0896 3515 bergamini_matematica_azzurro_vol2_cap.10

1. La necessità di ampliare l’insieme Q

n L’estrazione di radice non è un’operazione interna in QQ

Abbiamo visto che, partendo dall’insieme dei numeri naturali N, perrendere interna la sottrazione, operazione inversa dell’addizione, è statonecessario introdurre l’insieme dei numeri interi Z.Analogamente, con l’introduzione dell’insieme dei numeri razionali Q, èstato possibile rendere interna la divisione, operazione inversa della molti-plicazione:

N , Z , Q.

Nell’insieme Q è possibile eseguire sempre le quattro operazioni di addi-zione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (esclusa la divisione per 0).

Tuttavia, è necessario ampliare ancora l’insieme Q, perché l’operazioneinversa della potenza, l’estrazione di radice, non è interna in Q.

Infatti abbiamo visto che un qualsiasi numero razionale corrisponde a unnumero decimale finito o periodico e viceversa, mentre in alcuni casil’estrazione di radice ha come risultato numeri decimali illimitati e nonperiodici.

Per semplicità studiamo il problema limitandoci a considerare solo la ra-dice quadrata.

TEORIA

I numeri realie i radicali

Il problema di DeloUna leggenda narra che nell’anno 400 a.C. la città

di Atene fu colpita da una terribile epidemia di

peste. Una delegazione di ateniesi si diresse a Delfi

per consultare l’oracolo, nella speranza che

potesse indicare un modo per porre fine

all’epidemia. Questo fu il responso dell’oracolo:

«Ateniesi, per far cessare la peste, dovete duplicare

l’altare consacrato ad Apollo nell’isola di Delo»…

…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

nn© La risposta a pag. 686

CAPITOLO

Bergamini, Trifone, Barozzi Matematica.azzurro 2 © Zanichelli 2011 Algebra, Geometria, Probabilità

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALITEORIA

n La radice quadrata e i numeri razionali

Nell’insieme dei numeri razionali positivi o nulli, che indichiamo conQ 0

1, la radice quadrata non è un’operazione interna, perché esistononumeri la cui radice quadrata non è un numero razionale.

Dimostriamo, per esempio, che 2 non ha per radice quadrata un nume-ro razionale, facendo vedere che non esiste alcun numero razionale che,elevato al quadrato, dia come risultato 2.

Suddividiamo a tale scopo l’insieme dei razionali positivi, compreso lozero, in due sottoinsiemi: uno contenente le sole frazioni apparenti, cioè inumeri naturali, e l’altro contenente tutte le altre frazioni.

Procediamo in questi due insiemi alla ricerca di un numero il cui quadratosia uguale a 2.

1. Nessun naturale ha come quadrato 2. Infatti, associando a ogni natu-rale il suo quadrato, si può vedere che fra i quadrati il numero 2 noncompare.

n 0 1 2 3 4 5 …n 2 0 1 4 9 16 25 …

b} è una frazione appa-

rente se a è multiplo di b.

Per esempio, }6

2} 5 3 è ap-

parente; }1

2} e }

2} non sono

apparenti.

Radice quadrata

La radice quadrata di un numerorazionale positivo o nullo è quelnumero, positivo o nullo, che, ele-vato al quadrato, dà come risultatoil numero dato.

DEFINIZIONE

(a 0, b 0)

n La definizione di radice quadrata

Vogliamo definire la radice quadrata come operazione inversa dell’eleva-mento al quadrato; dato un numero a, vogliamo quindi determinare unnumero b che, elevato al quadrato, dia a.Consideriamo, per esempio, 25. È vero che:

(2 5)25 25 e 52

Ci sono due numeri, 2 5 e 5, che elevati al quadrato danno 25; tuttavia,affinché la radice quadrata sia un’operazione, dobbiamo associare a 25un solo valore. Per convenzione, scegliamo il valore positivo. Diciamo chela radice quadrata di 25 è 5 e scriviamo:

Ï25w 5 5.

Inoltre, non tutti i numeri razionali hanno la radice quadrata. Per esem-pio, Ï2w 1w6w non esiste perché nessun numero elevato al quadrato dàcome risultato un numero negativo.

Paragrafo 1. La necessità di ampliare l’insieme Q TEORIA

w In una frazione non ap-parente ridotta ai minimitermini il numeratore e ildenominatore sono primifra loro. Se eleviamo alquadrato la frazione, anco-ra numeratore e denomi-natore sono primi fra loro,perché sono dati daglistessi fattori, ripetuti duevolte. Per esempio:

2} 5 }

2. Nessuna frazione non apparente ha come quadrato 2. Supponiamo per

assurdo che esista una frazione non apparente }a

b} , ridotta ai minimi ter-

mini, il cui quadrato sia uguale a 2, ossia tale che:

b} non è una frazione apparente, significa che a non è multiplo di b.

Ma allora neanche la frazione 1}a

b} può essere apparente;

pertanto non può essere vera l’uguaglianza tra la frazione 1}a

apparente e il numero naturale 2, che è una frazione apparente.

Possiamo concludere che non esiste alcun numero razionale il cui quadratosia uguale a 2; pertanto l’operazione di radice quadrata non è interna in Q0

n Punti di una retta e numeri razionali

Nella rappresentazione dei numeri razionali su una retta, a ogni numerorazionale corrisponde un punto della retta. Viceversa, è vero che a ognipunto della retta corrisponde un numero razionale?

Possiamo rispondere che non è vero con un esempio.

ESEMPIO Consideriamo la retta orientata r. Costruiamo sul segmento AB

unitario un quadrato (figura 1a), indicando con d la misura della diagona-le AC (figura 1b), e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ABC:

d 25 12

1 125 2.

Il segmento AE (figura 1c) misura d, con d 25 2. Al punto E della retta r

non può quindi corrispondere un numero razionale.

Abbiamo così mostrato che esiste un punto sulla retta r a cui non corri-sponde nessun numero razionale.

m Figura 1

a. Costruiamo sul segmentounitario il quadrato ABCD.

b. Tracciamo la diagonale AC. c. Riportiamo AC con il compassosulla retta, ottenendoil segmento AE.

w Teorema di Pitagora: inun triangolo rettangolol’area del quadrato costrui-to sull’ipotenusa è ugualealla somma delle aree deiquadrati costruiti sui cateti.

w Abbiamo già visto cheogni numero razionale sipuò scrivere in forma deci-male limitata o illimitataperiodica e viceversa.

2. Dai numeri razionali ai numeri realin Le successioni approssimanti

Consideriamo la frazione }5

6} , che corrisponde al numero decimale perio-

dico 0,83w.

Questo numero può essere approssimato al numero di cifre decimali chesi vuole, per difetto o per eccesso.

Le approssimazioni per difetto all’intero e a una, due, tre... cifre deci-mali sono le seguenti:

0 0,8 0,83 0,833 0,8333 ...

Le approssimazioni per eccesso sono:

1 0,9 0,84 0,834 0,8334 ...

In prima approssimazione possiamo dire che }5

6} è compreso fra 0 e 1, in

seconda approssimazione che }5

6} è compreso fra 0,8 e 0,9 e così via.

Più aumentano le cifre decimali, più ci si avvicina al valore }5

Questo procedimento si può applicare a ogni numero decimale periodico.

Ogni numero decimale periodico può essere associato a due successionidi numeri decimali finiti che lo approssimano sempre meglio.

n I numeri decimali illimitati non periodici

Vediamo ora se è possibile applicare il procedimento delle approssima-zioni alla radice quadrata di 2, Ï2w, che come abbiamo dimostrato non èun numero razionale.

Cerchiamo prima due successioni di numeri decimali, tali che i loro qua-drati approssimino il numero 2, per difetto e per eccesso.

Prima approssimazione. Sappiamo che:

(1) 2, 2 , (2 )2.

Seconda approssimazione. Calcoliamo tutti i quadrati dei numeri conuna cifra decimale, compresi fra 1 e 2, e controlliamo fra quali di questinumeri si trova il numero 2:

(1,1)25 1,21 (1,2)2

5 1,44 (1,3)25 1,69

(1,4)25 1,96 (1,5)2

5 2,25

Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri richiesti:

1,96 , 2 , 2,25 ossia (1,4)2, 2 , (1,5)2.

Terza approssimazione. Con un procedimento analogo calcoliamo iquadrati dei numeri con due cifre decimali, compresi fra 1,4 e 1,5, con-trollando fra quali di essi si trova il 2.

(1,41)25 1,9881 (1,42)2

5 2,0164.

Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA

Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri fra cui ècompreso 2:

1,9881 , 2 , 2,0164 ossia (1,41)2, 2 , (1,42)2.

Ulteriori approssimazioni. Questo procedimento può continuare per laterza cifra decimale, la quarta e così via.

Scriviamo ora le due successioni che approssimano per difetto e per ec-cesso Ï2w.

● S 1: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...

● S 2: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; ...

I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda de-crescenti. La differenza fra un termine della seconda successione e il cor-rispondente della prima successione va via via diminuendo:

2 2 1 5 1; 1,5 2 1,4 5 0,1; 1,42 2 1,41 5 0,01...

Tuttavia, aumentando il numero delle cifre decimali, non si giunge mai a unostesso numero decimale finito o periodico. In tal caso, infatti, dovremmo tro-vare un numero razionale il cui quadrato è 2, cosa esclusa in precedenza.

Comunque, così come la scrittura 0,833333... è collegata alle due succes-

sioni che approssimano }5

6} e rappresenta }

6} in forma decimale, possia-

mo pensare che anche 1,41421... sia la scrittura decimale di Ï2w.

Scriviamo

Ï2w 5 1,41421...

Ï2w, pur avendo infinite cifre decimali, non è periodico. Un numero diquesto tipo viene detto numero decimale illimitato non periodico enon è un numero razionale.

n I numeri irrazionali

Potremmo far vedere che ogni volta che un’estrazione di radice non hacome risultato un numero razionale, esiste un procedimento per associa-re alla radice un numero decimale illimitato non periodico. Diamo allorala seguente definizione.

I numeri irrazionali sono infiniti. Per esempio, Ï3w, Ï5w, Ï3

2w, Ï5

7w sononumeri irrazionali.Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall’estrazione di ra-dici: per esempio, il numero p 5 3,14159...

w Se usi la calcolatrice percalcolare Ï2w, trovi un nu-mero decimale finito che èuna sua approssimazione.

w Il procedimento dellesuccessioni approssimantisi può estendere anche alleradici cubiche, quarte ecc.

w Il rapporto fra le misuredella circonferenza e deldiametro è costante e vieneindicato con p (pi greco).Nel 1761 il matematico te-desco Lambert dimostròche p è un numero irrazio-nale.

Numero irrazionale

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non pe-riodico.

DEFINIZIONE

n I numeri reali

Poiché esistono dei numeri non razionali, dobbiamo ampliare l’insiemedei numeri razionali considerando un nuovo insieme, che chiamiamo in-sieme dei numeri reali; tale insieme è l’unione dell’insieme dei numerirazionali e di quello degli irrazionali.

Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali, mentre R01 è l’insieme dei

numeri reali positivi o nulli.

Nell’insieme R si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione,moltiplicazione, divisione, potenza, estrazione di radice, ma non:

a) la divisione per 0;b) l’estrazione di radice con indice pari di numeri negativi.

Come l’insieme Q, anche l’insieme R è denso, cioè, dati due numeri rea-li a e b, esiste sempre un numero reale compreso tra essi, e quindi ne esi-stono infiniti.

L’insieme R si può mettere in corrispondenza biunivoca con i punti diuna retta: a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e vicever-sa. Per questo si dice che R è un insieme completo.

n Le operazioni tra numeri reali e le approssimazioni

Dal punto di vista teorico sarebbe possibile definire in modo rigoroso leoperazioni fra numeri reali e studiarne le proprietà.Si può inoltre dimostrare che R è un ampliamento di Q: le operazionifra numeri reali conservano le proprietà formali delle operazioni fra nu-meri razionali.Noi ci limiteremo a osservare che, per svolgere i calcoli, si devono utiliz-zare le approssimazioni decimali dei numeri reali. Cerchiamo di capireche cosa questo comporta.

Consideriamo Ï31w e Ï67w, limitandoci, per semplicità, alle approssima-zioni con due cifre decimali:

Ï31w è approssimato per difetto da 5,56 e per eccesso da 5,57, ossia

5,56 , Ï31w , 5,57;

Ï67w è approssimato per difetto da 8,18 e per eccesso da 8,19, ossia

8,18 , Ï67w , 8,19.

Notiamo che le approssimazioni per difetto forniscono sempre cifre certe,ossia cifre che sarebbero senz’altro presenti se considerassimo approssima-zioni con più di due cifre decimali. In altre parole siamo sicuri di poterscrivere:

Ï31w 5 5,56... Ï67w 5 8,18...

w Per calcolare Ï2w 2w ènecessario introdurre unnuovo insieme numerico.

w Q è denso, ma non ècompleto.

Numero reale

Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

DEFINIZIONE

w Le calcolatrici fornisco-no approssimazioni perdifetto.

Paragrafo 2. Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA

Calcoliamo ora la somma di Ï31w e Ï67w per eccesso e per difetto.

5,56 1 8,18 5 13,74 (per difetto)Ï31w 1 Ï67w 5

5,57 1 8,19 5 13,76 (per eccesso)

Poiché il risultato è compreso fra 13,74 e 13,76, non si può dire con cer-tezza quale sia la seconda cifra decimale della somma considerata.

L’unica cifra decimale certa è la prima, quindi possiamo solo scrivere:

Ï31w 1 Ï67w 5 13,7...

La somma è nota con un’incertezza maggiore di quella dei suoi ad-dendi.

Questa «propagazione dell’incertezza» è ancora più evidente se eseguia-mo la moltiplicazione.

Prendiamo come fattori gli addendi dell’esempio precedente e calcolia-mone il prodotto per eccesso e per difetto.

5,56 ? 8,18 5 45,4808 (per difetto)Ï31w ? Ï67w 5

5,57 ? 8,19 5 45,6183 (per eccesso)

Nel prodotto sono comparse quattro cifre decimali, ma non per questo ilrisultato è più preciso. Infatti, poiché il prodotto è compreso fra 45,4808e 45,6183, l’incertezza è già presente nella prima cifra decimale, quindipossiamo scrivere:

Ï31w ? Ï67w 5 45,...

Il prodotto è noto con un’incertezza maggiore di quella dei suoi fat-tori.

Questi due esempi forniscono un’idea dei problemi che sorgono quandosi opera con approssimazioni di numeri irrazionali.

Per evitare questi problemi, si preferisce non operare con i numeri realiin forma approssimata, ma definendo le operazioni con i radicali. Peresempio, impareremo che Ï31w ? Ï67w 5 Ï31w?w67w 5 Ï20w77w.

È facile comprendere che, se invece di un’operazione eseguiamo i calcolirelativi a un’espressione con più operazioni, l’incertezza si propaga dioperazione in operazione, rendendo sempre meno attendibile il risultato.

ESEMPIO

Calcoliamo il prodotto Ï31w ? Ï67w ? Ï80w.

Procedendo per difetto, otteniamo:

5,56 ? 8,18 ? 8,94 5 406,598352.

Se invece procediamo per eccesso, otteniamo:

5,57 ? 8,19 ? 8,95 5 408,283785.

L’incertezza si è propagata anche alla cifra dell’unità.

3. I radicali

Abbiamo visto che la radice quadrata è l’operazione inversa della potenzacon esponente 2 e che il simbolo Ïaw indica la radice quadrata di a, cheesiste se a $ 0 e rappresenta un numero reale non negativo.

Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica come operazione in-versa della potenza con esponente 3.Per esempio, la radice cubica di 8 è 2 perché 23

5 8 e la radice cubica di2 27 è 2 3 perché (2 3)3

5 2 27.

L’algoritmo di Erone è un procedimento che per-mette di calcolare la radice quadrata di un numero.Possiamo spiegarlo meglio con un esempio, utiliz-zando un’interpretazione geometrica.

Cerchiamo di calcolare Ï8w.Ï8w può essere intesa come la misura del lato di unquadrato di area 8. Vediamo come costruire talequadrato operando per approssimazioni successive.Scegliamo un numero b , 8, per esempio 5, e il

numero h 5 }b

8} 5 }

5} 5 1,6.

Costruiamo il rettangolo di lati 5 e }8

5}, che è equi-

valente al quadrato perché ha area 8.

I valori di b e h approssimano la misura del lato delquadrato, uno per eccesso e l’altro per difetto.Calcoliamo ora il valore medio b1 fra b e h:

b1 5 }b 1

1,6}5 3,3

e consideriamo poi h1 5 }b

} 5 }3

,3} 5 2,42…

ESPLORAZIONE: ERONE E LA RADICE QUADRATA

h1.2,42

b=5b1=3,3

lo vale 8, b1 è un valore approssimato per eccessodella misura del lato del quadrato, mentre h1 è unvalore approssimato per difetto.Poiché b1 è il valore medio fra b e h, b1 approssimaÏ8w meglio di b.

Possiamo ora considerare b2 5}b1 1

h1} e }

procedere poi in questo modo quante volte voglia-mo: le dimensioni dei rettangoli forniranno ap-prossimazioni sempre più precise di Ï8w, una pereccesso, l’altra per difetto. Dalla tabella (in cui i va-lori decimali sono approssimati) possiamo notareche con questo procedimento giungiamo piuttosto

rapidamente a un valore di Ï8w con una buona ap-prossimazione. Infatti, se calcoliamo Ï8w con unacalcolatrice, otteniamo Ï8w 5 2,828…

b h 5 }b

5 1,6 3,3

3,3 2,4242 2,8621

2,8621 2,7951 2,8286

… … …

IN DIECI RIGHE

Erone non è stato il solo ad affrontare il problemadell’estrazione della radice quadrata.Descrivi altri metodi in una relazione redatta con ilcomputer.

Cerca nel Web: metodi calcolo radice qua-drata, Archita, Bombelli, Newton.

Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misuri-no b1 e h1. Anche in questo caso l’area del rettango-

Paragrafo 3. I radicali TEORIA

Ogni numero reale a ha sempre una sola radice cubica in R che si indicacon Ï

aw.In generale la radice n-esima è l’operazione inversa della potenza conesponente n.

ESEMPIO

81w 5 3, perché 345 81.

32w 5 2, perché 255 32.

0w 5 0, perché 025 0.

2w 1w28w 5 2 2, perché (2 2)75 2 128.

2w 1w6w non esiste, perché non esiste un numero b tale che b45 2 16.

Dalla definizione di radice n-esima si deduce la seguente proprietà:

aw)n5 a

con a $ 0 se n è pari, ∀a [R se n è dispari.

Nell’insieme dei numeri reali l’operazione di radice è sempre interna,tranne il caso in cui si hanno a , 0 e n pari; si può infatti dimostrare chela radice n -esima di un numero reale positivo o nullo esiste sempre edè unica.

n Un po’ di terminologia

La scrittura Ïn

aw viene detta radicale.

Il numero n viene detto indice del radicale; il numero a si chiama radi-cando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l’esponente ditale potenza si chiama esponente del radicando.

radicando

indice

esponente del radicando√

w Si legge ennesima.

DEFINIZIONE

Radice di un numero reale a

Dati un numero reale a e un numero naturale n Þ 0:

● se a $ 0, la radice n-esima di a è quel numero reale b $ 0 la cui potenza con esponente n è ugualead a;

● se a , 0 e n dispari, la radice n-esima di a è quel numero reale b , 0 la cui potenza con esponente nè uguale ad a;

● se a , 0 e n pari, non esiste la radice n-esima di a.

La radice n-esima di a si indica con il simbolo Ïn

bn = a

naturale diverso da 0

na = b√

reali maggiori o uguali a 0

bn = a

naturale dispari

na = b√

reali minori di 0

naturale pari

na non esiste√

reale minore di 0

Per la radice quadrata l’indice del radicale può essere omesso: Ï5w è unmodo diverso di scrivere Ï

5w. I radicali con indice 2 vengono detti radi-cali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.

n Casi particolari

Per ogni n naturale diverso da 0 e per ogni a reale si ha:

1. Ï1

aw 5 a (infatti a15 a)

2. Ïn

0w 5 0 (infatti 0n5 0)

3. Ïn

1w 5 1.

Non si attribuisce alcun significato alla radice con l’indice uguale a 0:

aw non ha significato.

4. I radicali in R10

Ci limiteremo ora, per semplicità, allo studio delle proprietà dei radicalinell’insieme dei numeri reali non negativi che abbiamo indicato con R0

1.Pertanto considereremo espressioni del tipo:

aw 5 b, con a, b $ 0 e n [ N 2 {0}.

n Le condizioni di esistenza dei radicali in RR10

Nell’espressione Ïn

aw il radicando deve essere un numero reale positivo onullo. Quando il radicando è un’espressione letterale, bisogna porre lacondizione che essa sia maggiore o uguale a 0, indipendentemente dal-l’indice di radice.

ESEMPIO

xw 2w 1w ha come condizione di esistenza x 2 1 $ 0, ossia: C.E.: x $ 1.

Per dimostrare i prossimi teoremi utilizzeremo spesso la seguente pro-prietà, che ci limitiamo a enunciare.

2w 5 2; Ï2

0w 5 0;

1w 5 1.

2w non ha significatoperché nessun numero ele-vato a 0 dà 2.

w La proprietà non vale ingenerale se a , 0 o b , 0:per esempio,

(2 5)25 (1 5)2,

ma 2 5 Þ 5!

Dati due numeri reali a e b, non ne-gativi, e un numero naturale n, di-verso da 0, se a e b sono uguali,sono uguali anche le loro potenzen-esime e viceversa.

PROPRIETÀ

a b an

Paragrafo 4. I radicali in R1

0 TEORIA

n La proprietà invariantiva dei radicali

DIMOSTRAZIONE

Per la definizione di radicale in R01, Ï

awmw e Ïawmw?pw indicano numeri posi-

tivi o nulli. Eleviamo i due radicali allo stesso esponente n ? p.

Primo membro Secondo membro

awmw)n ?p5 (Ïawmw?pw)n?p

Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:

5 [(Ïn

awmw)n]p5 5 a m ?p.

Per la definizione di radice:

5 [a m]p5

Per la terza proprietà delle potenze:

5 a m?p.

Poiché le potenze dei due radicali forniscono lo stesso risultato, possiamoscrivere:

awmw)n?p5 (Ïawmw?pw)n ?p

Essendo le basi delle potenze due numeri positivi o nulli, per la proprietàa 5 b ⇔ a n

5 b n abbiamo:

awmw 5 Ïawmw?pw.

ESEMPIO

1. Ï2

2w 5 Ï2w3w 5 Ï6

2. Ï3

aw2w 5 Ïaw2?5w 5 Ï15

aw10w.

w Due radicali sono equi-valenti se rappresentanolo stesso numero reale, po-sitivo o nullo. Per esem-pio, Ï4w e Ï

64w sono equi-valenti perché Ï4w 5 2 eÏ

64w 5 2.

Dato un radicale, si può ottenereun radicale equivalente moltipli-cando per uno stesso numero na-turale (diverso da 0) sia l’indice delradicale sia l’esponente del radi-cando.

