2º Teorema de Castigliano - ocw.ehu.eus

Indice del capítulo 1

2º Teorema de Castigliano

El 2º Teorema de Castigliano permite calcular giros y desplazamientos en cualquier lugar

Durante la exposición se intentará relacionar visualmente las operaciones del Teorema con el modelo con objeto de adquirir un conocimiento cualitativo de estas operaciones

Las figuras de los ejemplos que acompañan a esta exposición son muy sencillas con la intención de reducir las operaciones y fijar así la atención en el procedimiento

Definición

Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:

Definición

ni1 P,..,P,..,P

Definición

nPSea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:

ni1 P,..,P,..,P

Definición

La energía de deformación acumulada vale:

ni1 P,..,P,..,P

)P,..,P,..,P(fUW ni1INT

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

“La derivada parcial de esta energía respecto de cualquiera de las acciones exteriores coincide con el desplazamiento de dicha acción”, es decir:

Siempre se cumple que:

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

kP Acción externa sobre la estructura

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

Desplazamiento total de la acción en función de P

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

Esta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

KEsta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

ni1 P,..,P,..,P

dxM 2L

Definición

Repetir la secuencia

ni1 P,..,P,..,P

Definición

Casos2º Teorema de Castigliano

Definición

Si la acción es una P

Interpretación del Teorema

Definición

Caso generalInterpretación del Teorema

Definición

Caso general

Caso generalEn una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk

Caso general

Expresión del Teorema cuando la acción es una carga :

En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk

Caso generalEn una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk

Caso general

queda de la siguiente manera para las estructuras lineales:

Caso general

Por ser la ecuación de una recta, puede escribirse de forma:

Caso general

El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP

Caso general

Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K

Estructura formada por tramos lineales

Caso general

Estructura equivalente de rigidez K

Caso general

kPPkPk

Caso general

Recta que no pasa por el (0,0)

kPPkPk

Caso general

El desplazamiento de está expresado en forma de una serie de términos, que pueden agruparse de dos maneras diferentes:

Caso general

En función de las deformaciones de los tramos

ni1Pk .........

Caso general

ni1Pk .........

Caso general

Contribución en el desplazamiento de por la deformación de un tramo i

ni1Pk .........

Caso general

En función de las deformaciones por cada una de las acciones exteriores

ni1Pk .........

Caso general

mi1Pk ´.....´....´

Contribución en el desplazamiento de por la deformación de la estructura al actuar una acción i

ni1Pk .........

mi1Pk ´.....´....´

Caso general

Contribución en el desplazamiento de por la deformación de la estructura al actuar una acción i

ni1Pk .........

mi1Pk ´.....´....´

Caso general

Definición

Caso particular

Definición

Caso particular

Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior

Caso particular

La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron

Caso particular

Estructura formada por

tramos lineales

Caso particular

tramos lineales

Caso particular

Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P

tramos lineales

Caso particular

tramos lineales

Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo desplazamiento en función de P

Caso particular

tramos lineales

Caso particular

tramos lineales

Por ambos caminos se obtiene la misma recta que

pasa por el (0,0)

Caso particular

tramos lineales

pasa por el (0,0)P

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Interpretación física

Caso particular

Definición

Desplazamiento en función de las deformaciones

Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores

El desplazamiento de una acción cualquiera

vale la siguiente expresión:

Esta expresión está formada por una serie de términos

Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:

ni1Pk ....

Contribución del tramo i en el desplazamiento de

ni1Pk ....

0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable

ni1Pk ....

0i 0i Cuando el tramo se considera deformable

ni1Pk ....

iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP

ni1Pk ....

= desplazamiento por la deformación del tramo 1

= desplazamiento por la deformación del tramo i

ni1Pk ....

= desplazamiento por la deformación del tramo n

ni1Pk ....

Supóngase que corresponde a

un tramo indeformable

ni1Pk ....

Desplazamiento simplificado

ni1Pk ....

Desplazamiento simplificado

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores

Desplazamiento en función de las acciones exteriores

El desplazamiento de una acción cualquiera

Esta expresión está formada por una serie de términos

Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:

mi1Pk ....

iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP

mi1Pk ....

