Post on 02-May-2015
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Dottorato di finanza aziendale.
Complex systems in economics.
State Preference Theory and Predictions.
(a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)
Università di Trieste Facoltà di Economia.2 marzo 2006
2
STATE PREFERENCE THEORY
3
Gli stati di natura.
Il prezzo di un titolo può essere indagato sulla
base di stati di natura che il titolo attraversa.
Che sussistano diversi stati di natura è
innegabile.
4
Quanti stati di natura esistono?
Questione più delicata è se sia possibile
classificare gli stessi in modo inconfutabile.
Certamente possono essere immaginate delle
situazioni di contesto che siano interpretative,
in ogni circostanza, della realtà (senza cioè che
una parte di questa venga trascurata).
5
Alcuni esempi.
Ad esempio, si può giudicare importante studiare la condotta del titolo rispetto all’andamento dell’economia (economia in espansione, in recessione e così via).
Si richiede nella SPT che gli stati di natura siano mutualmente esclusivi.
La presenza di diversi stati di natura è implicitamente supposta dalla teoria del rischio e dell’incertezza e di certo influisce sul valore dei titoli.
6
La previsione di differenti stati di natura può talora corrispondere a diversi possibili scenari presi in considerazione dagli analisti finanziari che indagano le prospettive di un’impresa o dei titoli da questa emessi.
Gli stati di natura e gli analisti finanziari.
7
Tale tipo di indagine presenta delle analogie con il processo di outlook delle agenzie di rating.
Trattasi di un’opinione in merito alla probabile direzione in cui si muoverebbe il rating di una società nel caso in cui lo scenario ritenuto più probabile e posto a base dell’originario rating fosse messo in discussione.
Analogie con il processo di outlook.
8
Ed ecco anche un’ipotesi che richiede approfondimenti.
Ci si riferisce all’idea di qualificare come stati di natura le classi di rating in cui un titolo può essere collocato.
Tale ipotesi sembra sufficientemente credibile quando si tratti di titoli obbligazionari.
Analogie con il processo di rating.
9
In occasione dell’ emissione di diverse trance di titoli obbligazionari aventi rating diversi (AAA, AA, A, BBB, etc.) ad ogni condizione sono associati diversi pay-off.
Come vedremo, ad ogni stato di natura si associa un particolare pay-off.
Ciò accadrebbe anche per l’ipotesi ora prospettata.
Classi di rating e pay-off.
10
Principio di esclusione.
Come già avvertito si richiede nella SPT
che gli stati di natura siano mutualmente
esclusivi.
Cioè, tutti possono manifestarsi, ma
quando è il turno dell’uno, gli altri sono esclusi.
11
Coerenza con la realtà.
In generale alla base della SPT c’è l’idea
che esistano prezzi dei titoli coerenti con le
condizioni reali. Detti prezzi “scontano” la
presenza degli stati di natura. Perciò i prezzi di
mercato dei titoli possono essere analizzati al
fine di desumere la struttura per stati di natura.
12
Nasce l’idea dei pay-off.
Va da sé che ciò implica la conoscenza
del valore a scadenza (uniperiodale) che si
giudica di poter ottenere disfacendosi del titolo
(o, comunque, con stima a valore di mercato),
al verificarsi di uno degli stati di natura (e, cioè,
per ciascun singolo stato).
13
Il prezzo del titolo nella SPT.
L’idea è che oggi il prezzo del titolo
verrebbe a rappresentare una combinazione di
valori di cessione che lo stesso riceverebbe in
ciascuno stato di natura.
Tale combinazione richiede la conoscenza
di tassi di stima che, applicati ai valori di
cessione, renda coerente il risultato cui si
perviene rispetto al prezzo di mercato del titolo.
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I prezzi originari o puri.
I pay-off per stato di natura sono
oggetto di previsione da parte degli investitori.
Detti pay-off rappresentano titoli puri
condizionati dal loro stato di natura.
L’acquisto di ciascun pay-off ha un
prezzo (costo per unità di pay-off).
15
Mentre i pay-off e i relativi prezzi
generano, per ciascuno stato di natura, una
speciale attività finanziaria, un nuovo tipo di
titolo che prende la denominazione di titolo
originario o puro, i titoli di mercato possono
essere interpretati quali portafogli di titoli
originari o puri.
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Ad esempio: supponiamo di stimare due stati di natura: 1 e
2.