TEOREMA

am √

n • p

am • p

w Terza proprietà dellepotenze:

(a n)m5 a n?m.

n La semplificazione di radicali

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, possiamo anche scrivere laproprietà invariantiva nel modo seguente:

Ïawmw?pw 5 Ïn

awmw (con am$ 0).

In questo caso si dice che si è semplificato il radicale.

ESEMPIO

1. Ï9

5w6w 5 Ï9:3

56w;3w 5 Ï3

2. Ï6

aw4w 5 Ï6:2

a 4w;2w 5 Ï3

ESEMPIO Ï3

5w4w è un radicale irriducibile, perché 3 e 4 sono primi fra loro.

Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile, occorre:

a) cercare il M.C.D. fra indice ed esponente del radicando;b) dividere l’indice e l’esponente per il loro M.C.D.

ESEMPIO Rendiamo irriducibile il radicale Ï20

7w12w.

a) M.C.D. (20; 12) 5 4;

b) dividiamo per 4 l’indice e l’esponente del radicando:

7w12w 5 Ï20 :4

7w12w;4w 5 Ï5

n La semplificazione e il valore assoluto

Per semplificare il radicale Ï4

(2w 5w)2w non possiamo scrivere:

(2w 5w)2w 5 Ï2?2

(2w 5w)2w 5 Ï2

perché, essendo il radicando negativo, l’ultimo membro non rappresentaun numero reale.

Dato un radicale, si può ottenereun radicale equivalente dividendol’indice della radice e l’esponentedel radicando per un divisore co-mune.

TEOREMA

n • p

am • p

Radicale irriducibile

Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo in-dice e l’esponente del radicando sono primi fra loro.

DEFINIZIONE

w È sbagliato semplificarecosì:

23w 1w 5w3w 5 Ï2w1w 5w .

w Non è sempre possibilesemplificare un radicale.Per esempio, il radicaleÏ

5a2w non si può semplifi-

care, perché 5 e 2 non han-no divisori comuni, trannel’unità.

w Osserva che Ï4

(2w 5w)2w èun radicale in R1

0 perchél’esponente 2 è pari e dun-que (2 5)2

. 0.Non è invece un radicale inR1

0 il radicale Ï15

(2w5w)9w,perché (2 5)9

BRAVI SI DIVENTA

Videolezione c V34a

0 TEORIA

Tuttavia la semplificazione è possibile perché l’esponente del radicando èpari, e perciò possiamo scrivere (2 5)2

5 (1 5)2, e poiché (1 5)25 *2 5*2,

si ha:

(2w 5w)2w 5 Ï4

(1w 5w)2w 5 Ï4

* 2w 5w *2w 5 Ï* 2w 5w *w 5 Ï5w.

In generale, se a ,, 0 e m? p è pari, risulta:

Per esempio: Ï8

(2w2)w2w 5 Ï4

w2w2w 5 Ï4

In particolare, se n è pari:

che nel caso di n 5 2 diventa:

ESEMPIO Semplifichiamo il radicale:

Ï(aw 2w 1w)2w.

Poiché a è una variabile che può assumere qualunque valore, l’espressio-ne (a 2 1)2 è non negativa, mentre l’espressione a 2 1 può essere sia po-sitiva sia negativa. Per poter semplificare occorre utilizzare il valore asso-luto:

Ï(aw 2w 1w)2w 5 ua 2 1 u .

n La riduzione di radicali allo stesso indice

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o piùradicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare, si può ridurli aradicali che abbiano il minimo comune indice.

I passaggi necessari sono due:

a) cercare il m.c.m. fra gli indici;b) trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il

m.c.m. trovato.

ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali.

2aw2w; Ï4

aw3w (con a $ 0).

a) m.c.m. (5; 4) 5 20;

b) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice; nel no-stro caso, rispettivamente 20 ; 5 5 4 e 20 ; 4 5 5.

2aw2w 5 Ï5?4

(2waw 2)4ww 5 Ï20

16waw8w; Ï4

aw3w 5 Ï4?5

(aw3 )w5w 5 Ï20

aw15w.

Ïaw2w 5 uau .

awnw 5 uau ,

awmw?pw 5 Ïn

uawu mw.

n Il confronto di radicali

Si dimostra che fra due radicali con lo stesso indice è maggiore quello cheha il radicando maggiore. Per esempio, Ï

28w . Ï5

12w, poiché 28 . 12.

Per confrontare radicali con indici diversi bisogna ridurli prima a radicaliche abbiano lo stesso indice.

ESEMPIO

Confrontiamo i due radicali Ï4

5w e Ï6

8w.Riduciamoli allo stesso indice:

5w 5 Ï12

5w3w 5 Ï12

12w5w, Ï6

8w 5 Ï12

8w2w 5 Ï12

Poiché 64 , 125, anche Ï12

64w , Ï12

12w5w, quindi Ï6

8w , Ï4

5. La moltiplicazione e la divisionefra radicali

n La moltiplicazione fra radicali

Si possono moltiplicare due o più radicali se questi hanno lo stesso indi-ce. Vale infatti il seguente teorema.

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo i due membri dell’uguaglianza allo stesso esponente n .Otteniamo:

aw ? Ïn

bw)n5 (Ï

aw ?wbw)n5

Per la quarta proprietà delle potenze: Per la definizione di radice:

5 (Ïn

aw)n? (Ï

bw)n5 5 a ? b.

5 a ? b.

Teorema del prodotto

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per in-dice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia

aw ? Ïn

bw 5 Ïn

aw?wbw

con a e b reali, a $ 0, b $ 0 e n naturale, n Þ 0.

TEOREMA

w In particolare, per i ra-dicali quadratici:

Ïaw ? Ïbw 5 Ïawbw.

w Quarta proprietà delle po-tenze:

(a ? b)n5 a n

BRAVI SI DIVENTA

Videolezione c V35a

Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali TEORIA

Poiché le potenze n-esime di Ïn

aw Ïn

bw e di Ïn

abw forniscono lo stesso ri-sultato a ? b, concludiamo che sono uguali anche le loro basi, quindi:

aw ? Ïn

bw 5 Ïn

aw?wbw.

ESEMPIO

2w ? Ï4

5w 5 Ï4

2w? 5w 5 Ï4

In particolare, moltiplicando un radicale quadratico per se stesso si ottie-ne il radicando:

Ï3w ? Ï3w 5 Ï3w2w 5 3.

Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli alloro minimo comune indice.

ESEMPIO

Ï2w ? Ï3

5w 5 Ï6

2w3w ? Ï6

5w2w 5 Ï6

2w3?w 5w2w 5 Ï

8w? 2w5w 5 Ï6

20w0w.

n La divisione fra radicali

Si possono dividere tra loro due radicali se questi hanno lo stesso indice.Vale infatti il seguente teorema.

La dimostrazione è analoga a quella del teorema del prodotto.

Anche per le divisioni valgono considerazioni analoghe a quelle fatte perle moltiplicazioni.

ESEMPIO

1. Ï5

8w ; Ï5

2w 5 Ï5

8w;w2w 5 Ï5

2. Ï3

aw ; Ï4

bw 5 Ï12

aw4w ; Ï12

bw3w 5!12

}§ (con a $ 0 e b . 0).

Teorema del quoziente

Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice èun radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quozientedei radicandi.

aw ; Ïn

bw 5 Ïn

aw;w bw,

con a e b reali, a $ 0 e b . 0, n naturale, n Þ 0.

TEOREMA

w Con a e b non negativi:

a n5 bn

⇔ a 5 b.

BRAVI SI DIVENTA

Videolezione c V35b

n Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

Riprendiamo l’uguaglianza:

aw ? Ïn

bw 5 Ïn

aw?wbw, con a $ 0 e b $ 0.

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo scrivere

aw?wbw 5 Ïn

aw ? Ïn

che significa: la radice n-esima del prodotto a ? b è uguale al prodottodella radice n-esima di a per la radice n-esima di b. In altre parole: un ra-dicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale alprodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i di-versi fattori.

Questa proprietà permette di trasportare fuori dal segno di radice i fat-tori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n.

ESEMPIO

1. Consideriamo il radicale Ï3

aw9?w bw2w, con a $ 0.

Applichiamo il teorema del prodotto e poi la proprietà invariantiva:

aw9?w bw2w 5 Ï

aw9w ? Ï3

bw2w 5 a 3? Ï

Il fattore a 9 è stato portato fuori dalla radice cubica ed è diventato a 3.

2. Semplifichiamo il radicale Ï3

aw13w, con a $ 0.Il fattore a 13 è una potenza con esponente maggiore dell’indice, manon multiplo. Esso si può scrivere come prodotto a 12

? a. Pertanto:

aw13w 5 Ï3

aw12w ?waw 5 Ï3

aw12w ? Ï3

aw 5 a 4? Ï

Notiamo che la divisione 13 ; 3 ha come quoziente 4 e resto 1.

In generale, considerato il radicale Ïn

awmw, con a $ 0 e m $ n, e indicaticon q il quoziente di m ; n e con r il resto (e quindi, m 5 n ? q 1 r), si ha:

awmw 5 Ïn

awn?wq 1wrw 5 Ïn

awn?wq?w awrw 5 Ï

awn?wqw ? Ïn

awrw 5 a q Ïn

Quando si vuol portare fuori radice un fattore di cui non si conosce il se-gno, si scrive tale fattore in valore assoluto.

ESEMPIO

Ï5aw 2w, se a [ R, diventa Ï5w Ïaw2w 5 Ï5w ua u.

aw13w 5 Ï3

aw3?w41w1w 5

aw3?w4?w aw1w 5

aw3?w4w ? Ï3

aw1w 5 a 4? Ï3

(con a $ 0).

w Nel radicale Ï3

23w 1w 5wnon si può portare fuori 2perché 23 è un addendo enon un fattore del radi-cando.

BRAVI SI DIVENTA

Videolezione c V36a

Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale TEORIA

6. La potenza e la radice di un radicale

n La potenza di un radicale

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo a n entrambi i membri dell’uguaglianza.

aw)m]n

5 (Ïn

awmw)n

5 (Ïn

aw)m ?n

5 5 am.

Per la stessa proprietà:

5 [(Ïn

aw)n ]m

I due membri sono uguali alla stessa espressione a m e quindi sono ugualifra loro. Poiché le potenze n-esime delle due espressioni (Ï

awmwsono uguali, concludiamo che sono uguali anche le espressioni stesse.

ESEMPIO

1. (Ï5

3w)45 Ï

3w4w 5 Ï5

2. (Ï4

aw3w)55 Ï

(aw3)w5w 5 Ï4

aw15w 5 a3? Ï

aw3w (con a $ 0).

In particolare, (Ïn

awnw 5 a.

n La radice di un radicale

w (Ï3

2w)35 Ï

2w3w 5 2.

La radice m-esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per in-dice il prodotto degli indici m ? n e per radicando lo stesso radicando.

waww 5 Ïm?n

con m e n naturali, n Þ 0 e m Þ 0, e a reale, a $ 0.

TEOREMA

La potenza m-esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stes-so indice e per radicando la potenza m-esima del radicando, ossia

con n e m naturali, n Þ 0 e m Þ 0, e a reale, a $ 0.

TEOREMA

w Nei radicali quadratici:

(Ïaw)m5 Ïawmw.

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo entrambi i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente m ? n edimostriamo che

waww)m ?n5 (Ï

aw)m ?n.

waww)m ?n5 (Ï

aw)m ?n5

5 [(Ïm

waww)m ]n5 5 a.

5 [Ïn

aw]n5 a.

I due membri sono entrambi uguali ad a e quindi sono uguali fra di loro.

Poiché le potenze di esponente m ? n dei due radicali Ïm

waww e Ïm?n

aw sonouguali, concludiamo che sono uguali anche i radicali stessi.

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m ? n 5 n ? m, e si ha:

waww 5 Ïm?n

aw 5 Ïn?m

aw 5 Ïn

Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può renderepiù immediata la semplificazione di un radicale.

ESEMPIO

waww3ww 5 Ï4

aw (con a $ 0).

n Il trasporto di un fattore dentro al segno di radice

Dato il radicale 3 ? Ï4

5w, è possibile portare il fattore 3 sotto il segno di ra-

dice, tenendo presente che 3 5 Ï4

Possiamo scrivere: 3 ? Ï4

5w 5 Ï4

3w4w ? Ï4

5w 5 Ï4

3w4?w 5w.

In generale, se a $$ 0,

a ? Ïn

bw 5 Ïn

awnw ? Ïn

bw 5 Ïn

awnw? bw,

cioè, per trasportare dentro alla radice un fattore non negativo, occorreelevarlo all’indice del radicale.

ESEMPIO

1. 2Ï3

7w 5 Ï3

2w3?w 7w 5 Ï

356w. 2. 3a 2 Ï

bw 5 Ï3

(3waw2)w3bw 5 Ï3

27waw6bw.

Osservazione. I fattori negativi non vengono portati dentro la radice: ilsegno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto elevatoall’indice del radicale.

ESEMPIO

2 3Ï5w 5 2 Ï9w? 5w 5 2 Ï45w.

w Possiamo portare den-tro radice (3a 2)3, perché èsempre 3a 2

w Se n 5 2, si ha:

a Ïbw5 Ïaw2w Ïbw5Ïaw2bw

(con a, b $ 0).

w Il valore assoluto di2 3 è 3.

BRAVI SI DIVENTA

Videolezione c V36c

Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali TEORIA

w Analogamente,

Ï9w 2 Ï4w non è Ï9w2w 4w!

Infatti,

Ï9w 2 Ï4w 5 32 25 1,

mentre Ï9w2w 4w 5 Ï5w.

w Si opera in analogia conquanto si farebbe con imonomi 2a e 5a, ponendoa 5 Ï3w:

2a 1 5a 5 (21 5)a 5 7a

2a 25a 5(225)a 523a.

w I radicali 5 ? Ï9

2w e5 ? Ï

2w non sono simili,perché le due radici hannoindici diversi, 9 e 7.

w I radicali a ? Ï3

bw ea ? Ï

bw2w non sono simili,perché le due radici hannoradicandi diversi,b e b 2.

7. L’addizione e la sottrazione

di radicali

Non sempre è possibile semplificare espressioni che contengono sommeo differenze di radicali.

ESEMPIO

Ï4w 1 Ï9w non è Ï4w1w 9w ! Infatti:

Ï4w 1 Ï9w 5 2 1 3 5 5, mentre Ï4w1w 9w 5 Ï13w.

In generale:

Ïaw 1 Ïbw Þ Ïaw1w bw e Ïaw 2 Ïbw Þ Ïaw2w bw.

Però, date le espressioni 2 ? Ï3w e 5 ? Ï3w, si possono eseguire l’addizione

o la sottrazione raccogliendo a fattore comune Ï3w:

2Ï3w 1 5Ï3w 5 (2 1 5)Ï3w 5 7Ï3w

2Ï3w 2 5Ï3w 5 2 3Ï3w.

ESEMPIO

9 ? Ï5

2w e 7 ? Ï5

2w sono simili, perché i due radicali hanno lo stesso indice 5e lo stesso radicando 2.

A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portan-do fuori dalla radice alcuni fattori.

ESEMPIO

I radicali b 2? Ïbw3w e Ïbw5w, con b $ 0, non sono simili.

Portiamo fuori radice i fattori:

b 2? Ïbw3w 5 b 2

? b ? Ïbw 5 b 3? Ïbw; Ïbw5w 5 b 2

? Ïbw.

I radicali ottenuti b 3? Ïbw e b 2

? Ïbw sono simili.

Radicali simili

Due radicali irriducibili si diconosimili quando hanno lo stesso indi-ce, lo stesso radicando e possonoessere diversi solo per il fattore cheli moltiplica, detto coefficiente delradicale.

DEFINIZIONE

è simile3√ a 15√

BRAVI SI DIVENTA

Videolezione c V37a

Con radicali simili possiamo eseguire l’addizione o la sottrazione.

ESEMPIO

1. 4Ï3

aw 1 2Ï3

aw 5 6Ï3

aw (con a $ 0).

2. aÏ2w 1 Ï2w 5 (a 1 1)Ï2w.

Somma algebrica di radicali simili

La somma algebrica di due o piùradicali simili è il radicale, simile aidati, che ha come coefficiente lasomma algebrica dei coefficienti.

REGOLA

3 + 2√ √ 5√=

8. La razionalizzazione

del denominatore di una frazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare lafrazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò ri-sulta utile, per esempio, nella somma di frazioni.

Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietàinvariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatoreper uno stesso fattore diverso da 0. Esaminiamo i casi più comuni.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

È maggiore }Ï

2w} 1 }

3w} o }

Ï3w} ?

FRANCESCO: «Nessuna delle due: sono uguali! Ho fatto il calcolo approssimato,sapendo che Ï3w è circa 1,7 e Ï2w è circa 1,4: entrambe le espres-sioni danno 0,3».

CHIARA: «Forse hai usato un’approssimazione eccessiva. Inoltre, anche sedue espressioni hanno lo stesso valore approssimato con un nume-ro grande di cifre, non è detto che siano uguali. Posso farti degliesempi».

FRANCESCO: «Giusto. E poi, perché tanti calcoli? Usiamo l’algebra!».

c Per il confronto, utilizza le regole sui radicali e quelle sulle disuguaglianze.

Espressioni a confronto Nel sito: c Scheda di lavoro

Paragrafo 9. I radicali quadratici doppi TEORIA

w Ï2w ? Ï2w 5 Ï4w 5 2.

w Se al denominatore c’èuna differenza, dobbiamoinvece moltiplicare per lasomma dei due termini.

1. Il denominatore è un unico radicale

ESEMPIO

Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicarenumeratore e denominatore per il radicale stesso.

2w} 5 }

2w} ? }

2w} 5}

Ï2w} 5 3 ? Ï2w.

Il risultato 3 ? Ï2w non contiene radicali al denominatore.

In generale, supposto a . 0, se il radicale al denominatore non è quadra-tico, si razionalizza nel seguente modo:

awmw} 5}

mwn 2wmw

2wnw2w

n 2wnw

n 2wmw} .

ESEMPIO

49w} 5 }

7w2w} 5 }

7w2w} ? }

} 5}21Ï

}5 3Ï5

2. Il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei qualialmeno uno è un radicale quadratico

ESEMPIO

Ï7w 1

Ï2w} .

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la differenza Ï7w 2 Ï2w,in modo da applicare il prodotto notevole (a 1 b)(a 2 b) 5 a 2

2 b 2.

Ï7w 1

Ï2w}?}

2w)}5}

8(Ï7w

2 Ï2w)}.

9. I radicali quadratici doppi

Si chiama radicale quadratico doppio un’espressione del tipo:

Ïaw1w Ïwbww oppure Ïaw2w Ïwbww .

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differen-za di due radicali semplici solo quando l’espressione a 2

2 b è il quadratodi un numero razionale o di un’espressione che non contiene radicali.

In tal caso valgono le due uguaglianze che consideriamo di seguito, in cuia, b, a 2

2 b $ 0.

Ïaw 1w Ïwbww 5!§1!§ ;

Ïaw 2w Ïwbww 5!§2!§ .

ESEMPIO

Trasformiamo il radicale doppio Ï8w2w Ïw15ww nella differenza fra due ra-dicali semplici.Ciò è possibile poiché 8 2

2 15 5 64 2 15 5 49 5 7 2.

Ï8w2w Ïw15ww 5!}8§ 1§ 2

Ï§49w}§ 2!}

8§ 2§ 2

Ï§49w}§ 5

5!}8§ 1

2§ 7}§ 2!}

2§ 7}§ 5!}

5}§ 2!}

2§}§ .

10. Le equazioni, i sistemie le disequazioni con coefficienti irrazionali

Le proprietà finora esaminate vengono utilizzate anche quando si risol-vono equazioni, sistemi e disequazioni con coefficienti irrazionali.

ESEMPIO

1. Risolviamo l’equazione

(Ï2w 1 1)(x 1 1) 5 2 (2 2 x).

Svolgiamo i calcoli:

Ï2wx 1 Ï2w 1 x 1 1 5 4 2 2x.

Portiamo i termini con l’incognita al primo membro, gli altri al secondo:

Ï2wx 1 x 1 2x 5 4 2 Ï2w 2 1.

Sommiamo i termini simili:

3x 1 Ï2wx 5 3 2 Ï2w.

Raccogliamo l’incognita x :

(3 1 Ï2w) x 5 3 2 Ï2w.

Dividiamo per 3 1 Ï2w:

) x}5}

a 2 Ïa2w 2w bw}}

a 1 Ïa2w 2w bw}}

a 2 Ïa2w 2w bw}}

a 1 Ïa2w 2w bw}}

w Il radicale doppio

Ï3w 1w Ïw2ww

non è trasformabile in unasomma o differenza di ra-dicali semplici, in quanto3 2

2 2 5 7 non è il quadra-to di un razionale.

Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale TEORIA

w Nel caso in cui siam , 0, supponiamo a . 0.

w 1 5 Ï41w 5 1;

0 5 Ï03w 5 0.3

Razionalizziamo il denominatore:

}5}(3 2

}5}9 1 2 2

6 Ï2w}5}

6 Ï2w}.

La soluzione è x 5}11 2

6 Ï2w} .

2. Risolviamo la disequazione

Ï2w3w

6w} .}

6w x}.

Tenuto conto che Ï6w 5 Ï2w ? Ï3w, il m.c.m. dei denominatori è2 Ï2w ? Ï3w; moltiplichiamo tutti i termini per 2 Ï2w ? Ï3w:

Ï2w3w

x} ? 2 Ï2w ? Ï3w 2 }

6w} ? 2 Ï2w ? Ï3w . ? 2 Ï2w ? Ï3w.

Eseguiamo i calcoli:

12x 2 4 . 30x → 12x 2 30x . 4 → 2 18x . 4 →

→ 1 }1

8} x , 2 }

8} → x , 2 }

11. Le potenze con esponenterazionale

È possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estende-re il concetto di potenza al caso in cui l’esponente sia un numero razionale.

ESEMPIO

1. 5 5 Ï352w 5 Ï3

5 Ï522w4w 5!5 1}§1

§ 5!5}1§1

3. (2 4) non ha significato, perché nella definizione sono escluse le po-tenze di numeri negativi.

5 Ï6w x}

Potenza con esponente razionale

La potenza con esponente raziona-

n} di un numero reale a, positi-

vo o nullo, è la radice n-esima di a m.

DEFINIZIONE

(a ≥ 0)

La definizione data permette di estendere alle potenze con esponente ra-zionale le proprietà delle potenze con esponente intero, che ricordiamonella tabella qui sotto.

