1

L’emissione di raggi (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento o o dopo un urto).

La trattazione delle transizioni radiative nei nuclei è generalmente simile a quella per gli atomi, eccetto che

Atomo E eV 108 fm 109 s-1

. Solo le transizioni di dipolo sono importanti

Nuclei E MeV 102 fm 1016 s-1

. Sono importanti anche transizioni di ordine superiore. Il moto collettivo di . molti p porta a rate di transizione maggiori

Decadimento

Due tipi di transizioni:

Transizioni elettriche (E): sono dovute da una carica oscillante che causa un’oscillazione del campo elettrico esterno

Transizioni magnetiche (M): sono dovute a una corrente o un momento magnetico variabile che causano un campo magnetico variabile

2

Nel caso più semplice, il fotone porta via il momento angolare L quando un protone di un nucleo fa una transizione dallo stato iniziale di momento angolare Ji allo stato finale di momento angolare Jf

fifi

fi

JJJJ

JJ

Il fotone ha JP=1- L 1

L’emissione di un singolo è proibita fra due stati J = 0.

Transizioni 0 0 possono verificarsi solo attraverso conversione interna o con l’emissione di più di un

Le probabilità di transizione sono ottenute utilizzando la regola d’oro di Fermi

)(2 2

ffi EM

3

Apriamo una parentesi ...

4

Le equazioni di Maxwell sono

Il campo elettromagnetico

Introducendo il potenziale scalare e il potenziale vettore A, il campo elettrico e magnetico possono essere espressi come

t

B

cE

B

t

E

cj

cB

E

1 .4

0 .3

11 .2

.1

ABt

A

cE

,1

Queste non determinano i potenziali univocamente, poichè la trasformazione

fAAt

f

c

,1

non cambiano E e B invarianza di gauge

trasformazione di gauge

5

Riscriviamo le eqq. 1 e 2 in termini dei potenziali.

Concentriamoci sulla 2. Usando la relazione

t

A

ctcj

cAB

Atct

A

cE

111 .2

11 .1 2

AAA 2

possiamo riscrivere

jctc

At

A

cA

1112

2

22

L’invarianza di gauge ci permette di fissare delle condizioni. Una conveniente è

0 A

gauge di Coulomb

6

Consideriamo adesso il caso del campo libero, cioè assenza di cariche e correnti: = 0, j = 0. In assenza di cariche, eq. 1 diventa

che ha come soluzione che si annulla all’infinito = 0. Eq. 2 diventa invece

che è un’equazione d’onda. Se assumiamo soluzioni del tipo

01

2

2

22

t

A

cA

la condizione fissata dal gauge di Coulomb implica che

trkieAA

0

02

0)(0 AkeAkiA trki

Quindi A è perpendicolare alla direzione di propagazione del vettore d’onda k onda trasversale

7

Supponiamo che il sistema sia racchiuso in una scatola di lato A. Abbiamo le condizioni di frontiera

Le funzioni

formano un insieme completo di vettori ortonormali trasversi. Possiamo quindi espandere A in serie di Fourier usando questi campi

V

nkk

eV

rki

2 ,0 ,0

2 ,1 ,1

121

),,,,(),,,0( tzyLAtzyA

rkirki

k k

etkaetkaV

ctrA

),(),(

2),( *

,

2/12

Questa forma assicura che A sia reale: A = A*

Modi normali del campo di radiazione

Coefficiente inserito solo per convenienza futura

8

Se sostituiamo questa espansione nell’equazione d’onda di A troviamo che ciascun coefficiente a(k,t) soddisfa

La soluzione di questa equazione può essere scritta come

Se definiamo i vettori

),(),(),( 222

2

2

tkatkackt

tkak

k

rkirki etkaetkatrA

),(),(),( *

l’espansione di Fourier assume la forma

titi kk ekatkaekatka

)(),( ,)(),( **

ti

k

ti

k

kk ekaV

ctkaeka

V

ctka

)(2

),( ,)(2

),( *

2/12*

2/12

Questa può essere ulteriormente semplificata introducendo

k

rkietkAtrAtkatkatkA

),(),( ),(),(),( *

9

Energia del campo elettromagnetico. Vogliamo calcolare l’energia totale del campo in termini di A(k),