Consideriamo un titolo quotato sul mercato finanziario, il
quale abbia un prezzo, oggi, coerente con il rischio, di euro 15:
sia questo il titolo a.
Se giudichiamo che al titolo a nello stato di natura 1 sia
riconoscibile un valore di cessione (a scadenza) uniperiodale di
euro 10, e nello stato di natura 2 sia riconoscibile un valore di
cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 20, possiamo scrivere
la relazione seguente:
(1)
152010 21 pp
Un primo portafoglio di titoli puri
17
Allo stesso modo consideriamo il titolo di
mercato b anch’esso quotato, il quale abbia un
prezzo oggi, coerente con il rischio di euro 15.
Se giudichiamo che al titolo b nello stato di
natura 1 sia riconoscibile un valore di cessione
(a scadenza) uniperiodale di euro 30, e nello
stato di natura 2 sia riconoscibile un valore di
cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 10,
possiamo scrivere la relazione seguente
151030 21 pp (2)
Un secondo portafoglio di titoli puri
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E così si farebbe per ciascun titolo di
quel mercato e si potrebbe fare per il
portafoglio di mercato che esprime la
capitalizzazione dell’intero mercato.
Estensione al portafoglio di mercato.
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Le relazioni precedenti costituiscono la base
elementare di multipli che vengono a generarsi
quando del titolo a, b, ecc. si possiedono più
azioni, ovvero quando si ponga, per un
operatore, un volume d’investimento e, cioè la
disponibilità di un capitale monetario (un budget)
impiegabile nell’acquisto del titolo a, b, ecc.
Presenza di un budget monetario.
20
Valori multipli.
Ad esempio, se l’operatore dispone di euro 900,
egli potrebbe acquistare sino a 60 azioni di a o
di b (essendo 900:15=60).
Allora, la (1) a le (2) diverrebbero
601560206010 21 pp
601560106030 21 pp
e così via.
21
Obiettivi della ricerca.
La S.P.T. costituisce un territorio indagato in profondità attraverso strette connessioni con le funzioni di utilità degli operatori.
La teoria ha sviluppato le condizioni di ottimizzazione del portafoglio, consentendo di individuare le migliori scelte di consumo e di investimento. In tale prospettiva è necessario conoscere il volume della ricchezza posseduta dagli operatori e le funzioni di utilità.
22
Obiettivi della ricerca.
Il nostro obbiettivo è diverso. Vogliamo indagare unicamente in merito alla predittività del modello di state preference theory.
Ci prefiggiamo perciò disegnare la struttura ideale all’interno di un mercato perfetto ed efficiente e coerente con il CAPM.
23
Pertanto prescinderemo dai budget degli operatori e ricondurremo il sistema di equazioni del modello di S.P.T. ad un sistema di equazioni aventi tutte il medesimo termine noto che verrà a rappresentare il prezzo di mercato di un quota ideale del portafoglio di mercato.
Obiettivi della ricerca.
24
Articolazione dei pay-off.
I valori (indifferentemente unitari o
multipli) corrispondenti ai c.d. pay-off (valori di
cessione a scadenza uniperiodale) vengono
ora indicati con i simboli .,...,,121
25
Il sistema di SPT.
In generale, nasce il sistema che è
rappresentabile come segue:
Pppp a
amm
aa ...2211
Pppp b
bmm
bb ...2211
Pppp z
zmm
zz ...2211
(3)
26
Il mercato completo.
Chiaramente il modello suppone, come ben
evidenzia il sistema (3), che gli stati di natura
presenti siano gli stessi per ciascun titolo del
mercato. In tal senso, per costruire la logica
della SPT occorrono almeno due stati di
natura e due titoli coerenti. Se ciò accade
acquisiscono significato i prezzi e .p1 p
2
27
Cioè se il sistema è coerente, dati
e , emerge il posizionamento dei due
titoli di mercato e, quindi, il posizionamento di tutti i
titoli di quel contesto negli stessi stati di natura.
Di qui l’utilità di utilizzare SPT in appoggio a CAPM.
Se gli stati di natura sono, però, tre, occorre disporre
di tre titoli coerenti e così via.
a2
b1
b2
a1
Il mercato completo.
28
Definizione: il mercato si dice completo quando il numero di singoli titoli linearmente indipendenti è uguale al numero totale delle future condizioni alternative.
29
Il mercato completo con due titoli.
