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I magnifici cinque

a cura di Renata Rizzo2006

N.B. per leggere i collegamenti ipertestuali sono necessari i software Cabri II plus v.1.2.5. e Cabri 3D v.1.1.

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I solidi di Platone ovvero

i poliedri regolari

• Tetraedro

• Esaedro o Cubo

• Ottaedro

• Dodecaedro

• Icosaedro

428- 347 a.C.

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Tra le figure piane

Si chiamano regolari i poligoni che sono ad un tempo

equilateri cioè con i lati tutti congruenti

e

equiangoli cioè con gli angoli tutti congruenti

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Si possono disegnare poligoni regolari con qualsiasi numero di lati

Al limite se i lati sono infiniti il poligono diventa un cerchio

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I poliedri regolari invece sono solo 5

Perché?

Inoltre le facce dei poliedri sono solo

TRIANGOLI EQUILATERI

QUADRATI

PENTAGONI REGOLARI

Tra i solidi:

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In Grecia nel V secolo a.C………

Impara dapprima le quattro radici di tutte le cose: l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua.

Questi elementi sono eterni: come potrebbero infatti morire dato che non c’è nessun luogo che ne sia privo? Sono l’aria, la terra, il fuoco e l’acqua che, mescolati

insieme, danno le forme e i colori di tutte le cose mortali.

Empedocle 400 a.C.

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Così pensavano gli antichi e Platone circa un secolo dopo Empedocle, legò i quattro

elementi base dell’universo a quattro poliedri regolari:

Fuoco Tetraedro

Aria Ottaedro

Terra Esaedro

Acqua Icosaedro

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TETRAEDRO

4 vertici

4 facce triangolari

6 spigoli

Relazione di Eulero:

V + F = S + 2

Per il tetraedro:

4 + 4 = 6 + 2

Cioè:

8 = 8

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Lo sviluppo piano del TETRAEDRO

Le 3 facce concorrenti in un

vertice formano un angolo di

60° x 3 = 180°< 360°

Si può quindi piegare e richiudere

formando un solido

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Per gli antichi il

TETRAEDRO

era il simbolo del

FUOCO

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Scambiando le facce con i vertici si ottiene uno strano effetto

y

z

x

HA

B

C

D

tetraedro regolare e il suo duale in assonometria cavaliera libera

Dentro il tetraedro se ne forma un altro chiamato DUALE

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OTTAEDRO

6 vertici

8 facce triangolari

12 spigoli

Relazione di Eulero:

V + F = S + 2

Per il l’ottaedro:

6 + 8 = 12 + 2

Cioè:

14 = 14

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Lo sviluppo piano dell’ OTTAEDRO

Le 4 facce concorrenti in un

vertice formano un angolo di

60° x 4 = 240°< 360°

Si può quindi piegare e richiudere formando un solido

14

Per gli antichi

l’ OTTAEDRO

rappresentava

l’ ARIA

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ESAEDRO o CUBO

8 vertici

6 facce quadrate

12 spigoli

Relazione di Eulero:

V + F = S + 2

Per il cubo:

8 + 6 = 12 + 2

Cioè:

14 = 14

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Lo sviluppo piano dell’ ESAEDRO

Le 3 facce concorrenti in un

vertice formano un angolo di

90° x 3 = 270°< 360°

Si può quindi piegare e richiudere

formando un solido

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Per gli antichi

il CUBO

rappresentava

La TERRA

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Scambiando le facce con i vertici anche in questo caso si ottiene

uno strano effetto

Dentro il cubo si forma un ottaedro DUALE

y

z

x

Q

KP

esaedro ed il suo duale ottaedro disegnati in assonometria cavaliera libera

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E dentro l’OTTAEDRO si forma un CUBO DUALE

y

z

x

Q

K P

il punto P f a ruotare il poligono di base sul suo piano la retta x modifi ca l' inclinazione dell'assonometriail punto Q modifi ca la dimensione di tutto il disegno

H

ottaedro regolare disegnato in assonometria cavaliera libera con il suo duale esaedro

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l’OTTAEDRO ha

6 vertici

8 facce

Il CUBO invece ha:

8 vertici

6 facce

Il numero delle facce e dei vertici è invertito

Infatti:

Cioè:

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ICOSAEDRO

12 vertici

20 facce triangolari

30 spigoli

Relazione di Eulero:

V + F = S + 2

Per l’ icosaedro:

12 + 20 = 30 + 2

Cioè:

32 = 32

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Lo sviluppo piano dell’ ICOSAEDRO

Le 5 facce concorrenti in un

vertice formano un angolo di

60° x 5 = 300°< 360°

Si può quindi piegare e richiudere

formando un solido

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L’ICOSAEDRO

era considerato il simbolo

dell’ACQUA

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DODECAEDRO

20 vertici

12 facce pentagonali

30 spigoli

Relazione di Eulero:

V + F = S + 2

Per l’ icosaedro:

20 + 12 = 30 + 2

Cioè:

32 = 32

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Lo sviluppo piano del DODECAEDRO

Le 3 facce concorrenti in un

vertice formano un angolo di

108° x 3 = 324°< 360°

Si può quindi piegare e richiudereformando un solido

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Dio si giovò del dodecaedro regolare per

decorare

l’ UNIVERSOPlatone

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Scambiando facce e vertici del DODECAEDRO compare ……

L’ICOSAEDRO DUALE

28

Scambiando facce e vertici dell’ ICOSAEDRO compare ……

il DODECAEDRO DUALE

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Il DODECAEDRO ha

20 vertici

12 facce

L’ICOSAEDRO ha:

12 vertici

20 facce

Il numero delle facce e dei vertici è invertito

Infatti:

Cioè:

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Le straordinarie proprietà geometriche dei poliedri regolari hanno sempre affascinato l’uomo

lungo tutta la sua storia.

Ecco alcuni esempi:

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Leonardo da Vinci illustrò un trattato del matematico Luca Pacioli con questi

disegni

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Il grande artista olandese

M.C. Escher (1898-1972) ha realizzato moltissime litografie e xilografie in cui

compaiono i poliedri regolari.

Quattro solidi

33Ordine e disordine

34Rettili

35

Tre solidi

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Molto suggestiva è anche l’immagine di questo quadro del pittore surrealista spagnolo Salvator Dalì (1904-1989)

raffigurante l’ultima cena sovrastata da una cupola trasparente a forma di dodecaedro regolare.