0i 0i Cuando se desee eliminar

la influencia de la acción i

en el desplazamiento de kP

mi1Pk ....

0i Cuando se desee considerar

Cuando se desee eliminar

mi1Pk ....

Cuando se desee considerar

1 = desplazamiento por la carga 1

mi1Pk ....

i = desplazamiento por la carga i

mi1Pk ....

m = desplazamiento por la carga m

mi1Pk ....

Eliminación del desplazamiento

por km

en el desplazamiento de

= desplazamiento por la carga m

mi1Pk ....

Desplazamiento de sin considerar

mi1Pk ....

Desplazamiento de sin considerar

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Relación con la energía de deformación

Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:

Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada

En este caso, la energía de deformación será variable y valdrá:

dx)P(T

dx)P(MU

dx)P(T

dx)P(MU

Esta expresión es una parábola de 2º grado positiva de eje de simetría vertical que no pasa por el (0,0)

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

deformación del sistema

Energía de deformación del

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Derivando la parábola respecto de se obtiene el desplazamiento de esta acción:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Esta expresión desarrollada vale:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada que, representada en función de , es la ecuación

de una recta que no pasa por el (0,0)kP

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Desplazamiento de P

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Desplazamiento de P

El signo positivo de P coincide con el sentido de P que se ha tomado al derivar la energía de deformación

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

Caso 1

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

negativo

Caso 1

negativo

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

negativo

Caso 1

negativo

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

negativo

Caso 1

negativo

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

Caso 2

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

Este desplazamiento en la dirección de es el producido por el resto de las acciones exteriores

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Caso 3

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 3

negativo

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 3

negativo

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 3

negativo

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Caso 4

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 4

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 4

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 4

Casos posibles:

Este caso sucede cuando es la reacción exterior hiperestática de una estructura sin asientos

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

Caso 5

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 5

positivo

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 5

positivo

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 5

positivo

Casos posibles:

UEnergía de

sistema

dx)P(T

dx)P(MU

positiva

Caso 5

positivo

Casos posibles:

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Si la acción es un M

Caso particular

Definición

Interpretación del Teorema

Definición

Caso particular

Caso general

Caso generalCuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk

Caso general

La expresión del Teorema de Castigliano cuando la acción es un momento puntual

Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk

Caso general

queda expresada de la siguiente manera para las estructuras lineales:mk

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

Por ser la ecuación de una recta, puede escribirse de forma:

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por km

Caso general

k mKEA

El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por

Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

Estructura equivalente

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

El giro de está expresado en forma de una serie de términos, que pueden agruparse de dos maneras diferentes:

Caso general

k mKEA

Caso general

k mKEA

En función de las deformaciones de los tramos de la estructura

Caso general

k mKEA

ni1mk .........

Caso general

k mKEA

ni1mk ......... Contribución en el giro de por la deformación de un tramo i

Caso general

k mKEA

En función de las deformaciones de la estructura por cada una de las acciones exteriores

Caso general

k mKEA

ni1mk ´.....´....´

Caso general

k mKEA

ni1mk ´.....´....´ Contribución en el giro de por la deformación de la estructura al actuar una acción i

Caso general

k mKEA

ni1mk ´.....´....´ Contribución en el giro de por la deformación de la estructura al actuar una acción i

Definición

Caso particular

Definición

Caso particular

Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior

Caso particular

tramos lineales

Caso particular

tramos lineales

Caso particular

Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m

tramos lineales

Caso particular

tramos lineales

Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo giro en función de m

Caso particular

tramos lineales

Caso particular

tramos lineales

pasa por el (0,0)

Caso particular

tramos lineales

KPor ambos caminos se obtiene la misma recta que

pasa por el (0,0)m

Caso particular

tramos lineales

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Caso particular

Giro en función de las deformaciones

El giro de un momento cualquiera

U Esta expresión está formada por una suma de términos

ni1mk ....

iContribución del tramo i en el giro de

ni1mk ....

Cuando el tramo se considera indeformable

iContribución del tramo i en el giro de km

ni1mk ....

Cuando el tramo se considera deformable

ni1mk ....

ni1mk .... i

ni1mk ....