Per comprendere la questione, si consideri
il caso dei due titoli, con i valori espressi della
(1) e della (2).
Sia il sistema seguente
Ppp a
aa 2211
Ppp b
bb 2211
30
Stabiliti i pay-off, il sistema diventa
152010 21 pp
151030 21 pp
Il mercato completo con due titoli.
31
Tale sistema consente di determinare i prezzi
dei titoli puri come segue
30,01p 60,02
p
i quali sono coerenti con la linea del mercato
12 5,025
Il mercato completo con due titoli.
32
La retta del mercato ed i suoi punti.
Per
rischio) di privo f, (titolo 6,16 ha si 6,16
J) (titolo 25 ha si 0
Z)(titolo 0 ha si 50
21
21
21
33
La retta del mercato ed i suoi punti.
50
25
0
Z
J
6,16
f
b
30
10
6,16
10
20a
1c
2c
34
Per interpretare il posizionamento reciproco
dei portafogli di titoli puri conviene costruire la
retta del mercato, come appare in figura.
La retta del mercato ed i suoi punti.
35
Scelto il titolo a come parte del portafoglio di
mercato si riporta sull’asse orizzontale il suo
pay-off, valevole per lo stato di natura n. 1 e
sull’asse verticale il suo pay-off valevole per lo
stato di natura n. 2: a(10,20).
La meccanica dei titoli puri.
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Parimenti, scelto il titolo b che sia parte del
portafoglio di mercato si riporta sull’asse
orizzontale il suo pay-off valevole per lo stato di
natura n. 1, e sull’asse verticale il suo pay-off
valevole per lo stato di natura n. 2: b(30,10).
La meccanica dei titoli puri
37
Un titolo non coerente.
• Supponiamo che su quel mercato sia presente
un titolo c sottovalutato o sopravvalutato: ad
esempio, si abbia c(25,10) oppure c(25,20).
• Attraverso operazioni di arbitraggio questo
verrebbe ricondotto a collocarsi sulla retta come
accadrebbe per la posizione espressa da
155,122521
ppe cioè c(25,12,5)
38
I riferimenti canonici
Sulla retta emergono alcuni punti canonici:
• le due intercette sull’asse verticale e su quello
orizzontale;
• il posizionamento del titolo privo di rischio.
39
Lo stesso pay-off
Si nota, qualsiasi sia l’inclinazione della retta,
come il titolo privo di rischio presenti lo stesso
valore di pay-off nei diversi stati di natura.
Tale circostanza ne consente l’immediata
percezione.
40
Il confronto di detto valore con il prezzo di
capitalizzazione permette di leggere la misura
del tasso privo di rischio su base uniperiodale.
Questo è tanto più elevato quanto più il prezzo
di capitalizzazione è inferiore al pay-off,
secondo la seguente legge
R f
1
rischio di privo titolodel off-pay azionecapitalizz di prezzo
La lettura del tasso privo di rischio
41
Così nel caso in esame: detto f il pay-off del titolo privo di rischio, identico nei due stati di natura, risulta
0,30 f + 0,60 f = 15
6,1690,0
15f
ma ciò significa che
R f
1
6,1615 da cui 1,0R f
Un esempio
42
Nel caso in cui il prezzo di capitalizzazione
coincida con il pay-off il tasso privo di rischio
assume un valore nullo.
La misura di Rf dipende così dall’inclinazione
della retta del mercato.
Quale tasso privo di rischio?
43
Sia, ad esempio, la seguente nuova situazione
dei titoli del mercato (per semplicità
consideriamo direttamente i punti di intersezione
della nuova retta con gli assi)
1203021
pp12200
21 pp
6,020
12
4,030
12
2
1
p
pda cui
44
Ne segue
12
1260,040,0
f
ff
ma ciò significa che
R f
1
1212 da cui 0R f
45
Una volta che si disponga di un mercato
completo (due titoli e due stati di natura; tre titoli
e tre stati di natura, ecc.), dall’osservazione
della retta del mercato possono trarsi tutte le
situazioni alternative, coerenti con il rischio.
Determinazione delle probabilità
46
Le basi del sistema.
Giocano sempre un peso rilevante i punti di
intersezione della retta con gli assi cartesiani.
Nel primo esempio mostrato questi
corrispondono al sistema:
15250
15050
21
21
pp
pp
47
Nel secondo esempio mostrato questi
corrispondono al sistema:
12200
12030
21
21
pp
pp
Le basi del sistema.
