni al contorno del nostro problema. Una di queste è senz’altro quella per cui le componenti x ed y del campo elettrico in corrispondenza

di z=0 devono corrispondente a quelle del campo )y,x(Ea

r che abbiamo assunto

inizialmente noto: allora, dato che in z=0 risulta

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−

π= YX

yjkxjkYX2

dkdkee)k,k(f4

1)0,y,x(E YX

rr

l’uguaglianza da imporre è banalmente

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−

π= YX

yjkxjkYXt2a dkdkee)k,k(f

4

1)y,x(E YX

rr

dove abbiamo indicato con )k,k(f YXt

r la componente tangenziale della funzione

)k,k(f YX

r, visto che la condizione al contorno è relativa solo al campo tangenziale in

z=0:

YYXYXYXXYXt a)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrr

+= L’equazione ottenuta non è altro che l’espressione della antitrasformata

bidimensionale di Fourier della funzione )k,k(f YXt

r, il che significa ovviamente che

possiamo anche invertirla e considerare )k,k(f YXt

r come trasformata di Fourier di

)y,x(Ea

r:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

= dxdyee)y,x(E)k,k(f yjkxjkaYXt

YXrr

In effetti, questa equazione va perfezionata in quanto abbiamo inteso indicare

con )y,x(Ea

r solo il campo (tangenziale) in corrispondenza dell’apertura, per cui

l’integrazione doppia va limitata all’apertura stessa:

∫∫=a

YX

S

yjkxjkaYXt dxdyee)y,x(E)k,k(f

rr



7

Vedremo più avanti alcune semplici applicazioni di questa formula. Per il

momento, quello che ci interessa sottolineare è che la funzione )k,k(f YXt

r, che ci

serve per conoscere il campo irradiato in z>0, può essere facilmente calcolata come

trasformata di Fourier del campo elettrico )y,x(Ea

r in corrispondenza dell’apertura,

supponendo ovviamente che questo sia noto o comunque calcolabile. Tuttavia, il problema che generalmente si presenta, seguendo questo metodo,

rimane comunque il calcolo dell’integrale che porta a conoscere )z,y,x(Er

. Generalmente, l’unica regione in cui tale calcolo risulta fattibile è quella del campo lontano (o campo di radiazione), caratterizzata cioè da r>>λλ . D’altra parte, dato che noi siamo interessati a conoscere il campo essenzialmente in tale regione, il problema risulta di minima entità.

Dobbiamo allora vedere come si risolve l’integrale per il calcolo di )z,y,x(Er

, che riportiamo nuovamente, per semplicità:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

⋅−

π= YX

rkjYX2 dkdke)k,k(f

4

1)z,y,x(E

rrrr

Dobbiamo risolvere questo integrale supponendo r→∞. Ci riserviamo di farlo nei

prossimi paragrafi, mentre ora riportiamo direttamente la soluzione:

)sinsink,cossink(fr

e

2

cosjk)z,y,x(E 00

rjk0

0

ϕθϕθπ

θ≅

− rr

Questa espressione, in cui θ e ϕ sono le note coordinate sferiche, mostra

sostanzialmente che il campo elettrico prodotto dall’apertura in zona lontana è dato dal prodotto di un termine costante jk0/2π, del classico termine di radiazione

r/e rjk0− e di un termine banalmente ottenuto dall’espressione di )k,k(f YX

r

semplicemente sostituendo

ϕθ=ϕθ=

sinsinkk

cossinkk

0Y

0X

Si tratta di un campo che si propaga radialmente allontanandosi dalla sorgente.

Tornando adesso per un attimo al problema di calcolare )k,k(f YXt

r, bisogna tener

conto che il corrispondente integrale rispetto ad x e ad y va calcolato solo per quelle porzioni del piano z=0 in cui il campo elettrico tangenziale risulta non nullo (1):

∫∫=a

YX

S

yjkxjkaYXt dxdyee)y,x(E)k,k(f

rr

Allora, per una apertura che è molto larga in termini di lunghezze d’onda, la

funzione )k,k(f YXt

r risulta fortemente direttiva nella direzione dell’asse z e, in

1 Ad esempio, se l’apertura si trova su un piano metallico perfettamente conduttore, il campo elettrico tangenziale è non nullo in corrispondenza dell’apertura, mentre invece è nullo altrove. Se invece non c’è un piano metallico, allora il campo può essere non nullo anche esternamente all’apertura, nel qual caso i discorsi che si stanno facendo non sono più perfettamente validi. Essi rappresentano fondamentalmente una approssimazione della situazione reale limitatamente al lobo principale (θ=0).