Per i campi elettrico e magnetico abbiamo

Nei quadrati di queste somme, tutti i prodotti con k e k’ tali che k’ -k sono nulli nell’integrale perchè contengono termini del tipo

rdBEH

322 2

1

Nei termini con k’ = - k gli esponenziali scompaiono per cui

rki

k

rki

k

ekAkiAB

ekAct

A

cE

)(

, )(11

00

2

dxeL

xnL

i x

dalle condizioni di frontiera

)()()()(

1

2**

2kAkkAkkAkA

c

VH

k

10

Poichè

abbiamo

Torniamo ai vettori

0)( 0 kAkAk

Troviamo che

)()()()( *2* kAkAkkAkkAk

)()()()( 2

*22*2

kAkAckkAkAc

VH

k

)()(),( )()()( ** kaikaitrAkakakA kk

,

*

,

*22

2

22

)()( )()(2

2

4

)()(* 2

4

kk

kk

k

kk

kakakakaV

c

c

V

kakac

VH

)(ka

11

L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico classico

L’oscillatore armonico

può essere fattorizzata nel modo seguente

222

2

1

2xm

m

pH

In meccanica quantistica dobbiamo fare attenzione all’ordine perchè x e p non commutano

ipx ,

Di conseguenza

m

pimx

m

pimxH

22

1

22

1

2

1

2222

1 22

H

m

pxp

ipx

ixm

12

Introduciamo gli operatori

Poichè l’energia del sistema è una grandezza definita positiva, segue che anche l’operatore N = aa+ è definito positivo. Quindi N possiede un autovalore minimo non negativo n0 0. Dall’equazione agli autovalori segue che

possiamo riscrivere l’hamiltoniana nella forma

1, aa

m

pimxa

m

pimxa

22

11

,22

11

2

1aaH

nnnN

nannNanannNa )1( ,)1(

Quindi a|n> e a+|n> sono autostati di n corrispondenti a autovalori n e n + 1

1' ,1 nCnanCn

13

Se n0 è l’autovalore minimo, allora

Possiamo costruire lo stato |n> applicando ripetutamente a+ sullo stato del vuoto

Quindi gli autovalori di N sono gli interi n = 0, 1, 2, 3, ... Se lo stato |n> è normalizzato a 1, allora anche |n1> sono normalizzati se

0 e ,0 00000 nnnnaana

2

1nEn

Queste sono dunque anche gli autostati dell’hamiltoniana dell’oscillatore armonico con autovalori dell’energia

11 ,1 nnnannn

0

!

n

an

n

Gli operatori a+/ a sono detti di innalzamento/abbassamento o di creazione/distruzione

14

Evoluzione temporale. Abbiamo finora fissato il tempo (t = 0). L’evoluzione temporale può essere seguita nella rappresentazione di Heisemberg (gli operatori sono funzione del tempo)

da cui

tiaetataidt

tda )( )( )(

Htadt

tdai ),(

)(

Confronto con l’hamiltoniana del campo di radiazione:

- Stessa forma di H (a parte un fattore costante)

- Stessa equazione che governa l’evoluzione temporale dei termini a e a+

15

L’hamiltoniana del campo di radiazione è una sovrapposizione di oscillatori armonici. Introduciamo quindi le relazioni di commutazione

Quantizzazione del campo di radiazione

l’hamiltoniana del campo di radiazione diventa

Gli operatori N(k) = a+(k) a(k) hanno autovalori n(k) = 0, 1, 2, ... e autostati

Gli autostati e gli autovalori di H sono

0)'(),()'(),(

)'(),(

''

'''

kakakaka

kaka kk

, 2

1)()(

kk kakaH

0

)!(

)()(

)(

kn

kakn

kn

,, 2

1)( ,)()(

kk

ki knEknkn

ii

i

16

L’energia dello stato del vuoto |0> (lo stato in cui non ci sono fotoni) è

Questa è però una costante additiva senza significato fisico che può essere eliminata traslando lo zero della scala dell’energia.

