1

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI INDICE

a.a. 2012/13

2

Prezzi correnti e costanti

Nel tempo variano sia i prezzi che le quantità

Ogni aggregato è definito da due deponenti:

Il primo indica il tempo cui si riferiscono i prezzi

Il secondo quello delle quantità.

Vtt è il valore della produzione a prezzi e

quantità del tempo t

I conti a prezzi correnti e a prezzi costanti

Il modello rappresentativo del sistema economico 3

Il conto di equilibrio del tempo t “a prezzi

correnti” al tempo t cioè a prezzi e a

quantità del tempo t, si scrive:

 

Mtt+Vtt= Xtt+Ctt+ Att+Ett

I conti a prezzi correnti e a prezzi costanti

Il modello rappresentativo del sistema economico 4

Il conto di equilibrio del tempo t, “a prezzi costanti

del tempo 0”, cioè a prezzi del tempo 0 e a

quantità del tempo t si scrive:

 

M0t+V0t=X0t+C0t+A0t+E0t

I conti a prezzi correnti e a prezzi costanti

Il modello rappresentativo del sistema economico 5

Il rapporto

V0t / V0b=

Esprime la variazione in termini "reali" ossia misura la

variazione delle quantità tra i tempi t e b,

mantenendo i prezzi costanti e uguali a quelli del

tempo 0. E’ detto anche indice di volume

0 01 1

/n n

i it i ibi i

p q p q

I conti a prezzi correnti e costanti

Il modello rappresentativo del sistema economico 6

Il rapporto

Vt0 / Vb0=

Esprime un indice di prezzo ossia misura la variazione

dei prezzi tra i tempi t e b, mantenendo le quantità

costanti e uguali a quelli del tempo 0.

0 01 1

/n n

it i ib ii i

p q p q

7

Prezzi correnti e costanti

E’ chiaro che gli aggregati V0t e Vt0 (Vob e Vb0)

non sono aggregati reali rilevabili.

Essi devono essere calcolati tramite opportune

metodologie, ossia la teoria dei Numeri Indice e

e il Deflazionamento.

8

Prezzi correnti e costanti

Si definisce ora numero indice 0Pt , che

confronta i prezzi del tempo t con quelli del

tempo 0 una funzione dei due vettori dei prezzi

pt e p0 e dei pesi :

0Pt = f3n(pt, p0; )+

9

Prezzi correnti e costanti

Noti l’indice dei prezzi 0Pt e quello di valore 0Vt

0 00

0 01 1

/t tt

n n

it it i ii i

V V V

p q p q

10

Prezzi correnti e costanti

Si può sempre calcolare il cofattore

0t = 0Vt/0Pt

= ( p’t qt / p’0 q0) / f3n(pt, p0; ) =

= / f3n(pt, p0; )

11

Prezzi correnti e costanti

Si usa comunemente “deflazionare” gli

aggregati economici, per depurarli della parte di

variazione dovuta esclusivamente all’effetto dei

prezzi ed ottenere un aggregato espresso “a

prezzi costanti”, ossia di un aggregato la cui

variazione dipende solo dalle variabili reali.

12

Prezzi correnti e costanti

La procedura del deflazionamento consiste nel

dividere l’aggregato per un indice di prezzo

opportuno (o semplicemente, per un indice di

prezzo disponibile).

13

Prezzi correnti e costanti

L’operazione in oggetto ha la seguente

struttura:

Vtt / 0Pt =

=/f(pt,p0,=

0 0

1

n

i it ti

p q V

14

Prezzi correnti e costanti

Quindi la misura della variazione delle quantità

diventa:

0 00 0 0 01 1

/ /n n

t i it i ii i

V V p q p q

15

Prezzi correnti e costanti

Se ora si volesse istituire un confronto in

termini reali tra gli aggregati dei tempi t e b, per

eliminare l’effetto della dinamica dei prezzi si

devono confrontare gli aggregati a prezzi

costanti, ossia, come visto in precedenza

16

Prezzi correnti e costanti

Il rapporto

V0t / V0b=

Dal punto di vista delle proprietà si può dire che

il rapporto soddisfa Identità, Commensurabilità

e Omogeneità

0 01 1

/n n

i it i ibi i

p q p q

17

Prezzi correnti e costanti

Per ottenere gli aggregati a prezzi costanti è

necessario disporre di indici a base fissa.

