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L’emissione di raggi (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento o o dopo un urto).
La trattazione delle transizioni radiative nei nuclei è generalmente simile a quella per gli atomi, eccetto che
Atomo E eV 108 fm 109 s-1
. Solo le transizioni di dipolo sono importanti
Nuclei E MeV 102 fm 1016 s-1
. Sono importanti anche transizioni di ordine superiore. Il moto collettivo di . molti p porta a rate di transizione maggiori
Decadimento
Due tipi di transizioni:
Transizioni elettriche (E): sono dovute da una carica oscillante che causa un’oscillazione del campo elettrico esterno
Transizioni magnetiche (M): sono dovute a una corrente o un momento magnetico variabile che causano un campo magnetico variabile
2
Nel caso più semplice, il fotone porta via il momento angolare L quando un protone di un nucleo fa una transizione dallo stato iniziale di momento angolare Ji allo stato finale di momento angolare Jf
fifi
fi
JJJJ
JJ
Il fotone ha JP=1- L 1
L’emissione di un singolo è proibita fra due stati J = 0.
Transizioni 0 0 possono verificarsi solo attraverso conversione interna o con l’emissione di più di un
Le probabilità di transizione sono ottenute utilizzando la regola d’oro di Fermi
)(2 2
ffi EM
3
Apriamo una parentesi ...
4
Le equazioni di Maxwell sono
Il campo elettromagnetico
Introducendo il potenziale scalare e il potenziale vettore A, il campo elettrico e magnetico possono essere espressi come
t
B
cE
B
t
E
cj
cB
E
1 .4
0 .3
11 .2
.1
ABt
A
cE
,1
Queste non determinano i potenziali univocamente, poichè la trasformazione
fAAt
f
c
,1
non cambiano E e B invarianza di gauge
trasformazione di gauge
5
Riscriviamo le eqq. 1 e 2 in termini dei potenziali.
Concentriamoci sulla 2. Usando la relazione
t
A
ctcj
cAB
Atct
A
cE
111 .2
11 .1 2
AAA 2
possiamo riscrivere
jctc
At
A
cA
1112
2
22
L’invarianza di gauge ci permette di fissare delle condizioni. Una conveniente è
0 A
gauge di Coulomb
6
Consideriamo adesso il caso del campo libero, cioè assenza di cariche e correnti: = 0, j = 0. In assenza di cariche, eq. 1 diventa
che ha come soluzione che si annulla all’infinito = 0. Eq. 2 diventa invece
che è un’equazione d’onda. Se assumiamo soluzioni del tipo
01
2
2
22
t
A
cA
la condizione fissata dal gauge di Coulomb implica che
trkieAA
0
02
0)(0 AkeAkiA trki
Quindi A è perpendicolare alla direzione di propagazione del vettore d’onda k onda trasversale
7
Supponiamo che il sistema sia racchiuso in una scatola di lato A. Abbiamo le condizioni di frontiera
Le funzioni
formano un insieme completo di vettori ortonormali trasversi. Possiamo quindi espandere A in serie di Fourier usando questi campi
V
nkk
eV
rki
2 ,0 ,0
2 ,1 ,1
121
),,,,(),,,0( tzyLAtzyA
rkirki
k k
etkaetkaV
ctrA
),(),(
2),( *
,
2/12
Questa forma assicura che A sia reale: A = A*
Modi normali del campo di radiazione
Coefficiente inserito solo per convenienza futura
8
Se sostituiamo questa espansione nell’equazione d’onda di A troviamo che ciascun coefficiente a(k,t) soddisfa
La soluzione di questa equazione può essere scritta come
Se definiamo i vettori
),(),(),( 222
2
2
tkatkackt
tkak
k
rkirki etkaetkatrA
),(),(),( *
l’espansione di Fourier assume la forma
titi kk ekatkaekatka
)(),( ,)(),( **