48
Come si perviene ad apprezzarele probabilità.
Immaginando di trovarsi su un mercato
efficiente, per descrivere le probabilità per
singolo portafoglio di titoli puri conviene
dapprima ricercare per ogni elemento del
portafoglio il tasso atteso di rendimento.
49
Costruiamo un esempio.
Lavoriamo sul secondo sistema scegliendo
sulla retta del mercato il seguente portafoglio,
che indichiamo quale titolo di mercato J.
12101521
pp
che è coerente per 4,01p e 6,0
2p
50
Ci poniamo le seguenti domande:
• qual è la probabilità di manifestazione del
primo stato di natura?
• qual è la probabilità di manifestazione del
secondo stato di natura?
La probabilità per stato di natura.
51
Procediamo per gradi
1° step: ricerchiamo per ogni elemento del portafoglio
(stato di natura) il tasso atteso di rendimento
Primo stato
Secondo stato 61,011210
112
2~2
R J
Il tasso atteso di rendimento
25,011215
112
1~1
R J
52
2° step: ricerchiamo il valore attuale di 1 euro contenuto
nel pay-off di ciascuno stato
80,025,01
1
VAPrimo stato
Secondo stato 19,161,01
1
VA
Valore attuale di un euro di pay-off
53
3° step: troviamo le probabilità. Dal momento che i
valori attuali precedenti divergono dal prezzo puro
(e cioè dal prezzo al quale è acquistabile oggi 1
euro di pay-off) deve essere
4,025,01
euro 11
VAPrimo stato
con
Calcolo delle probabilità.
Si constata che pRp J 11
1
11
~1
1
5,01
54
Secondo stato 6,061,01
euro 12
VA
Come può notarsi si ha
con
150,050,021
Calcolo delle probabilità.
Si constata che pRp J 22
2
22
~2
1
5,02
55
Noti i valori di tutti i coefficienti l’equazione data
12101521
pp
si trasforma nella seguente identità
121061,01
50,0 euro 115
25,01
50,0 euro 1
Calcolo delle probabilità.
56
Che consente di intuire l’espressione
11
euro 1
1
euro 12
2
1
1
~~21
RR JJJJProbabilità in termini di rapporto tra casi favorevoli e casi possibili
dove
2
1
~
~
2
1
1
1
R
R
JJ
JJ
57
Ciascuna probabilità può essere interpretata
come segue:
1
1
11
1
~1
1
11
Rp
JJJ
Secondo stato
Primo stato
2
2
22
2
~2
1
11
Rp
JJJ
e ciò in quanto Rp
Rp
JJ
~~21
1
1 e
1
12
2
1
1
58
Ne segue
possibili casifavorevoli casi
1 ~1
11 R JJ
possibili casifavorevoli casi
1 ~2
22 R JJ
con 111 ~~
21
2211
RR JJJJ
59
Speranza matematica.
Ora stabilito tutto questo, combinando le
probabilità con i valori dei pay-off estremi (punti
di incontro della retta del mercato con gli assi)
può scriversi la seguente relazione notevole
Jpp 222111
60
e nell’esempio
0,4 ∙ 30 ∙ 0,5 + 0,6 ∙ 20 ∙ 0,5 = 12
Va da sé che la precedente relazione ha valore
generale per qualunque punto della retta del
mercato.
È cioè applicabile permutando liberamente le
probabilità con il vincolo di , con ciò
individuando ogni volta un diverso portafoglio di titoli
puri.
121
Speranza matematica.
61
Si voglia, ora, analizzare un caso analogo a quello precedentemente esposto in cui figuri un terzo titolo e si delinei un terzo scenario.
Si consideri il seguente sistema:
123510
120200
120030
321
321
321
ppp
ppp
ppp[1]
Un caso a tre condizioni.
62
I pay-off relativi al terzo titolo consentono di determinare la sua posizione nel nuovo spazio di coordinate ( , , ).
Il suo vettore posizione sarà in questo modo:
1 2 3
3) ,5 ,10(i
Risolvendo il sistema, si trova che ha un valore pari a .6,1
3p
Un caso a tre condizioni.
63
Con riferimento ai punti nello spazio determinati dalle coordinate espresse nel sistema [1], (30,0,0), (0,20,0), (10,5,3), è facile tracciare il piano Π su cui essi giacciono.