PROPRIETÀ ESPRESSIONE CON

1. Prodotto di potenze di am? an

5 am1n

ugual base

2. Quoziente di potenze di am; an

5 am2n a Þ 0ugual base

3. Potenza di una potenza (am)n5 am ?n

4. Prodotto di potenze di an? bn

5 (a ? b)n

ugual esponente

5. Quoziente di potenze di}b

n} 5 1}

n b Þ 0ugual esponente

6. Segno di una potenza (2a)d5 2 ad d numero dispari

(1a)d5 1 ad d numero dispari

(6a)p5 1 ap p numero pariaai

7. Potenza con base 1}b

} a Þ 0 ∧ b Þ 0frazionaria ed esponentenegativo n . 0

Le proprietà delle potenze con esponente razionale possono essere dimo-strate mediante le proprietà dei radicali. Per esempio, dimostriamo che:

a ? a 5 a1

Infatti:

a ? a 5 Ïn

awmw ? Ïq

awpw 5 Ïnq

awmwqw ? Ïnq

awnpw 5 Ïnq

awmwqw? awnpw 5

5 Ïnq

awmwq1wnpw 5 a 5 a1

Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamooperare con le potenze.

mq1np}

ESEMPI DI ESPRESSIONI IRRAZIONALI

SEMPLIFICAZIONE ADDIZIONE POTENZA

con iÏ

7w8w 5 Ï12;4

7w8;w4w 5 Ï3

7w2w 2 Ï3

aw2w 1 5 Ï3

aw2w 5 (2 1 5) Ï3

aw2w 5 7 Ï3

aw2w (Ï7

aw3w)25 Ï

(aw3)w2w 5 Ï7

aw6wradicali

con le7 5 7 5 7 2a 1 5a 5 (2 1 5)a 5 7a (a )2

5 apotenze

8;4}12;4

Paragrafo 12. I radicali in R TEORIA

12. I radicali in RR

Riprendiamo lo studio dei radicali in R. Se il radicando è positivo o nul-lo, non ci sono variazioni rispetto a quello che abbiamo finora studiato.Partendo dalla definizione data nel paragrafo 3, considereremo il concet-to di radicale anche nel caso di radicando negativo.Il seguente diagramma fornisce una sintesi sulla radice n-esima di un nu-mero reale a.

n Le condizioni di esistenza dei radicali in R

Dal diagramma precedente puoi notare che una radice con indice dispariesiste qualunque sia il radicando, mentre una radice con indice pari esistesolo se il radicando è positivo o nullo.In questo caso, se il radicando è un’espressione letterale, dobbiamo porre lerelative condizioni di esistenza.

ESEMPIO

Troviamo le condizioni di esistenza in R del radicale Ï4

1w2w 2wxw.Essendo l’indice pari, la condizione di esistenza è:

1 2 2x $ 0, ossia C.E.: x # }1

n La proprietà invariantiva

In generale, la proprietà invariantiva non vale per le radici con radicandonegativo.Per esempio, dato il radicale Ï

2w 8w, non possiamo scrivere

2w 8w 5 Ï3?2

(2w 8w)2w 5 Ï6

64w 5 2.

Possiamo però trasformare il radicale iniziale in uno a esso equivalente,ma con il radicando positivo, e di seguito applicare la proprietà invarian-tiva. Se n è dispari e a un numero reale positivo, vale la relazione:

2w aw 5 2 Ïn

Applicando questa proprietà al radicale considerato, si ha:

2w 8w 5 2 Ï3

A questo punto possiamo applicare la proprietà invariantiva:

2w 8w 5 2 Ï3

8w 5 2 Ï3?2

82w 5 2 Ï6

64w 5 2 2.

in R∃

n pari

n dispari

numero reale positivo

numero reale negativo

w Alcuni esempi:

64w 5 2;

0w 5 0;

2w 8w1w non esiste;

27w 5 3;

0w 5 0;

2w 3w2w 5 2 2

w Per il radicale Ï3

xw1w 8w,essendo l’indice dispari,non ci sono condizioni,ossia C.E.: ∀x [ R.

n La semplificazione e il valore assoluto

Per semplificare una radice con radicando scomponibile in fattori negati-vi basta introdurre il valore assoluto quando l’indice della radice è pari.Quando l’indice è dispari si procede al solito modo.

ESEMPIO

1. Ï2

(2w5)w2w 5 u 2 5 u 5 5.

2. Ï12

(2w3)w10w 512;2

Ï(2w3)w10w;2w 5 Ï6

u 2w 3wu5w.

3. Ï3

(2w2)w3w 5 2 2.

In generale, valgono le seguenti uguaglianze:

awnw 5 5a se n è dispari

uua uu se n è pari

La proprietà invariantiva permette di ridurre due o più radicali allo stes-so indice.

ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali:

2waw22w 1w; Ïaw4

1w 1w.

a) Trasformiamo il primo radicale, rendendo positivo il radicando:

2waw22w 1w 5 Ï3

2w (aw21w 1w)w 5 2 Ï3

aw21w 1w;

b) m.c.m. (3; 2) 5 6;

c) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice:

aw21w 1w 5 2 Ï6

(aw21w 1w)2w;

Ïaw41w 1w 5 Ï6

(aw41w 1w)3w.

Per le operazioni di moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione el’elevamento a potenza valgono per i radicali in R le stesse proprietà in-contrate nei paragrafi precedenti per i radicali in R1

Nel sito: c teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari

Paragrafo 13. Le equazioni di secondo grado TEORIA

13. Le equazioni di secondo grado

n Che cosa sono le equazioni di secondo grado

Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e sichiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; c è anchedetto termine noto.

ESEMPIO L’equazione

5x 22 2x 2 1 5 0

è di secondo grado in forma normale, e i tre coefficienti sono:

a 5 5; b 52 2; c 52 1.

Se, oltre ad a Þ 0, si hanno anche b Þ 0 e c Þ 0, l’equazione si dice com-pleta. Per esempio, l’equazione 2x 2

2 5x 1 6 5 0 è completa.

Se invece l’equazione è incompleta, abbiamo i seguenti casi particolari.

Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituitoall’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.

ESEMPIO

L’equazione x 22 5x 1 6 5 0 ha per soluzioni i numeri 2 e 3.

Infatti, sostituendo a x il numero 2, si ottiene: (2)22 5(2) 1 6 5 0

e sostituendo il valore 3 si ottiene: (3)22 5(3) 1 6 5 0.

Risolvere un’equazione di secondo grado significa cercarne le soluzioni.In genere, cercheremo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.

Come vedremo, le soluzioni di un’equazione di secondo grado possonoessere al massimo due.

Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi diequivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrive-re nella forma:

ax 21 bx 1 c 5 0, con a Þ 0.

w La forma

ax21 bx 1 c 5 0

è detta forma normale.

w Conoscendo i radicali èpossibile affrontare lo stu-dio delle equazioni disecondo grado. Qui cilimitiamo a esaminare imetodi risolutivi utili per iproblemi di applicazionedell’algebra alla geometriache studierai.

w 2 1 è il termine noto.

EQUAZIONI INCOMPLETE

COEFFICIENTI FORMA NORMALE NOME ESEMPIO

b Þ 0, c 5 0 ax 21 bx 5 0 equazione spuria 2x 2

2 5x 5 0

b 5 0, c Þ 0 ax 21 c 5 0 equazione pura 2x 2

1 6 5 0

b 5 0, c 5 0 ax 25 0 equazione monomia 2x 2

n La formula risolutiva

Si può dimostrare che le soluzioni dell’equazione ax 2 1 bx 1 c 5 0, cona Þ 0, sono:

x 1 5}2 b 1 Ï

bw2 2w 4wawcw} , x 2 5}

2 b 2 Ï

b2w 2w 4wawcw} .

L’espressione viene detta formula risolutiva del-

l’equazione di secondo grado.

ESEMPIO Calcoliamo le radici dell’equazione 4x 2 2 7x 2 2 5 0.

9} 5 2

x 5 5}7 6

Ï81w}5

9} 5 2 }

Le radici dell’equazione sono x 1 5 2 e x 2 5 2 }1

Chiamiamo discriminante, e indichiamo con la lettera greca D (delta),l’espressione che nella formula risolutiva è sotto radice, cioè:

Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado èsufficiente calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzio-ni reali.

In generale, risolvendo l’equazione ax 2 1 bx 1 c 5 0, possono presen-tarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante:

1. D .. 0: l’equazione ha due soluzioni reali e distinte:

x 1 5}2 b 1

ÏDw} , x 2 5}

ÏDw} .

2. D 5 0: l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti:

x 1 5 x 2 5 2 }2

3. D ,, 0: l’equazione non ha soluzioni reali, cioè in R è impossibile.

n Le equazioni pure, spurie, monomie

Le equazioni pure: ax2 1 c 5 0

ESEMPIO

1. Risolviamo l’equazione 5x 2 2 20 5 0.

Invece di applicare la formula risolutiva generale, isoliamo il terminecon l’incognita, portando al secondo membro il termine noto:

5x 2 5 20 → x 2 5 4 → x 5 6 Ï4w 5 6 2 → x 1 5 2 2, x 2 5 2.

D 5 b 2 2 4ac.

7 6 Ï72w 2w 4w ?w4w? (w2w 2w)w}}}

x 5}2 b 6 Ï

2 2w 4wawcw}

w Dimostreremo questaformula nel volume 3,dove studieremo in modopiù completo le equazionidi secondo grado.

w a 5 4,b 5 2 7,c 5 2 2.

w Se D 5 0:

x1 5 x2 5}2 b

Ï0w} .

Si dice anche che la solu-zione è doppia.

w Per esempio, l’equazione

x 2 2 3x 1 5 5 0 ha

D 5 9 2 20 5 2 11.

Poiché D , 0, non esisto-no soluzioni reali.

w Qui e in seguito sottin-tendiamo che cerchiamo lesoluzioni delle equazioninell’insieme R dei numerireali.

Paragrafo 13. Le equazioni di secondo grado TEORIA

2. Risolviamo l’equazione 3x 21 27 5 0.

3x 21 27 5 0 → 3x 2

5 2 27 → x 25 2 9.

Poiché nessun numero reale ha quadrato negativo, l’equazione non hasoluzioni reali.

Le equazioni spurie: ax21 bx 5 0

ESEMPIO Risolviamo l’equazione 6x 22 5x 5 0.

Raccogliamo x: x (6x 2 5) 5 0.

Per la legge di annullamento del prodotto:

x 5 0 oppure 6x 2 5 5 0 → x 5 }5

L’equazione ha due soluzioni: x 1 5 0 e x 2 5 }5

Le equazioni monomie: ax25 0

ESEMPIO Risolviamo l’equazione 2x 25 0.

2x 25 0 → x 2

5 0 → x 1 5 x 2 5 0.

In generale, un’equazione di secondo grado monomia, del tipo ax 25 0,

ha sempre due soluzioni reali coincidenti: x 1 5 x 2 5 0.

In generale, un’equazione di secondo grado spuria, del tipo ax 21

1 bx 5 0, ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla:

x 1 5 0, x 2 5 2 }a

In generale, un’equazione di secondo grado pura, del tipo ax 21 c 5 0,

con a e c numeri reali discordi, ha due soluzioni reali e opposte:

x 1 5 1!2§ }a

c§}§ ; x 2 5 2!2§ }a

c§}§ .

Se a e c sono concordi, l’equazione non ha soluzioni reali.

L’altare di Apollo, famoso in tut-ta la Grecia, aveva una formaparticolare: era, infatti, un cubo.Per soddisfare la richiestadell’oracolo di Delfi occorrevadunque costruire un nuovo alta-re di uguale forma ma con volu-me doppio.La leggenda narra che per primacosa gli ateniesi si recaronosull’isola di Delo e costruironoun nuovo altare, con il lato dop-pio del precedente.

Se l era il lato dell’altare origina-le, il suo volume era

V 5 l 3,

mentre il volume del nuovo alta-re valeva:

V′ 5 (2l)35 8l 3

La peste non cessò: gli ateniesiavevano infatti costruito un alta-re non due, ma otto volte piùgrande di quello iniziale.Resisi conto dell’errore, si rimi-sero al lavoro e costruirono unnuovo altare, mettendo sopra aquello vecchio un altro cubo del-le stesse dimensioni. Anche que-

LA QUADRATURA DEL CERCHIO

Un altro dei problemi celebri della geometria classica che coinvolge i numeri irrazionali è quello della quadratura del

cerchio. Dato un cerchio, bisogna costruire un quadrato di area pari a quella del cerchio.

Dal punto di vista algebrico, indicati con r il raggio del cerchio e con l il lato del quadrato da trovare, vale la relazione:

pr25 l 2 → l 5 Ïpw ? r.

Assunto per semplicità r 5 1, si tratta di costruire un lato di misura Ïpw. Nel 1882 venne dimostrata l’impossibilità di tale

costruzione attraverso le regole euclidee di riga e compasso. Abbandonando tali regole è possibile ottenere la sua rap-

presentazione attraverso vari metodi. Il numero Ïpw è, come Ï3

2w, un numero irrazionale.

sta volta, la peste non terminò: ilvolume era quello richiesto, mal’altare non era più un cubo.

Analizziamo il problema dalpunto di vista algebrico. Per co-struire un altare cubico di volu-me doppio rispetto a quello ori-ginale deve essere

V′ 5 2V → l′35 2l 3,

e quindi:

l′ 5 Ï3

2w ? l.

In conclusione, bisogna potermisurare un lato pari a Ï

32w ? l;

se per semplicità assumiamol 5 1, si tratta di costruire unsegmento a cui corrisponda ilnumero Ï

Le regole fondamentali delle co-struzioni della geometria eucli-dea, applicate nell’antica Grecia,permettono il solo utilizzo diriga e compasso. Tali strumentisono ben diversi da quelli odier-ni: per esempio, la riga euclideanon ha unità di misura e taccheutili per misurare, ma è unasemplice asta che serve solo atracciare segmenti di retta.

Oggi sappiamo, tramite dimo-strazione algebrica, che con talimezzi è impossibile ottenere unsegmento di lunghezza Ï

Il problema di Delo della dupli-cazione del cubo costituisce unadelle questioni più discusse dellaGrecia classica. Molti matematicidel tempo, come Ippocrate diChio, Archita di Taranto e Me-necmo, riuscirono a risolvere ilproblema attraverso metodi di-versi, abbandonando comunquele regole geometriche di riga ecompasso. È importante osser-vare che il segmento ottenuto at-traverso questi procedimenti,corrispondente al numero Ï

risulta una grandezza incom-mensurabile rispetto al segmen-to di misura 1, cioè non esiste unsegmento sottomultiplo comune.Questo significa che Ï

32w non è

un numero razionale, ovvero nonesiste alcun razionale che, elevatoal cubo, sia uguale a 2. Si trattaquindi di un numero irrazionale.La leggenda narra che la pesteterminò quando gli ateniesi si ri-volsero al filosofo Platone, chespiegò finalmente la rispostadell’oracolo: il dio non aveva bi-sogno di un altare dal volumeduplicato, ma voleva far capire aiGreci che trascuravano lo studiodella matematica e in particolaredella geometria.

Il problema di Delo…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

––© Il quesito completo a pag. 657

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I numeri reali e i radicali

1. La necessità di ampliarel’insieme Q

La radice quadrata di un numero è quel numero po-sitivo o nullo che, elevato al quadrato, dà come risul-tato il numero dato.L’estrazione di radice non è un’operazione internain Q.Per esempio, 2 non ha per radice quadrata un nume-ro razionale.

2. Dai numeri razionali ai numeri reali

Ogni numero razionale può essere approssimato me-diante due successioni di numeri decimali: una chelo approssima per eccesso, l’altra che lo approssimaper difetto.

ESEMPIO

0 , 0,2 , 0,22 , … , }2

9} , ... , 0,23 , 0,3 , 1

a meno di 0,01

a meno di 0,1

a meno di 1

I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitatinon periodici. Possono essere approssimati per difet-to e per eccesso da due successioni di decimali.

I numeri reali sono tutti i numeri razionali e irrazio-nali.

L’insieme R è denso, cioè fra due numeri reali a e besiste sempre un altro numero reale, e quindi ne esisto-no infiniti; inoltre R è completo, cioè a ogni numeroreale corrisponde un punto della retta e viceversa.

3. I radicali

Dati un numero reale a e un numero naturale n di-verso da 0:● se a è positivo o nullo la radice n-esima di a è quel

numero reale b, anch’esso non negativo, la cui po-tenza con esponente n è uguale ad a;

● se a è negativo e n è dispari, la radice n-esima di a èquel numero reale b negativo la cui potenza conesponente n è uguale ad a;

● se a è negativo e n è pari, non esiste la radice n-esi-ma di a.

Dalla definizione di radice n-esima si deduce la se-guente proprietà: dati un numero reale a positivo onullo e un numero naturale n pari, oppure un nume-ro reale a e un numero n dispari, la radice n-esimadel numero a, elevata alla n, dà come risultato il nu-mero a.

Al simbolo Ïn

aw, con a $ 0, si dà il nome di radicalecon indice n. I radicali con indice 2 si chiamano ra-dicali quadratici, quelli con indice 3 radicali cubici.

bn = a

na = b√

a = bn

bn = a

naturale dispari

reali minori di 0

a non esisten

naturale pari

reale minore di 0

( a )n= a

con a maggiore o uguale a 0 e n pario con a reale e n dispari

La teoria in sintesi

CAPITOLO 10. I NUMERI REALI E I RADICALIESERCIZI

4. I radicali in R1

Limitando lo studio ai radicali in R1

0, nell’espressio-ne Ï

aw il radicando deve essere un numero positivoo nullo indipendentemente dall’indice di radice.Proprietà invariantiva dei radicali: dato un radica-le, moltiplicando l’indice del radicale e l’esponentedel radicando per uno stesso numero naturale diver-so da 0, si ottiene un radicale equivalente. È possibileottenere un radicale equivalente anche dividendo in-dice ed esponente per un loro divisore comune.

Applicando la proprietà invariantiva è possibile sem-plificare un radicale oppure ridurre allo stesso in-dice più radicali.

Nella semplificazione, se il radicando è letterale enon se ne conosce il segno, occorre scrivere il radi-cando in valore assoluto.

ESEMPIO

Ïaw2w 5 a, Ïn

awnw 5 a.

5. La moltiplicazione e la divisionefra radicali

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un ra-dicale che ha lo stesso indice e per radicando il pro-dotto dei radicandi.

ESEMPIO

Ï3w ? Ï7w 5 Ï2w1w.

Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli èsufficiente ridurli al loro minimo comune indice.

Considerazioni analoghe valgono per il quoziente diradicali.

ESEMPIO

Ï2w4w ; Ï5

2w3w 5 Ï10

(2w4)w5w ; Ï10

(2w3)w2w 5

5 Ï10

2w20w ;w 2w6w 5 Ï10

2w14w 5 Ï5

Un fattore del radicando, scritto sotto forma di po-tenza con base non negativa, può essere portatofuori dal segno di radice, se il suo esponente m èmaggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattoreesterno ha per esponente il quoziente della divisionefra m e n, quello interno ha per esponente il restodella divisione.

prodotto dei radicandi

riduciamo allo stesso

indice

stesso indice

= 2000√6

• 125√6

16√6

514√3

54•3+2√3

52√3

54•54•3√

52√3

quozienteresto

radicando

indice

esponente del radicando√

semplificazione riduzione allo stesso indice

75√3

710√6

:2= a10√

a5√6

a9√12

a3√4

am √n • p

am • p= (a ≥ 0)

• p ≠ 0

ESERCIZI

6. La potenza e la radicedi un radicale

La potenza m-esima di un radicale è un radicale cheha per indice lo stesso indice e per radicando la po-tenza m-esima del radicando.

La radice m-esima di un radicale di indice n è un ra-dicale che ha per indice il prodotto degli indici m ? n

e per radicando lo stesso radicando.

Un fattore non negativo può essere portato dentroil segno di radice, diventando fattore del radicando,se lo si eleva alla potenza che ha per esponente l’indi-ce del radicale.

ESEMPIO

5 Ï3w 5 Ï25w2w ? Ï2

3w 5 Ï5w2w? 3w 5 Ï7w5w.

7. L’addizione e la sottrazione di radicali

Due radicali irriducibili sono simili se hanno lo stes-so indice e lo stesso radicando.La somma di due radicali simili è un radicale simileai radicali dati avente per coefficiente la somma deiloro coefficienti.

8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione

È possibile razionalizzare il denominatore (in cuicompaiono radicali) di una frazione, moltiplicandonumeratore e denominatore per un opportuno fatto-re diverso da 0.

ESEMPIO

2w} 5 }

2w} ? 5 }

2w} 5 Ï2w.

Il radicale doppio Ïaw 1w Ïwbww può essere trasformatonella somma algebrica di due radicali semplici solo sea2

2 b è il quadrato di un numero razionale o diun’espressione che non contiene radicali.

Ïaw 6w Ïwbww 5

5!}a§ 1§ Ï§a

w§2w§2w§ bw}§ 6!}

a§ 2§ Ï§a

w§2w§2w§ bw}§

con a, b, a 22 b $ 0.

10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficientiirrazionali

È possibile risolvere equazioni, sistemi e disequazio-ni a coefficienti irrazionali.

ESEMPIO

Ï2w x 5 4 → x 5 }Ï

2w} 5 }

2w} ? }

} 5 2 Ï2w.

11. Le potenze con esponente razionale

È possibile scrivere i radicali sotto forma di potenzecon esponenti razionali.

Ï2w}Ï2w

√amn =

(a ≥ 0) 754 =

75 √

38√7

(32)4√7

32)√7

a )√n

am√n

√m • n

a √21

prodotto degli indici

radicali simili

4 √ 25 √3

29 √3

radicale simile ai radicali dati

somma algebrica dei coefficienti+

La teoria in sintesi

12. I radicali in R

Dati un numero reale a e un numero naturale n diverso da 0, è possibile calcolare la radice n-esima di a secon-do il seguente schema:

Un’equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale:

ax2 1 bx 1 c 5 0, con a Þ 0.

Sono presenti un termine di secondo grado (ax2), uno di primo grado (bx) e un termine noto (c). Se entrambi icoefficienti b e c sono diversi da 0, l’equazione è completa, altrimenti è spuria se b Þ 0 e c 5 0, pura se b 5 0 ec Þ 0, monomia se b 5 0 e c 5 0.

ESEMPIO 4x2 1 3x 2 5 5 0 è un’equazione di secondo grado completa;2x2 5 0 è monomia; 5x2 2 3 5 0 è pura; 7x 2 1 x 5 0 è spuria.

Il discriminante dell’equazione completa ax 2 1 bx 1 c 5 0 è D 5 b2 2 4ac.

in R∃

n pari

n dispari

numero reale positivo

numero reale negativo

SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE

SEGNO DEL DISCRIMINANTE SOLUZIONI ESEMPIO

D . 0 due radici reali e distinte:

x1 5}2 b

x2 5}2 b

x2 2 2x 2 3 5 0

D 5 4 1 3 ? 4 5 16

x1 5}2 1

Ï1w6w}5 }

4} 5 3

x2 5}2 2

Ï1w6w}5 }

4} 5 2 1

D 5 0 due radici reali e coincidenti:

x1 5 x2 5 2 }2

4x 2 2 4x 1 1 5 0

D 5 16 2 4 ? 4 5 0

x1 5 x2 5 }4

8} 5 }

D , 0 non esistono soluzioni reali 2x 2 1 3x 1 3 5 0

D 5 9 2 4 ? 2 ? 3 5 2 15

Paragrafo 1. La necessità di ampliare l’insieme Q ESERCIZI

1. La necessità di ampliare l’insieme Q

RIFLETTI SULLA TEORIA

––© Teoria a pag. 657

VERO O FALSO?

a) Ogni numero razionale ammette sempre due radici quadrate.

b) Ïaw, con a razionale positivo, indica due numeri, uno positivo e uno negativo.

c) La radice quadrata di 0 è uguale a 0.

d) Nessun numero razionale ha come quadrato }4

e) La radice quadrata di ogni numero a [ Q10 non appartiene all’insieme Q1

f) A ogni numero razionale corrisponde un punto della retta e viceversa.

