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Dottorato di finanza aziendale.

Complex systems in economics.

State Preference Theory and Predictions.

(a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)

Università di Trieste Facoltà di Economia.2 marzo 2006

2

STATE PREFERENCE THEORY

3

Gli stati di natura.

Il prezzo di un titolo può essere indagato sulla

base di stati di natura che il titolo attraversa.

Che sussistano diversi stati di natura è

innegabile.

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Quanti stati di natura esistono?

Questione più delicata è se sia possibile

classificare gli stessi in modo inconfutabile.

Certamente possono essere immaginate delle

situazioni di contesto che siano interpretative,

in ogni circostanza, della realtà (senza cioè che

una parte di questa venga trascurata).

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Alcuni esempi.

Ad esempio, si può giudicare importante studiare la condotta del titolo rispetto all’andamento dell’economia (economia in espansione, in recessione e così via).

Si richiede nella SPT che gli stati di natura siano mutualmente esclusivi.

La presenza di diversi stati di natura è implicitamente supposta dalla teoria del rischio e dell’incertezza e di certo influisce sul valore dei titoli.

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La previsione di differenti stati di natura può talora corrispondere a diversi possibili scenari presi in considerazione dagli analisti finanziari che indagano le prospettive di un’impresa o dei titoli da questa emessi.

Gli stati di natura e gli analisti finanziari.

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Tale tipo di indagine presenta delle analogie con il processo di outlook delle agenzie di rating.

Trattasi di un’opinione in merito alla probabile direzione in cui si muoverebbe il rating di una società nel caso in cui lo scenario ritenuto più probabile e posto a base dell’originario rating fosse messo in discussione.

Analogie con il processo di outlook.

8

Ed ecco anche un’ipotesi che richiede approfondimenti.

Ci si riferisce all’idea di qualificare come stati di natura le classi di rating in cui un titolo può essere collocato.

Tale ipotesi sembra sufficientemente credibile quando si tratti di titoli obbligazionari.

Analogie con il processo di rating.

9

In occasione dell’ emissione di diverse trance di titoli obbligazionari aventi rating diversi (AAA, AA, A, BBB, etc.) ad ogni condizione sono associati diversi pay-off.

Come vedremo, ad ogni stato di natura si associa un particolare pay-off.

Ciò accadrebbe anche per l’ipotesi ora prospettata.

Classi di rating e pay-off.

10

Principio di esclusione.

Come già avvertito si richiede nella SPT

che gli stati di natura siano mutualmente

esclusivi.

Cioè, tutti possono manifestarsi, ma

quando è il turno dell’uno, gli altri sono esclusi.

11

Coerenza con la realtà.

In generale alla base della SPT c’è l’idea

che esistano prezzi dei titoli coerenti con le

condizioni reali. Detti prezzi “scontano” la

presenza degli stati di natura. Perciò i prezzi di

mercato dei titoli possono essere analizzati al

fine di desumere la struttura per stati di natura.

12

Nasce l’idea dei pay-off.

Va da sé che ciò implica la conoscenza

del valore a scadenza (uniperiodale) che si

giudica di poter ottenere disfacendosi del titolo

(o, comunque, con stima a valore di mercato),

al verificarsi di uno degli stati di natura (e, cioè,

per ciascun singolo stato).

13

Il prezzo del titolo nella SPT.

L’idea è che oggi il prezzo del titolo

verrebbe a rappresentare una combinazione di

valori di cessione che lo stesso riceverebbe in

ciascuno stato di natura.

Tale combinazione richiede la conoscenza

di tassi di stima che, applicati ai valori di

cessione, renda coerente il risultato cui si

perviene rispetto al prezzo di mercato del titolo.

14

I prezzi originari o puri.

I pay-off per stato di natura sono

oggetto di previsione da parte degli investitori.

Detti pay-off rappresentano titoli puri

condizionati dal loro stato di natura.

L’acquisto di ciascun pay-off ha un

prezzo (costo per unità di pay-off).

15

Mentre i pay-off e i relativi prezzi

generano, per ciascuno stato di natura, una

speciale attività finanziaria, un nuovo tipo di

titolo che prende la denominazione di titolo

originario o puro, i titoli di mercato possono

essere interpretati quali portafogli di titoli

originari o puri.

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Ad esempio: supponiamo di stimare due stati di natura: 1 e

2.