8

questa direzione, risulta anche fZ molto piccolo e cosθ≅1. Da qui deduciamo che il

campo irradiato dipende essenzialmente dalla funzione )k,k(f YXt

r, ossia dalle

componenti x ed y di )k,k(f YX

r e quindi è legato direttamente alla trasformata di

Fourier del campo in corrispondenza dell’apertura. Non solo, ma osserviamo anche un’altra cosa: abbiamo visto prima che il fatto di

avere un campo elettrico con divergenza nulla impone che risulti 0k)k,k(f YX =•rr

;

questo significa che la funzione )k,k(f YX

r non ha componente nella direzione di

propagazione kr

, ossia che, nella regione di campo lontano, il campo è di tipo TEM, con la componente Ex dipendente solo da fX e la componente Ey dipendente solo da fY, dove fX ed fY sono le trasformate di Fourier monodimensionale del campo in corrispondenza dell’apertura

EEEsssppprrreeessssssiiiooonnneee dddeeelll cccaaammmpppooo (((iiinnn zzzooonnnaaa lllooonnntttaaannnaaa))) iiinnn cccoooooorrrdddiiinnnaaattteee sssfffeeerrriiiccchhheee Risulta, in generale, conveniente esprimere il campo in termini di coordinate

sferiche (tranne nel caso in cui si considera la direzione coincidente con l’asse z). Vediamo allora di fare i necessari passaggi per giungere dall’espressione del campo in coordinate cartesiane a quella del campo in coordinate sferiche.

Al fine di condurre un discorso il più generale possibile, partiamo dall’espressione

)sinsink,cossink(fr

e

2

cosjk)z,y,x(E 00

rjk0

0

ϕθϕθπ

θ≅

− rr

dove naturalmente

ZYXZYYXZXYXXYX a)k,k(fa)k,k(fa)k,k(f)k,k(frrrr

++=

Dobbiamo sostanzialmente passare dall’espressione di )k,k(f YX

r in coordinate

cartesiane a quella in coordinate sferiche. Andiamo allora ad esprimere i versori delle direzioni cartesiane in funzione di quelli delle “direzioni sferiche”:

x

y

ϕ

y

θ⊥a

r

rar

piano z passante per P

P



9

Abbiamo intanto che

( )

θ−θ=

ϕ+ϕ=

ϕ+ϕ−=ϕ+ϕ−°−=

θ

⊥ϕ

⊥ϕ⊥ϕ

sinacosaa

sinacosaa

cosasinacosa90cosaa

rZ

Y

X

rrr

rrr

rrrrr

dove abbiamo indicato con ⊥a

r il versore ortogonale ad ϕa

r. Esso ha perciò

espressione θ+θ= θ⊥ sinacosaa r

rrr

Sostituendo, concludiamo che

( )( )

θ−θ=

ϕθ+θ+ϕ=

ϕθ+θ+ϕ−=

θ

θϕ

θϕ

sinacosaa

sinsinacosacosaa

cossinacosasinaa

rZ

rY

rX

rrr

rrrr

rrrr

Queste sono dunque le formule che ci consentono di passare dalle coordinate

cartesiane a quelle sferiche. Andando allora nell’espressione di )k,k(f YX

r, otteniamo

quanto segue:

ϕ+ϕ−=

θ−ϕθ+ϕθ=θ+ϕθ+ϕθ=

ϕ

θ

cosfsinff

sinfsincosfcoscosff

cosfsinsinfcossinff

YX

ZYX

ZYXr

Del resto noi sappiamo che solo due delle tre componenti di )k,k(f YX

r sono

indipendenti, in quanto vale la relazione

0fkfkfk ZZYYXX =⋅+⋅+⋅

Da qui ricaviamo che Z

YYXXZ k

fkfkf

⋅+⋅−= e quindi, sostituendo nelle tre

componenti sferiche di )k,k(f YX

r, otteniamo

ϕ+ϕ−=

θ⋅+⋅

+ϕθ+ϕθ=

θ⋅+⋅

−ϕθ+ϕθ=

ϕ

θ

cosfsinff

sink

fkfksincosfcoscosff

cosk

fkfksinsinfcossinff

YX

Z

YYXXYX

Z

YYXXYXr

A questo punto, ci ricordiamo che la funzione )k,k(f YX

r compare, nell’espressione

del campo elettrico irradiato in zona lontana, con gli argomenti dati da



10

ϕθ=ϕθ=

sinsinkk

cossinkk

0Y

0X

Sostituendo allora anche queste condizioni, otteniamo

ϕ+ϕ−=

θ⋅ϕθ+⋅ϕθ

+ϕθ+ϕθ=

θ⋅ϕθ+⋅ϕθ

−ϕθ+ϕθ=

ϕ

θ

cosfsinff

sink

fsinsinkfcossinksincosfcoscosff

cosk

fsinsinkfcossinksinsinfcossinff

YX

Z

Y0X0YX

Z

Y0X0YXr

Non solo, ma ricordando che 2

Y2X

20

2Z kkkk −−= e sostituendo in questa espressione le

rispettive espressioni di kX e kY riportate poco fa, si trova facilmente che θ= coskk 0Z . Sostituendo quest’ultima condizione e facendo gli opportuni passaggi matematici, troviamo i seguenti risultati:

ϕ+ϕ−=

ϕ+ϕ==

ϕ

θ

cosfsinff

cosfsinff

0f

YX

XY

r

Queste espressioni mostrano essenzialmente due proprietà della funzione

)k,k(f YX

r, e quindi anche del campo irradiato (in zona lontana): essa non presenta la

componente radiale (e lo sapevano già, in base alla condizione 0k)k,k(f YX =•rr

) e le componenti θ e ϕ non dipendono da fZ, ma solo da fX e fY, che dipendono a loro volta dalle corrispondenti componenti del campo in corrispondenza dell’apertura.

Andando adesso a sostituire nell’espressione del campo irradiato, concludiamo che

( ) ( )[ ]ϕθ

−

⋅θϕ−ϕ+⋅ϕ+ϕπ

= acossinfcosfasinfcosfr

e

2

jk)r(E XYYX

rjk0

0 rrrr

Infine, ricordiamo che, una volta noto il campo elettrico in zona lontana, il campo

magnetico si otterrà con la “classica” relazione

Ea1

H r0

rrr×

η=



11

DDDiiimmmooossstttrrraaazzziiiooonnneee dddeeelll lll ’’’eeesssppprrreeessssssiiiooonnneee dddeeelll cccaaammmpppooo iiinnn zzzooonnnaaa lllooonnntttaaannnaaa Vediamo ora di dimostrare rigorosamente perché l’integrale che compare nella

espressione

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

⋅−

π= YX

rkjYX2 dkdke)k,k(f

4

1)z,y,x(E

rrrr

porta, in zona lontana, alla seguente espressione del campo irradiato:

)sinsink,cossink(fr

e

2

cosjk)z,y,x(E 00

rjk0

0

ϕθϕθπ

θ≅

− rr

(vedere sul COLLIN)



12

RRRaaadddiiiaaazzziiiooonnneee dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa rrreeettttttaaannngggooolllaaarrreee Cominciamo ad esaminare alcuni casi pratici di antenne ad apertura. Un caso

particolarmente semplice è quello di una apertura, sempre posizionata nel piano z=0, di forma rettangolare, con dimensione 2a lungo x e dimensione 2b lungo y:

x

y

z

Sa

Ea r

θ

ϕ2a

2b

Assumiamo che il campo elettrico in tale apertura sia costante sul valore E0 e

diretto parallelamente ad x (per cui è un campo tangenziale): scriviamo perciò che

≤≤

=altrimenti 0

b|y| , a|x| aE)y,x(E X0

a

rr

Sulla base di questa informazione, possiamo immediatamente calcolare la

componente tangenziale della funzione )k,k(f YX

r, tramite una semplice trasformata

di Fourier bidimensionale:

ak

)aksin(a2

bk

)bksin(b2aEdx]e[D

ik

1dy]e[D

jk

1aE

dxedyeaEdxdyeeaEdxdyee)y,x(E)k,k(f

X

X

Y

YX0

a

a

b

b

xjk

X

yjk

YX0

a

a

b

b

xjkyjkX0

a

a

b

b

yjkxjkX0

yjkxjkaYXt

XY

XYYXYX

⋅⋅=⋅⋅=

=⋅⋅=⋅==

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+∞

∞−

+∞

∞−

rr

rrrr

In base a questa espressione, è evidente che )k,k(f YXt

r presenta solo la

componente lungo x ed è un risultato intuitivo in quanto anche il campo in corrispondenza dell’apertura ha solo la componente x.