Dati i tre numeri Ï1w, !}4

1}§ e Ï8w, solo i primi due appartengono all’insieme Q1

0. Perché?

Perché è necessario ampliare l’insieme Q dei numeri razionali?

Le scritture Ï2w4w e Ï5w sono entrambe prive di significato? Motiva la risposta.

ESERCIZI

Con considerazioni analoghe a quelle fatte per Ï2w, dimostra che Ï3w non è un numero razionale.

Come nell’esercizio precedente, ma per Ï5w.

Come nell’esercizio 5, ma per Ï6w.

Utilizzando il teorema di Pitagora costruisci i segmenti di lunghezza (in centimetri) Ï3w, Ï5w, Ï6w.8

spuria

(c 5 0, b Þ 0)

ax21 bx 5 0

x1 5 0; x2 5 2 }a

4x 21 3x 5 0

x1 5 0; x2 5 2 }3

monomia

(b 5 c 5 0)

ax 25 0 x1 5 x2 5 0 25x 2

x1 5 x2 5 0

SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE

TIPO DI EQUAZIONE EQUAZIONE SOLUZIONI ESEMPIO

(b 5 0, c Þ 0)

ax21 c 5 0

x1 5!}2§a§

c}§ ; x2 5 2!}

2§a§c

}§le radici sono reali solo se a e c sonodiscordi.

6x22 5 5 0

x1 5!}5

6§}§ ; x2 5 2!}5

6§}§

Ï3w; Ï5w

5,12122122212222...

Ï2w 1 Ï3w

Ï2w ? Ï3w

5 1 Ï2w24

2. Dai numeri razionali ai numeri reali

VERO O FALSO?

a) Ogni numero irrazionale ha una rappresentazione decimale illimitata e periodica.

b) Il numero !}2§4

5}§ è irrazionale.

c) 2,13276851327685… è un numero razionale.d) Nell’insieme R1

0 l’operazione di estrazione di radice è interna.e) Ï21w è approssimato, a meno di un centesimo, per difetto da 4,58 e per eccesso da 4,59.f) Il risultato dell’operazione Ï3w 1 Ï2w è 3,15.

Cosa significa l’affermazione che l’insieme Q è denso, ma non è completo?

Perché l’uguaglianza Ï7w 5 2,646 è falsa?

Per ognuno dei seguenti numeri specifica se si tratta di un razionale o di un irrazionale.

0,673w9w; Ï5w; Ï1w; !}1§9

6}§ ; }

3} ; Ï3w 1 Ï7w.

ESERCIZI

Scrivi un’approssimazione per difetto e una per eccesso a meno di 0,01 dei seguenti numeri.

3} ; }

9} ; }

0} . }

6} ; 0,1w2w5w; 1,8w.

Scrivi i primi 4 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri razionali.

4} ; }

4} . }

3} ; }

7} ; }

4} ; }

8} ; }

9} . }

6} ; }

5} ; }

Scrivi i primi 5 termini delle successioni approssimanti, per difetto e per eccesso, i seguenti numeri irrazionali.

Indica quale dei seguenti numeri è razionale e quale irrazionale. Per ciascun numero razionale indica se è deci-male finito oppure periodico.

8} ; 1}

4§}§ ; !}2§9

5}§ ; Ï7w; 2,61777…; 1,123456…

5,2323323332…; 2 2,79813; Ï81w; Ï11w; 2 Ï49w; !}1§9

6}§ ; !}

2}§ .26

Paragrafo 3. I radicali ESERCIZI

Sottolinea nel seguente gruppo di numeri quelli irrazionali.

2,84w; 2 Ï36w; 3,6444; }5

9} ; Ï4w ? Ï2w.

Ï3w ? Ï8w; 7,5252…; 7,5252; 2 }2

5} ; Ï22w5w.

COMPLETA inserendo i simboli ., , , 5 .

4,12 … 4,12w, 2 }1

3} … 2 }

4} , Ï7w … }

!}2§4

5}§ … 2,51, }

9} … 0,2w, !}

6§}§ … 0,408.

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri reali.

6,2; 6,2w; 6,21; 6,223; 6,12w.

7} ; Ï41w; }

5} ; 8,71; 6,2w.

COMPLETA inserendo, quando possibile, un numero reale compreso fra i numeri di ciascuna delle seguenticoppie.

Ï7w …… Ï8w; 12,8 …… 12,81; 3Ï6w …… Ï52w; 2 }1

5} …… 2 }

5} ; }

6} …… }

7} ; }

2} …… p 2 2.

Calcola con l’approssimazione a meno di }1

00} il risultato delle seguenti operazioni.

Ï2w 1 7,31

6,72w 2 4,561562 …

4,3w ? Ï7w

Ï5w ; 2,14w

Ï6w ? Ï15w

Ï10w ; 2,538

3. I radicali

VERO O FALSO?

a) Ï2w 9w 5 2 3

b) Ï3

2w 6w4w 5 2 4

c) Ï3

34w3w 5 7

d) Ï64w 5 6 8

e) Ï49w 5 7

f) Ï(2w 2w)4w non esiste. FV

39 TEST Tutte le seguenti scritture sono radicali,tranne una. Quale?

Ï2w74w

(2w11w)2wE

VERO O FALSO?

a) La radice quadrata di un qualsiasinumero reale esiste ed è unica.

b) Per ogni numero intero positivo n,risulta Ï

0w 5 0.c) La potenza con esponente n [ N 2 {0}

della radice n-esima di un numeroa [ R1

0 è uguale al numero a.d) Nel radicale Ï73w l’indice è 3 e

l’esponente del radicando è 2.e) I radicali Ï

xw2w e Ï5

yw2w hanno lostesso indice.

Perché l’uguaglianza Ï(2w7)w2w 5 2 7 è falsa?42

41 TEST Nel radicale Ï5

x2wy4w, l’indice e l’esponentedel radicando sono rispettivamente:

5, 6. 6, 5. 5, 2. 5, 4. 5, 8.

TEST A quale delle seguenti equivale l’uguaglian-za x 3

5 y 2, con x, y [ R1

y 5 Ï3

xw2w x 5 Ï6

ywx 5 Ï

yw2w y 5 Ï6

xwx 5 Ïyw3w

Per quale motivo la scrittura Ï0

3w è priva di signi-ficato?

ESERCIZI

n Le potenze e le radici

COMPLETA, quando è possibile, inserendo la basemancante nelle seguenti potenze.

(. . . . . )55 32; (. . . . . )2

5 2 9;

(. . . . . )35 2 8; (. . . . . )4

5 625.

46 COMPLETA inserendo l’esponente mancante nelleseguenti potenze.

(2). . .

5 64; (3). . .

(2 5). . .

5 625; (4). . .

COMPLETA applicando la definizione di radice n-esima: Ïn

aw 5 b ⇔ bn5 a.

16w 5 …; !}2§9

5}§ 5 …; Ï

27w 5 …; Ï26w 5 …; Ï81wa4w 5 …; Ï4

x8w 5 …; Ï16wa4wb8w 5 ….

Determina, quando è possibile, le radici quadrate dei seguenti numeri.

25; 36; 2 81; 49; 2 144; 121.

Determina le radici cubiche dei seguenti numeri.

2 27; 2 343; 8; 64; 1000; 125.

2w 8w1w; Ï10w0w;

34w3w; Ï4

Ï1w; Ï4

62w5w;

Ï0w; Ï5

2w 1w.

0w; Ï6

2w 6w25w; Ï6

2w 1w.

535251

Determina, quando è possibile, la radice.

Stabilisci quali delle seguenti radici esistono in R.

8w; Ï3

2w 7w; Ï6

2w 2w; Ï2w 1w; Ï1w; Ï4

0w.54 !}2

6}§ 2§ 1§; !3

2§2§ }4

7}§ ; Ï

2w 3w2w; Ï4

(2w 3w)2w.55

ESERCIZIParagrafo 4. I radicali in R1

Calcola le seguenti radici, se esistono in R.

!}1§1

00}§ ; Ï3

2w 1w25w; Ï(2w 3w)2w; !4

1}§ ; Ï2w (w2w 2w)4w.

2w (w2w 2w)3w; !4

2§ }2§1

5}§ ; Ï3

64w; !3 12§ }1

5§}§23§; !12§ }1

4§}§22§.57

4. I radicali in RR1

Quando si applica la proprietà invariantiva deiradicali, come deve essere il fattore che moltiplicao divide l’indice del radicale e l’esponente del ra-dicando? Fai degli esempi.

Nella scrittura Ï12

a3w6w 5 Ï4

aw9w ∀ a [R, la proprie-tà invariantiva è stata applicata in modo corretto?

TEST Quale dei seguenti radicali è equivalente alradicale Ï8

aw12w?

Ïaw3w Ïuawu3wÏaw4w uÏaw3wuÏuawuw

Perché il radicale Ï8

43w è semplificabile?61

58 VERO O FALSO?

a) Il radicale Ïn

xwmw è semplificabilese M.C.D.(m; n) 5 1.

b) Per semplificare un radicale è sufficiente dividere indice ed esponenteper il loro m.c.m.

c) Il radicale Ï6

aw3w è equivalente a Ïaw.

d) Se a [ R1

0, alloraÏaw2w 5 a.

e) Ï10w , Ï3

12w poiché 10 , 12.

Confronta i radicali Ï5w e Ï3

11w . Descrivi, primacon le parole poi con i numeri, il procedimentoper confrontare due radicali.

ESERCIZIO GUIDA

Determiniamo le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in R1

0: a) Ï3xw2yw5w; b) Ï3

aw 2w 2w.67

ESERCIZI

CACCIA ALL’ERRORE

Operando con radicali in R1

0, indica quali delle seguenti scritture non sono corrette, spiegando il perché.

(2w 9w)4w 5 2 9;

Ï(2w 5w)2w 5 5;

(2w 2w)6w 5 u2 2u;

Ï2w 7w2w 5 7.

Ï3 u2w 8wuw 5 2;

Ï3 u2w 4wu3w 5 4;

2w 2w7w 5 u2 3 u;

12w5w 5 u5 u.

2 Ï4w 5 2;

2w 8w 5 2;

2 Ï2w 4w 5 2;

8w 5 2 2.

666564

n Le condizioni di esistenza dei radicali in R1

Fra le seguenti coppie di radicali indica quali sono quelle equivalenti, applicando la proprietà invariantiva.Supponi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali.

32w, Ï12

36w; Ï4w?5w3w, Ï4

24w ?w56w; !3

0}§ , !6

§2}§.

Ï8w, Ï12

21w8w; Ï3

25w, Ï9

56w; Ï3

81w, Ï12

Ïxw 1w 1w, Ï4

xw21w 2wxw 1w 1w; Ï1w2w xw, Ï

1w2w xw3w.

2awbw , Ï6

4aw2bw2w; Ï5

32waw5bw, Ï10

64waw10wbw2w;

2awcw , Ï6

6aw3cw3w.

Ï2aw3bw , Ï4

8aw3bw ; Ï2awbw2w, Ï6

8aw3bw6w;

Ïawbw2cw , Ï5

aw4bw6cw4w.

!2§}(§1§2

3§ 2§x)}§ ; Ï

xw21w 1w; Ï2w 1w 2w xw.

Ï(2w aw)4w; !}a§

1§ 1§}§ ; !3

}(§a§2

2§ 2§)2}§ .69

Determina le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali in R1

!}x§1

2}§ ; !}

x§ 4}§ ; Ï1w2w xw 1 Ïxw.

Ïu xw 2w 3w uw ; !3

}u§ 2

x§ u}§ ; Ï2w xw.71

n La proprietà invariantiva

ESERCIZIO GUIDA

Indichiamo fra le seguenti coppie di radicali (con a, b [ R1

0 ) quelle equivalenti, applicando la proprietàinvariantiva:

a) Ï27w, Ï8

31w2w; b) Ï2aw4bw, Ï6

8aw12wbw3w; c) Ïaw3bw, Ï4

aw9bw2w; d) Ï3

aw 2w bw, Ï6

aw22w2wawbw 1w bw2w, con a $ b.

a) Ï27w è equivalente a Ï8

31w2w. Infatti otteniamo il secondo radicale dal primoscrivendo 27 come 33 e moltiplicando l’espo-nente del radicando e l’indice per 4:

Ï27w5Ï33w5Ï2?4

33w?4w5Ï8

31w2w.

b)Ï2aw4bw è equivalente a Ï6

8aw12wbw3w.Infatti otteniamo il secondo radicale dal primomoltiplicando l’esponente del radicando e l’in-dice per 3:

Ï2aw4bw 5Ï2?3

(2waw4bw)1w?3w5Ï6

(2waw4bw)3w5Ï6

8aw12wbw3w.

c) Ïa3wbw non è equivalente a Ï4

aw9bw2w. Infatti, se si moltiplicano per 2 l’esponente del ra-dicando e l’indice, si ottiene:

Ïaw3bw 5 Ï2?2

(aw3bw)1w?2w 5 Ï4

(aw3bw)2w 5 Ï4

aw6bw2w

e non Ï4

aw9bw2w.

d) Ï3

aw 2w bw è equivalente a Ï6

aw22w 2wawbw1w bw2w.

Infatti, moltiplicando per 2 indice ed esponente,otteniamo:

aw 2w bw 5 Ï3?2

(aw 2w bw)1w?2w 5 Ï6

(aw 2w bw)2w 5

aw22w 2wawbw 1w bw2w.

a) Ï3xw2yw5w.

Il radicando è il prodotto di tre fattori e deve es-sere positivo o nullo: 3 è un numero positivo; x 2 è sempre positivo o nullo, indipendentemen-te dal segno di x, poiché il suo esponente è pari;y5, avendo esponente dispari, assume il segnodi y, quindi, affinché y5 sia positivo o nullo, oc-corre che sia y $ 0. Pertanto C.E.: y $ 0.

b) Ï3

aw 2w 2w.

Il radicando è il binomio a 2 2, che non si scom-pone in fattori. Dobbiamo porre a 2 2 maggioreo uguale a 0, ossia:

a 2 2 $ 0, da cui a $ 2.

Quindi:

C.E.: a $ 2.

ESERCIZIO GUIDA

Applicando la proprietà invariantiva, determiniamo il radicale equivalente a quello dato, indicando anchele condizioni di esistenza dei radicali.

2aw5bw 5 Ï12

...w..w .

La proprietà invariantiva dice che Ïn

xwmw 5 Ïxwmw? pw, con xm$ 0, n, p [ N 2 {0}. Dobbiamo risolvere un

problema del tipo Ïn

xwmw 5 Ïn?p

...w..w , dove n 5 4 e n ? p 5 12, ossia 4p 5 12, da cui p 5 12 ; 4 5 3. Pertanto:

2aw5bw 5 Ï12

(2waw5bw)1w2 ;w4w 5 Ï12

(2waw5bw)3w 5 Ï12

8aw15wbw3w.

Per l’esistenza dei radicali basta porre: ab $ 0.

Infatti, se ab $ 0, è anche: a5b 5 a4(ab) $ 0 e a15b35 a14b2(ab) $ 0.

quozientedegli indici

COMPLETA applicando la proprietà invariantiva e determina il radicale equivalente. Scrivi anche le condizionidi esistenza dei radicali.

Ï8w 5Ï6

...w..w ; Ï5

27w 5 Ï15

...w..w ; Ï24w ?w33w 5 Ï12

...w..w ; Ï3

a4wbw 5 Ï6

...w..w .

Ï3aw3w 5 Ï4

...w..w ; Ï2bw4w 5 Ï6

...w..w ; Ïaw1w 1w 5 Ï4

...w..w ; Ï2awb2w 5 Ï4

...w..w .

3ab 25 Ï

...w..w ; Ï2awb3w 5 Ï6

...w..w ; Ï5

3awcw 5 Ï10

...w..w ; !}a§

}§ 5!4

}§ 5 !12

}§ ; !3

8§7}§ 5!6

..§.}§ ; !}

b§a2}§ 5!6

.§.}§ ; !}

2§}§a§ 5!12

.§.}§ .

L’indice o l’esponente sono letterali

awbcw2w, Ï4

aw2bw2cw3w; Ï3awbw2w, Ï6

27waw3bw6w; Ï2awbw3w, Ï4

8aw2bw6w.

Ï3aw2bw , Ï6

9aw6bw3w; Ï2awbcw, Ï3

6aw3bw3cw3w; Ïawbcw3w, Ï6

3aw3bw3cw6w.

Ïaw 2w 1w, Ï10

aw10w 2w 1w ; !}9

2§}§(2§a§ 2§ 5§)§, !6

7}§ (§2a§ 2§ 5§)3§.80

ESERCIZIO GUIDA

Applicando la proprietà invariantiva, determiniamo il radicale equivalente:

aw2w 5 Ï3n2

.....ww , con n [ N 2 {0}.

Come nel caso in cui l’indice e l’esponente sono numeri, dobbiamo eseguire la divisione fra gli indici:

3n 2; n 5 3n 2 2 1

Dobbiamo moltiplicare per 3n l’esponente del radicando:

2 ? 3n 5 6n.

Quindi il radicale equivalente è: Ïn

aw2w 5 Ï3n2

a6wnw.

Indica quali dei seguenti radicali non si possono semplificare.

32w; Ï7

28w; Ï5

a1w0yw 2w; Ï4

22w5w; Ï9

21w6w.

!}a§2

b§2}§ ; Ï

9aw3w; Ï6

xw21w yw 2w; Ï

4(wxw1w yw)2w; !8

4§a§1§ 1

Semplifica, se possibile, i seguenti radicali, supponendo non negativi i radicandi e i fattori letterali che even-tualmente compaiono (anche nei risultati).

32w; Ï4

9w; Ï6

25w; Ï3

8w; Ï10

16w; Ï6

12w5w; Ï8

21w2w.

8§}§ ; !6

4}§ ; !6

}§ ; Ï6

10w00w; !4

}§ ; !8

4}§ ; Ï

42w 1w 3w2w; Ï4

13w22w 5w2w.95

27waw3bw6w; Ï10

32waw5bw5w.

Ïaw4bw6w; Ïaw2bw4w; Ï3

aw6bw9w.97

96 Ï6

aw2(waw2w2w 4waw 1w 4w)w

aw3w1w 8w 1w 6waw2w1w 1w2aw99

Determina il radicale equivalente (gli indici appartengono a N 2 {0}).

Ïawmwbw2w 5 Ï6

...w..w ;

Ïamw2w2bwnw 5 Ï4

...w..w ;

Ïawbcw2w 5 Ï2n

...w..w .

Ïawmwbw2w 5 Ï2n

...w..w ;

Ïakwbw 5 Ï4k

...w..w ;

awbwnw 5 Ï6n

...w..w .

awnbw 5 Ï10n

...w..w ;

abw2w 5 Ïn2

...w..w ;

awbwkw 5 Ï3k 2

...w..w .

898887

n La semplificazione di radicali

ESERCIZIO GUIDA

Semplifichiamo i radicali: a) Ï9

64w; b) Ï6

27wx3wy6w (con x $0).

a) Scriviamo il radicando come potenza: 64 5 26; dividiamo poi per 3 (che è il M.C.D. tra 9 e 6) l’indice diradice e l’esponente del radicando:

64w 5 Ï9

26w 5 Ï3

22w 5 Ï3

b) Scriviamo il radicando come una potenza; l’esponente del radicando è 3, quindi dividiamo per 3 l’indi-ce di radice e l’esponente del radicando:

27wx3wy6w 5 Ï6

33wx3wy6w 5 Ï6

(3wxyw2)w3w 5 Ï3xwy2w.

VERO O FALSO?

a) Ï9

27w 5 Ï3

3w d) Ï6

a8wb4w 5 Ï3

a4wb2wb) Ï

a3w 1w bw3w 5 a 1 b e) Ï8

34w 1w 5w4w 5 Ï3w1w 5wc) Ï(1w 1w Ïw2ww)2w 5 1 1 Ï2w f) Ï

16w 5 Ï4

8w FVFV

4aw2bw12w; Ï10

4aw4bw2w.

9§}§ 1§ a§2§1§ }§2

3}§ a§

}4§(2§b

5§1§)2

§1}§

}§ ; !10

}§ .104

100 !4

x§2§2

1§ 3§a

82§ a

§3a§1§ 1

}§!x§2

1§ }x§a4

§2}§ 1§ 2§a2§

}(§a2§

1§1§ 1§)3

}§109

La semplificazione dei radicali con la discussione sul segno dei radicandi

ESERCIZIO GUIDA

Semplifichiamo i radicali:

a) Ï4

(2w 5w)6w; b) Ï6

xw2 yw4w; c) Ïxw2w2w 4wxw 1w 4w; d) !8

a) Ï4

(2w 5w)6w 5 Ï4:2

(2w 5w)6w;2w 5

Poiché (2 5)6;25 (2 5)3 è negativo, dovendo essere il radicando sempre positivo, occorre introdurre il

valore assoluto:

5 Ïu2w 5wu3w 5 Ï12w5w.

b) C.E.: ∀ x [ R, ∀ y [ R. Infatti il radicando è positivo o nullo per qualsiasi valore attribuito a x o a y.

xw2yw4w 5

36/Ï(xwyw2)w2/1w 5 Ï3 uxwuyw2w.

Per avere il radicando non negativo, dopo la semplificazione occorre introdurre il valore assoluto di x.

c) Ïxw2w2w 4wxw 1w 4w 5 Ï(xw 2w 2w)2w 5 C.E.: ∀ x [ R, perché l’esponente del radicando è pari.

5 ux 2 2u, perché un radicale deve essere non negativo.

1§1§9x§4

9}§ 5 !8

2}§ 5 !8 1}§1

7§x}§2

Affinché la frazione algebrica esista, deve essere 1 2 3x Þ 0, ossia x Þ }1

3} : C.E.: ∀ x Þ }

Poiché l’esponente del radicando è pari, il radicale esiste:

5 !4 u}§1

7§x}§u§ .

Abbiamo dovuto introdurre il valore assoluto perché ci sono valori di x, ammessi dalle C.E., che rendo-no il radicando negativo (per esempio, x 5 2 8).

1§1§ 2

1}§ ; !6 §§ . 3x Þ 2 }

2} , !3 )}§2

1}§)§; x . 2 1, !}

2§ 1§1

}§ ; !4 §§ . 3a . 2 1, !}2§(

}§; x Þ6 1, !)}§2(§x

1§)}§)§4

}4§(x§

(x§ 1

1§ 2§1)§2

x§)x§2

}§ ; !8

1§2§ }2§a

a§b2§ b

2§2§1}§ . 3x Þ 2 1, !3 )}§2

1§2§ 1

)}§)§; a Þ 0, b Þ 0, !4

1§}§4

Determina per quali valori di x sono soddisfatte le seguenti equazioni:

a) Ï4xw 2w 5 2x; b) Ïxw22w 1w0xw 1w 2w5w 5 5 2 x. [a) x $ 0; b) x # 5]

4(x 22 2x 1 1)(x 2 1)

}}}(x 2

2 1)(x 1 1)124

1 3x21 3x 1 1

Semplifica, se è possibile, i seguenti radicali dopo aver indicato le condizioni di esistenza.

