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TEORIA DEI NUMERI

Progetto “Giochi matematici”

Referente: prof. Antonio FanelliReferente: prof. Antonio Fanelli

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TEORIA DEI NUMERI

Parte della Matematica che studia i numerinaturali ed interi e le relative proprietà.

TEORIA DEI NUMERI• Divisione euclidea

• Multipli e divisori

• Criteri di divisibilità

• Numeri primi

• Teorema fondamentale dell’Aritmetica• Teorema fondamentale dell’Aritmetica

• Scomposizioni particolari in fattori primi

• Crivello di Eratostene

• MCD e mcm

• Numeri primi tra loro

• Numero di divisori

• Qual è la cifra delle unità di …..?

DIVISIONE EUCLIDEA (CON RESTO)Dati due numeri naturali a e b, con b≠0, esisteun’unica coppia di numeri naturali q (dettoquoziente) e r (detto resto), tali che

a=bq+r con 0≤r<b

( )00restocon: ≠<≤+⋅=⇔= bbrrqbarqba

Esempio:

La divisione 32:9 fornisce q=3 e r=5.

Infatti 32=9⋅3+5

MULTIPLI E DIVISORIDati due numeri naturali a e b, con b≠0, se a=bq,cioè se la divisione a:b ha resto nullo, allora sidice che a è multiplo di b oppure che b è undivisore di a.

Esempio:

8 è un divisore di 56 (e quindi 56 è un multiplodi 8) poiché 56=8⋅7

CRITERI DI DIVISIBILITÀ • Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è un

multiplo di due o zero.• Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue

cifre è un multiplo di 3.• Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre

sono 00 o un multiplo di 4.• Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o• Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o

5.• Un numero è divisibile per 7 se la differenza del

numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e ildoppio della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 7.

• Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra asomma delle cifre di posto pari e la somma delle cifredi posto dispari è 0 o un multiplo di 11.

CRITERI DI DIVISIBILITÀ (ESEMPI) • 392 è multiplo di 7; infatti 39-2⋅2=35 che è

multiplo di 7.

• 1727 è multiplo di 11; infatti (7+7)-(1+2)=11che è multiplo di 11.

NUMERI PRIMIUn numero naturale n, maggiore di 1, si diceprimo se ha come divisori solamente 1 e n.

In altre parole un numero primo ha esattamentedue divisori.

N.B.:

1 non è un numero primo!

NUMERI PRIMI• 2

• 3

• 5

• 7

11

• 29

• 31

• 37

• 41

43

• 67

• 71

• 73

• 79

83• 11

• 13

• 17

• 19

• 23

• 43

• 47

• 53

• 59

• 61

• 83

• 89

• 97

• 101

• 103

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA

Ogni numero naturale n, maggiore di 1, èrappresentabile in modo unico (a meno diriordinamenti dei fattori) come prodotto dinumeri primi. Raggruppando sotto forma dinumeri primi. Raggruppando sotto forma dipotenza i fattori primi uguali, allora lafattorizzazione, unica, avrà la forma

kek

ee pppn ⋅⋅⋅= .........21

21

SCOMPOSIZIONI PARTICOLARI IN FATTORI PRIMI

• 2014=2⋅19⋅53

• 2015=5⋅13⋅31

• 2016=25⋅32⋅7• 2016=25⋅32⋅7

CRIVELLO DI ERATOSTENECome verificare se un numero naturale n èprimo? Bisognerebbe verificare che non èdivisibile per ogni numero primo minore di n.

In realtà basta fermarsi prima, cioè bastaverificare che n non è divisibile per ogni numeroprimo p tale che p≤√n.primo p tale che p≤√n.

Esempio: Vorrei verificare se 313 è un numeroprimo.

Poiché 17<√313<18, basta verificare se èdivisibile per 2,3,5,7,11,13,17. In effetti è primo.

MCD e mcm

Si definisce massimo comun divisore (MCD) tradue (o più) numeri naturali (non nulli) il piùgrande numero naturale tra i divisori comuni deinumeri considerati.

Si definisce minimo comune multiplo (mcm) traSi definisce minimo comune multiplo (mcm) tradue (o più) numeri naturali (non nulli) il piùpiccolo numero naturale tra i multipli comunidei numeri considerati.

Proprietà importante nel caso si considerino due numeri

( ) ( ) babamcmbaMCD ⋅=⋅ ,,

NUMERI PRIMI TRA LORO

Due numeri naturali si dico primi tra loro

(oppure coprimi) quando il loro MCD è uguale a1.

Esempi:

8 e 7 sono primi tra loro poiché MCD(8,7)=1• 8 e 7 sono primi tra loro poiché MCD(8,7)=1

• 9 e 8 sono primi tra loro poiché MCD(9,8)=1

N.B.: se due numeri sono primi tra loro, non è detto chealmeno uno di loro sia un numero primo!

NUMERO DI DIVISORI

Sia n un numero naturale, maggiore di 1, e siad(n) il numero dei sui divisori.

Se n si scompone come

allora

kek

ee pppn ⋅⋅⋅= .........21

21

( ) ( ) ( ) ( )1..............11 21 +⋅⋅+⋅+= keeend

Esempi:

• se n=84=22⋅3⋅7, allora d(84)=3⋅2⋅2=12

• se n=432=24⋅33, allora d(432)=5⋅4=20

QUAL È LA CIFRA DELLE UNITÀ DI …..?

Supponiamo ora di chiederci: qual è la cifra delleunità di 7583⋅4987?

La risposta sarà uguale alla cifra delle unità delprodotto 3⋅7, quindi la risposta sarà 1.

QUAL È LA CIFRA DELLE UNITÀ DI …..?

Supponiamo ora di chiederci: qual è la cifra delleunità di 3122?

Sappiamo che 30=1, 31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=..3,36=..9, 37=…7, 38=…1, 39=….3, e così via.

Ogni quattro potenze di 3 la cifra delle unità siripete con la stessa periodicità, cioè 1,3,9,7.ripete con la stessa periodicità, cioè 1,3,9,7.

In particolare se divido per 4 l’esponente, se horesto 0 la cifra delle unità sarà 1, se ho resto 1 lacifra delle unità sarà 3, se ho resto 2 la cifra delleunità sarà 9, se ho resto 3 la cifra delle unità sarà 7.

Poiché il resto della divisione tra 122 e 4 è 2, allorala cifra delle unità di 3122 è 9.

QUESITI PRESI DAI

GIOCHI D’ARCHIMEDEGIOCHI D’ARCHIMEDE

DEGLI ANNI SCORSI

1) ARCH. Biennio 2012

6) ARCH. Biennio e Triennio 2011

13) ARCH. Triennio 2012

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