Consideriamo un titolo quotato sul mercato finanziario, il

quale abbia un prezzo, oggi, coerente con il rischio, di euro 15:

sia questo il titolo a.

Se giudichiamo che al titolo a nello stato di natura 1 sia

riconoscibile un valore di cessione (a scadenza) uniperiodale di

euro 10, e nello stato di natura 2 sia riconoscibile un valore di

cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 20, possiamo scrivere

la relazione seguente:

(1)

152010 21 pp

Un primo portafoglio di titoli puri

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Allo stesso modo consideriamo il titolo di

mercato b anch’esso quotato, il quale abbia un

prezzo oggi, coerente con il rischio di euro 15.

Se giudichiamo che al titolo b nello stato di

natura 1 sia riconoscibile un valore di cessione

(a scadenza) uniperiodale di euro 30, e nello

stato di natura 2 sia riconoscibile un valore di

cessione (a scadenza) uniperiodale di euro 10,

possiamo scrivere la relazione seguente

151030 21 pp (2)

Un secondo portafoglio di titoli puri

18

E così si farebbe per ciascun titolo di

quel mercato e si potrebbe fare per il

portafoglio di mercato che esprime la

capitalizzazione dell’intero mercato.

Estensione al portafoglio di mercato.

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Le relazioni precedenti costituiscono la base

elementare di multipli che vengono a generarsi

quando del titolo a, b, ecc. si possiedono più

azioni, ovvero quando si ponga, per un

operatore, un volume d’investimento e, cioè la

disponibilità di un capitale monetario (un budget)

impiegabile nell’acquisto del titolo a, b, ecc.

Presenza di un budget monetario.

20

Valori multipli.

Ad esempio, se l’operatore dispone di euro 900,

egli potrebbe acquistare sino a 60 azioni di a o

di b (essendo 900:15=60).

Allora, la (1) a le (2) diverrebbero

601560206010 21 pp

601560106030 21 pp

e così via.

21

Obiettivi della ricerca.

La S.P.T. costituisce un territorio indagato in profondità attraverso strette connessioni con le funzioni di utilità degli operatori.

La teoria ha sviluppato le condizioni di ottimizzazione del portafoglio, consentendo di individuare le migliori scelte di consumo e di investimento. In tale prospettiva è necessario conoscere il volume della ricchezza posseduta dagli operatori e le funzioni di utilità.

22

Obiettivi della ricerca.

Il nostro obbiettivo è diverso. Vogliamo indagare unicamente in merito alla predittività del modello di state preference theory.

Ci prefiggiamo perciò disegnare la struttura ideale all’interno di un mercato perfetto ed efficiente e coerente con il CAPM.

23

Pertanto prescinderemo dai budget degli operatori e ricondurremo il sistema di equazioni del modello di S.P.T. ad un sistema di equazioni aventi tutte il medesimo termine noto che verrà a rappresentare il prezzo di mercato di un quota ideale del portafoglio di mercato.

Obiettivi della ricerca.

24

Articolazione dei pay-off.

I valori (indifferentemente unitari o

multipli) corrispondenti ai c.d. pay-off (valori di

cessione a scadenza uniperiodale) vengono

ora indicati con i simboli .,...,,121

25

Il sistema di SPT.

In generale, nasce il sistema che è

rappresentabile come segue:

Pppp a

amm

aa ...2211

Pppp b

bmm

bb ...2211

Pppp z

zmm

zz ...2211

(3)

26

Il mercato completo.

Chiaramente il modello suppone, come ben

evidenzia il sistema (3), che gli stati di natura

presenti siano gli stessi per ciascun titolo del

mercato. In tal senso, per costruire la logica

della SPT occorrono almeno due stati di

natura e due titoli coerenti. Se ciò accade

acquisiscono significato i prezzi e .p1 p

2

27

Cioè se il sistema è coerente, dati

e , emerge il posizionamento dei due

titoli di mercato e, quindi, il posizionamento di tutti i

titoli di quel contesto negli stessi stati di natura.

Di qui l’utilità di utilizzare SPT in appoggio a CAPM.

Se gli stati di natura sono, però, tre, occorre disporre

di tre titoli coerenti e così via.

a2

b1

b2

a1

Il mercato completo.

28

Definizione: il mercato si dice completo quando il numero di singoli titoli linearmente indipendenti è uguale al numero totale delle future condizioni alternative.

29

Il mercato completo con due titoli.