0,w02w7w; Ï6

(2w 2w)4w; Ï8

36w. 3!3

0}§ ; Ï3

4w; Ï4

6w4Ï9

27wxw3w; !8

}§ . 3x $ 0, Ï3

3xw; x Þ 0, !4

a3wb6w; Ï10

64wx4wy1w0w. [a $ 0, Ïabw2w; Ï5

8xw2wyw5w]

16w(aw 2w 1w)2w; Ï6

a2w(aw 1w 3w)4w. [Ï4waw2w 1ww; Ï3

waw(aw 1w 3w)2w]

}§ ; Ïxw22w 6wxw1w 9w. 3a . 0, b Þ 0, !}

b§a2}§ ; x 2 34

9§}§ a§6§; !}6§1

4}§ a§8b§10§. 3}

3} ua u3; }

8} a 4 ub u54

Ïaw42w 8waw2

1w 1w6w; Ï4aw2xw 2w. [a22 4; 2ax]

!}9§b

}§ ; !9

}2§16§y

}§. 3}3b

}, b Þ 0; a $ 0, y Þ 0, !3

2}§6a

y§b2§

}§4Ï4

a4wb6w; Ï8

a2w 2w 2waw1w 1w. [Ïa2wwbw3w; Ï4

waw2w 1ww]

}4§x§

1§4§ 4§y2

}§ ; !8

(a§ 4

2§a§ 1

4}§ . 3a Þ 0, non semplif.; a Þ 2 2, !4

!12§§24(x 81 4x6

1 4x 4)}}}

54b6(a21 6a 1 9)

BRAVI SI DIVENTA c E34

VERO O FALSO?

a) Ï(2w9)w2w 5 9

b) Ï4

(1w 2w Ïw3ww)2w 5 Ï1w2w Ïw3wwc) Ï6

a3w 5 Ïaw

d) Ï4

(2wxw2w 3w)2w 5 Ï2xw 2w 3w

e) Ï12

(2w27w)6w 5 Ï2w27w

f) Ïn

anw 5 a , ∀ a [ R e ∀ n [ N. FV

0 ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

Riduciamo allo stesso indice i seguenti radicali, supponendo verificate le C.E.:

a) Ï4

2aw2w, Ï6

3awb3w, Ï3

a2wb4w; b) Ï6

(aw 1w bw)2w, Ïaw1w bw, Ï3

aw1w bw2w.

a) Calcoliamo il minimo indice comune, ossia il m.c.m. fra gli indici: m.c.m.(4, 6, 3) 5 12.Applichiamo la proprietà invariantiva:

2aw2w 5 Ï12

(2wa2w)3w 5 Ï12

8aw6w; Ï6

3awb3w 5 Ï12

(3wawbw3)w2w 5 Ï12

9aw2bw6w; Ï3

aw2bw4w 5 Ï12

(aw2bw4)w4w 5 Ï12

aw8bw16w.

?3 ?2 ?4

b) Calcoliamo il minimo indice comune:

m.c.m.(6, 2, 3) 5 6.

Applichiamo la proprietà invariantiva: l’indice del primo radicale è già 6,

aw 1w bw 5 Ï6

(aw 1w bw)3w,

aw 1w bw2w 5 Ï6

(aw 1w bw2)w2w.

Abbiamo ottenuto tre radicali di indice 6:

(aw 1w bw)2w, Ï6

(aw 1w bw)3w, Ï6

(aw 1w bw2)w2w.

Riduci allo stesso indice i seguenti radicali. (Qui e in seguito, se non vengono date indicazioni diverse, supponiverificate le C.E.)

Ï3w, Ï3

3w, Ï4

3w. [Ï12

72w9w; Ï12

81w; Ï12

2w, Ï3w, Ï6

5w. [Ï6

4w; Ï6

27w; Ï6

52w, Ï4

6w, Ï3

7w. [Ï12

52w; Ï12

21w6w; Ï12

24w01w]

Ï5w, Ï4

7w, Ïaw. [Ï4

25w; Ï4

7w; Ï4

a3w, Ï3

aw, Ï2aw2w. [Ï12

aw9w; Ï12

aw4w; Ï12

64waw12w]

3xw2yw3w, Ï4

2xwyw2w, Ï3

3xwyw. [Ï12

3xw2yw3w; Ï12

8xw3yw6w; Ï12

81wxw4yw4w]

(aw 2w bw)2w, Ïaw 1w bw, Ï3

aw 1w bw. [Ï6

(aw 2w bw)2w; Ï6

(aw 1w bw)3w; Ï6

(aw 1w bw)2w]

25waw3bw4w, Ï3

3awb2w, Ï5

5aw2bw. [Ï15

25waw3bw4w; Ï15

24w3aw5bw10w; Ï15

12w5aw6bw3w]

Ïaw1w 2w, Ï3

aw21w 4waw1w 4w, Ï4

(aw 1w 2w)3w. [Ï12

(aw 1w 2w)6w; Ï12

(aw 1w 2w)8w; Ï12

(aw 1w 2w)9w]

1}§ , !}

}§ , !10

t}§. 3!10

(§ xy§ 1

}§ ; !10

}(§a§2

}§ ; !10

t}§4137

!}(§x§ 2

2§ y§)3

}§ , Ï3(aw 1w bw)4w, !12

b}§. 3!12

}(§x§ 2

}§ ; Ï12(aw 1w bw)1w6w ; !12

!}x§2

1}§ , !6

z§ 1}§ , !4

3y}§. 3!12

6}§ ; !12

}(§2x§x§

1§) 2}§ ; !12

!3}(§2x§ 3

2§ 1§)t

}§ , !6}4§(x§2

t§ 1§)}§ , !}

x§ 1}§. 3!6

}(§2x§ 2

9§1§)2

}§ ; !6}4§(x§2

1§)}§ ; !6

}(§3a§8

1§)3}§4

n Il confronto di radicali

ESERCIZIO GUIDA

Confrontiamo i radicali Ï43w, Ï3

3w, Ï67w.141

Riduciamo allo stesso indice:

Ï43w 5 Ï12

3w3w 5 Ï1227w

Ï33w 5 Ï12

3w4w 5 Ï1281w

Ï67w 5 Ï12

7w2w 5 Ï1249w

27 , 49 , 81.

Mettiamo i radicali nello stesso ordine dei radicandi:

Ï43w , Ï6

7w , Ï33w.

Confronta i seguenti radicali.

Ï2w, Ï35w, Ï6

12w. [Ï2w , Ï612w , Ï3

Ï90w, Ï580w, Ï10

12w0w. [Ï1012w0w , Ï5

80w , Ï90w]

3§}§ , !3}3

4§}§ , Ï64w. 3!}

3§}§ ,!3}3

4§}§ , Ï64w4

Ï33w, Ï2w, Ï5

5w. [Ï55w , Ï2w , Ï3

3w]145

Disponi in ordine crescente i seguenti radicali dopoaverli ridotti allo stesso indice.

Ï5w, Ï36w, Ï4

10w, Ï7w.

Ï8w, Ï414w, Ï6

25w, Ï328w.

Disponi in ordine crescente i seguenti numerireali.

Ï427w, 2,2, Ï5w, Ï3

5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali

VERO O FALSO?

a) Il prodotto di due radicali è un radicale che haper indice il prodotto degli indici e per radicando il prodotto dei radicandi.

b) }ÏÏ

xwyw}5!3

y§}§ , ∀x [R1

0 e ∀y [R1.

c) Il prodotto dei radicali Ï35w

e Ï47w è il radicale Ï12

35w. FV

149 VERO O FALSO?

a) È possibile trasportare fuori dal segnodi radice un fattore solo sel’esponente è multiplo dell’indice.

b) Il fattore a 16, portato fuori dal segnodi radice quadrata, diventa a 4.

c) I radicali Ï4aw14wbw3w e ua u3 Ï4

aw2bw3w ,con b [R1

0 , sono equivalenti. FV

ESERCIZI

n La moltiplicazione fra radicali

ESERCIZIO GUIDA

Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni fra radicali:

3§}§ ?!3

5}§ ?!3

2§}§; b) !}2

b§a}§ ?!3

}§ (a $ 0, b . 0).

a) Poiché gli indici dei radicali sono uguali, è sufficiente applicare il teorema del prodotto

aw ? Ïn

bw 5 Ïn

aw? bw:

3§}§ ?!3

5}§ ?!3

2§}§ 5!3

3§}§ ?§}2§9

5}§ ?§}

2§}§ 5!3

2§}§ .

b) Poiché i radicali hanno indici diversi, li riduciamo allo stesso indice:

b§a}§ 5!6

}§ e !3

}§ 5!6

b§a}§ ?!3

}§ 5!6

}§ ?!6

Il prodotto è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi:

56Îããã? 5!6

9§5b}§ .

a 2? b 4/

28\a 3

Esegui le seguenti moltiplicazioni fra radicali e semplifica i risultati. Supponi che siano verificate le C.E.

Ï48w ? Ï3w; Ï3

3w ? Ï3

9w; Ï32w ? Ï2w. [12; 3; 8]

12w Ï5

36w Ï5

18w; Ï6

2w Ï6

8w Ï6

32w. [6; Ï8w]

3w ? Ï3w ? Ï3

3w; Ï4

7w ? Ï6

7w ? Ï3

7w. [3; Ï4

aw ? Ïa3w Ï3

a2w; Ï5

xw Ï10

x3w Ïxw. [Ï3

a7w; x]

5§}§ ?!5

2}§ ? Ï5

2w; !}3

4§}§ ?!}2§8

7}§ ? Ï6w. 3Ï5

2w; !}4

3§}§4!}

4§}§ ?!}3§8

0}§ ? Ï6w; !}

2}§ ?!}

5}§ ?!}

2}§ . 3Ï2w; !}

2§74}§ ?!6

}§ ?!6

1§2}§ ; !}

4§(a§5

b§) 2

}§ ?!}1§2§

2§b§

b§)4}§ . 3!}

2§}§ }x§y}§; !}

3§a§(a

§b)§2}§4

Ïyw ?!3

}§ ; !6

a§b§3}§ ?!}

b}§ ?!3

a}§ . 3!6

}§ ; !6

a}§4159

Paragrafo 5. La moltiplicazione e la divisione fra radicali

n La divisione fra radicaliESERCIZIO GUIDA

Eseguiamo le divisioni fra radicali:

2§}§ ;!3

2§}§ ; b) Ï4

24wabw2w ; Ï2bw (con a $ 0 e b . 0).

2§}§ ;!3

2§}§ 5

Portiamo allo stesso indice:

5!12 1}§1

2}§2§

3§ ;!12 1}§1

2}§2§

Applichiamo il teorema del quoziente

aw ; Ïn

bw 5 Ïn

aw ;w bw:

5!12 1}§1

3§ ;§ 1§}1

2§}§24§ 5!12 1}§1

3§2§4§ 5

5!12 1}§1

2}§2§

21§ 5 Ï12

b) Ï4

24wawbw2w ; Ï2bw 5 Ï4

24wabw2w ; Ï4

(2wb)w2w 5

24wawbw2;w 4wbw2w 5 Ï4

Esegui le seguenti divisioni fra radicali. (Supponi che siano verificate le C.E.)

Ï9w ; Ï3w; Ï7w ; Ï5w; Ï8w ;!}4

3§}§ . 3Ï3w; !}7

5§}§ ; Ï6w4Ïaw2w ; Ïaw; Ïaw ; Ïbw; Ïxw3w ;!}

}§ . 3Ïaw; !}a

b§}§ ; Ïxyw4Ï4

2w ;!4

5§}§ ; !3

2§}§ ;!3

2§}§ ; Ï7

32w ; Ï7

2w6w . 3!4

4§}§ ; 1; !7

2§}§4Ï5w;!4

1}§ ; Ï3

2w ;!12

9§}§ ; !1§1§ }3

5§}§ ;!}4

5§}§ . [3; Ï12

18w; Ï2w]

Ïxw;!4

}§ ; Ï3

aw ;!12

}§ ; Ï4w; Ï4

8w. 3!4

3}§ ; Ï12

awbw2w; Ï4

n Espressioni con moltiplicazioni e divisioni

Semplifica le seguenti espressioni contenenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali. Supponi i radicandi nonnegativi.

Ï12w5w ;!}5

6§}§ ? Ï6w [30]

(Ï8w ? Ï48w) ; (Ï24w ? Ï6w) 3!}8

3§}§4Ï3

16w2w ; 1!}3

2§}§ ? Ï6

43w2w2 [Ï6

a6wb7w ; Ïabw2w ? Ïa2wbw [Ï6

a1w5bw11w]

3aw2cw ; Ï9

27waw ? Ï3

9cw2w [Ï9

72w9aw5cw9w]170

166 1!4

y}§ ?!4

4y}§2 ?!4

z§}§ [1]

y§}§ ;!}x

}§ ?!}x

y§}§ 3!}x

z§2}§4

!}3§a

}§ ;!}9§c

}§ ?!}a

3§}§ 3}a

!1§2§ }x§1

2}§ ;!1§1§ }

1§}§ ? }x

2w} 3!6

}(§x§ 2

x§ 1§)3}§4174

ESERCIZI

!x§ 2§ }x

9§}§ ;!3

x§ 3}§ ;!6

}(§x§ 2

}§ [Ï6

8(wxw1w 3w)w]

!§?!}x§2

}§;!}x§

22§x2§1§6}§ 3!}

x§ 22

1§6}§4

1§ y}§ ?!}

y}§ ?!}

}§ [Ï6

xw1w yw]

y}§ ?!}

(x§22§2§ y

2)}§ 3!}

3§(x§2

2§ y§)}§4

!}1§2(§x

2§ a§2)

}§ ?!}1§4

}§ [Ï6(wxw2w aw)(wxw1wa)w2w]

1§y§y}§ 1§ 1§ ?!8

y}§ ;!}

1§1§ 3

y§y}§ ; Ï8

xw 1w yw 3!8

}2§(x§

1§ 3§y)}§4

§b§2

}§ ?!3

2}§ ;!6

4}§ 3!6 §§4

n Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

(b 2 2)4(b 1 1)}}(b 2 1)3(b 1 2)

28x116176

ESERCIZIO GUIDA

Trasportiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili nei seguenti radicali:

a) Ï3

24w; b) Ï4

29w; c) !}1§3

6}§; d) Ï9aw8bw (b $ 0); e) Ï3

aw51w 3waw4

1w 3waw31w aw2w (a $ 2 1).

a) Ï3

24w 5 Ï3

8w? 3w 5 Ï3

2w3?w 3w 5 Ï3

2w3w ? Ï3

3w 5 2 ? Ï3

b) Ï4

29w 5 Ï4

28w ?w2w 5 Ï4

28w ? Ï4

2w 5 22? Ï4

2w 5 4Ï4

c) !}1§3

6}§ 5 }

} 5 }Ï

3w} 5 }

4} Ï3w.

d) Ï9aw8bw 5 Ï3w2?w aw8

?w bw 5 Ï3w2w ? Ïaw8w ? Ïbw 5 3 ? a 4? Ïbw.

e) Raccogliamo a 2 e riconosciamo il cubo di un binomio:

aw51w 3waw4

1w 3waw31w aw2w 5 Ï3

aw2 (waw31w 3waw2

1w 3waw 1w 1w)w 5 Ï3

aw2 (waw 1w 1w)3w 5 Ï3

aw2w ? Ï3

(aw 1w 1w)3w

Poiché per ipotesi a $2 1, il fattore (a 1 1) non è negativo:

5 (a 1 1) ? Ï3

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili supponendo che non siano negativi.

Ï18w; Ï12w; Ï3

54w; Ï3

40w. [3 Ï2w; 2 Ï3w; 3 Ï3

2w; 2 Ï3

!}1§3

6}§ ; !}

4§}§ ; !3

7}§ ; !3

5§}§. 34 ? !}1

3§}§ ; }1

2} Ï5w; }

3} Ï3

2w; 2!3

5§}§4184

Nel sito: c 17 esercizi di recupero

Ï40w; Ï24w3w; Ï12w5w; Ï3

16w. [2 Ï10w; 9 Ï3w; 5 Ï5w; 2 Ï3

96w; Ï3

81w; Ï4

32w0w; Ï4

24w3w. [2 Ï3

12w; 3 Ï3

3w; 2 Ï4

20w; 3 Ï4

8§}§ ; !}7

5}§ ; !3

1}§ ; !3

3§0}§. 3}

2§}§ ; }6

5} Ï2w; }

3§}§ ; }1

32w0w; Ï3

37w5w; Ï4

11w2w; Ï4

40w5w. [4 Ï3

5w; 5 Ï3

3w; 2 Ï4

7w; 3 Ï4

Ï5aw8bwcw2w; Ï3

6awbw3cw6w; !4

1}§ x§12§ ; Ï2aw 2bw. 3a 4c Ï5bw ; bc 2 Ï3

6aw ; }1

3} x 3Ï4

2w; a Ï2bw4Ï3

aw31w 3waw2

1w 3waw 1w 1w; Ï3

aw6 (wxw 2w yw)3w; Ï3

3bw6w. [a 1 1; a 2 (x 2 y); b 2 Ï3

Ïxw21w xw2yw ; Ï4w1w 4wbw2w; Ïxw2yw 2w 3wxw2w . [x Ï1w1w yw; 2 Ï1w1w bw2w; x Ïyw 2w 3w]

Ïx6w 2w 2wx3wb3w 1w bw6w ; !}3§a§22§9

a§x§1§ 2§7

}§ . 3x 32 b 3; }

3§)5}§; Ï8(wx5w 2w 6wx4w 1w 9wx3w)w. 3}a 2

3}§; 2x(x 2 3) Ï2xw4

7}§ a§3b§6§; Ï4

(aw22w 1w)(waw2w 1w)3w. 3}

3} ab 2 Ï3

4w; (a 2 1) Ï4

a1w 1w4Ï4xw 2w 1w2bw; Ï4

bw41w bw4xw ; Ï3

(2w 2w xw)2w aw6bw. [2 Ïxw 2w 3wbw; b Ï4

1w1w xw; a 2 Ï3

(2w 2w xw)2w bw]

!a§22§ }

9§}§ ; !}2§7

b§2}§ ; Ï4

xw41w xw4bw2w. 3}

3} Ï9aw2w2w 1w ; }

b} Ï7aw; x Ï4

1w1w bw2w4!}

}§ ; !3

7§1§)5

}§ . 3}a

2x} !}

x}§ ; }

2 1)} Ï3

a(wxw2w 1w)2w4

15§)4

}§ ; !}(§x§1§2

§x§3

}§ . 3}3(2

1)} !3

1§ 1§3)§1

)}§ ; }

} !}(§x§1

3§ 2§)x}§4

!}8§0(§a

a2§ 2

}§ ; !}1§00§(

2§x§

)3§ 1§)4

}§ . 34a2(a 2 2)!}a§

5§ 2}§ ; 10x(x 1 1)2Ïx(wxw2w 1w)w4

}(§a§2

}§ ; !}(§x

§ 2§x

1§ 2§4)§2

}§ . 3}a(a 2

}a§(a§3

2§ 1§)}§ ; }

x§ 2}§4

}§ ; !}1§8a§5(§x

1§ 3§)3

}§ . 3}xx

2w 1w6w} ; }

1 3)} Ï2aw(xw 1w 3w)w4

Fattori trasportati fuori dal segno di radice e discussione

ESERCIZIO GUIDA

Trasportiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili nei seguenti radicali:

a) Ïa6wbw; b) Ï3

12w5aw3bw ; c) Ï3

8aw3bw9cw2w; d) Ï2aw22w 4waw 1w 2w.

ESERCIZI

a) C.E. di Ïa6wbw : b $ 0.

Ïaw6bw 5 ua 3 u Ïbw.

Introduciamo il valore assoluto di a3 poiché leC.E. non garantiscono che sia a 3

b) C.E. di Ï3

12w5aw3bw : ab $ 0.

12w5aw3bw 5 Ï3

53waw3bw 5 5 ua u Ï3 ubwuw.

Introduciamo i valori assoluti di b e a poichéle C.E. non assicurano che il radicando sia $ 0e per rendere vera l’uguaglianza.

c) C.E. di Ï3

8aw3bw9cw2w : ab $ 0.

8aw3bw9cw2w 5 Ï3

2w3aw3bw9cw2w 5 2ab 3 Ï3

I valori assoluti non occorrono, perché le C.E. ga-rantiscono che ab 3

$ 0, essendo ab35 ab ? b2

d) C.E. di Ï2aw22w 4waw1w 2w 5 Ï2w(aw 2w 1w)2w : ∀a [ R.

Ï2w(aw 2w 1w)2w 5 ua 2 1 u Ï2w.

Infatti le C.E. non garantiscono che sia a 2 1 $ 0

mentre Ï2(waw2w 1w)2w $ 0.

COMPLETA Nelle seguenti uguaglianze sono stati trasportati fuori dal segno di radice tutti i fattori possibilisenza mettere i necessari valori assoluti. Aggiungili dove mancano.

Ïx2w 5 x; Ïx3w 5 x ? Ïxw; Ïabw2w 5 bÏaw.

Ïxw4w 5 x 2; Ïxw5w 5 x 2? Ïxw; Ï3

a6w 5 a 2.

8aw3bwcw3w 5 2ac Ï3

bw;w !3

}§ 5 }3

c§}§ .

Ïaw2?w bw 5 a Ïbw; Ï2aw4bw2w 5 a 2

? b ? Ï2w;

Ï9aw4bw 5 3a 2 Ïbw.

203 Ï4

a4wb8wcw 5 ab 2 Ï4

cw; Ï5

32waw5bw 5 2a Ï5

aw12wbw6cw 5 a 2b Ï6

§b}§ 5 }

a2} Ï4

bw; !}4§a

§d}§ 5 }

a2} Ïdw.

Ï9(waw2w 1w)2wbw 5 3(a 2 1) Ïbw;

Ï16waw2 (wbw 2w 1w)2w 5 4a (b 2 1).