Nota la funzione )k,k(f YXt

r, possiamo andare a calcolare il campo lontano,

tenendo conto che )k,k(f YXX

r ha l’espressione trovata poco fa, mentre )k,k(f YXY

r è

nulla: abbiamo perciò che



13

( ) ( )[ ]

[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

⋅θϕ−⋅ϕ⋅ϕθ

⋅ϕθ⋅ϕθ

⋅ϕθπ

=

=⋅θϕ−⋅ϕ⋅ϕθ

⋅ϕθ⋅

⋅ϕθ⋅ϕθ

⋅⋅π

=

=⋅θϕ−⋅ϕπ

=

=⋅θϕ−ϕ+⋅ϕ+ϕπ

=

acossinacosacossink

acossinksin

bsinsink

bsinsinksin

r

eabEk2j

acossinacosacossink

acossinksina2

bsinsink

bsinsinksinb2E

r

e

2

jk

acossinfacosfr

e

2

jk

acossinfcosfasinfcosfr

e

2

jk)r(E

0

0

0

0rjk

00

0

0

0

00

rjk0

XX

rjk0

XYYX

rjk0

0

0

0

0

rr

rr

rr

rrrr

dove evidentemente, in base alle considerazioni fatte nel paragrafo precedente, abbiamo fatto le sostituzioni

ϕθ=ϕθ=

sinsinkk

cossinkk

0Y

0X

Generalmente, si fanno anche le seguenti due posizioni:

bsinsinkbkv

acossinkaku

0Y

0X

⋅ϕθ==⋅ϕθ==

per cui concludiamo che il campo irradiato dall’apertura rettangolare in zona lontana assume l’espressione

( ) ( )[ ]ϕθ

−

⋅θϕ−⋅ϕπ

= acossinacosu

usin

v

vsin

r

eabEk2j)r(E

rjk00

0 rrrr

Questa espressione risulta molto simile a quella che viene fuori da una schiera

bidimensionale di tipo broadside ed infatti i pattern di radiazione dei due casi sono molto simili nella regione visibile dello spazio u,v, che corrisponde a |u|≤≤k0a e |v|≤≤k0b. Nel caso della schiera, il pattern di radiazione risulta essere una funzione periodica, mentre invece il pattern di una antenna ad apertura presenta lobi secondari sempre più piccoli man mano che u e v si muovono all’interno della regione del non visibile.

Consideriamo adesso il valore del campo in corrispondenza di ϕϕ=0 (cioè nel piano [x,z], che è in questo caso un piano E-principale):

( )

θ

−

⋅θ

θπ

= asinak

sinaksin

r

eabEk2j)r(E

0

0rjk

000 rrr

Si tratta evidentemente di un campo con la sola componente lungo θ. Il profilo del

modulo di tale campo è riportato nella figura seguente, in cui si è posto u=k0asinθθ:



14

u

1

π− π+ +k0a-k0a

regionevisibile

0.22

Possiamo calcolare l’apertura angolare del lobo principale nel piano [x,z], in base

ai due punti u=±π in cui tale lobo va a zero:

π=θ=∆Ψ→

π=θ→π=θ=

aksinar22

aksinarsinaku

0Z

0ZZ0Z

Dato che k=2π/λ, dove λ è la lunghezza d’onda di lavoro, concludiamo che

λ

⋅=∆Ψa2

sinar2xz

Supponendo che a>>λλ , questa espressione può essere approssimata direttamente

con λλ/a, il che ci dice che l’antenna è tanto più direttiva quanto maggiore è la dimensione a rispetto a λ.

Possiamo ora seguire un discorso del tutto analogo per studiare l’andamento del campo nel piano [y,z], corrispondente cioè a ϕϕ=ππ/2: in questo caso, considerando che 0acossinku 0 =⋅ϕθ= e θ=⋅ϕθ= sinbkbsinsinkv 00 , si ottiene

( )

ϕ

−

⋅θθ

θπ

−= acossinbk

sinbksin

r

eabEk2j)r(E

0

0rjk

000 rrr

Si tratta di un campo con la sola componente ϕ, il cui modulo presenta una

differenza sostanziale con quello nel piano [x,z]: infatti, è ancora presente un termine del tipo sin(x)/x, ma è anche presente un termine moltiplicativo cosθ, che fornisce quindi una modulazione del campo non presente nel piano [x,z].