Per comprendere la questione, si consideri

il caso dei due titoli, con i valori espressi della

(1) e della (2).

Sia il sistema seguente

Ppp a

aa 2211

Ppp b

bb 2211

30

Stabiliti i pay-off, il sistema diventa

152010 21 pp

151030 21 pp

Il mercato completo con due titoli.

31

Tale sistema consente di determinare i prezzi

dei titoli puri come segue

30,01p 60,02

p

i quali sono coerenti con la linea del mercato

12 5,025

Il mercato completo con due titoli.

32

La retta del mercato ed i suoi punti.

Per

rischio) di privo f, (titolo 6,16 ha si 6,16

J) (titolo 25 ha si 0

Z)(titolo 0 ha si 50

21

21

21

33

La retta del mercato ed i suoi punti.

50

25

0

Z

J

6,16

f

b

30

10

6,16

10

20a

1c

2c

34

Per interpretare il posizionamento reciproco

dei portafogli di titoli puri conviene costruire la

retta del mercato, come appare in figura.

La retta del mercato ed i suoi punti.

35

Scelto il titolo a come parte del portafoglio di

mercato si riporta sull’asse orizzontale il suo

pay-off, valevole per lo stato di natura n. 1 e

sull’asse verticale il suo pay-off valevole per lo

stato di natura n. 2: a(10,20).

La meccanica dei titoli puri.

36

Parimenti, scelto il titolo b che sia parte del

portafoglio di mercato si riporta sull’asse

orizzontale il suo pay-off valevole per lo stato di

natura n. 1, e sull’asse verticale il suo pay-off

valevole per lo stato di natura n. 2: b(30,10).

La meccanica dei titoli puri

37

Un titolo non coerente.

• Supponiamo che su quel mercato sia presente

un titolo c sottovalutato o sopravvalutato: ad

esempio, si abbia c(25,10) oppure c(25,20).

• Attraverso operazioni di arbitraggio questo

verrebbe ricondotto a collocarsi sulla retta come

accadrebbe per la posizione espressa da

155,122521

ppe cioè c(25,12,5)

38

I riferimenti canonici

Sulla retta emergono alcuni punti canonici:

• le due intercette sull’asse verticale e su quello

orizzontale;

• il posizionamento del titolo privo di rischio.

39

Lo stesso pay-off

Si nota, qualsiasi sia l’inclinazione della retta,

come il titolo privo di rischio presenti lo stesso

valore di pay-off nei diversi stati di natura.

Tale circostanza ne consente l’immediata

percezione.

40

Il confronto di detto valore con il prezzo di

capitalizzazione permette di leggere la misura

del tasso privo di rischio su base uniperiodale.

Questo è tanto più elevato quanto più il prezzo

di capitalizzazione è inferiore al pay-off,

secondo la seguente legge

R f

1

rischio di privo titolodel off-pay azionecapitalizz di prezzo

La lettura del tasso privo di rischio

41

Così nel caso in esame: detto f il pay-off del titolo privo di rischio, identico nei due stati di natura, risulta

0,30 f + 0,60 f = 15

6,1690,0

15f

ma ciò significa che

R f

1

6,1615 da cui 1,0R f

Un esempio

42

Nel caso in cui il prezzo di capitalizzazione

coincida con il pay-off il tasso privo di rischio

assume un valore nullo.

La misura di Rf dipende così dall’inclinazione

della retta del mercato.

Quale tasso privo di rischio?

43

Sia, ad esempio, la seguente nuova situazione

dei titoli del mercato (per semplicità

consideriamo direttamente i punti di intersezione

della nuova retta con gli assi)

1203021

pp12200

21 pp

6,020

12

4,030

12

2

1

p

pda cui

44

Ne segue

12

1260,040,0

f

ff

ma ciò significa che

R f

1

1212 da cui 0R f

45

Una volta che si disponga di un mercato

completo (due titoli e due stati di natura; tre titoli

e tre stati di natura, ecc.), dall’osservazione

della retta del mercato possono trarsi tutte le

situazioni alternative, coerenti con il rischio.

Determinazione delle probabilità

46

Le basi del sistema.

Giocano sempre un peso rilevante i punti di

intersezione della retta con gli assi cartesiani.

Nel primo esempio mostrato questi

corrispondono al sistema:

15250

15050

21

21

pp

pp

47

Nel secondo esempio mostrato questi

corrispondono al sistema:

12200

12030

21

21

pp

pp

Le basi del sistema.