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

Ï16wbw4cw; Ï3

27waw2bw12wxw6w; Ï3

12wxw3yw2w. [4b 2 Ïcw; 3b 4x 2 Ï3

aw2w; x Ï3

12wyw2w]

Ï(aw22w 2waw1w 1w) bw ; Ï3

6xw2yw3cw6w; Ï5

10wxw5yw4w. [ua 2 1 u Ïbw; yc 2 Ï3

6xw2w; x Ï5

10wyw4w]

16wbw4cw; Ï3

64wxw2bw6yw9w; Ï81wxw4yw6w. [2 ub uÏ4

cw; 4b 2y 3 Ï3

xw2w; 9x 2 uy u3 ]

Ï12waw21w aw2xw; Ï3

15wxw31w xw5w. [ua u Ï12w 1w xw; x Ï3

15w 1w xw2w]

Ï4xw2cw; Ï3

81wxw6yw12wcw2w. [2 ux u Ïcw; 3x 2y 4 Ï3

3cw2w]

Ïaw2bw21w 4wbw2w; Ï3

awbw32w bw4w. [ub u Ïaw2

1w 4w; ub u Ï3 uaw 2w bwuw]

Ïaw2bw 1w bw2aw2w; Ï3

27waw31w 2w7w. [ua u Ïbw1w bw2w; 3 Ï3

a3w 1w 1w]

Ï16waw2 (wbw22w 2wbw 1w 1w)w; Ï16w(aw2xw 1w 2wawxw 1w xw)w. [4 ua(b 2 1) u; 4 ua 1 1 u Ïxw]

Ï(xw22w 4w)(wxw2w 2w)w; !}x§3

3§x§2§ 1

}§ . 3ux 2 2uÏxw1w 2w; }ux

!}x§4

1}§ ; !}

1§x§5

x}§ . 32u}x 1

1}u Ïxw2w 1w; 4

Ï(xw 2w 1w)3w; !4

§)4}§ . 3(x 2 1)Ïxw2w 1w; }

}4Ï(xw2

2w 9w)(wxw21w 3wx)wxw3w; !}(§x§2

2§1§2

1§x§ x§)

}§ . 3x 2(x 1 3)Ïxw2w 3w; }x 1

1} Ïxw2w 1w4

!}c§(

1§)6}§ ; Ï3xw2

2w 1w8xw 1w 2w7w. 3}ux

c§}§ ; ux 2 3u Ï3w4Ï3

x5w 1w 3wx4w 1w 3wx3w 1w xw2w; Ïaw51w aw4w. [(x 1 1) Ï3

xw2w; a 2 Ïaw1w 1w]

n Moltiplicare, dividere e portare fuori dal segno di radiceDopo aver eseguito le moltiplicazioni e divisioni indicate, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili.Supponi che i fattori che compongono i radicandi siano positivi.

Ï24w ? Ï30w; !}4

5§}§ ?!}1§3

25}§ ; !3

2§}§ ?!3

4§}§ . 312Ï5w; }1

0} Ï3w; }

4aw3bw2w ? Ï3

4aw2bw ; !3

9§}§ x§2§ ?!5

7}§ x§4y§3§. 32a Ï12

4aw5bw10w; }x

!}a§x

}§ ?!3

y}§ ? Ï6

(xw 2w 2wy)w5w 3(x 2 2y)!6

}(§a§2

§ 2§b)§1

(a§1§ 2§b)§3}§4

1§ 1}§ ? Ï3

(xw2w2w 1w) 2w ;!}x§31§ 3§x

§ 2§ 1}§ 3}xx

1} Ï6

xw 1w 1w4

}2§a§

2§ 1}§ ?!}

2§2§ 1

1§)3}§ ?!3

1}§ 3}Ï

2§ 1}§ ?!3

2}§ 1§ a§2

1§ 2§ ?!6

}a§4 (§a§2

2§ 1§)4}§ ?!}

a§2§ 1}§ 3}a (a 2

2 1)}Ï6

a2w 1w 1w4Ï3

aw 1w 2w ?!3

1§a§ 1§ 4

}§ ?!3

(a§2§2§ 4§)§?}§a2§1

2§a§8

}§ [Ï3

(aw 1w 2w)2w]

}x§ 2§

9§x§1§ 9

}§ ?!6

}9§(x§

x§2§ 9§)4

}§ ;!}x§

3§ 3§x§2

}§Trova le condizioni di esistenza dei radicali e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni indicate, trasporta fuori dalsegno di radice i fattori possibili; metti il valore assoluto dove necessario.

aw2bw3w ? Ï4

aw7bw9w; Ï6

b3wcw ? Ï6

3bw3cw 5w; Ï5

2xw3yw4w ? Ï5

16wxw3yw3w . [a 2b 3 Ï4

aw; bcÏ6

3w; 2xy Ï5

xyw2w]

6§y3}§ ?!3

x§ 3}§ ; !6

}§ ?!3

x§y8§2

}§ ; !6

}§ ?!4

a§b2§2

}§ . 3}2

y§ 3}§; }

y§}§ ; 2!6 u§}a

b§}§ u§4

3}§!}

}§ ?!}x§x2§

2}§ ; !}x§

§2§ 2

x§x§1§ 1}§ ?!3

2}§ . 3}x 1

y} Ïxw2w 3w ; }

1}? 1!6

x§}§24234

9x}Ïxw2w 5w

ESERCIZI

6. La potenza e la radice di un radicale

VERO O FALSO?

a) Se a [ R1

0 e x, y, z [ N 2 {0}, allora (Ïx

awyw)z5 Ïxz

awyzw.

b) (Ï43w)7

5 3 Ï427w.

c) La radice cubica della radice quinta di a è equivalente alla radice ottava di a.

È vera l’uguaglianza (Ï6aw3w)2

5 a, con a [ R1

0 ? Motiva la risposta e fai altri esempi.

Perché l’uguaglianza 27 Ïzw 5 Ï49wzw, con z . 0, è falsa? Correggila in modo che diventi vera.

ESERCIZI

n La potenza di un radicale

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo le seguenti potenze di radicali:

a) (Ï32w)5; b) (Ï5

2xwy2w)3

(x $ 0); c) (Ï65awb2w)3.

Applichiamo in tutti i casi il teorema della potenza: (Ïn

aw)m5 Ïn

a) (Ï32w)

55 Ï3

2w5w 5 2 Ï32w2w 5 2 Ï3

b) (Ï52xwyw2w)

35 Ï5

(2wxyw2)w3w 5 Ï58xw3yw6w 5 yÏ5

8xw3wyww.

c) (Ï65awb2w)

35 Ï5awb2w 5 bÏ5aw.

Calcola le seguenti potenze di radicali.

(Ï3w)3; (Ï6

2w)3; (Ï5

2w)2; (Ï4

3w)2. [3 Ï3w; Ï2w; Ï5

4w; Ï3w]

(Ï12w)3; (Ï3

9w)6; (Ï10

7w)2; (Ï5

3w)2. [24 Ï3w; 81; Ï5

7w; Ï59w]

(Ï2aw5bw)3; (Ï3

3xw4yw)2; (Ï6bcw 3w)4. [2 a7b Ï2awbw; x 2 Ï3

9xw2yw2w; c 2Ï3bw2w]

[Ï3(xw 1w 3wy)w(xw 2w yw)w]2

; (Ï32xw 2w 3wyw)2. [Ï3

(xw 1w 3wy)w2 (wxw 2w yw)2w; Ï3(2wxw2w 3wy)w2w]

(Ï32aw 2w bw)

4; 1!}

. 3(2a 2 b) Ï32aw 2w bw; }

[(x 1 2) Ï3w]2; [(3x 2 y) Ïaw]3

. [3(x 1 2)2; aÏaw(3x 2 y)3]244

Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale

n Espressioni con potenze di radicali

Semplifica le seguenti espressioni con potenze di radicali. Supponi positivi i radicandi letterali.

; (Ï5w)3; (Ï3

25w)2 ; 1!3

3§}§22

;!}2§1

7}§ . [Ï3

9w; Ï6

5w; Ï6

24w3w]

aw)2? (Ï3

a2w)3? Ïaw ; 3(a 2 2b) ;!}

a§ 22§b

. [a3; 3a 2(a 2 2b)]

1§2§ }x§x

2§1§ 3

y§y}§ ?!6

y§ y}§2

;!}x§

1§ y}§ [Ïxw2w yw]

b§}§ 1§ }a

b§}§ 1§ 1§ ;!3

1§}§ 1§ }b

1§}§22

;!3 1}§a

2§ [1]

}§ 1§ }a

2}§ 2§ 2§ ;!3

2§1§ }a

b§}§ 1§ }a

b§}§22

}(§a§2

a§ b§)4

}§ 3!3

b§2}§4

n La radice di un radicale

ESERCIZIO GUIDA

Eseguiamo la radice di radicale: ÏÏ3w5ww.

Applichiamo il teorema della radice di una radice:

Ïm Ïnwaww 5 Ïm?n

La radice che otteniamo ha come indice il prodotto degli indici delle singole radici: 2 ? 3 5 6.

ÏÏ3w5ww 5 Ï6

Esegui le seguenti radici di radicali.

ÏÏ3w2ww; ÏÏ5w3ww; ÏÏw6ww.

ÏÏ3w7ww; Ï6 Ïw3ww; Ï3 Ï3w3ww.

ÏÏ3w2aww; ÏÏ3w3aww2bww3ww.

Ï3 Ïw6awwxww; Ï5 Ïw9aww2bww.

ÏÏwÏwwa5wwwb3www; ÏÏ3wa3wwb6ww.

Ï5 Ï5wxww2ww ; Ï8 Ïw2aww 10ww.256

ESERCIZI

a) Poiché non possiamo portare dentro il segno

di radice fattori negativi, portiamo dentro }1

mentre il segno 2 rimane fuori.

3} Ï12w 5 2!1}§1

2§ ?§4§? 3§ 5

5 2!§ ?§4§? 3/§ 5 2!}4

3§}§ .

b) Il fattore da trasportare è soltanto 2:

a 1 2!4

8§}§ 5 a 1!4

2§4/ 1§?§§ 5 a 1 Ï4

c) Il fattore da trasportare è a 2 6, che, per la condi-zione posta, non è negativo:

(a 2 6) Ïaw2w 1w 5 Ï(aw 2w 6w)2w(aw 2w 1w)w.

Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi.

3Ï2w; 4Ï3w; 2 2Ï3

2w; 3Ï3

3w; 2Ï4

(2 2)Ï7w; 2!1§2§ }1

4§}§ ; 3 1 2Ï3w; 12 }1

3}2Ï18w; }

3§}§ 1§ 1§ .

2!}5§5

4}§ ; 2 }

8§}§ ; 2 3!}2

3§}§ ; }1

9§}§ ; }2

5}§ .

3 Ïaw ; 2!3

}§ ; 2 }1

b}§ ; }

3} Ï18waw ; 2 }

2} Ï3

awbw2w .

a 2 2 Ï6

awbw ; b 22 2 Ï5

bw2w ; aÏaw; x2 Ïx3w; a2!}a

2§}§ .

2Ïaw 2w 1w; }a

1} Ï5

3aw3w; 12 }a

2}2Ï4aw; b3!}

3§2}§ ; 2 xÏ2xw.

(x 2 1)Ï5w; a2bÏ3

abw2w; a2Ï3

a2w 2w 1w.

3ab !}1§8a§7

3§b§2}§ ; 2 1 a !}

a§2§1

1§ 2§a}§. 3!}

a}§; 2 1!}

a§ 2}§4

(a 2 2) !3

1§a§1§ 4

}§; (2 1 a) !}a§2§

1§ 2§a}§. 3Ï3

aw2w 2w; !}2§ 1

}§4}a

1§0§a

}§; }a 2

5} Ï5aw. 3!}

2§}§ }§a§1

}§; !}(§a

5§)2}§4

2}!}a§a

3§0}§; }

1§a}§. 3!}((§a

)}§; !}(§a§2

§ 2§)

(§a§2§ 1§)

}§4}a

6}§ 2§ 2§ ; }

a}§ 2§ a§. 3!}

2§)}§; !}

a§(a§3

2§ 2§)}§4269

ESERCIZIO GUIDA

Trasportiamo dentro il segno di radice un fattore:

a) 2 }1

3} Ï12w; b) a 1 2!4

8§}§ ; c) (a 2 6) Ïaw2w 1w (a $ 6).

n Il trasporto di un fattore dentro il segno di radice

Paragrafo 6. La potenza e la radice di un radicale

7. L’addizione e la sottrazione di radicali

VERO O FALSO?

a) I radicali 4 Ï5w e 4 Ï3

5w non sonosimili.

b) Tutti i radicali quadratici sono similitra loro.

c) I radicali 2 Ï75w e 5 Ï48w possonoessere trasformati in radicali simili.

d) Ï3w 1 Ï2w 5 Ï5w. FV

282 TEST 8Ï3w è il risultato di una sola delle seguentiespressioni. Quale?

2 1 6 Ï3w14 Ï3w 2 3 Ï12wÏ3w 1 7 Ï4

3wÏ27w 2 11 Ï3wÏ18w 2 10 Ï3wE

Determina le C.E. e poni sotto forma di un unico radicale.

Ï2wÏ3w3ww; Ï3

2wÏw4ww; Ï2wÏw2ww.

Ï3 Ïw2ww; ÏÏw3xww; ÏÏ3w2awwbww2ww.

!a§!§3§a§§!4§§}a

1§§§}§§§ ?!4

a§!§3§a§§2!§§}a

1§§§}§§§Ï3

2Ïw4Ïww2www; Ï3Ïw3w3Ïww9www; !3

4§}§ Ï§4Ïw§2ww§.

4Ïw2ww ? Ï2Ïw3w4ww; Ï6

(3wÏw3w)w2?w Ïw3ww .

2wÏw5ww; Ï4

3wÏ3w9ww; Ï3

3wÏw12ww.276

271 Ï3

xwÏwxww; ÏawÏwa3ww; Ïa3w Ïwaww.

ÏxwÏ3wxww ? Ï3

xwÏwxww ? Ï3

xwÏ3wxww [Ï18

x2w9w]

x§!§}1

x§§}§§ ?!5

x3§!§}x

1§§5}§§ ?!7

x§}§ [Ï35

1§}§ Ï§a3w§ 2w§ aw§2w§ [Ï4

aw2w 1w]

}x§ 1

1§ 3}§ Ï§xw§1w§ 3w§ 3!6

1§ 3}§4281

n La radice di un radicale con trasporto di un fattore dentro radice

ESERCIZIO GUIDA

Poniamo sotto forma di unico radicale i seguenti radicali:

a) !5§!3§}5§§3

0}§§ ; b) Ï(xw 2w 1w)wÏ3wxww1ww 1ww (x $ 1).

a) !5§!3§}5§§3

0}§§ 5

Trasportiamo il fattore 5:

5!!3§}5

?§§5

}§§ 5

Semplifichiamo la frazione emoltiplichiamo gli indici dei ra-dicali, applicando il teorema del-la radice di un radicale:

5}§ .

b) Ï(xw 2w 1w)wÏ3wxww1ww 1ww 5

5ÏÏ3w(xww 2ww 1ww)3ww (xww 1ww 1ww)ww 5

(xw 2w 1w)3w (xw 1w 1w)w.

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

Calcoliamo le seguenti somme algebriche di radicali:

a) 5 Ï18w2 7 Ï12w 1 Ï75w 2 Ï98w; b) 3 Ïaw 2 2 Ïbw 1 2 Ïaw 1 }1

2} Ïbw (a $ 0; b $ 0);

c) 3 Ïaw32w 2waw2w 2 Ïaw3

2w 6waw21w 1w2aw 2w 8w.

ESERCIZI

Paragrafo 7. L’addizione e la sottrazione di radicali

TEST Dati i tre radicali Ïxw5w, 26 Ïxw3w e 9 Ïxw, con x . 0, una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

La loro somma vale Ïxw52w 3w6xw3

1w 8w1xw.

I radicali non sono simili poiché hanno i coefficienti diversi.

I radicali sono simili perché sono irriducibili.

La loro somma vale Ïxw32w 6wxw2

1w 9wxw.

Tutti e tre possono essere trasformati in radicali simili e la loro somma vale:

(x 2 3)2 Ïxw.

b) Segniamo i radicali simili:

3 Ïaw 2 2 Ïbw 1 2 Ïaw 1 }1

2} Ïbw 5

Raccogliamo i radicali facendo precedereogni parentesi dal segno 1:

5 (3 1 2) ? Ïaw 1 12 2 1 }1

2}2 ? Ïbw 5

Calcoliamo la somma:

5 5Ïaw 1 12 }3

2}2Ïbw 5 5Ïaw 2 }

2}Ïbw.

c) Scomponiamo in fattori entrambi i radicandi:

3 Ïaw2(waw 2w 2w)w 2 Ï(aw 2w 2w)3w 5

C.E.: a $ 2 per entrambi i radicali.Portiamo fuori i fattori possibili:

5 3a Ïaw 2w 2w 2 (a 2 2) Ïaw 2w 2w 5

Sommiamo i radicali, visto che sono simili:

5 [3a 2 (a 2 2)] Ïaw2w 2w 5

5 (3a 2 a 1 2) Ïaw2w 2w 5

5 (2a 1 2) Ïaw2w 2w.

a) 5 Ï18w 2 7 Ï12w 1 Ï75w 2 Ï98w 5

Scomponiamo in fattori i radicandi e portiamo fuori dal segno di radice:

5 5 Ï2w? 3w2w 2 7Ï2w2?w 3w 1 Ï3w? 5w2w 2Ï2w? 7w2w 5

5 15 Ï2w 2 14 Ï3w 1 5 Ï3w 2 7 Ï2w 5 8 Ï2w 2 9 Ï3w.

Calcola le seguenti somme algebriche di radicali. Supponi positivi i radicandi letterali.

3Ï2w 1 5Ï2w 2 7Ï2w; 2Ï3w 2 Ï3w. [Ï2w; Ï3w]

3w 2 Ï3

3w 1 2Ï3

3w; 11 Ï5w 1 6 Ï2w 2 (8 Ï5w 1 3 Ï2w). [7Ï3

3w; 3 (Ï5w 1 Ï2w)]

5 Ï3w 1 3 Ï7w 2 [2 Ï3w 2 (4 Ï7w 2 3 Ï3w)]; 3 Ï48w 1 2 Ï32w 1 Ï98w 2 (4 Ï27w 1 Ï45w0w). [7 Ï7w; 0]

54w 2 Ï4

24w3w 1 3 Ï4

48w 2 Ï3

25w0w; 2!}2§8

7}§ 1 5!}

0}§ 1 7!}

8}§ 2 5!}

0§7}§. [Ï3

2w 1 3 Ï4

3w; 0]289

Ï75w 1 3 Ï18w 2 2 Ï12w 2 2 Ï50w; 3 Ï12w8w 2 2 Ï72w 2 (2 Ï50w 1 Ï8w). [Ï3w 2 Ï2w; 0]

Ïaw 1 Ïaw 1 Ïaw; Ïbw 2 Ïbw; Ïaw 2 2 Ïaw. [3 Ïaw; 0; 2 Ïaw]

Ïaw3w 2 3 Ïaw; Ïxw2w 1w 1 3Ïxw2w 1w 2 2Ïxw2w 1w. [(a 2 3) ? Ïaw; 2Ïxw2w 1w]

Ïaw5w 2 3a 2 Ïaw 1 2a 2 Ïaw; }5

4} Ïaw 2 }

2} Ïbw 1 }

4} Ïbw 2 }

8} Ïaw. [0; Ïaw 1 }

4} Ïbw]

2 Ïxw 2 }2

3} Ïxw 1 Ïyw 2 }

3} Ïxw [2 Ïxw 1 Ïyw ]

3} Ïaw 1 2 Ïaw 2 3Ïbw 2 }

2} Ïaw 1 2 Ïbw 3}

6} Ïaw 2 Ïbw4

2 5 Ïaw 2 }1

2} Ïaw 1 }

3}Ïawbw 1 }

3} Ïawbw 32 }

1} Ïaw 1 Ïawbw4

2 Ïaw 2 }1

2} Ïbw 1 }

4} Ïbw 2 }

4} Ïaw 3}

4} Ïaw 1 }

4} Ïbw4

(2x 1 3y) Ïxyw 2 Ï4xw3yw 2 Ï9xwyw3w [0]

aw 2w bw 1 Ï3

aw42w aw3bw 2 Ï

awbw32w bw4w [(1 1 a 2 b) Ï

aw 2w bw]

Ï32waw 1w 4w8bw 1 Ï18waw 1w 2w7bw 2 Ï50waw 1w 7w5bw [2 Ï2aw 1w 3wbw]

bw41w awbw4w 1 Ï

aw31w aw3bw 2 Ï

1w1w aw21w 2waw 2 a Ï

1w1w bw (b $ 0) [(b 2 1) Ï4

aw 1w 1w]

Ïaw4bw 1 2 Ïbw 2 Ïa2wbw2w 2wabw 1w bw 2 Ïaw4bw 1w 2waw2bw 1w bw (a $ 1) [(2 2 a) Ïbw]

Ïx3wyw 2 Ïx3wy3w 1 Ï(xw 1w yw)2w 2w (wxw2w yw)2w 2 Ïx3wyw2w 2wx2wyw1w xwyw (x $ 1) [(3 2 xy) Ïxyw]

Ï1w2w 3waw1w 3wa2w 2w aw3w 1 Ï4

1w2w 2waw 1w aw2w 2 Ïaw22w aw3w 2 Ï1w2w aw (a # 1) [(1 2 a 2 ua u) Ï1w2w aw]

Ï2xw21w 4wxyw 1w 2wy2w 1 Ï3yw2

1w 3wxw21w 6wxyw 2 Ï10wxyw 1w 5wx2w 1w 5wy2w [ux 1 y u (Ï2w 1 Ï3w 2 Ï5w)]

Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli semplifica le seguenti espressioni.

3(2 1 Ï6w); 3 Ï5w(1 1 Ï5w). [6 1 3Ï6w; 3 Ï5w 1 15]

5 Ï2w (3 1 Ï2w); 2 Ï3w(3 1 2 Ï5w). [15 Ï2w 1 10; 6 Ï3w 1 4 Ï15w]

(2 Ï3w 2 2)(Ï2w 1 1); (3 Ï5w 2 Ï3w)(Ï2w 2 1). [2 Ï6w 1 2 Ï3w 2 2 Ï2w 2 2; 3 Ï10w2Ï6w 2 3 Ï5w 1Ï3w]

(Ïxw 1 2)(Ïxw 1 3); (Ïxw 2 4)(Ïxw 1 1). [x 1 5 Ïxw 1 6; x 2 3 Ïxw 2 4]

(Ïxw 1 1)(Ïxw 2 5); (Ïxw 2 a)(Ïxw 1 2a) . [x 2 4 Ïxw 2 5; x 1 a Ïxw 2 2a 2 ]

(1 2 Ï2w)(1 1 Ï2w); (1 2 Ï3w)2. [2 1; 4 2 2 Ï3w]311

ESERCIZIRIEPILOGO I radicali e le operazioni

(1 1 Ï2w)2 ; (Ïaw 1 2)2. [3 1 2 Ï2w; a 1 4Ïaw 1 4]

(Ï3w 2 Ï2w)(Ï3w 1 Ï2w); (1 1 Ï2w)3. [1; 7 1 5 Ï2w]

(Ïaw 1 2)(Ïaw 2 2); (1 2 Ï3w)3. [a 2 4; 10 2 6 Ï3w]

(Ï3aw 1 Ïcw)2 ; (3 1 Ï3w)2. [3a 1 2 Ï3awcw 1 c ; 12 1 6 Ï3w]

(2 Ïxw 2 Ïyw)(2 Ïxw 1 Ïyw) ; (Ï3xw 2 Ï2aw)(Ï3xw 1 Ï2aw) . [4x 2 y ; 3x 2 2a]

(3 Ïxw 2 y)(3 Ïxw 1 y) ; (2x 2 Ï3bw)(2x 1 Ï3bw) . [9x 2 y 2; 4x 22 3b]

(Ï2aw 2 Ï3bw)(Ï2aw 1 Ï3bw) ; (Ï5wx 2 2 Ïyw)(Ï5wx 1 2 Ïyw) . [2a 2 3b ; 5x 22 4y]

(2 2 Ï3w)2; (3a 2 Ï2xw)2. [7 2 4 Ï3w; 9a 21 2x 2 6a Ï2xw]

(a 1 Ï2aw)3; (2x 1 Ï3w)2. [a 31 6a 2

1 Ï2aw(3a 21 2a); 4x 2

1 3 1 4 Ï3w x]

2 2Ï2w(Ï3w 2 1) 1 (Ï6w 1 1)2 [7 1 2Ï2w]

(Ï2w 2 Ï3w)(Ï2w 1 Ï3w) 1 (Ï3w 2 2)21 Ï48w [6]

[(3Ï2w 2 2)(3Ï2w 1 2) 2 (Ï2w)32 14] ; Ï32w 32 }

RIEPILOGO I RADICALI E LE OPERAZIONI

Sono dati i radicali Ï2w, Ï3

5w e Ï4

3w. Fra le seguentirelazioni, una sola è corretta. Quale?