Ricordando alcune semplici nozioni di geometria, si scrive l’equazione scalare del piano Π come segue:
0
3 5 20
0 20 30
30 321
64
L’equazione del piano può essere nella forma cartesiana implicita:
0365596 321 Mettendo a sistema l’equazione del
piano Π con le equazioni degli assi coordinati si trovano i punti di intersezione :
)2,7 ,0 ,0(
0 ,20 ,0
0 ,0 ,30
C
B
A
65
Analogamente, mettendo a sistema l’equazione del piano Π con le equazioni dei piani ortogonali coordinati, si ottengono le equazioni delle rette di intersezione:
2032
12 intersezione con il piano P.O. . 21 , ,0
2,7256
13 intersezione con il piano P.V. . 31 , ,0
2,7259
23 intersezione con il piano P.L. . 32 , ,0
66
È facile convincersi che l’equazione della retta ottenuta come intersezione del piano Π con il piano orizzontale sia la stessa della portfolio line ottenuta nel secondo esempio svolto su due dimensioni.
Nell’esempio appena mostrato, il piano Π svolge il ruolo della portfolio line, per tanto può essere denominato “portfolio surface”.
I risultati ottenuti sono riportati nel grafico seguente.
67
W1
W2
W3
O
Π
W2= − 2/3W 1+ 20
W3 = − 6/25 W 2+ 7,2
W3= − 9/25 W 1 + 7,2
68
In una siffatta rappresentazione, la posizione del titolo privo di rischio è individuata dal punto di intersezione della retta di equazione
321 con il piano Π.
Le sue coordinate sono: (4,5, 4,5, 4,5).
Questa indagine è interessante. Ricordiamo che la determinazione del tasso privo di rischio nel caso di due titoli di mercato a due stati di natura si ottiene dati i prezzi puri nel modo seguente:
69
da cui discende:
fpfp 21
.~1f
R f
parimenti nel caso di tre titoli si avrà:
fpfpfp 321
Perché questo accada deve essere
f
70
Quanto sopra esposto determina la condizione generale per cui , ossia:0~ fR
1321 ppp
Quando si opera con tre titoli e tre stati di natura emerge un piano su cui giacciono i titoli di mercato (portafogli di titoli puri). Detto piano è una funzione degli stati di natura.
71
Dati i pay-off corrispondenti alle intersezioni del piano con gli assi coordinati e i prezzi puri, è possibile conoscere l’intera gamma di portafogli teorici di titoli puri, variando le probabilità per gruppi di tre.
Tale gamma è caratterizzata da un sistema probabilistico coerente con il rischio, e, infatti, pur potendo variare nelle sue componenti, non muta il valore di mercato dei titoli.
72
Ne segue che ogni sistema di mercato completo può essere disaggregato in tre distinte matrici:
1) la matrice dei titoli puri
2) la matrice delle intercette
3) la matrice delle probabilità.
La matrice delle probabilità si comporta come un gruppo di sostituzione.
73
La determinazione del portafoglio di mercato nel piano Π.
Il portafoglio di mercato rappresenta la totalità dei titoli “reali esistenti”.
I titoli di mercato, come visto, possono essere espressi come una combinazione dei vari titoli puri.
È allora possibile ridefinire il portafoglio di mercato come la combinazione di tutti i titoli puri.
74
Se sono i pay-off determinati alla fine del periodo al verificarsi di una delle tre possibili condizioni, ciascun possessore di un portafoglio di mercato riceverà una quota della ricchezza totale pari a:
TTT
321 , ,
T
T
T
3
2
1
se si verifica il primo stato
se si verifica il secondo stato
se si verifica il terzo stato
Dove è una costante, e indica la ricchezza totale relativa allo stato considerato.
T
75
Determinare la composizione del portafoglio di mercato di qualsiasi investitore è perciò semplice.
76
SPT e CAPM
La capacità predittiva del modello trattato si accentua riuscendo a sviluppare la sua connessione con il CAPM.
Facciamo riferimento al modello SPT a tre dimensioni.
Risulta possibile individuare sulla portfolio surface i punti esprimenti il tasso privo di rischio ed il portafoglio di mercato.
77
SPT e CAPM
Sulla portfolio surface, per i loro punti, passa la capital market line.
Ed ecco la relazione del β:
N
jM
M
N
ji
i
pr
prpr
j
jj
1
2
1