48

Come si perviene ad apprezzarele probabilità.

Immaginando di trovarsi su un mercato

efficiente, per descrivere le probabilità per

singolo portafoglio di titoli puri conviene

dapprima ricercare per ogni elemento del

portafoglio il tasso atteso di rendimento.

49

Costruiamo un esempio.

Lavoriamo sul secondo sistema scegliendo

sulla retta del mercato il seguente portafoglio,

che indichiamo quale titolo di mercato J.

12101521

pp

che è coerente per 4,01p e 6,0

2p

50

Ci poniamo le seguenti domande:

• qual è la probabilità di manifestazione del

primo stato di natura?

• qual è la probabilità di manifestazione del

secondo stato di natura?

La probabilità per stato di natura.

51

Procediamo per gradi

1° step: ricerchiamo per ogni elemento del portafoglio

(stato di natura) il tasso atteso di rendimento

Primo stato

Secondo stato 61,011210

112

2~2

R J

Il tasso atteso di rendimento

25,011215

112

1~1

R J

52

2° step: ricerchiamo il valore attuale di 1 euro contenuto

nel pay-off di ciascuno stato

80,025,01

1

VAPrimo stato

Secondo stato 19,161,01

1

VA

Valore attuale di un euro di pay-off

53

3° step: troviamo le probabilità. Dal momento che i

valori attuali precedenti divergono dal prezzo puro

(e cioè dal prezzo al quale è acquistabile oggi 1

euro di pay-off) deve essere

4,025,01

euro 11

VAPrimo stato

con

Calcolo delle probabilità.

Si constata che pRp J 11

1

11

~1

1

5,01

54

Secondo stato 6,061,01

euro 12

VA

Come può notarsi si ha

con

150,050,021

Calcolo delle probabilità.

Si constata che pRp J 22

2

22

~2

1

5,02

55

Noti i valori di tutti i coefficienti l’equazione data

12101521

pp

si trasforma nella seguente identità

121061,01

50,0 euro 115

25,01

50,0 euro 1

Calcolo delle probabilità.

56

Che consente di intuire l’espressione

11

euro 1

1

euro 12

2

1

1

~~21

RR JJJJProbabilità in termini di rapporto tra casi favorevoli e casi possibili

dove

2

1

~

~

2

1

1

1

R

R

JJ

JJ

57

Ciascuna probabilità può essere interpretata

come segue:

1

1

11

1

~1

1

11

Rp

JJJ

Secondo stato

Primo stato

2

2

22

2

~2

1

11

Rp

JJJ

e ciò in quanto Rp

Rp

JJ

~~21

1

1 e

1

12

2

1

1

58

Ne segue

possibili casifavorevoli casi

1 ~1

11 R JJ

possibili casifavorevoli casi

1 ~2

22 R JJ

con 111 ~~

21

2211

RR JJJJ

59

Speranza matematica.

Ora stabilito tutto questo, combinando le

probabilità con i valori dei pay-off estremi (punti

di incontro della retta del mercato con gli assi)

può scriversi la seguente relazione notevole

Jpp 222111

60

e nell’esempio

0,4 ∙ 30 ∙ 0,5 + 0,6 ∙ 20 ∙ 0,5 = 12

Va da sé che la precedente relazione ha valore

generale per qualunque punto della retta del

mercato.

È cioè applicabile permutando liberamente le

probabilità con il vincolo di , con ciò

individuando ogni volta un diverso portafoglio di titoli

puri.

121

Speranza matematica.

61

Si voglia, ora, analizzare un caso analogo a quello precedentemente esposto in cui figuri un terzo titolo e si delinei un terzo scenario.

Si consideri il seguente sistema:

123510

120200

120030

321

321

321

ppp

ppp

ppp[1]

Un caso a tre condizioni.

62

I pay-off relativi al terzo titolo consentono di determinare la sua posizione nel nuovo spazio di coordinate ( , , ).

Il suo vettore posizione sarà in questo modo:

1 2 3

3) ,5 ,10(i

Risolvendo il sistema, si trova che ha un valore pari a .6,1

3p

Un caso a tre condizioni.

63

Con riferimento ai punti nello spazio determinati dalle coordinate espresse nel sistema [1], (30,0,0), (0,20,0), (10,5,3), è facile tracciare il piano Π su cui essi giacciono.