Ï2w , Ï3

5w , Ï4

3w Ï3

5w , Ï4

3w , Ï2wÏ2w , Ï

3w , Ï3

5w Ï4

3w , Ï3

5w , Ï2wÏ

3w , Ï2w , Ï3

Se a . 3, il radicale (3 2 a) Ï2w è equivalente a:

Ï6w2w 2waw. 2Ï6w2w 2waw.

Ï2aw21w 1w8w. 2 Ï2aw2

2w 1w2aw 1w 1w8w.

Ï2aw22w 1w2aw 1w 1w8w.C

324 Il prodotto del radicale Ï6

awbw per il radicale x è

aw11wbw5w. Qual è il radicale x?

Ïa1w0bw4w

a1w0bw4w

a 9b 3

a3wbwE

VERO O FALSO?

a) La radice terza del triplo di a è uguale ad a.

b) Il doppio della radice quadrata di a è uguale alla radice quadrata del quadruplo di a.

c) La radice terza del cubo di a è uguale ad a.

d) La radice quarta di 16 è 2.

e) La radice cubica di 27 è 9. FV

a) La radice cubica di 2 è la metà della radice cubica di 8.

b) Dati due numeri reali positivi, il quoziente delle loro radici quadrate è uguale alla radicequadrata del loro quoziente.

c) Dati due numeri reali positivi, la somma delle loro radici cubiche è uguale alla radicecubica della loro somma.

d) Dato un numero reale positivo, la radice quadrata della sua radice cubica è uguale allaradice cubica della sua radice quadrata.

e) La somma di due radicali letterali simili è un radicale che ha la stessa parte letterale dei radicali dati.

Semplifica le seguenti espressioni, supponendo verificate le C.E. (Negli esercizi in cui non sono poste condizio-ni sulle espressioni letterali, supponi che i fattori che compongono i radicandi siano non negativi.)

Ïbw3w 2 Ïbw [(b 2 1) ? Ïbw]

aw2bw ; Ï10

2aw ? Ï2

3awbw 3!10

}2§43§2

a§8b§

}§4Ïaw3w 2 Ïbw3w 1 2 Ïaw 1 Ïbw [(a 1 2) Ïaw 1 (1 2 b) Ïbw]

3 Ïxw 2 }2

3} Ïxw 1 Ïyw 2 }

3} Ïxw [Ïyw ]

2} Ïaw 2 }

5} Ïbw 2 Ïaw 1 0,4 ? Ïbw 32 }

2} Ïaw 2 }

5} Ïbw4

16w2w 2 Ï4

32w 1 5 Ï3

16w 2 Ï3

54w 1 Ï3

25w0w [Ï4

2w 1 12 Ï3

(4 1 Ï2w)22 (2Ï2w 2 1)2

2 3(4Ï2w 1 2) [3]

[(2 Ï5w 1 1)(2 Ï5w 2 1) 2 (Ï5w 2 1)22 (Ï5w 2 4)2] ; 2 [5 Ï5w 2 4]

6 Ïabw 2 3 Ïaw 2 7 Ïabw 1 2 Ïaw 1 9 Ïbw 1 Ïaw [2 Ïawbw 1 9 Ïbw]

!}3§a

}§ ;!}9§c

}§ ?!}a

3§}§ 3}a

}§ ;!}y

x§}§ ?!6

}§ 3!6

}§4Ï2w(aw 2w bw)w ?!!3§}

4§§a§§ 2

1§§ 4§§b}§§ [Ï6

2w(aw2w bw)2w]

ÏÏw(2wwxww 1ww 3ww)3ww ; Ï6

2xw 1w 3w [Ï12

(2wxw 1w 3w)7w]

x§3}§ 2§ }

y§12}§ 1 Ï3

xyw32w yw4w 2 Ï3

8xw 2w 8wyw 3}(1 2

xw 2w yw4!4

22§2§ b

4}§ ?!4

}§ ?!4

2§1§ 2

y§b}§ 31}x

}(§x§2

b§2§ 2§b)

!§§ ?!}a§22§a

b§2§ b§)}§ ;!}

2}§ 3}a 2

b} Ïaw 1w bw 4a 2

1 2ab 1 b 2

}}}a 3

2 3a2b 1 3ab 22 b 3

ESERCIZIParagrafo 8. La razionalizzazione del denominatore di una frazione

!}aa§3

1§1§ 2

a}§ 1!}a§a

1§ 4§6

a§21§1§ 4

9§a}§ 2!}

§1§ 9

}§ [Ïaw]

!}a§2

22§a§ 2

1§ 2}§ ;!3

4}§ ?!6

1§a§1

2§1§ 1

}§ 3!6

}(§a§1

§ 2§)2}§4

1!}x§x

4}§ ?!3

}(§x§1

4§)2}§ 1 8Ï3

xw ; Ï6

xw1w 4w2 ? Ï6

xw1w 4w347

8. La razionalizzazione del denominatore

di una frazione

VERO O FALSO?

a) La razionalizzazione del denominatore di una frazione è basata sulla proprietà invariantiva dei radicali.

b) Le espressioni }Ï5w

1 3} e 3 2 Ï5w sono equivalenti.

c) Per razionalizzare il denominatore della frazione }Ï

12w} è sufficiente moltiplicare numeratore e

denominatore per Ï3w.

I radicali }Ï

5w} e Ï45w possono essere trasformati in radicali simili? Motiva la risposta.

Per razionalizzare il denominatore della frazione }Ïxw

1w 1w} , è corretto moltiplicare numeratore e denomina-

tore per Ïxw 2w 1w? Perché?

ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

Razionalizziamo i denominatori delle seguenti frazioni:

a) }Ï

3w}; b) ; c) }

bw} (con a . 2 b); d) }

Ïawa1

Ïbw} (con a . 0, b . 0).

a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la radice presente nel denominatore:

3w} 5 3 ?}

Ï3wÏ

3wÏ3w}5 5 Ï3w.

b) }Ï3

25w} 5 }

2 Ï13

22w} 5}

2w2w? Ï3

2w}5 }

} 5 }Ï3

Infatti:

22w ? Ï3

2w 5 Ï3

22w ?w2w 5 Ï3

22w11w 5 Ï3

23w 5 2.

3 Ï3w}

c) Il denominatore è un unico radicale che ha per radicando un binomio; moltiplichiamo per tale radicale:

bw}5 5 5 Ïaw 1w bw.

d) Quando al denominatore compare la somma di due termini di cui almeno uno è una radice quadrata,moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per la differenza dei due termini.Se compare una differenza, moltiplichiamo per la somma, in modo da poter utilizzare in entrambi icasi il prodotto notevole (x 1 y)(x 2 y) 5 x 2

2 y 2.

Ïbw}5 5 .

(a 1 b)(Ïaw 2 Ïbw)}}}

(a 1 b)(Ïaw 2 Ïbw)}}}(Ïaw 1 Ïbw)(Ïaw 2 Ïbw)

(a 1 b) Ïaw1w bw}}

(a 1 b) ? Ïaw1w bw}}Ïaw1w bw ? Ïaw1w bw

Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.

2w} ; }

27w} ; }

3w} . 3}Ï2

2w} ; }

3w} ; }

3} Ï3w4

10w} ; }

2w}; }

8w} . 32 Ï10w; }

2} Ï2w; }

2} Ï2w4

2w} ; }

} ; }2Ï

7w} . 3}Ï8

2w} ; }

1 1} ; }

; ; . 32Ï3

2w; }Ï

36w} ; 6Ï

4w4}Ï

2w} ; }

3w} ; }

xw} . [2 Ï

4w; Ï5

81w; 2 Ï4

xw} ; }

yw} . 3}Ïx

xw} ; }

3} Ï3xw; }

y} Ïxyw4

xw} ; }

yw} ; }

abw} . 3}

b} Ïawbxw ; 2 Ïxyw ; }

} Ï2awbw4}3Ï

2xw} ; }

3aw} ; }

2aw2aw

2w} . 3}Ï6

2xw} ; }

aw} ; }

Ïaxw(

1w 1w)w}4

1w} ; }

2w} ; }

3w} . [Ïxw2w 1w; (a 2 2)Ïaw1w 2w; 3Ïyw1w 3w]

1w bw} ; }

} ; }Ï

yw} . 3 ; (a 1 b) Ïaw 1w bw; Ïxw2w yw4

yw2w} ; }

bw2w} ; }

2y5yw2w

} . [Ï3

xw2yw; 2 Ï5

awbw3w; 2x Ï7

16wxw2 yw5w]

2 1} ; }

1 1} ; }

2 1} . 3Ï2w 1 1; }

2 1} ; Ï6w 1 14

1 1} ; }

Ï5w 2

Ï2w} ; }

Ï3w10

2 1} . [Ï5w 2 1; Ï5w 1 Ï2w ; 5 (Ï3w 1 1)]

Ïyw} ; }

ÏÏxw

xw} ; }

2 Ï4y

yw} . 3Ïxw 2 Ïyw; }

1} ; x 1 2 Ïyw4365

Ïaw1w bw}

a 1 b361

ESERCIZIParagrafo 9. I radicali quadratici doppi

b} ; ; . 3Ïaw 1 2b ; }

(Ïawa

}4}7 2 2

Ï6w} ; }

} ; }ÏÏ

1} . 3}7 1 2

Ï6w} ; 5 2 2 Ï6w; }

Ï5w}4

}4 2 2

Ï3w} ; }

2w} ; }

2} . 3}

2} (2 1 Ï3w); }

7 Ï2w 2

4 Ï5w} ; }

4 Ï7w}4368

Ïaw 1 2 Ïbw}}Ïaw 2 2 Ïbw

Ïaw}}a 2 Ïaw b

Sono dati i seguenti radicali:

a) Ï5w1w 2w Ïw6ww; b) Ï4w1w Ïw3w7ww; c) Ï10w 1w Ïw29ww.

Soltanto a) può essere trasformato nella sommadi due radicali semplici. Perché?

369 Indica quali dei seguenti sono radicali doppi.

Ï3w 1 Ï5w; ÏÏwaww1ww 3ww; Ï2Ïw5ww.

ÏÏw7ww 1w 4w; Ï6w2w Ïw11ww;

ESERCIZIO GUIDA

Trasformiamo il radicale doppio Ï4w1w Ïw7ww nella somma o differenza di due radicali semplici.

Poiché 422 7 5 9 è un quadrato perfetto, utilizziamo la formula:

Ïaw6w Ïwbww 5!§6!§.

Ï4w1w Ïw7ww 5!§1!§5!}4§ 1§2

Ï§9w}§ 1!}

4§ 2§2

Ï§9w}§ 5!}

2§}§ 1!}1

2§}§ .

La formula è utile solo nel caso in cui a 22 b sia un quadrato perfetto.

4 2 Ï16w 2w 7w}}

4 1 Ï16w 2w 7w}}

a 2 Ïaw22w bw

a 1 Ïaw22w bw

ESERCIZI

Trasforma i seguenti radicali doppi nella somma di due radicali semplici.

Ï2w2w Ïw3ww; Ï3w1w Ïw5ww. 3}Ï6w 2

Ï2w} ; }

Ï10w2

1 Ï2w}4

Ï8w2w Ïw48ww; Ï3w2w Ïw8ww; Ï6w1w 2w Ïw5ww. [Ï6w 2 Ï2w; Ï2w 2 1; Ï5w 1 1]

Ï4w1w Ïw12ww; Ï11w 2w Ïw40ww; Ï7w1w 2w Ïw6ww. [Ï3w 1 1; Ï10w 2 1; Ï6w 1 1]

Ï5w2w Ïw24ww; Ï8w2w Ïw60ww; Ï8w2w 2w Ïw7ww. [Ï3w 2 Ï2w; Ï5w 2 Ï3w; Ï7w 2 1]375

RIEPILOGO LE ESPRESSIONI IRRAZIONALI

Semplifica le seguenti espressioni. Supponi positivi i fattori letterali che compongono i radicandi.

Ï2w 2

} [2 2 Ï5w]

2wÏ6w}?}

Ï2w 1

2 Ï3w} [2(1 1 Ï6w)]

[(3 Ï2w 1 2 Ï3w)(Ï3w 1 Ï2w) ; Ï6w](5 2 2 Ï6w) 2 1 [0]

(Ï6w 2 1) Ï7w1w 2w Ïw6ww 2 Ï6w2w Ïw11ww ? Ï6w1w Ïw11ww [0]

(Ï5wx 2 3y 1 Ï2w)(3y 2 Ï2w 1 Ï5wx) [5x 22 9y 2

2 2 1 6 Ï2wy]

(2 1 Ï3wx 1 y)(2 1 Ï3wx 2 y) [4 1 4 Ï3wx 1 3x 22 y 2 ]

(Ï5w 1 Ï10wy)(5 2 5 Ï2wy 1 10y 2) [5 Ï5w(1 1 2 Ï2wy 3)]

(Ï2wx 2 Ï8wy 1 Ï6w)(2 Ï2wy 1 Ï6w 1 Ï2wx) [2x 21 6 1 4 Ï3wx 2 8y 2 ]

(Ï2wx 2 Ï6w)(2x 21 2 Ï3wx 1 6) [2 Ï2wx 3

2 6 Ï6w]

}?}Ï2wx

2 Ï6w} 3}x 1

Ï3w}4

1} [Ï7w x (Ï7w 1 1)]

1}xÏ22

} ;}Ï2w

x 2 2}2 ?}

ÏÏ6w

2w} 3}

1!}a§2

a§ b}§ 2§ 1§ 2!}a§

22§a§ 2

2§a§b

2§ b§2

}§2 ? }a

b} [0]

}§ ?§!§}a§§

21§§a

4§§3

a§§ 1§§ 4}§§1 2 }

aw3w}2 ?!}

2§ 1}§ ?!4

}a§ 2§

2§a§1§ 1

2} 1 }

3w}2 ; }

2 Ï3w} 3}

Ïxw 1

2xwÏyw

} 2 }2

y} 1 }

Ï2xwÏ

ywÏyw

y§}§ 1 !}x

y§}§ 2 22 ; (Ïxw 2 Ïyw)2 3}Ïxy

xyw}4393

Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali ESERCIZI

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente equazione:

Ï2w}2 }

3} 5 }

Scriviamo i due membri come frazione con lostesso denominatore 3Ï2w ed eliminiamo i de-nominatori:

3(2x 2 3Ï2w) 2 Ï2w(x 2 3) 5 4x.

Eseguiamo i calcoli:

6x 2 9 Ï2w 2 x Ï2w 1 3 Ï2w 5 4x

6x 2 x Ï2w 2 4x 5 6 Ï2w

2x 2 x Ï2w 5 6 Ï2w.

Raccogliamo x :

x(2 2 Ï2w) 5 6 Ï2w

2w)}5}

2w} → x 5}

5}12( Ï

2w 1 1)}5 6 ? (Ï2w 1 1).

La soluzione è:

x 5 6 ? (Ï2w 1 1).

10. Le equazioni, i sistemi e le disequazionicon coefficienti irrazionali

VERO O FALSO?

a) La soluzione dell’equazione ax 5 b, con a, b numeri irrazionali, è sempre un numero irrazionale.

b) Le condizioni di esistenza dell’equazione }x2

2 2 Ï

3wx 1 3}5}

2 6} sono x Þ 6 Ï3w.

c) La soluzione della disequazione (1 2 Ï2w)x . 0 è x , 0.

d) Nell’equazione x 2 Ï3wx 5 1 1 Ï3w, per ricavare x occorre dividere entrambi i membri per 2 Ï3w.

e) Le due disequazioni (2 2 Ï5w)x . 3 1 Ï7w e x .}3

5w} sono equivalenti.

TEST Fra le seguenti disequazioni, qual è equivalente a x 2 Ï3wx , 1 1 Ï3w?

x , 2 1. x . 2 2 2 Ï3w. x ,}1

3w} . x ,}

n Le equazioni

ESERCIZI

Risolvi le seguenti equazioni.

Ï3wx 5 Ï12w [2]

Ï5wx 5 2 2 x 3}Ï5w2

Ï8wx 2 Ï2wx 5 4 [2Ï2w]

2x 2 1 5 Ï3wx 1 Ï3w [3Ï3w 1 5]

Ï2wx 2 4 1 Ï18wx 5 Ï2w 3}1

4} (1 1 2Ï2w)4401

397 6 2 x 5 }Ï2x

2w} [6(Ï2w 2 1)]

Ï3w(2 2 x) 5 2(Ï3w 2 x) [0]

x 2 Ï2w 5 }1

} [3(Ï2w 1 1)]

} 1 }x

} 5 }2

x} 3}Ï2w

1 1}4405

3x Ï3w 2 2 1 Ï3w 5 2 Ï3w 3}3 1 2

Ï3w}4

(Ï3wx21)21(x 2Ï3w)(x 1Ï3w)54x 2 32}

(x 2Ï3w)(x 1Ï6w)13Ï2w5x(x 1Ï6w)23 [Ï3w]

Ï2w (x 1 Ï2w) 1 Ï5w (x 2 Ï5w) 5 0 [Ï5w 2 Ï2w]

(Ï7w x 2 2)21 Ï7wx(3 2 Ï7wx) 5 x 2 3 3}

6} (Ï7w 2 1)4

5 Ï2w(x 1 Ï10w) 2 10 Ï5w(1 1 Ï5wx) 2 5(Ï2w 2 10) 5 0 [1]

5 1 }Ï

5w} 5 }

5} 2 }

5w} 32 }

8} (53 Ï5w 1 65)4

Ï2w [3(x 1 Ï2w)(x 2 Ï2w) 1 5 Ï2w(x 2 Ï2w)] 5 3(1 2 Ï2w x)(1 2 x) 2 (3 2 7x) 3}16(Ï3

2w 2 1)}4

}Ïx 1

}5}(Ï

Ï3w3w

)x}1 Ï3w 2 1 3}2 2Ï

3w 2 1}4

Ï2w} 3}3Ï2w

2 16}4

}Ï3w x 2

ÏÏ3w

2w 1 1}2}

2w2w x

}1}Ï2w x

1 Ï6w}5}

Ï6w} 3}2 2

Ï6w}4

n I sistemi lineari

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo il seguente sistema:

Ï2w x 2 3y 5 Ï6w52x 2 Ï2w y 5 Ï3w

ESERCIZI

Utilizziamo il metodo di riduzione:

Eliminiamo y Ï2w x 2 3y 5 Ï6w Eliminiamo x52x 2 Ï2w y 5 Ï3w

La soluzione del sistema è 1}1

4} Ï3w; 2 }

4} Ï6w2.

2 Ï2wx 2 6y 5 2 Ï6w52 Ï2wx 2 2y 5 Ï6w

2 4y 5 Ï6w

y 5 2 }Ï4

2x 2 3 Ï2w y 5 2 Ï3w56x 2 3 Ï2w y 5 3 Ï3w

2 4x 5 2 Ï3w

x 5 }Ï

? Ï2w

? Ï2w? 3

Risolvi i seguenti sistemi.

5x 2 y 5 Ï3w 2 1 31Ï3w 2 }1

2} ; }

x 1 y 5 Ï3w

5x 1 2y 5 2Ï2w[(2 4Ï2w; 3Ï2w)]

x 1 y 5 2 Ï2w

5y 5 1 2 Ï3wx[(Ï3w; 2 2)]

x 5 2 Ï3wy 2 Ï3w

5Ï2wx 2 y 5 3 Ï10w[(2 Ï5w; 2 Ï10w)]

3x 1 Ï2w y 5 4 Ï5w421

5w}5 1

[(2 Ï5w; 2 Ï5w)]5 }x 1

Ï5w}5 2 3

5Ï2wx 1 y 5 0 312 }Ï

2w} ; }

2 x 1 Ï2wy 5 Ï2w

52x 2 Ï3w y 5 2 Ï3w x 2 y 2 4 Ï3w[(3; 2 Ï3w)]

2 Ï3w(x 2 Ï3w y) 5 2 3y

54Ï3wx 1 7y 5 5[(Ï3w; 2 1)]

3Ï3w(x 2 2y) 5 6Ï3w 2 1 2 10y425

Ï3w (y 1 Ï2w x) 2 Ï6w x 5 6

[(2 3 Ï6w; 2 Ï3w)]5}Ï

2w} x 1 }

3w} y 5 }

6} [4 Ï3w y 2 (6 Ï3w 2 2 Ï2w x)]

}2 Ï3w

x 1 5y}2}

Ï3w}5}

[(Ï3w; 2 1)]5}Ï3w (x

2 2y)}2}

2 Ï3w3

2 5y}5}

3w 2 1}

n Le disequazioni

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la disequazione:

x (x 1 1) 1 1 1 Ï2w . x21 Ï2w(x 1 1).

Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali

Svolgiamo i calcoli e utilizziamo la regola di can-cellazione:

x 21 x 1 1 1 Ï2w . x 2

1 Ï2wx 1 Ï2w.

Trasportiamo al primo membro i termini con x eal secondo membro i termini noti:

x 2 Ï2wx . 2 1.

Raccogliamo x al primo membro:

x (1 2 Ï2w) . 2 1.

Dividiamo entrambi i membri per 1 2 Ï2w e, poiché1 2 Ï2w , 0, invertiamo il verso:

x , 2}

Ï2w} .

Possiamo scrivere x ,}Ï2w

2 1} .

x ,}Ï2w

2 1}?}

1}→ x , Ï2w 1 1.

Risolvi le seguenti disequazioni.