Per ricavare l’apertura angolare del lobo principale nel piano [y,z], possiamo dunque cercare i punti in cui si annulla il lobo principale, ossia i primi due zeri

della funzione ( )

θθ

θcos

sinbk

sinbksin

0

0 . Il termine del tipo sin(x)/x presenta i primi due zeri

per k0bsinθ=±π, mentre invece il termine cosθ presenta i primi due zeri per θ=±π/2. Le due condizioni da imporre sono perciò

π=θ→π=θ

bksinarsinbk

01,Z1,Z0

22,Z

π=θ



15

Dobbiamo vedere quale dei due zeri compare prima: ad esempio, verifichiamo se è soddisfatta la disuguaglianza θZ,1≤θZ,2, nel qual caso l’apertura sarà data da 2θZ,1, mentre invece, in caso contrario, sarà data da 2θZ,2. Abbiamo che

b212

sinbk2bk

sinar /2k

002,Z1,Z

0 ≤λ →=π

≤π

→π

≤

π→θ≤θ λπ=

Dato che, in generale, si suppone 2b>>λ, deduciamo che l’apertura angolare del

lobo principale nel piano [y,z] vale

λ

⋅=∆Ψb2

sinar2yz

L’altro piano di interesse è quello dell’apertura, ossia il piano [x,y],

corrispondente a z=0 e quindi anche a θθ=ππ/2: in tale piano, il campo risulta essere

( ) ( )θ

−

⋅ϕ⋅ϕ

⋅ϕ⋅ϕ

⋅ϕπ

= acosacosk

acosksin

bsink

bsinksin

r

eabEk2j)r(E

0

0

0

0rjk

000 rrr

Il campo presenta solo la componente ϕ, ossia è parallelo al piano [x,y], come era

ovvio che fosse in base alle ipotesi fatte. Passando invece adesso ad una analisi più generale, andiamo a caratterizzare

questa antenna in termini di antenna trasmittente. Ci interessiamo perciò all’intensità di radiazione, al guadagno, alla direttività ed alla potenza irradiata.

Ricordiamoci, ad esempio, che la direttività (cioè il massimo guadagno) è

irr

max

P

I4D

⋅π=

dove l’intensità di radiazione è data da 2

att rpI ⋅= : dato che

r

1abEk2E 00

max π=

r

deduciamo che

( ) ( )200

0

2

max Ekab4

I ⋅η

=

Ci resta da calcolare la potenza irradiata e possiamo usare la classica formula

valida per le onde piane, che in questo caso ci porta a scrivere che

( )ab4E

2

1P

0

20

irr ⋅η

=

dove ovviamente 4ab è l’area dell’apertura.

Andando quindi nell’espressione della direttività, concludiamo che



16

( ) ( )

( )( ) ( )

23

2

220

0

20

200

0

2

irr

max ab432

4ab48kab48

ab4E

2

1

Ekab4

4

P

I4D

λ⋅π=

λπ

⋅⋅π=⋅⋅π=⋅

η

⋅η

⋅π=

⋅π=

A prescindere dal risultato matematico in sé, questa espressione mostra che la

direttività è maggiore se l’apertura è più estesa (cioè se è maggiore la sua area 4ab).

Anziché condurre un discorso così rigoroso, avremmo anche potuto fare una

semplice stima della direttività, tramite la formula approssimata xzyz

4

∆Ψ⋅∆Ψπ

già

usata per altre antenne. Anche con l’applicazione di questa formula, si trova la stessa conclusione, ossia che la direttività è tanto maggiore quanto maggiore è l’estensione dell’apertura.