Ricordando alcune semplici nozioni di geometria, si scrive l’equazione scalare del piano Π come segue:

0

3 5 20

0 20 30

30 321

64

L’equazione del piano può essere nella forma cartesiana implicita:

0365596 321 Mettendo a sistema l’equazione del

piano Π con le equazioni degli assi coordinati si trovano i punti di intersezione :

)2,7 ,0 ,0(

0 ,20 ,0

0 ,0 ,30

C

B

A

65

Analogamente, mettendo a sistema l’equazione del piano Π con le equazioni dei piani ortogonali coordinati, si ottengono le equazioni delle rette di intersezione:

2032

12 intersezione con il piano P.O. . 21 , ,0

2,7256

13 intersezione con il piano P.V. . 31 , ,0

2,7259

23 intersezione con il piano P.L. . 32 , ,0

66

È facile convincersi che l’equazione della retta ottenuta come intersezione del piano Π con il piano orizzontale sia la stessa della portfolio line ottenuta nel secondo esempio svolto su due dimensioni.

Nell’esempio appena mostrato, il piano Π svolge il ruolo della portfolio line, per tanto può essere denominato “portfolio surface”.

I risultati ottenuti sono riportati nel grafico seguente.

67

W1

W2

W3

O

Π

W2= − 2/3W 1+ 20

W3 = − 6/25 W 2+ 7,2

W3= − 9/25 W 1 + 7,2

68

In una siffatta rappresentazione, la posizione del titolo privo di rischio è individuata dal punto di intersezione della retta di equazione

321 con il piano Π.

Le sue coordinate sono: (4,5, 4,5, 4,5).

Questa indagine è interessante. Ricordiamo che la determinazione del tasso privo di rischio nel caso di due titoli di mercato a due stati di natura si ottiene dati i prezzi puri nel modo seguente:

69

da cui discende:

fpfp 21

.~1f

R f

parimenti nel caso di tre titoli si avrà:

fpfpfp 321

Perché questo accada deve essere

f

70

Quanto sopra esposto determina la condizione generale per cui , ossia:0~ fR

1321 ppp

Quando si opera con tre titoli e tre stati di natura emerge un piano su cui giacciono i titoli di mercato (portafogli di titoli puri). Detto piano è una funzione degli stati di natura.

71

Dati i pay-off corrispondenti alle intersezioni del piano con gli assi coordinati e i prezzi puri, è possibile conoscere l’intera gamma di portafogli teorici di titoli puri, variando le probabilità per gruppi di tre.

Tale gamma è caratterizzata da un sistema probabilistico coerente con il rischio, e, infatti, pur potendo variare nelle sue componenti, non muta il valore di mercato dei titoli.

72

Ne segue che ogni sistema di mercato completo può essere disaggregato in tre distinte matrici:

1) la matrice dei titoli puri

2) la matrice delle intercette

3) la matrice delle probabilità.

La matrice delle probabilità si comporta come un gruppo di sostituzione.

73

La determinazione del portafoglio di mercato nel piano Π.

Il portafoglio di mercato rappresenta la totalità dei titoli “reali esistenti”.

I titoli di mercato, come visto, possono essere espressi come una combinazione dei vari titoli puri.

È allora possibile ridefinire il portafoglio di mercato come la combinazione di tutti i titoli puri.

74

Se sono i pay-off determinati alla fine del periodo al verificarsi di una delle tre possibili condizioni, ciascun possessore di un portafoglio di mercato riceverà una quota della ricchezza totale pari a:

TTT

321 , ,

T

T

T

3

2

1

se si verifica il primo stato

se si verifica il secondo stato

se si verifica il terzo stato

Dove è una costante, e indica la ricchezza totale relativa allo stato considerato.

T

75

Determinare la composizione del portafoglio di mercato di qualsiasi investitore è perciò semplice.

76

SPT e CAPM

La capacità predittiva del modello trattato si accentua riuscendo a sviluppare la sua connessione con il CAPM.

Facciamo riferimento al modello SPT a tre dimensioni.

Risulta possibile individuare sulla portfolio surface i punti esprimenti il tasso privo di rischio ed il portafoglio di mercato.

77

SPT e CAPM

Sulla portfolio surface, per i loro punti, passa la capital market line.

Ed ecco la relazione del β:

N

jM

M

N

ji

i

pr

prpr

j

jj

1

2

1