ti
k
ti
k
kk ekaV
ctkaeka
V
ctka
)(2
),( ,)(2
),( *
2/12*
2/12
Questa può essere ulteriormente semplificata introducendo
k
rkietkAtrAtkatkatkA
),(),( ),(),(),( *
9
Energia del campo elettromagnetico. Vogliamo calcolare l’energia totale del campo in termini di A(k),
Per i campi elettrico e magnetico abbiamo
Nei quadrati di queste somme, tutti i prodotti con k e k’ tali che k’ -k sono nulli nell’integrale perchè contengono termini del tipo
rdBEH
322 2
1
Nei termini con k’ = - k gli esponenziali scompaiono per cui
rki
k
rki
k
ekAkiAB
ekAct
A
cE
)(
, )(11
00
2
dxeL
xnL
i x
dalle condizioni di frontiera
)()()()(
1
2**
2kAkkAkkAkA
c
VH
k
10
Poichè
abbiamo
Torniamo ai vettori
0)( 0 kAkAk
Troviamo che
)()()()( *2* kAkAkkAkkAk
)()()()( 2
*22*2
kAkAckkAkAc
VH
k
)()(),( )()()( ** kaikaitrAkakakA kk
,
*
,
*22
2
22
)()( )()(2
2
4
)()(* 2
4
kk
kk
k
kk
kakakakaV
c
c
V
kakac
VH
)(ka
11
L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico classico
L’oscillatore armonico
può essere fattorizzata nel modo seguente
222
2
1
2xm
m
pH
In meccanica quantistica dobbiamo fare attenzione all’ordine perchè x e p non commutano
ipx ,
Di conseguenza
m
pimx
m
pimxH
22
1
22
1
2
1
2222
1 22
H
m
pxp
ipx
ixm
12
Introduciamo gli operatori
Poichè l’energia del sistema è una grandezza definita positiva, segue che anche l’operatore N = aa+ è definito positivo. Quindi N possiede un autovalore minimo non negativo n0 0. Dall’equazione agli autovalori segue che
possiamo riscrivere l’hamiltoniana nella forma
1, aa
m
pimxa
m
pimxa
22
11
,22
11
2
1aaH
nnnN
nannNanannNa )1( ,)1(
Quindi a|n> e a+|n> sono autostati di n corrispondenti a autovalori n e n + 1
1' ,1 nCnanCn
13
Se n0 è l’autovalore minimo, allora
Possiamo costruire lo stato |n> applicando ripetutamente a+ sullo stato del vuoto
Quindi gli autovalori di N sono gli interi n = 0, 1, 2, 3, ... Se lo stato |n> è normalizzato a 1, allora anche |n1> sono normalizzati se
0 e ,0 00000 nnnnaana
2
1nEn
Queste sono dunque anche gli autostati dell’hamiltoniana dell’oscillatore armonico con autovalori dell’energia
11 ,1 nnnannn
0
!
n
an
n
Gli operatori a+/ a sono detti di innalzamento/abbassamento o di creazione/distruzione
14
Evoluzione temporale. Abbiamo finora fissato il tempo (t = 0). L’evoluzione temporale può essere seguita nella rappresentazione di Heisemberg (gli operatori sono funzione del tempo)
da cui
tiaetataidt
tda )( )( )(
Htadt
tdai ),(
)(
Confronto con l’hamiltoniana del campo di radiazione:
- Stessa forma di H (a parte un fattore costante)
- Stessa equazione che governa l’evoluzione temporale dei termini a e a+
15
L’hamiltoniana del campo di radiazione è una sovrapposizione di oscillatori armonici. Introduciamo quindi le relazioni di commutazione
Quantizzazione del campo di radiazione
l’hamiltoniana del campo di radiazione diventa
Gli operatori N(k) = a+(k) a(k) hanno autovalori n(k) = 0, 1, 2, ... e autostati
Gli autostati e gli autovalori di H sono
0)'(),()'(),(
)'(),(
''
'''
kakakaka
kaka kk
, 2
1)()(
kk kakaH
0
)!(
)()(
)(
kn
kakn
kn
,, 2
1)( ,)()(
kk
ki knEknkn
ii
i
16
L’energia dello stato del vuoto |0> (lo stato in cui non ci sono fotoni) è
Questa è però una costante additiva senza significato fisico che può essere eliminata traslando lo zero della scala dell’energia.