RRRaaadddiiiaaazzziiiooonnneee dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa ccciiirrrcccooolllaaarrreee Consideriamo adesso una apertura circolare, di raggio a, posta sempre nel

piano z=0:

x

y

z

Sa

Ear

θ

ϕ

a

Supponiamo ancora il campo diretto lungo x e uniforme su tutta l’apertura, il

che significa che

≤+

=altrimenti 0

ay x aE)y,x(E

222X0

a

rr

Andiamo allora a calcolare la componente tangenziale della funzione )k,k(f YX

r,

come abbiamo fatto nel precedente paragrafo: cominciamo perciò a scrivere che

∫ ∫∫ ∫ ⋅==+∞

∞−

+∞

∞− Sa

yjkxjkX0

yjkxjkaYXt dxdyeeaEdxdyee)y,x(E)k,k(f YXYX

rrr

Essendo Sa una circonferenza, ci conviene introdurre le coordinate cilindriche

ρρ,ϕϕ’ al posto di quelle cartesiane: sappiamo che



17

'siny

'cosx

yx 22

ϕρ=ϕρ=

+=ρ

per cui

∫ ∫π

ϕρϕρ ρϕρ⋅=a

0

2

0

'sinjk'cosjkX0YXt d'deeaE)k,k(f YX

rr

Sappiamo inoltre che

ϕθ=ϕθ=

sinsinkk

cossinkk

0Y

0X

per cui quella funzione assume l’espressione

∫ ∫π

ϕϕθρϕϕθρ ρϕρ⋅=ϕθϕθa

0

2

0

'sinsinsinkj'coscossinkjX000t d'deeaE)sinsink,cossink(f 00

rr

Per risolvere l’integrale così ottenuto, si deve necessariamente ricorrere alle

funzioni di Bessel di primo tipo e di ordine 0 ed 1, che indichiamo rispettivamente con J0(x) e J1(x): si trova infatti, sfruttando queste funzioni, che

( ) ( )θρθρ

⋅π=ρρθρπ⋅=ϕθϕθ ∫ sink

sinkJaEa2dsinkJ2aE)sinsink,cossink(f

0

01X0

2a

0

00X000t

rrr

Senza scendere nei dettagli analitici, riportiamo direttamente l’andamento del

modulo del campo che si ottiene, a partire da quella espressione, nel piano [x,z]:

u

1

+k0a-k0a

regionevisibile

0.13

3.83

L’andamento è del tutto analogo a quello trovato per l’apertura rettangolare, con

due differenze fondamentali: la prima è che il primo lobo secondario è meno pronunciato rispetto a quello dell’apertura rettangolare (0.13 contro 0.22); la seconda è che il lobo principale nel piano è leggermente più esteso, in quanto si annulla in ±3.832 e non più in ±π (cioè ±3.414). In particolare, il valore u=3.832 è quello del primo zero della funzione di Bessel J1. Andando a calcolare l’apertura angolare del lobo principale, abbiamo dunque quanto segue:



18

πλ⋅

=

=θ=∆Ψ→

=θ→=θ=

a2

832.3sinar2

ak

832.3sinar22

ak

832.3sinar832.3sinaku

0Zxz

0ZZ0Z

Ritenendo ancora una volta a>>λ, possiamo approssimare il Seno con il suo

argomento, in modo da scrivere che

a2

832.3xz

λπ

≅∆Ψ

Si trova inoltre anche in questo caso una direttività Dmax proporzionale all’area πa2

dell’apertura.

RRRaaadddiiiaaazzziiiooonnneee dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa rrreeettttttaaannngggooolllaaarrreee cccooonnn cccaaammmpppooo aaa fffaaassseee lll iiinnneeeaaarrreee

Torniamo adesso al caso dell’apertura rettangolare, supponendo però questa volta che il campo, pur continuando ad avere un modulo costante su tutta l’apertura, abbia una variazione di fase lineare sia lungo x sia lungo y. In termini analitici, ciò significa porre

≤≤

=β−α−

altrimenti 0

b|y| , a|x| aeeE)y,x(E X

yjxj0

a

rr

Calcoliamo come al solito la funzione )k,k(f YX

r:

( )( )( )

( )( )( )ak

aksina2

bk

bksinb2aEdxeedyeeaE

dxdyeeeeaEdxdyee)y,x(E)k,k(f

X

X

Y

YX0

a

a

b

b

xjkxjyjkyjX0

a

a

b

b

yjkxjkyjxjX0

yjkxjkaYXt

XY

YXYX

α−α−

⋅β−

β−⋅=⋅⋅=

=⋅==

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫+

−

+

−

α−β−

+

−

+

−

β−α−+∞

∞−

+∞

∞−

rr

rrr

Confrontando questa espressione con quella ottenuta in assenza di variazioni di

fase, si deduce che, rispetto a quel caso, adesso abbiamo semplicemente kY-β al posto di kY e kX-α al posto di kX.