Al trascorrere del tempo la dinamica dei

mercati provoca variazioni nei pesi e nelle

tipologie di beni presenti

18

Prezzi correnti e costanti

Inoltre, il rapporto è chiamato indice

di volume, infatti nel confronto entrano anche le

variazioni di qualità e di composizione degli

aggregati.

E’ chiaro che i due aggregati aumentano la loro

differenze in funzione della distanza tra t, b e 0.

0 0/t bV V

19

Prezzi correnti e costanti

E’ quindi necessario cambiare periodicamente

la base e costruire liste e ponderazioni nuove a

diversi tempi s1, s2,….., che si susseguono a

intervalli regolari

Per i confronti tra istanti accomunati dalla

medesima base vale quanto detto

20

Prezzi correnti e costanti

A proposito dei confronti tra periodi con basi

diverse ci si trova in una situazione del tipo

1 1

/i j i j

n n

s t s b s i ti s i bii i

V V p q p q

21

Prezzi correnti e costanti

Dal punto di vista delle proprietà rileviamo che,

nel caso in cui le quantità delle situazioni t e b

siano uguali, il confronto potrebbe anche

risultare diverso dall’unità, a causa dei diversi

prezzi ai quali esse sono valutate.

22

Prezzi correnti e costanti

Fin qui si è sempre genericamente discusso di

confronti tra aggregati a prezzi o a quantità

costanti e si è brevemente richiamato il

concetto di deflazionamento.

E’ ora opportuno fermarsi e recuperare concetti

noti di teoria dei numeri indice.

23

Prezzi correnti e costanti

In particolare si richiameranno gli indici di

Paasche e di Laspeyres e le relazioni che tra

loro intercorrono, al fine di meglio comprendere

i dati della Contabilità Nazionale pubblicati

dall’ISTAT.

24

Indice di Laspeyres dei prezzil’indice di Laspeyres può essere scritto come:

media aritmetica degli indici elementari

ponderata con i valori relativi della base

rapporto di spese a quantità della base

media armonica ponderata con i valori relativi

,bb iw

,tb iw

25

Indice di Laspeyres dei prezziMedia aritmetica

, , ,

1 ,, ,

1

,,

1 ,

nt i b i b iL

b t ni b i

b i b ii

nt i

bb ii b i

p p qP

p p q

pw

p

26

Indice di Laspeyres dei prezziMedia armonica

1

1

, , ,

1 ,, ,

1

1

1, ,

, 1,

1 ,, ,

1

nt i t i b iL

b t ni b i

t i b ii

n

b i b inb i i

tb i ni t i

t i b ii

p p qP

p p q

p qp

wp p q

27

Indice di Laspeyres dei prezziRapporto di spese a quantità costanti di b

, ,1

, ,1

n

t i b iL i

b t n

b i b ii

p qP

p q

28

Indice di Paasche dei prezzi

l’indice di Paasche può essere scritto come:

media aritmetica degli indici elementari

ponderata con i valori relativi wbt,i

rapporto di spese a quantità t

media armonica ponderata con i valori relativi

del tempo confrontato wtt,i

29

Indice di Paasche dei prezzi

Media aritmetica

, , ,

1 ,, ,

1

,,

1 ,

nt i b i t iP

b t ni b i

b i t ii

nt i

bt ii b i

p p qP

p p q

pw

p

30

Indice di Paasche dei prezzi

Media armonica 1

1

, , ,

1 ,, ,

1

1

1, ,

, 1,

1 ,, ,

1

nt i t i t iP

b t ni b i

t i t ii

n

b i t inb i i

tt i ni t i

t i t ii

p p qP

p p q

p qp

wp p q

31

Indice di Paasche dei prezzi

Rapporto di spese

, ,1

, ,1

n

t i t iP i

b t n

b i t ii

p qP

p q

32

Indice di Laspeyres delle quantitàl’indice di Laspeyres può essere scritto come:

media aritmetica degli indici elementari

ponderata con i valori relativi della base wbb,i

rapporto di spese a prezzi della base

Media armonica ponderata con i valori relativi

wbt,i

33

Indice di Laspeyres delle quantitàMedia aritmetica

, , ,

1 ,, ,

1

,,

1 ,

nt i b i b iL

b t ni b i

b i b ii

nt i

bb ii b i

q p qQ

q p q

qw

q

34

Indice Laspeyres delle quantitàMedia armonica

1

1

, , ,

1 ,, ,

1

1

1, ,

, 1,

1 ,, ,

1

nt i b i t iL

b t ni b i

b i t ii

n

b i b inb i i

bt i ni t i

b i t ii

q p qQ

q p q

p qq

wq p q

35

Indice di Laspeyres delle quantitàRapporto di spese a prezzi della base

, ,1

, ,1

n

b i t iL i

b t n

b i b ii

p qQ

p q

36

Indice di Paasche della quantitàl’indice di Paasche può essere scritto come:

media aritmetica degli indici elementari

ponderata con i valori relativi wtb,i

rapporto di spese a prezzi t

media armonica ponderata con i valori relativi

del tempo confrontato wtt,i

37

Indice di Paasche delle quantitàMedia aritmetica

, , ,

1 ,, ,

1

,,

1 ,

nt i t i b iP

b t ni b i

t i b ii

nt i

tb ii b i

q p qQ

q p q

qw

q

38

Indice di Paasche delle quantitàMedia armonica

1

1

, , ,

1 ,, ,

1

1

1, ,

, 1,

1 ,, ,

1

nt i t i t iP

b t ni b i

t i t ii

n

t i b inb i i

tt i ni t i

t i t ii

q p qQ

q p q

p qq

wq p q

39

Indice di Paasche delle quantitàRapporto di spese

, ,11

, ,11

n

t i tP i

b t n

t i bi

p qQ

p q

40

Teoria dei numeri indice

l’indice di Laspeyres e quello di Paasche sono

caratterizzati da legami molto interessanti dal

punto di vista del loro impiego ai fini dell’analisi

dei dati della CN che ci accingiamo a condurre

41

Teoria dei numeri indice

In particolare le formule in oggetto soddisfano

in modo incrociato le due importanti proprietà

della Reversibilità della base e dei fattori

42

Reversibilità della base

In generale tale proprietà consiste nella

seguente uguaglianza

Che vale, ovviamente, anche per gli indici di

quantità

1

b t t bP P

43

Reversibilità dei fattori

Detta proprietà è soddisfatta se il «cofattore»

coincide con l’indice di quantità calcolato con la

medesima formula di quello dei prezzi

/ Qb t b t b t b tQ V P

44

Reversibilità dei fattori

bVt/bPtL==

bQtP

=

Quindi il cofattore di un indice di Laspeyres dei prezzi è un indice di Paasche delle quantità

45

Reversibilità dei fattori

bVt/bPtP==

bQtL

=

Quindi il cofattore di un indice di Paasche dei prezzi è un indice di Laspeyres delle quantità

Reversibilità della base

Questa proprietà richiede che l’indice della

situazione t in base b sia essere uguale al

reciproco dell’indice della situazione b in base

t. Per un generico indice I si ha:

46

1( )b t t bI I

Reversibilità della base e Indice di Valore

47

1

, ,1 1

, ,1

, ,1

, ,1

n

t i t ii

b t n

b i b ii

n

b i b ii

t bn

t i t ii

p qV

p q

p qV

p q

Reversibilità della base e Indice di Paasche

48

1

, ,1

1

, ,1

, ,1

, ,1

n

t i t iP i

b t n

b i t ii

n

b i t iLi

t bn

t i t ii

p qP

p q

p qP

p q

Reversibilità della base e Indice di Laspeyres

49

1

, ,1

1

, ,1

, ,1

, ,1

n

t i b iL i

b t n

b i b ii

n

b i b iPi

t bn

t i b ii

p qP

p q

p qP

p q