1 = giro por la deformación del tramo 1

ni1mk ....

= giro por la deformación del tramo i

ni1mk ....

= giro por la deformación del tramo n

ni1mk ....

Giro simplificado

ni1mk ....

Giro simplificado

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Caso particular

Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores

Giro en función de las acciones exteriores

El giro de un momento cualquiera

U Esta expresión está formada por una suma de términos

mi1mk ....

mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de

mi1mk ....

Contribución de la acción i en el giro de

mi1mk ....

Contribución de la acción i en el giro de

1 = giro por la carga 1

= giro por la carga i

= giro por la carga m

Eliminación del giro por km

Giro simplificado

Caso particular

Definición

Caso particular

Definición

Caso particular

Interpretación físicaRelación con la energía de deformación

En este caso, la energía de deformación será variable y valdrá:

dx)m(T

dx)m(MU

Esta expresión es una parábola de 2º grado positiva, de eje de simetría vertical y que no pasa por el (0,0)

dx)m(T

dx)m(MU

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

Derivando la parábola respecto de se obtiene el desplazamiento de esta acción:

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Esta expresión desarrollada vale:

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

que, representada en función de , es la ecuación de una recta que no pasa por el (0,0)

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Giro de km

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Giro de km

El signo positivo de m es el que se ha tomado al derivar la energía de deformación

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 1

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 1

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 1

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 1

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 2

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

Este giro en el sentido de es el que se produce por el resto de las acciones exteriores

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 2

negativo

Este giro en el sentido de es el que se produce por el resto de las acciones exteriores

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 3

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 3

positivo

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 3

positivo

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 3

positivo

negativo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 4

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 4

positivo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 4

positivo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 4

positivo

Este caso podría suceder cuando fuera la reacción exterior hiperestática de una estructura

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 5

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 5

positivo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 5

positivo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 5

positivo

sistema

dx)m(T

dx)m(MU

Casos posibles:

Caso 5

positivo

Definición

Caso particular

Definición

Demostración

Caso particular

Demostración

Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:

Demostración

“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”

Demostración

Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura

Demostración

2P1PU 1P2PU

Demostración

El orden de aplicación de las

acciones no afecta el valor de la energía de deformación del

sistema

Demostración

Supongamos que se aplica un conjunto

A de acciones exteriores sobre una estructura

sistema

Demostración

sistema

Demostración

sistema

Demostración

El trabajo producido por estas acciones vale:

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

Supongamos que en la posición de equilibrio se

aplica otra acción exterior diferencial en

la posición y en la dirección de una acción

puntual kP

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

Ahora el trabajo realizado vale:

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

Supongamos que se invierte el orden de aplicación de las acciones: se aplica primero la acción diferencial

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

El trabajo producido vale:

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

El trabajo producido vale:

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

Pkd En la posición de equilibrio se aplica el conjunto A de

acciones

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

Este término es el trabajo de la acción diferencial al deformarse la estructura por las acciones del sistema A. Durante el desplazamiento, la acción diferencial no cambia de valor

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

Deben ser iguales

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

Deben ser iguales

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

Deben ser iguales

sistema

Demostración

nk1 P,..,P,..,PU

nk1 dPP

UP,..,P,..,PUU

ddPU Pkk

PkdkdP

Deben ser iguales

sistema

Definición

Demostración

Caso particular

Definición

Demostración

Aplicaciones

Caso particular

Definición

Demostración

AplicacionesCálculo de movimientos

Caso particular

Definición

Demostración

Caso particular

Definición

Demostración

GiroDe una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

Donde existe un momento

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

PlanteamientoDonde existe un momento

De una sección S

Caso particular

Planteamiento

En este esquema se muestran las

operaciones que se desarrollan durante la aplicación del Teorema cuando se calcula el giro de una sección donde existe un

momento m

Planteamiento

Sea la siguiente estructura de la cual se desea conocer el giro de la sección A

Planteamiento

Al aplicar el Teorema se crea una situación

ficticia en la estructura alterando el sistema de cargas

Planteamiento

dm = momento diferencial aplicado en A

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

En esta situación se considera que

las acciones reales se aplican antes

que dm

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Obteniéndose una energía de

deformación:

Planteamiento

Situación ficticia

En esta situación, se supone que se aplica dm

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Obteniendo una energía de

deformación final:

dm,P,mU

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Variando el orden de aplicación de las acciones se hubiera llegado al mismo resultado, es

decir, si se aplica en primer lugar dm

dm,P,mU

Planteamiento

Situación ficticiadm,P,mU

Planteamiento

En esta situación se aplican las acciones

restantes

Planteamiento

El trabajo final vale:

P,m,dmU

Planteamiento

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

Desarrollando esta igualdad se obtiene:

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

Utilizándose el siguiente criterio

de signos:

m,0 mm

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

m,0 mm

m,0 mm m

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

m,0 mm

m,0 mm m

P,m,dmdm,P,m UU

Planteamiento

P,m,dmU

Definición

Demostración

PlanteamientoDonde existe un momento

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

AplicaciónPlanteamiento

De una sección S

Caso particular

Aplicación

En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde

un punto de vista práctico

Aplicación

Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el giro en

la sección A

Aplicación

A Con el 2º Teorema de Castigliano puede calcularse el giro del momento, que

coincide con el de A

Aplicación

La derivada parcial de la energía de deformación respecto de m vale:

Aplicación

=(Ecuación de una recta)

Am)m(fm

Aplicación

Am)m(fm

Aplicación

La energía del sistema al cambiar m varía de la

manera siguiente:

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

La función derivada respecto de m vale:

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la estructura En la gráfica

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

0m m,Am

)P,m(U

Am)m(fm

Aplicación

En la gráfica

0m m,A

En la estructura

0m m,Am

Definición

Demostración

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

En una sección cualquiera

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

PlanteamientoEn una sección cualquiera

De una sección S

Caso particular

Planteamiento

operaciones que se desarrollan durante la aplicación del Teorema cuando se calcula el giro de una sección

cualquiera

Planteamiento

Al aplicar el Teorema se crea una situación ficticia, alterando el sistema de cargas

Planteamiento

k = momento genérico en A

Planteamiento

dk = momento diferencial en A

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

En esta situación se considera que primero se aplican las

acciones M, k y P :M

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

deformación:

Situación ficticia

Planteamiento

k,P,MU

Situación ficticia

Planteamiento

En la posición de equilibrio se aplica dk

Situación ficticia

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,P,MU

Planteamiento

Obteniéndose una energía final:

Situación ficticia

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

decir, si se aplica en primer lugar dk

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

P En esta situación se aplican las acciones

restantes

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Obteniéndose la misma energía de

formación:

Situación ficticia

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,P,M,dkdk,k,P,M UU

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Desarrollando esta igualdad se obtiene:

Situación ficticia

k,P,M,dkdk,k,P,M UU

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,P,M,dkdk,k,P,M UU 0k

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

de signos:

Situación ficticia

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,0 kk

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

Situación ficticia

k,0 kk

k,P,M,dkU

dk,k,P,MU

k,P,MU

Planteamiento

k,P,MU

dk,k,P,MU

k,0 kk

k,P,M,dkU

Situación ficticia

Definición

Demostración

PlanteamientoEn una sección cualquiera

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

AplicaciónPlanteamientoEn una sección

cualquiera

De una sección S

Caso particular

Aplicación

Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el giro en

la sección A

Aplicación

Si existiera un momento k en A, con el 2º Teorema de Castigliano podría calcularse el giro de A. Por este motivo, se acepta que

existe k en A

Aplicación

Si existiera un momento k en A, con el 2º Teorema de Castigliano podría calcularse el giro de A. Por este motivo, se acepta que

existe k en A

Aplicación

En esta situación, aplicamos el Teorema:

Aplicación

Ck =(Ecuación de una recta)

Aplicación

La energía de deformación al variar k tiene la forma

)P,k(U

Aplicación

Y su derivada respecto de k

al variar k vale:

)P,k(U

Aplicación

)P,k(U

Aplicación

)P,k(U

En la gráficaEn la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

0 T EA

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

0k k,A

Aplicación

)P,k(U

En la gráfica

0k k,A

En la estructura

0k k,A

Definición

Demostración

cualquiera

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

cualquiera

De una sección S

Relativo entre dos secciones

Caso particular

Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el giro

entre las secciones A y B

El giro relativo entre A y B

se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:

Giro relativo entre A y B

Para resolver el problema se aplican dos momentos k

iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B

En esta situación ficticia aplicamos el Teorema:

= )k(fAB (Ecuación de una recta)

)0(fAB

0 T EA

= BA )0(fAB

0 T EA

= BA )0(fAB

Giro relativo entre las secciones A y B debido a todas las acciones menos a los momentos k

En este caso se observa que el giro relativo es negativo, lo que quiere decir que el sentido de k es contrario al supuesto

0 T EA

= BA )0(fAB

0 T EA

= BA )0(fAB

BA A B

0 T EA

= BA )0(fAB

BA A B

Definición

Demostración

cualquiera

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

cualquiera

De una sección S

De un tramo

Caso particular

De un tramo

El giro de las barras y de las vigas se calculan igual. Es la rotación de la directriz y se determina con la tangente del ángulo

que describe este giro

De un tramo

El giro de las barras y de las vigas se calculan igual. Es la rotación de la directriz y se determina con la tangente del ángulo

que describe este giro

A modo de ejemplo se va a calcular el giro que describe la barra AB de la estructura

isostática siguiente

De un tramo

Observemos cómo puede ser el giro de la barra:

De un tramo

ABLtan

De un tramo

ABLtan

Este es el término que se determina con el

Teorema

De un tramo

ABLtan

Este es el término que se determina con el

Teorema

Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)

De un tramo

Si se aplica el Teorema derivando respecto de k, se obtiene el corrimiento relativo entre los extremos de la barra:

De un tramo

k,P,m =(Ecuación de una recta)

De un tramo

Solución del problema

De un tramo

Valoración del signo del desplazamiento:

De un tramo

El giro de la barra es en el sentido del par que describen las fuerzas k

De un tramo

El giro de la barra es de sentido contrario

De un tramo

El giro de la barra es de sentido contrario

Definición

Demostración

cualquiera

De una sección S

De un tramo

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

De un tramo

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

De un tramo

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

De un tramo Donde existe una acción

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

De un tramo PlanteamientoDonde existe una acción

De una sección S

Caso particular

Planteamiento

operaciones que se desarrollan durante la aplicación del Teorema cuando se calcula el

desplazamiento de una sección donde existe

una carga P

Planteamiento

Sea la siguiente estructura de la cual se

desea conocer el desplazamiento vertical

de la sección A

Planteamiento

El desplazamiento vertical se puede determinar en función del de P mediante la relación

trigonométrica siguiente:

Planteamiento

Se aplica el Teorema alterando el sistema de cargas, creándose una situación ficticia

Planteamiento

dP = fuerza diferencial en la dirección de P

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

En esta situación se considera que

las acciones reales se aplican antes

que dP

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

deformación:

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Con la estructura equilibrada, se aplica dP

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Situación ficticia

Planteamiento

Obteniéndose una energía final:

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

decir, si se aplica en primer lugar dP

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

En esta situación se aplican las acciones

restantes

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

El trabajo final vale:

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU Desarrollado esta

igualdad se obtiene:

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

de signos:

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

P,0 PP

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

P,0 PP

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

P,0 PP

Conocido el desplazamiento de la carga se obtiene el de P

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

P,0 PP

Situación ficticia

Planteamiento

dP,P,mU

P,m,dmU

P,m,dPdP,P,m UU P

P,0 PP

Situación ficticia

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

De un tramo PlanteamientoDonde existe una acción

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

De un tramo AplicaciónPlanteamiento

Donde existe una acción

De una sección S

Caso particular

Aplicación

Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el

descenso vertical de la sección A

Aplicación

Con el 2º Teorema de Castigliano puede calcularse

el desplazamiento de P

Aplicación

Con el 2º Teorema de Castigliano puede calcularse

el desplazamiento de P

Aplicación

Con este desplazamiento se puede determinar geométricamente

Aplicación

Con este desplazamiento se puede determinar geométricamente

Aplicación

El objetivo será calcular P

Aplicación

Apliquemos el Teorema derivando la energía de deformación respecto de P:

Aplicación

P )P(fP

Aplicación

es dato de partida

Aplicación

es dato de partida

Aplicación

es dato de partida

Aplicación

es dato de partida

Aplicación

es dato de partida

A es descendente

Aplicación

es dato de partida

A es descendente

PP P0 Si A es ascendente

Aplicación

El objetivo será calcular PP

es dato de partida

A es ascendente

A es descendente

Aplicación

El objetivo será calcular PP

es dato de partida

A es ascendente

A es descendente

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

AplicaciónEn una sección cualquiera

De una sección S

Caso particular

Aplicación

Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el desplazamiento

en una sección A cualquiera

Aplicación

Se aplica sobre A una acción k en la dirección en la que se desea conocer

el desplazamiento

Aplicación

Se aplica sobre A una acción k en la dirección en la que se desea conocer

el desplazamiento

Aplicación

Se aplica el teorema derivando la energía de deformación respecto de k

Aplicación

(Ecuación de una recta)

Aplicación

Solución del

problema

Aplicación

Solución del

problema

Aplicación

Solución del

problema

0 T EA

Aplicación

Solución del

problema

0 T EA

Aplicación

Solución del

problema

Si PP P0 A es descendente

0 T EA

Aplicación

Solución del

problema

A es ascendente

A es descendente

0 T EA

Aplicación

Solución del

problema

A es ascendente

A es descendente

0 T EA

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Aplicación

Caso particular

El desplazamiento relativo entre dos secciones en una dirección determinada, se calcula igual que el del giro relativo entre ambas. Para el desplazamiento se utilizan dos acciones k de signo contrario que se disponen en la dirección en la que se quiere conocer el movimiento relativo

Para ilustrar lo comentado, se propone determinar de una estructura el movimiento relativo de dos de sus secciones en una dirección d

El desplazamiento relativo entre dos secciones en una dirección determinada, se calcula igual que el del giro relativo entre ambas. Para el desplazamiento se utilizan dos acciones k de signo contrario que se disponen en la dirección en la que se quiere conocer el movimiento relativo

Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d

d = Dirección del desplazamiento relativo

Se aplican dos cargas k en A y B

en la dirección d

Se aplican dos cargas k en A y B

en la dirección d

Si se disponen en este sentido, con el Teorema se calcula el alejamiento de A respecto de B

Si se disponen en este otro, se calcula el acercamiento de A

respecto de B

Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema

k =(Ecuación de una recta)

)k(fk Solución del

problema

)k(fk Solución del

problema

)k(fk Solución del

problema

Valor de la función cuando k no existe

)k(fk Solución del

problema

Solución del

problema

k,0 kk

A y B se acercan

Solución del

problema

k,0 kk

A y B se acercan

A y B se alejan

Solución del

problema

k,0 kk

A y B se acercan

A y B se alejan

Solución del

problema

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Aplicación

Planteamiento

Caso particular

Planteamiento

Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura

Planteamiento

Ejemplo: estructura simétrica

Eje de simetría

Estructura

Planteamiento

Eje de simetría

Objetivo: conocer el movimiento de S

Estructura

Planteamiento

Eje de simetría

Objetivo: conocer el movimiento de S S

Estructura

Planteamiento

Eje de simetría

Objetivo: conocer el movimiento de S S

Se tratan las dos secciones conjuntamente

Estructura

Planteamiento

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Caso particular

Aplicación

Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada

Aplicación

Cálculo de la flecha en A

Aplicación

Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A

Aplicación

k kk k

Aplicación

k kk k

Aplicación

k kk k

Aplicación

k kk k

Aplicación

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Casos sin interés práctico

Aplicación

Caso particular

Son casos cuyo interés radica en que favorecen la comprensión de la aplicación del Teorema

Sea la estructura siguiente sobre la que actúan unas acciones puntuales iguales en magnitud

Son casos cuyo interés radica en que favorecen la comprensión de la aplicación del Teorema