Il potenziale vettore diventa ora un operatore

contiene operatori di distruzione può diminuire il numero di fotoni

contiene operatori di creazione può aumentare il numero di fotoni

,2

1

kk

rki

k k

rki

k k

etkaV

ctrA

etkaV

ctrA

trAtrAtrA

),( 2

),(

),( 2

),(

),(),(),(

*

,

2/12

,

2/12

n(k) = numero di fotoni di polarizzazione e momento k.

Poichè n(k) = 0, 1, 2, ... i fotoni soddisfano la statistica di Bose-Einstein – sono

bosoni

17

Chiusa parentesi ...

18

L’hamiltoniana di una particella libera è descritta H = p2 / 2m. L’interazione con la radiazione è descritta operando la sostituzione

Interazione radiazione-materia

Abbiamo

Gauge di Coulomb

Possiamo quindi decomporre H nella parte libera e in quella di interazione

Ac

epp

2

2

1A

mcpA

mc

eH I

2

22

222

ApAc

ep

ApAc

eAp

c

epA

c

ep

0 AiAp

Termine lineare in A: descrive processi in cui è emesso o assorbito un fotone

Termine quadratico in A: descrive processi in cui sono emessi o assorbiti due fotoni

19

In una transizione fra due stati atomici o nucleari un viene emesso o assorbito un fotone. Abbiamo gli stati iniziale e finale

Transizioni radiative

Abbiamo

stato iniziale

Dobbiamo quindi calcolare l’elemento di matrice

1)(,

)(,

knB

knA

stato finale

stato nucleare stato fotonico

)(,1)(, knAHknB I

In HI contribuirà solo la parte di A contenente operatori di creazione, e solo il termine dell’espansione k che conserva l’energia

1)(1)()(2

)( 2/1

2/12

knknek

V

cknA tirki

k

k

20

Abbiamo quindi

Aspetto interessante: fattore n(k) + 1 emissione stimolata – più fotoni ci sono nello

stato finale maggiore è l’emissione

Emissione spontanea: n(k) = 0 nello stato iniziale

Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi

tirki

k

I

keAepkBknV

c

mc

e

knAHknB

)(1)(2

)(,1)(,

2/1

2/12

tirki

kI

keAepkBV

c

mc

eknAHknB

)(

20)(,1)(,

2/12

frki

k

AepBkVm

edw

2

2

2

)(2

2

21

Nell’approssimazione di dipolo si ha

Giustificazione: valida se la lunghezza d’onda della radiazione = 2 / k > dimensioni lineari R del sistema, cosicchè

Interazione di dipolo

1 rkie

1 kRrk

Per raggi emessi da nuclei abbiamo R fm. Inoltre,

)MeV(

200

)MeV()fm(

2 EE

c

Quindi l’approssimazione di dipolo è valida per energie tipiche delle transizioni nucleari. Ora

ArBmApB

Usiamo l’equazione del moto

Hrri ,

22

Quindi

La differenza di energia fra lo stato finale e iniziale è uguale all’energia del fotone emesso

Arriviamo quindi al risultato

Il rate di transizione è

ArBEEim

AHrrHBim

AHrBim

ArBm

BA

,

BA EE

ArBimApB

fk

fkk

ArBkV

e

ArBkmVm

edw

22

2222

2

)(

)(2

2

23

Densità di stati finali. Il numero di stati fotonici nell’intervallo (k, k + dk) è

Poichè k = /c possiamo anche riscrivere

La densità di stati è

Il rate di transizione è quindi

3

2

3

3

)2()2(

dkdk

Vkd

Vdn

33

2

3

3

)2()2( c

ddV

kdVdn

33

2

)2( c

dV

d

dn

dE

dnf

BABAk

k

rArBdrkc

e

dArBkc

edw

,)(8

)(8

2

32

32

2

32

32

24

Somma sugli stati di polarizzazione del fotone. Abbiamo

I vettori 1(k), 2(k), e k formano un sistema ortonormale. Quindi

= angolo fra rBA e k

Quindi

2*

2*

**2

sin

cos1

ˆ ˆ)(

BABA

BABA

BABABABABA

rr

rr

rkrkrrrk

Otteniamo la probabilità di transizione totale integrando su tutte le direzioni

3

8 sin3 d

drkc

edwdw BA

k

2,1

2

32

32

)(8

drc

edw BA sin

822

32

32

25

Rate di transizione totale

Per stimare questo rate poniamo

R = raggio nucleare

2

3

32

3 BArc

ew

Essendo E = h,

116

1222

23

s 10

s 106.6)197(

24.0

fm MeV24.0)1(

Ew

22RrBA

c

eREw

4

,3

4 223

Per E = 1 MeV, R = 5 fm,

(per una transizione atomica abbiamo w 109 s-1)