Il potenziale vettore diventa ora un operatore
contiene operatori di distruzione può diminuire il numero di fotoni
contiene operatori di creazione può aumentare il numero di fotoni
,2
1
kk
rki
k k
rki
k k
etkaV
ctrA
etkaV
ctrA
trAtrAtrA
),( 2
),(
),( 2
),(
),(),(),(
*
,
2/12
,
2/12
n(k) = numero di fotoni di polarizzazione e momento k.
Poichè n(k) = 0, 1, 2, ... i fotoni soddisfano la statistica di Bose-Einstein – sono
bosoni
17
Chiusa parentesi ...
18
L’hamiltoniana di una particella libera è descritta H = p2 / 2m. L’interazione con la radiazione è descritta operando la sostituzione
Interazione radiazione-materia
Abbiamo
Gauge di Coulomb
Possiamo quindi decomporre H nella parte libera e in quella di interazione
Ac
epp
2
2
1A
mcpA
mc
eH I
2
22
222
ApAc
ep
ApAc
eAp
c
epA
c
ep
0 AiAp
Termine lineare in A: descrive processi in cui è emesso o assorbito un fotone
Termine quadratico in A: descrive processi in cui sono emessi o assorbiti due fotoni
19
In una transizione fra due stati atomici o nucleari un viene emesso o assorbito un fotone. Abbiamo gli stati iniziale e finale
Transizioni radiative
Abbiamo
stato iniziale
Dobbiamo quindi calcolare l’elemento di matrice
1)(,
)(,
knB
knA
stato finale
stato nucleare stato fotonico
)(,1)(, knAHknB I
In HI contribuirà solo la parte di A contenente operatori di creazione, e solo il termine dell’espansione k che conserva l’energia
1)(1)()(2
)( 2/1
2/12
knknek
V
cknA tirki
k
k
20
Abbiamo quindi
Aspetto interessante: fattore n(k) + 1 emissione stimolata – più fotoni ci sono nello
stato finale maggiore è l’emissione
Emissione spontanea: n(k) = 0 nello stato iniziale
Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi
tirki
k
I
keAepkBknV
c
mc
e
knAHknB
)(1)(2
)(,1)(,
2/1
2/12
tirki
kI
keAepkBV
c
mc
eknAHknB
)(
20)(,1)(,
2/12
frki
k
AepBkVm
edw
2
2
2
)(2
2
21
Nell’approssimazione di dipolo si ha
Giustificazione: valida se la lunghezza d’onda della radiazione = 2 / k > dimensioni lineari R del sistema, cosicchè
Interazione di dipolo
1 rkie
1 kRrk
Per raggi emessi da nuclei abbiamo R fm. Inoltre,
)MeV(
200
)MeV()fm(
2 EE
c
Quindi l’approssimazione di dipolo è valida per energie tipiche delle transizioni nucleari. Ora
ArBmApB
Usiamo l’equazione del moto
Hrri ,
22
Quindi
La differenza di energia fra lo stato finale e iniziale è uguale all’energia del fotone emesso
Arriviamo quindi al risultato
Il rate di transizione è
ArBEEim
AHrrHBim
AHrBim
ArBm
BA
,
BA EE
ArBimApB
fk
fkk
ArBkV
e
ArBkmVm
edw
22
2222
2
)(
)(2
2
23
Densità di stati finali. Il numero di stati fotonici nell’intervallo (k, k + dk) è
Poichè k = /c possiamo anche riscrivere
La densità di stati è
Il rate di transizione è quindi
3
2
3
3
)2()2(
dkdk
Vkd
Vdn
33
2
3
3
)2()2( c
ddV
kdVdn
33
2
)2( c
dV
d
dn
dE
dnf
BABAk
k
rArBdrkc
e
dArBkc
edw
,)(8
)(8
2
32
32
2
32
32
24
Somma sugli stati di polarizzazione del fotone. Abbiamo
I vettori 1(k), 2(k), e k formano un sistema ortonormale. Quindi
= angolo fra rBA e k
Quindi
2*
2*
**2
sin
cos1
ˆ ˆ)(
BABA
BABA
BABABABABA
rr
rr
rkrkrrrk
Otteniamo la probabilità di transizione totale integrando su tutte le direzioni
3
8 sin3 d
drkc
edwdw BA
k
2,1
2
32
32
)(8
drc
edw BA sin
822
32
32
25
Rate di transizione totale
Per stimare questo rate poniamo
R = raggio nucleare
2
3
32
3 BArc
ew