Si se deriva la energía de deformación respecto de k, se obtiene la suma de los movimientos de todas las acciones

k,P,m kCBA=

Suma de giros y desplazamientos de todos los momentos y fuerzas k

k,P,m kCBA=

)k(fkCBA

k,P,m kCBA=

)k(fkCBA

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Ejemplo 1

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Aplicación

Caso particular

Ejemplo 1

Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano

m.Kg1000m

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

Aplicar el Teorema de Castigliano

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

Desarrollar el Teorema:

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

- Obtener el valor del giro para m

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

m.Kg1000m

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 2

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 2

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 2

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

mN)x(N

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

mN)x(N

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

mxM)x(m

mN)x(N

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1 EA

Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(mEAL

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

)viga(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

)viga(m

)barra(m

L1000m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Ejemplo 1

)viga(m )barra(m

)viga(m

)barra(m

)viga(m

)barra(m

L1000m

Ejemplo 1

Proceso:

= 1000Kg.m

Definición

Demostración

Ejemplo 1

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Aplicación

Caso particular

Definición

Demostración

Ejemplo 1

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Ejemplo 2

Aplicación

Caso particular

Ejemplo 2

Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

Desarrollar el Teorema

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

m.Kg1000m

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

kmN)x(N

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

kmN)x(N

Ejemplo 2

Proceso:

mxM)x(m

kmN)x(N

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

Ejemplo 2

Proceso:

)viga(m

Ejemplo 2

Proceso:

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 2

Proceso:

)viga(m

)barra(m

Ejemplo 2

Proceso:

)viga(m

)barra(m)viga(k

Ejemplo 2

Proceso:

)viga(m

)barra(m)viga(k )barra(k

Ejemplo 2

Proceso:

)viga(m

)barra(m)viga(k )barra(k

Ejemplo 2

Proceso:

Definición

Demostración

Ejemplo 1

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Ejemplo 2

Aplicación

Caso particular

Autoevaluación

Definición

Demostración

Ejemplo 1

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Ejemplo 2

Aplicación

Caso particular

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Se calcula el giro de B aplicando el T. De Castigliano y considerando que existe un momento K. En función de K vale:

Ninguna de las anteriores

dx))(KxPx(θ

dx))(KPx(θ

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Aplicando el T. de Castigliano se ha obtenido el desplazamiento horizontal de C, que vale:

ConstanteEI

El nudo C no se puede mover en horizontal porque no existen cargas en esta dirección

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Aplicando el T. de Castiglianose ha obtenido el desplazamiento vertical de C y se ha observado en los cálculos que el tramo AB no influye. Esto se debe:

ConstanteEI

a un error de operaciones, ya que la deformación del tramo AB que es deformable tiene que colaborar en el desplazamiento de C

a que la deformación de AB nunca influye en el descenso de C

Podría ocurrir que fueran correctas a) y b)

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Aplicando el Teorema se obtiene un giro en A:

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Aplicando el Teorema se obtiene un giro en B:

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Aplicando el Teorema se obtiene un desplazamiento en B:

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Aplicando el T. de Castigliano, considerando indeformable BC, se ha obtenido el desplazamiento vertical de P, que vale:

ConstanteEI

LmPLδC

Índice2º Teorema de Castigliano

Autoevaluación

Definición

Demostración

Ejemplo 1

Desplazamiento

cualquiera

De una sección S

Planteamiento

Aplicación

Ejemplos

Ejemplo 2

Aplicación

Caso particular

Anexos

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

dx))(KxPx(θ

dx))(KPx(θ

Respuesta incorrecta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

dx))(KxPx(θ

dx))(KPx(θ

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

dx))(KxPx(θ

dx))(KPx(θ

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

dx))(KxPx(θ

dx))(KPx(θ

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

LmPLδC

Respuesta correcta

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

LmPLδC

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

LmPLδC

Pulsar para volver

Autoevaluación

- Pregunta 1

- Pregunta 2

- Pregunta 3

- Pregunta 4

- Pregunta 5

- Pregunta 6

- Pregunta 7

ConstanteEI

LmPLδC

Pulsar para volver

2º Teorema de Castigliano - ocw.ehu.eus

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