MeVs 106.6

MeVfm 19722

c

26

Il rate può essere convertito nell’intensità della radiazione (potenza) moltiplicando per l’energia di un fotone

2

3

42

3 BArc

ewP

Questa è la formula classica dell’intensità emessa da un dipolo oscillante avente momento di dipolo

tieArBed

illustrazione del principio di corrispondenza

27

Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno parità definita, l’elemento di matrice può essere non nullo solo se gli stati iniziale e finale hanno parità opposta

Regole di selezione

Transizione E1 la parità del nucleo cambia

rere

:

Supponiamo di avere uno stato iniziale e finale caratterizzati da numeri quantici ni, li, mi, e nf, lf, mf (trascuriamo lo spin dei nucleoni). L’elemento di matrice ha la forma

dYrkY

drrrRrRrArkB

iiff

iiifff

mm

mnmn

),(ˆ)(),(

)()()(

*

*2

Concentriamoci sulla parte angolare. Abbiamo

cossinsincossinˆ)( zyxrk

28

Facendo uso di

possiamo riscrivere

ieYY sin),(

8

3 ,cos),(

4

31,10,1

Quindi l’integrale contiene termini del tipo

1,11,10,1

22224

3ˆ)( Y

iY

iYrk yxyxz

dYYYiiff mmm ),(),(),( ,1

*

Consideriamo prima l’integrazione azimutale,

if

if

mmmimimim deee

,

2

0

2

Questo porta quindi alla regola di selezione

1 ,0 ,1 mmm if

29

Assumiamo che l’asse z coincida con la direzione del vettore d’onda k. Allora z = 0 e m = ±1 cosicchè

Se lf = mf = 0 allora m = -mi. Assumiamo ad esempio che polarizzazione del lungo z sia mi = 1. Allora m = -1 e il vettore di polarizzazione della radiazione è

La conservazione del momento angolare richiede che esso sia portato via dal fotone.

Quindi il suo spin deve essere allineato lungo la direzione z positiva deve avere elicità positiva

2yx i

1 if mm

2yx i Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di

elicità positiva

2yx i Stato di polarizzazione circolare a destra=stato di

elicità negativa

30

L’integrazione in dà luogo a un’altra regola. Assumiamo il caso lf = 0.

Poichè Y 0,0=1 / (4)1/2 , abbiamo

Quindi lo stato iniziale deve avere li = 1. Transizioni 0 0 sono proibite.

In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner)

mmmm iiiidYY ,1,,1

4

1),(),(

4

1

Sostituendo nella parte angolare dell’ampiezza otteniamo

a meno che

1 ,0 ,1

21

21

212211),(),,;,(),(),( ,212121

LmmLmm YmmmmLCYY

0 ),(),,,1;,(),(

1

1,

*

2dYmmmmLCY

i

i

ffL

mmLiiim

regola di selezione della radiazione di dipolo elettrico

(non ci sono transizioni 00)

31

Se le regole di selezione proibiscono la transizione di dipolo A B, il processo di emissione può procedere attraverso termini di ordine superiore dell’espansione

Transizioni di ordine superiore

Col secondo termine abbiamo

, (=1, 2, 3) sono le componenti cartesiane dei vettori , k, r

L’elemento di matrice può essere scritto come somma di una parte simmetrica e una antisimmetrica

operatore momento angolare antisimmetrico

interazione di dipolo magnetico

operatore di quadrupolo elettrico

interazione di quadrupolo elettrico

rkie rki 1

AprBkkiAprkiBk

)()(3

1

3

1

AprprBAprprBAprB 2

1

32

Interazione di dipolo magnetico: Lz = r1p2 – r2p1 proporzionale al momento magnetico