Essendo E = h,
116
1222
23
s 10
s 106.6)197(
24.0
fm MeV24.0)1(
Ew
22RrBA
c
eREw
4
,3
4 223
Per E = 1 MeV, R = 5 fm,
(per una transizione atomica abbiamo w 109 s-1)
MeVs 106.6
MeVfm 19722
c
26
Il rate può essere convertito nell’intensità della radiazione (potenza) moltiplicando per l’energia di un fotone
2
3
42
3 BArc
ewP
Questa è la formula classica dell’intensità emessa da un dipolo oscillante avente momento di dipolo
tieArBed
illustrazione del principio di corrispondenza
27
Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno parità definita, l’elemento di matrice può essere non nullo solo se gli stati iniziale e finale hanno parità opposta
Regole di selezione
Transizione E1 la parità del nucleo cambia
rere
:
Supponiamo di avere uno stato iniziale e finale caratterizzati da numeri quantici ni, li, mi, e nf, lf, mf (trascuriamo lo spin dei nucleoni). L’elemento di matrice ha la forma
dYrkY
drrrRrRrArkB
iiff
iiifff
mm
mnmn
),(ˆ)(),(
)()()(
*
*2
Concentriamoci sulla parte angolare. Abbiamo
cossinsincossinˆ)( zyxrk
28
Facendo uso di
possiamo riscrivere
ieYY sin),(
8
3 ,cos),(
4
31,10,1
Quindi l’integrale contiene termini del tipo
1,11,10,1
22224
3ˆ)( Y
iY
iYrk yxyxz
dYYYiiff mmm ),(),(),( ,1
*
Consideriamo prima l’integrazione azimutale,
if
if
mmmimimim deee
,
2
0
2
Questo porta quindi alla regola di selezione
1 ,0 ,1 mmm if
29
Assumiamo che l’asse z coincida con la direzione del vettore d’onda k. Allora z = 0 e m = ±1 cosicchè
Se lf = mf = 0 allora m = -mi. Assumiamo ad esempio che polarizzazione del lungo z sia mi = 1. Allora m = -1 e il vettore di polarizzazione della radiazione è
La conservazione del momento angolare richiede che esso sia portato via dal fotone.
Quindi il suo spin deve essere allineato lungo la direzione z positiva deve avere elicità positiva
2yx i
1 if mm
2yx i Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di
elicità positiva
2yx i Stato di polarizzazione circolare a destra=stato di
elicità negativa
30
L’integrazione in dà luogo a un’altra regola. Assumiamo il caso lf = 0.
Poichè Y 0,0=1 / (4)1/2 , abbiamo
Quindi lo stato iniziale deve avere li = 1. Transizioni 0 0 sono proibite.
In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner)
mmmm iiiidYY ,1,,1
4
1),(),(
4
1
Sostituendo nella parte angolare dell’ampiezza otteniamo
a meno che
1 ,0 ,1
21
21
212211),(),,;,(),(),( ,212121
LmmLmm YmmmmLCYY
0 ),(),,,1;,(),(
1
1,
*
2dYmmmmLCY
i
i
ffL
mmLiiim
regola di selezione della radiazione di dipolo elettrico
(non ci sono transizioni 00)
31
Se le regole di selezione proibiscono la transizione di dipolo A B, il processo di emissione può procedere attraverso termini di ordine superiore dell’espansione
Transizioni di ordine superiore
Col secondo termine abbiamo
, (=1, 2, 3) sono le componenti cartesiane dei vettori , k, r
L’elemento di matrice può essere scritto come somma di una parte simmetrica e una antisimmetrica
operatore momento angolare antisimmetrico
interazione di dipolo magnetico
operatore di quadrupolo elettrico
interazione di quadrupolo elettrico
rkie rki 1
AprBkkiAprkiBk
)()(3
1
3
1
AprprBAprprBAprB 2
1
32
Interazione di dipolo magnetico: Lz = r1p2 – r2p1 proporzionale al momento magnetico
rdprpr
ALBAB
AzB
zztotz
31221
*
,
Interazione di dipolo magnetico
zp
z Lm
e
2