Andando allora nell’espressione del campo irradiato in zona lontana, otteniamo

( ) ( )[ ]

[ ]( )( )

( )( )( )

( ) [ ]( )( )

( )( )( )

( ) [ ]ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

⋅θϕ−⋅ϕα−

α−β−

β−π

=

=⋅θϕ−⋅ϕα−

α−⋅

β−β−

⋅⋅π

=

=⋅θϕ−⋅ϕπ

=


=

acossinacosak

aksin

bk

bksin

r

eabEk2j

acossinacosak

aksina2

bk

bksinb2E

r

e

2

jk

acossinfacosfr

e

2

jk


e

2

jk)r(E

X

X

Y

Yrjk

00

X

X

Y

Y0

rjk0

XX

rjk0

XYYX

rjk0

0

0

0

0

rr

rr

rr

rrrr



19

Facciamo le seguenti posizioni:

β=⋅ϕθ==

α=

⋅ϕθ==

bv

bsinsinkbkv

au

acossinkaku

0

0Y

0

0X

Così facendo, possiamo concludere che il campo vale

( ) ( )[ ]ϕθ

−

⋅θϕ−⋅ϕ−

−−

−π

= acossinacosuu

uusin

vv

vvsin

r

eabEk2j)r(E

0

0

0

0rjk

000 rrrr

Considerando allora lo spazio u,v, è evidente che la distribuzione del campo è la

stessa vista in precedenza, salvo il fatto che la posizione del massimo non è più u=v=0, bensì u=u0 e v=v0.

Se allora restringiamo l’osservazione allo spazio del visibile, il lobo principale non si trova più sull’asse z, ma sulla direzione individuata dalle condizioni

β==⋅ϕθα==⋅ϕθ

bvbsinsink

auacossink

00

00

Queste due relazioni possono essere riscritte anche nella forma

0

22

ksin

tan

β+α=θ

αβ

=ϕ

In base a queste espressioni, è evidente che possiamo posizionare il lobo

principale (e quindi il massimo di radiazione) in una qualsiasi direzione semplicemente controllando la variazione (lineare) di fase del campo nell’apertura.

Ad esempio, supponiamo di prendere β=0 (cioè di lasciare nulla la fase del campo lungo l’asse y): in questo caso, otteniamo

α=θ=ϕ

→

α=θ=ϕ

)arcsin(

0

sin

0tan

Queste equazioni dicono che il massimo si trova nel piano [x,z] (dato che ϕ=0), in

corrispondenza di un angolo θ dipendente dal valore di α. Possiamo anche valutare ancora una volta l’ampiezza angolare del lobo

principale, seguendo il “procedimento solito”:

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) →θ

πθ±=θ−θ→πθ±=θθ−θ→

→πθ±θ=θθ−θ+θ→πθ±=θθ−θ+θ→

→π±=θ→π±=−θ→π±=− θ

00

Z0ZZ00Z0

Z0000Z00Z000Z00

a attornoTaylor di seriein espansione una usando0Z00Z00Z

cosakcosak

sinakcossinakucossinak

usinakusinakuu 0



20

( )00

Z0Z cosak

22θ

πθ=θ−θ=∆Ψ

dove osserviamo che l’ espansione in serie di Taylor utilizzata è stata centrata sull’angolo θ0 corrispondente al punto u0=k0asinθ in corrispondenza del quale si trova il massimo di radiazione.

CCCaaammmpppooo iiirrrrrraaadddiiiaaatttooo dddaaa uuunnnaaa aaapppeeerrrtttuuurrraaa cccooonnn cccaaammmpppooo rrraaassstttrrreeemmmaaatttooo In molte applicazioni di antenne, è desiderabile avere ampiezze dei lobi secondari

molto piccole al fine di ridurre gli effetti di interferenza tra segnali diversi. Infatti, se una antenna riceve un forte segnale incidente interferente lungo una direzione corrispondente ad un lobo secondario, tale segnale andrà a interagire con il segnale utile (più debole) ricevuto nella direzione del lobo principale. Allora, è spesso necessario ridurre l’ampiezza dei lobi secondari almeno di 30 dB rispetto a quella del lobo principale. Tanto per avere una idea concreta, si è visto in precedenza che l’apertura rettangolare, illuminata da un campo tangenziale uniforme, ha il primo lobo secondario con ampiezza pari al 22% di quella del lobo principale, ossia 13 dB al di sotto di quest’ultimo. Nel caso dell’apertura circolare, abbiamo invece visto che la differenza è maggiore, circa 17.6 dB (il lobo secondario è il 13% di quello primario), ma non di molto. Bisogna allora trovare il modo di aumentare ulteriormente questa differenza.