rdprpr

ALBAB

AzB

zztotz

31221

*

,

Interazione di dipolo magnetico

zp

z Lm

e

2

generata dalle correnti elettriche dovute ai protoni Dobbiamo inoltre aggiungere il contributo dei momenti magnetici intrinseci. La componente z dell’elemento di matrice contiene quindi l’operatore

zzp

totz Lm

e 2,

Sotto parità il momento magnetico si trasforma come il momento angolare

vrevrevre

)()(:Transizione M1 non cambia la parità del nucleo

33

Tipicamente

22

2

1

21

1

Rem

e

)Γ(E

)Γ(M

p

Np

z m

e 2

Possiamo quindi scrivere

Nel caso di un protone la sua lunghezza d’onda Compton è

fm 2.0GeV 1

fmMeV 2002

cm

c

p

Magnetone nucleare

Assumendo R 5 fm, troviamo

322

1025

104

1

1

R)Γ(E

)Γ(M

34

Se gli stati nucleari iniziale e finale differiscono per più di una unità di momento angolare

radiazione di multipolo di ordine superiore

Classificazione

Radiazione di multipolo

Ciascun termine successivo in A è ridotto rispetto al precedente di un fattore kR. Per k 1 MeV, R 5 fm kR 5 MeV fm 0.025 (5 MeV fm / hc). Quindi

Dipolo E1

nrki rkin

rkrkie 2

!

1

2

11

Dipolo M1 Quadrupolo E2

Quadrupolo M2 ottupolo E3

)Γ(E

)Γ(M

)Γ(E

)Γ(E

kR

1

110

1

2

10

3

32

35

L’elemento di matrice di una transizione E2 va come r2 pari sotto trasformazione di parità

Abbiamo le regole di selezione della parità

transizioni EL parità = (-1)L transizioni ML parità = (-1)L+1

In generale, un decadimento procederà in modo dominante dal processo di ordine più basso permesso dalla conservazione del momento angolare e della parità.

Ad esempio, se un processo ha J = 2, la parità non varia, esso procederà via E2, anche se M3 e E4 sono pure permessi.

fifi JJLJJ

e del momento angolare

36

Esempio:

Informazioni sulla natura delle transizioni è molto utile per dedurre i valori JP degli stati.

Anche gli effetti collettivi possono essere importanti:

- molti nucleoni partecipano alle transizioni

- Se un nucleo un grande valore di Q stati rotazionali eccitati favoriscono le transizioni E2

37

Generalizzazione dei risultati. I calcoli dettagliati danno

212

'!! 12

18),( mm

E QQc

m

212

'!! 12

18),( mm

M MMc

m

dovute alle coordinate spaziali

dovute al momento magnetico intrinseco

Gli elementi di matrice elettrico e magnetico dovuti alle coordinate spaziali possono essere scritti in coordinate polari

Ciascuna ampiezza è una somma di Z integrali !

I termini Q’Lm, M’Lm sono la somma di A integrali e contengono le matrici di Pauli.

Z

kikfmkm

Z

kikfmm

rdLYrmc

eM

rdrYeQ

1

3**

1

3**

),(1

1

),(

131212!! 12

38

Per fare una stima proviamo qualcosa di semplice. Consideriamo la transizione di un singolo protone

),( ),,( '''''''''''' njnfnjni RR

2/1

3'

3)0(

R

RrRn

RdrrRrR if

3

32*

Assumiamo che RnL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo

L’integrale radiale è quindi

L’integrazione della parte contenente le funzioni sferiche porta a un fattore S(Ji,Jf,L) che è dell’ordine dell’unità

2212

3

3

!! 12

18),( cR

c

EmE

modulo quadro dell’ampiezza

normalizzazione della funzione d’onda

39

In modo analogo, per transizioni magnetiche si ha

22

12

1

1

!! 12

18),(

cRmcc

EmM

93/85

72

53/47

33/214

101.14

343

103.72

100.11

EA

EA

EA

EA

E

E

E

E

926

73/4

53/27

313

105.44

163

105.32

106.51

EA

EA

EA

E

M

M

M

M

Procedendo in modo sistematico si ottengono le stime di Weisskopf

Esse forniscono non tanto stime assolute dei rate. Sono utili per confronti relativi dei rate di transizione

510)(

)1(

210

)(

)(

M

E