generata dalle correnti elettriche dovute ai protoni Dobbiamo inoltre aggiungere il contributo dei momenti magnetici intrinseci. La componente z dell’elemento di matrice contiene quindi l’operatore
zzp
totz Lm
e 2,
Sotto parità il momento magnetico si trasforma come il momento angolare
vrevrevre
)()(:Transizione M1 non cambia la parità del nucleo
33
Tipicamente
22
2
1
21
1
Rem
e
)Γ(E
)Γ(M
p
Np
z m
e 2
Possiamo quindi scrivere
Nel caso di un protone la sua lunghezza d’onda Compton è
fm 2.0GeV 1
fmMeV 2002
cm
c
p
Magnetone nucleare
Assumendo R 5 fm, troviamo
322
1025
104
1
1
R)Γ(E
)Γ(M
34
Se gli stati nucleari iniziale e finale differiscono per più di una unità di momento angolare
radiazione di multipolo di ordine superiore
Classificazione
Radiazione di multipolo
Ciascun termine successivo in A è ridotto rispetto al precedente di un fattore kR. Per k 1 MeV, R 5 fm kR 5 MeV fm 0.025 (5 MeV fm / hc). Quindi
Dipolo E1
nrki rkin
rkrkie 2
!
1
2
11
Dipolo M1 Quadrupolo E2
Quadrupolo M2 ottupolo E3
)Γ(E
)Γ(M
)Γ(E
)Γ(E
kR
1
110
1
2
10
3
32
35
L’elemento di matrice di una transizione E2 va come r2 pari sotto trasformazione di parità
Abbiamo le regole di selezione della parità
transizioni EL parità = (-1)L transizioni ML parità = (-1)L+1
In generale, un decadimento procederà in modo dominante dal processo di ordine più basso permesso dalla conservazione del momento angolare e della parità.
Ad esempio, se un processo ha J = 2, la parità non varia, esso procederà via E2, anche se M3 e E4 sono pure permessi.
fifi JJLJJ
e del momento angolare
36
Esempio:
Informazioni sulla natura delle transizioni è molto utile per dedurre i valori JP degli stati.
Anche gli effetti collettivi possono essere importanti:
- molti nucleoni partecipano alle transizioni
- Se un nucleo un grande valore di Q stati rotazionali eccitati favoriscono le transizioni E2
37
Generalizzazione dei risultati. I calcoli dettagliati danno
212
'!! 12
18),( mm
E QQc
m
212
'!! 12
18),( mm
M MMc
m
dovute alle coordinate spaziali
dovute al momento magnetico intrinseco
Gli elementi di matrice elettrico e magnetico dovuti alle coordinate spaziali possono essere scritti in coordinate polari
Ciascuna ampiezza è una somma di Z integrali !
I termini Q’Lm, M’Lm sono la somma di A integrali e contengono le matrici di Pauli.
Z
kikfmkm
Z
kikfmm
rdLYrmc
eM
rdrYeQ
1
3**
1
3**
),(1
1
),(
131212!! 12
38
Per fare una stima proviamo qualcosa di semplice. Consideriamo la transizione di un singolo protone
),( ),,( '''''''''''' njnfnjni RR
2/1
3'
3)0(
R
RrRn
RdrrRrR if
3
32*
Assumiamo che RnL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo
L’integrale radiale è quindi
L’integrazione della parte contenente le funzioni sferiche porta a un fattore S(Ji,Jf,L) che è dell’ordine dell’unità
2212
3
3
!! 12
18),( cR
c
EmE
modulo quadro dell’ampiezza
normalizzazione della funzione d’onda
39
In modo analogo, per transizioni magnetiche si ha
22
12
1
1
!! 12
18),(
cRmcc
EmM
93/85
72
53/47
33/214
101.14
343
103.72
100.11
EA
EA
EA
EA
E
E
E
E
926
73/4
53/27
313
105.44
163
105.32
106.51
EA
EA
EA
E
M
M
M
M
Procedendo in modo sistematico si ottengono le stime di Weisskopf
Esse forniscono non tanto stime assolute dei rate. Sono utili per confronti relativi dei rate di transizione
510)(
)1(
210
)(
)(
M
E