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I magnifici cinque
a cura di Renata Rizzo2006
N.B. per leggere i collegamenti ipertestuali sono necessari i software Cabri II plus v.1.2.5. e Cabri 3D v.1.1.
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I solidi di Platone ovvero
i poliedri regolari
• Tetraedro
• Esaedro o Cubo
• Ottaedro
• Dodecaedro
• Icosaedro
428- 347 a.C.
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Tra le figure piane
Si chiamano regolari i poligoni che sono ad un tempo
equilateri cioè con i lati tutti congruenti
e
equiangoli cioè con gli angoli tutti congruenti
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Si possono disegnare poligoni regolari con qualsiasi numero di lati
Al limite se i lati sono infiniti il poligono diventa un cerchio
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I poliedri regolari invece sono solo 5
Perché?
Inoltre le facce dei poliedri sono solo
TRIANGOLI EQUILATERI
QUADRATI
PENTAGONI REGOLARI
Tra i solidi:
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In Grecia nel V secolo a.C………
Impara dapprima le quattro radici di tutte le cose: l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua.
Questi elementi sono eterni: come potrebbero infatti morire dato che non c’è nessun luogo che ne sia privo? Sono l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua che, mescolati
insieme, danno le forme e i colori di tutte le cose mortali.
Empedocle 400 a.C.
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Così pensavano gli antichi e Platone circa un secolo dopo Empedocle, legò i quattro
elementi base dell’universo a quattro poliedri regolari:
Fuoco Tetraedro
Aria Ottaedro
Terra Esaedro
Acqua Icosaedro
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TETRAEDRO
4 vertici
4 facce triangolari
6 spigoli
Relazione di Eulero:
V + F = S + 2
Per il tetraedro:
4 + 4 = 6 + 2
Cioè:
8 = 8
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Lo sviluppo piano del TETRAEDRO
Le 3 facce concorrenti in un
vertice formano un angolo di
60° x 3 = 180°< 360°
Si può quindi piegare e richiudere
formando un solido
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Per gli antichi il
TETRAEDRO
era il simbolo del
FUOCO
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Scambiando le facce con i vertici si ottiene uno strano effetto
y
z
x
HA
B
C
D
tetraedro regolare e il suo duale in assonometria cavaliera libera
Dentro il tetraedro se ne forma un altro chiamato DUALE
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OTTAEDRO
6 vertici
8 facce triangolari
12 spigoli
Relazione di Eulero:
V + F = S + 2
Per il l’ottaedro:
6 + 8 = 12 + 2
Cioè:
14 = 14
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Lo sviluppo piano dell’ OTTAEDRO
Le 4 facce concorrenti in un
vertice formano un angolo di
60° x 4 = 240°< 360°
Si può quindi piegare e richiudere formando un solido
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Per gli antichi
l’ OTTAEDRO
rappresentava
l’ ARIA
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ESAEDRO o CUBO
8 vertici
6 facce quadrate
12 spigoli
Relazione di Eulero:
V + F = S + 2
Per il cubo:
8 + 6 = 12 + 2
Cioè:
14 = 14
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Lo sviluppo piano dell’ ESAEDRO
Le 3 facce concorrenti in un
vertice formano un angolo di
90° x 3 = 270°< 360°
Si può quindi piegare e richiudere
formando un solido
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Per gli antichi
il CUBO
rappresentava
La TERRA
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Scambiando le facce con i vertici anche in questo caso si ottiene
uno strano effetto
Dentro il cubo si forma un ottaedro DUALE
y
z
x
Q
KP
esaedro ed il suo duale ottaedro disegnati in assonometria cavaliera libera
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E dentro l’OTTAEDRO si forma un CUBO DUALE
y
z
x
Q
K P
il punto P f a ruotare il poligono di base sul suo piano la retta x modifi ca l' inclinazione dell'assonometriail punto Q modifi ca la dimensione di tutto il disegno
H
ottaedro regolare disegnato in assonometria cavaliera libera con il suo duale esaedro
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l’OTTAEDRO ha
6 vertici
8 facce
Il CUBO invece ha:
8 vertici
6 facce
Il numero delle facce e dei vertici è invertito
Infatti:
Cioè:
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ICOSAEDRO
12 vertici
20 facce triangolari
30 spigoli
Relazione di Eulero:
V + F = S + 2
Per l’ icosaedro:
12 + 20 = 30 + 2
Cioè:
32 = 32
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Lo sviluppo piano dell’ ICOSAEDRO
Le 5 facce concorrenti in un
vertice formano un angolo di
60° x 5 = 300°< 360°
Si può quindi piegare e richiudere
formando un solido
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L’ICOSAEDRO
era considerato il simbolo
dell’ACQUA
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DODECAEDRO
20 vertici
12 facce pentagonali
30 spigoli
Relazione di Eulero:
V + F = S + 2
Per l’ icosaedro:
20 + 12 = 30 + 2
Cioè:
32 = 32
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Lo sviluppo piano del DODECAEDRO
Le 3 facce concorrenti in un
vertice formano un angolo di
108° x 3 = 324°< 360°
Si può quindi piegare e richiudereformando un solido
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Dio si giovò del dodecaedro regolare per
decorare
l’ UNIVERSOPlatone
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Scambiando facce e vertici del DODECAEDRO compare ……
L’ICOSAEDRO DUALE
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Scambiando facce e vertici dell’ ICOSAEDRO compare ……
il DODECAEDRO DUALE
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Il DODECAEDRO ha
20 vertici
12 facce
L’ICOSAEDRO ha:
12 vertici
20 facce
Il numero delle facce e dei vertici è invertito
Infatti:
Cioè:
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Le straordinarie proprietà geometriche dei poliedri regolari hanno sempre affascinato l’uomo
lungo tutta la sua storia.
Ecco alcuni esempi:
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Leonardo da Vinci illustrò un trattato del matematico Luca Pacioli con questi
disegni
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Il grande artista olandese
M.C. Escher (1898-1972) ha realizzato moltissime litografie e xilografie in cui
compaiono i poliedri regolari.
Quattro solidi
33Ordine e disordine
34Rettili
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Tre solidi
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Molto suggestiva è anche l’immagine di questo quadro del pittore surrealista spagnolo Salvator Dalì (1904-1989)
raffigurante l’ultima cena sovrastata da una cupola trasparente a forma di dodecaedro regolare.