Quando abbiamo studiato le schiere, abbiamo osservato come minori ampiezze dei lobi secondari si possano ottenere alimentando le antenne più esterne con correnti meno intense di quelle con cui vengono alimentate le antenne centrali. In modo del tutto analogo, anche nel caso delle aperture si possono trarre vantaggi, in termini di ampiezza dei lobi secondari, riducendo l’intensità del campo in corrispondenza degli estremi (si parla di alimentazione rastremata). A fronte di questo, però, si paga in termini di maggiore larghezza del lobo principale (quindi antenne meno direttive da questo punto di vista) e di minore direttività, il che equivale, in una sola parola, ad una minore efficienza di utilizzazione dell’area disponibile.

Per renderci conto di questo fatto, consideriamo nuovamente l’apertura rettangolare, ma ipotizziamo che il modulo del campo sia linearmente decrescente dagli estremi verso il centro; ad esempio, ipotizziamo una distribuzione triangolare del campo nell’apertura lungo la direzione x, secondo la seguente legge:

≤≤

−

=altrimenti 0

b|y| , a|x| aa

|x|1E

)y,x(E X0a

rr

Andiamo allora a calcolare la funzione )k,k(f YXt

r, tramite la classica trasformata

di Fourier bidimensionale:



21

2

X

X

Y

YX0

a

a

b

b

xjkyjkX0

a

a

b

b

yjkxjkX0

yjkxjkaYXt

2

ak

2

aksin

abk

)bksin(b2aE...dxe

a

|x|1dyeaE

dxdyeea

|x|1aEdxdyee)y,x(E)k,k(f

XY

YXYX

⋅⋅==

−⋅⋅=

=

−⋅==

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+∞

∞−

+∞

∞−

rr

rrr

Facendo le solite posizioni

bsinsinkbkv

acossinkaku

0Y

0X

⋅ϕθ==⋅ϕθ==

e sostituendo nell’espressione del campo irradiato in zona lontana, otteniamo

( ) ( )[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

ϕθ

−

⋅θϕ−⋅ϕ

⋅⋅π

=

=⋅θϕ−⋅ϕ

⋅⋅π

=

=⋅θϕ−⋅ϕπ

=⋅θϕ−⋅ϕπ

=


=

acossinfacos

2

u2

usin

v

)vsin(

r

eabEjk

acossinfacos

2

u2

usin

av

)vsin(b2E

r

e

2

jk

acossinfacosfr

e

2

jkacossinfacosf

r

e

2

jk


e

2

jk)r(E

X

2

rjk00

X

2

0

rjk0

XX

rjk0

XX

rjk0

XYYX

rjk0

0

0

00

0

rr

rr

rrrr

rrrr

La prima osservazione che possiamo fare su questa espressione è che, nel punto di

massimo u=v=0, l’ampiezza del campo risulta essere abE0k0/rπ al posto di 2abE0k0/rπ come avevamo trovato per l’apertura rettangolare uniformemente illuminata. Questa riduzione è dovuta appunto all’uso di una distribuzione triangolare del campo nell’apertura.

Per quanto riguarda, invece, il pattern di radiazione, il pattern lungo la coordinata

u coinvolge la funzione ( )[ ]2)2/u/(2/usin e non più ( ) u/usin ; questo comporta due conseguenze: la prima è che il lobo principale si allarga, in quanto i punti di zero sono adesso a distanza doppia rispetto alla funzione ( ) u/usin ; la seconda è che l’ampiezza del primo lobo secondario passa da 13 dB a 26 dB al di sotto di quella del lobo principale.

Questo esempio mostra dunque come la tecnica di rastremare l’alimentazione possa effettivamente produrre lobi secondari meno pronunciati e quindi maggiore robustezza dell’antenna (usata in ricezione) all’interferenza.

Autore: Sandro Petrizzelli e-mail: [email protected]

sito personale: http://users.iol.it/sandry

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