Ï2wx 2 3 . x 2 (Ï2w 1 1) [x . Ï2w]

2 Ï3wx 1 x , Ï3w 1 1 [x . 2 2 2 Ï3w]

Ï5wx 2 Ï5w . 5 1 2Ï5w(x 2 1) [x , 1 2 Ï5w]

3x 2 Ï3w 1 1 . (3Ï3w 1 2)x 3x ,}Ï3w

2 4}4432

429 }5

}2 }Ï

6w} ,}

6w x} 3x . 2 }

(Ï3w 1 3)(x 2 2) , 2 1 3x 3x , }2(4 Ï

3w 1 3)}4

Ï3w} 3x , 2}

(3 2 Ï5w)(x 1 2) . Ï5w x 3x , }2(3 Ï

5w 2 1)}4436

2(2x 2 Ï6w) $ (Ï3w 2 Ï2w)22 Ï2w(x 2 2) 1 3 [x $ 2]

Ï3w}#}

Ï2 Ï

1} 3x $}

2 1}4438

n I radicali e il piano cartesiano

Calcola la distanza fra le seguenti coppie di punti. (Ricorda che AwBw 5 Ï(xwAw2w xwB)w21w (wyAw 2w ywB)w2w.)

A(2 Ï2w; 2), B(2 Ï2w; 2). [3 Ï2w]

A(2 Ï8w; 2 5), B(2 Ï2w; 2 5). [Ï2w]

A(0; 2 Ï32w), B(0; Ï2w). [5 Ï2w]

A(2 1; Ï5w), B(2 1; Ï20w). [Ï5w]

A(Ï8w; 2 Ï5w), B(2 Ï2w; 2 Ï20w). [Ï23w]443

439 A(6; Ï7w), B(2; Ï28w). [Ï23w]

A(Ï2w; 2 Ï3w), B(3 Ï2w; 2 4 Ï3w). [2 Ï29w]

A12 Ï3w; }1

2}2, B12!}

3§}§ ; 2 }3

2}2. 3}4Ï

3§}§ ; !}1

5§}§2, B(2 Ï3w; Ï5w). 38!}1§2

5}§4447

Determina la distanza dei punti indicati a fianco dalle seguenti rette. 1Ricorda che d 5}uax

} .2r: y 5 3x 1 6, O(0; 0). 3}

5} Ï10w4

u: y 5 }1 2

6x} , V(4; 2 1). 3}

3} Ï5w4449

448 t : y 5 }4

5} x 1 2, Q(4; 2 3). [Ï41w]

s: y 5 2 }2

3} x 1 }

6} , P(1; 2 4). [2 Ï13w]451

ESERCIZI

Determina la misura delle mediane del triangolo di vertici: A(6; 5), B(2 3; 1), C(4; 0).

0w2w}; }

6w5w}; }

Dato il quadrilatero di vertici A(1; 2 1), B(6; 11), C(2 6; 16), D(2 11; 4), verifica che è un quadrato e calco-la la misura del raggio del cerchio inscritto e del raggio del cerchio circoscritto.

3} Ï2w4

Dato il triangolo ABC di vertici A (4; 3), B (5; 8),C (8; 2 1), determina:a) il perimetro e l’area;b) le equazioni dei suoi lati.

[a) perimetro 5 Ï2w (Ï13w 1 3 Ï5w 1 4), area 5 12; b) 5x 2 y 2 17 5 0,

3x 1 y 2 23 5 0, x 1 y 2 7 5 0]

Dato il triangolo ABC di vertici A (2 3; 2), B (5; 2),C (1; 8):a) stabilisci se è isoscele;b) determina le equazioni dei lati;c) scrivi le equazioni delle mediane;d) calcola le lunghezze delle mediane.

[a) sì; b) y 5 2, 3x 1 2y 2 19 5 0, 3x 2 2y 1 13 5 0; c) 7 1 x 2 2y 5 0,

x 5 1, 9 2 x 2 2y 5 0; d) 6, 3Ï5w]

Dato il triangolo ABC di vertici A (1; 2 1), B (7; 0),C (3; 2 9), determina:a) il perimetro e l’area;b) le equazioni delle sue mediane;c) le coordinate del baricentro.

3a) perimetro 5 Ï37w 1 Ï97w 1 Ï68w, area 5 25;

b) 17x 2 2y 2 69 5 0, 7x 1 8y 1 1 5 0,

x 2 y 2 7 5 0; c) 1}1

1}; 2 }

Dato il triangolo ABC di vertici A (24; 0), B (0; 24),C (2 6; 2 6), determina:a) il perimetro e l’area;b) le equazioni delle altezze;c) le coordinate dell’ortocentro.

[a) perimetro 5 4 Ï2w (1 1 Ï5w), area 5 16; b) x 2 y 5 0, 3x 1 y 1 12 5 0,

x 1 3y 1 12 5 0; c) (2 3; 2 3)]

454 Di un parallelogramma ABCD sono noti l’equazio-ne del lato AB, y 5 2 3x 1 6, il vertice C(2 1; 1),l’ascissa 2 4 del vertice D e l’ascissa 2 6 del verticeA. Determina le coordinate mancanti dei vertici A,B, D e il perimetro del parallelogramma.

[A(2 6; 24); B(2 3; 15); D (2 4; 10); perimetro 5 2 Ï2w (3 Ï5w 1 10)]

Dato il triangolo di vertici A(5; 8), B(2 7; 4),C(8; 2 9), trova le coordinate del baricentro G.Considera la retta r parallela all’asse y passante perG e calcola il perimetro del triangolo OGD, essen-do D il punto di intersezione di r con l’asse x.

[G (2; 1); perimetro 5 3 1 Ï5w]

Verifica che il triangolo di vertici A(22; 0), B(2;2 2), C(4; 7) è isoscele e calcola il perimetro el’area.

[2(Ï5w 1 Ï85w); 20]

Dato il triangolo di vertici A(2 3; 1), B(2; 2),C(1; 2 6), calcola le misure del suo perimetro edelle tre mediane.

3Ï13w(Ï2w 1 2Ï5w); }Ï2

3w4w} , }

1w7w} , }

1w7w}4

Calcola la misura del perimetro e dell’area del

triangolo di vertici A(2 1; 3), B1}9

2} ; 52, C(6; 3)

e infine calcola la misura della mediana relativa allato BC.

3}19 1

Ï13w7w} ; 7; }

4w1w}4

Paragrafo 10. Le equazioni, i sistemi e le disequazioni con coefficienti irrazionali

11. Le potenze con esponente razionale

VERO O FALSO?

a) La potenza di 3 con esponente }2

equivalente alla radice quinta di 9.

b) La scrittura (2)2 }

è priva di significatoperché l’esponente della potenzaè negativo.

c) L’espressione a}12}

c 2, con a, b, c $ 0,

equivale al radicale Ï6

aw3bw4cw12w. FV

463 TEST Le seguenti espressioni sono tra loro equi-valenti, tranne una. Quale?

16}13}

ESERCIZIO GUIDA

Scriviamo sotto forma di radicali le seguenti potenze con esponente razionale, ricordando che a}m

awmw ,con a $ 0:

a) 16}54}

; b) 1}9

; c) 1252}

; d) (49x 8y2)}23}

ESERCIZI

n Dalle potenze alle radici

a) 16}54}

16w5w 5 Ï4

(2w4)w5w 5 Ï4

(2w5)w4w 5 255 32.

5!3 1}§9

4§ 5 }

4§}§.

c) 1252}

(1w25w)2w2w 5 Ï3

53w?(w2w2)w 5 5225 }

d) Mettiamo sotto un unico segno di radice e poiportiamo fuori i fattori possibili:

(49x 8y2)}23}

5 (72x 8y 2)}23}

(7w2xw8yw2)w2w 5

7w4xw16wyw4w 5 7 x 5yÏ3

7wxyww.

Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale e semplifica, quando è possibile.

25}32}

; 27}43}

; 16}34}

; 642}

; 2}53}

7w)}23}

; 125}1

; 1}Ï3

; x}12}

; (2a)}34}

; 2a}34}

(4a 6b 4)}32}

; (9a 4b 8)2}

; (8a 3b 6)2}}

}2}32}

; 1}27

1a}32}

c}34}22

; 3(222a 24b 26)2}

13}4 }

; (16x 4y 22)2}}

; 3127a}23}

c2}13}4

ESERCIZI

Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali, poi applica, quando è possibile, leproprietà delle potenze. Supponi che i fattori letterali che compongono i radicandi siano positivi.

Ï3w; Ï7

4w; Ï5

33w; }Ï

2w} . 33}

9w; Ï5

2w? 7w2w; Ï2Ïw2ww; !3

4§}§ . 33}23}

Ï3Ïw3Ïww3www; Ï3

2Ïw8ww; ? Ï3

4w. 33}7

Ïxw; Ï3

a2w; Ï5

y3w; !}a

1§}§ . 3x}12}

Ïawbw3cw5w; Ï3

aw2bw4cw; Ï4

aw2bwcw3w; Ï5

a2w Ïwbww. 3a }12}

; a}23}

; a}12}

; a}25}

b}110}4

Ïaw 1w 2w; Ï3

aw31w bw3w; Ï4

x2w 1w 2wxw1w 1w. 3(a 1 2)}12}

; (a31 b3)

; (x 1 1)}12}4

a 2b Ï3

abw2w; Ï3

a(waw1w bw)2w; Ï5

x2w Ïwyzww; Ï3

xw 2w yw. 3a }73}

; a}13}

(a 1 b)}23}

; x}25}

y}110}

z}110}

; (x 2 y)}13}4

(xw 1w yw) Ïw(xww 1ww yww)ww; Ï4

(xw22w yw2)w Ïw3wxww2

2ww yww2ww; Ï(xw 2w yw) Ïw3w(xww 2ww yww)2ww. 3(x 1 y)}12}

; (x 22 y 2)

; (x 2 y)}56}4

xw2yw Ïwxww 2ww yww ; Ï3 Ïwaww3bww ; Ï5

awbw3 Ïw3w(aww 1ww bww)1ww0ww. 3x }25}

(x 2 y)}110}

; a}12}

; a}15}

(a 1 b)}23}4

n Espressioni ed esponenti razionali

Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze. Supponi che lebasi letterali siano positive.

Ï2Ïw2ww473

?2}34}

; 2}13}

?8 ? 22}

. 32}5

2}4480 3

; 321; 12}1

? 16 ? 22}

. 33}5

3}4481

ESERCIZIO GUIDA

Scriviamo sotto forma di potenze con esponente razionale i seguenti radicali, poi applichiamo, quando èpossibile, le proprietà delle potenze:

a) Ï4

aw2bw5w; b) Ï3

aw21w bw3w; c) Ï4

yw1w Ïw3wy2ww; d) Ï5

aw21w 2waw 1w 1w.

a) Ï4

aw2bw5w 5 (a 2b 5)}14}

5 a}24}

5 a}12}

b) Ï3

aw21w bw3w 5 (a 2

1 b 3)}13}

Poiché i termini a 2 e b 3 sono sommati, nonè possibile applicare alcuna proprietà dellepotenze.

c) Ï4

yw1w Ïw3wy2ww 5 (y 1 Ï3

yw2w)}14}

5 (y 1 y}23}

La presenza della somma impedisce di procedereulteriormente.

d) Ï5

aw21w 2waw 1w 1w 5 Ï5

(aw 1w 1w)2w 5 (a 1 1)}25}

n Dalle radici alle potenze

Paragrafo 11. Le potenze con esponente razionale

12}35}2

; 3}12}

? 13}34}2}

. 326; 3}2

; 3}12}

1221? 2222}

? 12322}12} 322}

15}12}2}

? 5}12}

34} 35}

221[(2}12}

1 3}12}

)211 (3

2 2}12}

)21] ; (3)2}

[3]486

482 x 22{x 6[x (x 23)}13}

[(2}13}

b 3c22)}13}

c3) [1]

b 32}1

b}13}4

)3;(223x

)}23} 32}

x}152}

?(a 1a2)}12}

[a](a2

1 a)}32}

? a23? (a 2

[(a 22 1)

{[(x ? x}13}

? (x 22x}53}

] 6 }2}

? [(x 3y)2 }

34} 3x }

y}12}4

2 [2x](x 1 1) }

(x 1 1) }12}2 (x 2 1) }

(x 2 1) }12}

(x 2 1) }12}1 (x 1 1) }

;1 223

3(x 2 2)}12}4

(x}130}

2 x 31 x

2 x 21 x

2 x 1 x}13}

2 1)(x}23}

1 x}13}

1 1) [x 42 1]

? ? 3}x22

y2}4(x y)23

(x 2 y)}12}

(x 1 y )}12}

}}(y 22

2 x 22)

(x 22 y 2)

}}(x 21

1 y 21)496

(x 2 2)2}

x }12}

(x 1 2)}12}

(x 22 4)

(x 2 2)21 (x 22 2x)

12. I radicali in R

VERO O FALSO?

a) Se n è un numero dispari, la radice n-esima del numero a [ R2

è negativa.

b) Ï2w9w è un radicale con valorenegativo.

c) La radice cubica di 2x 3 è equivalentea 2x . FV

497 TEST Quale delle seguenti uguaglianze è vera?

Ï4xw2w 5 2x

Ï2xw2w 5 2 2x

Ï4xw2w 5 2 ux u

Ï4xw2w 5 4 ux u

Ï8xw3w 5 2 ux uE

ESERCIZI

Le condizioni di esistenza dei radicali

L’espressione Ï6

2w8w non rappresenta un radicale.Perché?

È vero che Ï2waw non esiste? Perché? E Ï3

2w aw?

TEST Uno solo dei seguenti radicali ha come C.E.a $ 0. Quale?

Ï5aw2bw3w

Ï7aw4bw2wC

499 È vero che le C.E. del radicale Ï6

xw4yw2w sono∀ x, y [ R ?

Per il radicale Ï5

xw1w 2w devi porre le condizioni diesistenza? Perché?

TEST Dei seguenti radicali solo uno è equivalentead a. Quale?

Ïaw2w Ï4

aw3w Ï24

aw 25w

!4}2§a

3§3b§

ESERCIZI

CACCIA ALL’ERRORE

Ognuna delle seguenti uguaglianze contiene almeno un errore. Trovalo e correggilo (x e y sono reali positivi).

(2w 5w)2w 5 Ï4

(x 1 y) Ï3w 5 Ï3w(xw2w1w yw2)w506

505 Ï3

2w xw6w ? Ï4

2w xw8w 5 (2 x 2) ? (2 x 2) 5 x 4

xw ? Ï3

yw 5 Ï12

xyw508

n Le condizioni di esistenza

ESERCIZIO GUIDA

Determiniamo le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali:

a) Ï6aw4bw5w; b) Ï3

aw 2w 2w; c) !}x§2

x§ 4}§ ; d) Ïuawu 2w 2w.

a) Ï6aw4bw5w.

Il radicando è il prodotto di tre fattori e deve essere positivo o nullo: 6 è un numero positivo; a 4 è sempre positivo o nullo, sia che a sia negativo sia che a sia positivo o nullo, poiché il suo esponente èpari; b 5, avendo esponente dispari, assume il segno di b. Quindi, affinché b 5 sia positivo o nullo, occorreche sia b $ 0: C.E.: b $ 0.

b) Ï3

aw 2w 2w.

Poiché l’esponente è dispari, il radicando può assumere qualunque valore. C.E.: ∀ a [ R.

c) Il radicando deve essere maggiore o uguale a 0, ossia:

4} $ 0 →}

(x 2 2

x 1 2)}$ 0.

Studiamo il segno:

5x . 0 ⇔ x . 0

x 2 2 . 0 ⇔ x . 2

x 1 2 . 0 ⇔ x . 2 2

C.E.: 2 2 , x # 0 ∨ x . 2.

I valori 2 2 e 2 sono esclusi perché annullanoil denominatore della frazione.

x – 2

5x(x–2)(x+2)––––––––

+− − +

− − +−

− ++ +

− ++ −∃ ∃

Paragrafo 12. I radicali in R

d) Ïuawu 2w 2w.

Dobbiamo porre ua u 2 2 $ 0.

La disuguaglianza è equivalente a due condizioni disgiunte, ciascuna espressa da un sistema:

5a $ 0∨ 5a , 0

→ 5a $ 0∨ 5a , 0

a 2 2 $ 0 2 a 2 2 $ 0 a $ 2 a # 2 2

C.E.: a $ 2 ∨ a # 2 2.

Determina le condizioni d’esistenza dei seguenti radicali.

Ï2w aw; Ïaw2w; Ï3

aw5w; Ï4

2w 2wx2w.

Ïawbw; Ï3

2aw3bw2w; Ï4

3aw2bw.

!}2§x

a}§ ; !}

}§ ; !}2§x

2}§ .

aw 2w 3w; Ïxw 1w 2w; Ï5

2xw 1w 4w.513

510 Ï4

bw 2w 1w; Ï3

1w2w 2waw; Ïaw 1w 1w.

Ï3aw 1w 3w; Ï3

xw 1w 5w; Ï4

2xw 2w 1w.

Ï(bw 2w 1w)bw; Ï2xw3w2w 4wxw2w; Ïaw2w2w 1w.

5}§ ; Ï6(waw2w1w 3w)(wbw 2w 1w)w; Ï4

bw(bw 2w 3w)w.517

1}§ ; !4

2§1§ 2

a}§ ; !3

x§2}§ .

!}2§a

2§ 3§3)}§ ; !3

2§ 4§1)}§ ; !4

x§(x§2§1

3§ 2§)}§ .

!}2§x§x

§ 1§3§1)

}§ ; !3

(x§2§2

1§)}§ ; !4

3§)}§ .

x§)}§ ; !}

2§a§a

}§ ; !}4

a§a2§2

4}§ .

x§ 1}§ ; !}

a§ 1}§ ; !}(§x§ 2§x§

1§ 3§)}§ .

!}4§x§22§5

x§2x§ 1§ 9}§ ; !}

§2}§ ; Ï4

aw31w 3waw3

1w 3waw1w 1w.

Ï2w xw 2w2w 2w5w ; Ïxw22w 2w5w; Ïaw2

2w 6waw1w 9w.

x§ 7}§ ; !6

9§}§ ; !5

9§}§ .

Ï2waw ; Ï1w2w wxw ; !}

4}§ .

§x§2

1§ 3§}§ ; !}

§2§2

x§}§ ; !}§x§1

1§§ 2§ 8

!}6§a

}§ ; !}x§4

§2§ x

x§x§22§ 9

}§ ; !}§a§1

2§ 1§

4§2§ 1

1§2§2

)}§ ; !6

}(§x§1

}§ ; !8

2§ 1}§ .529

ESERCIZI

Determina per quali valori di x [ R esistono le seguenti espressioni.

Ïxw2w 4w 1 Ïxw1w 6w [x $ 4]

Ï2w xw 1!3

x}§ 1 Ï2w 5w 2w xw [x # 2 5]

}Ï2xw

1w 1w}1 Ïxw2

2w 4w [x $ 2]

[x # 1 ∨ x $ 2 ∧ x Þ 4]

2§x§ x

}§ 1 Ï2w wxw 1w 4w [2 4 # x # 4]

4§}§ 1 Ï3

2w xw 1!}x§

x§ 1}§ [x , 2 1 ∨ x $ 0 ∧ x Þ 4]

Ïaw22w 2waw1w 1w 1!}

a§ 2§1

2§ a}§ 1 Ï2awwaw2w 1ww [a . 1]

1 Ï2w xw 2(w6xw 2w xw 2w2w 9w)w [x # 2 3 ∨ x $ 3 ∧ x Þ 4]

§2§1

}§ 1!}

2§x§ 4}§ [0 # x , 4]

Indica le condizioni di esistenza e semplifica i seguenti radicali in R.

a2wb4w; Ïxw2w; Ï3

x3w. [bÏwaw; x; x]

(aw 2w 1w)2w; Ï9

(aw 1w 3w)3w; Ï8

a4wxw2w. [Ï3

waw2w 1ww; Ï3

(aw 1w 3w)w; Ï4

a2wwxw]

Ï(xw 2w 1w)6w; Ï3

(aw 1w 2w)9w; Ï4

(xw 1w 3w)2w. [(x 2 1)3; (a 1 2)3; Ïwxw1w 3ww]

(xw 3w1w 6wxw21w 1w2xw 1w 8w)2w; Ï4

(xw 4w1w 4wxw21w 4w)2w. [x 1 2; x 2

aw4(wxw1w 2w)8w; Ï4

(xw 2w2w 6wxw1w 9w)3w. [a(x 1 2)2; Ïw(xw 2w 3w)3ww]

Indica per quali valori di a le seguenti uguaglianze sono vere. Scrivi un esempio numerico per verificare lacondizione posta.

3aw6w 5 aÏ5

3aw; Ï3

5aw4w 5 2 aÏ3

2w 5waw. [∀ a [ R; ∀ a [ R]

Ï(aw 1w 2w)2w 5 a 1 2; Ï(3w 2w aw)2w 5 a 2 3. [a $ 2 2; a $ 3]

!3 1}§a

3§ 5 }a

2} [aÞ 1]

Trasforma Ï3

2waw in un radicale di indice 6. Quale proprietà hai usato?

[se a . 0, 2 Ï6

aw2w; se a # 0, Ï6

aw2w; proprietà invariantiva dei radicali]

Ïxw22w 9w

xw2w 4w537

Ïxw22w 3wxw1w 2w

4w2w xw533

Paragrafo 12. I radicali in R

n Portare fattori fuori dal segno di radice

Nelle seguenti uguaglianze sono stati trasportati fuori dal segno di radice alcuni fattori, senza mettere i neces-sari valori assoluti. Trova prima le C.E. e aggiungi poi i valori assoluti dove occorrono.

Ïaw3bw 4w 5 ab2Ïaw; Ï3

aw2yw 5w 5 yÏaw2yw 2w.

!}(§2x§ 2§y§14§)3

§ x§5

}§ 5}(2x 2

}Ï(2wxw2w 1w)xw; !5

}(§x§2

1§)5}§ 5 }

!}a§3

1§a§x

2§ a}§ 5 }

a§ 1}§ ; !3

}x§ 4§y

x§ 3}§ 5 }

y§ 1}§ .

!§§5}x(

} ; !3

2§2§x

)§4}§ 5 2}

(x 2 1)

xw2w 1w} .

Determina le C.E. dei radicali presenti nelle seguenti espressioni e successivamente semplificale.

1§1§6

x}§ 1!}

§x§ 2

}§ ?!}x

3}§ 32!}

3}§, con x , 2 3 ∨ x . 24

}2§x§

x§ 2§ 4}§ ;!3

x§ 2§ }x

4§}§ ?!}x§ 2

}§ 3!6

7§ 2}§ , con x . 24

!}2§x§2

2§2§ 2

x§x§ 2§ 1}§ ?!3

1}§ ;!}

1}§ 3!6

}(§x§ 1§1

2§(x§ 1

§ 1§ 1§)}§ , con x . 14

1§1§}(§x

3§)2}§ ?!x§ 2§ }

9§}§ ; Ïxw31w xw 3}x 1

1§ 1}§ , con x . 34

Trova le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R e trasporta fuori dalla radice i fattori possibili.

x4w; Ïx3w; Ï(xw 2w 1w)2w . [xÏ3

xw; xÏxw; x 2 1]

a3wb4w; Ï(aw 1w 2w)2wb4wxw; Ï3

2w aw3yw4w. [abÏ3

bw; b2a 1 2Ïxw; 2 ayÏ3

axw 4w; Ïaw3xw; Ï3

aw3xw. [xÏ4

aw; aÏaxw; aÏ3

Ïaxw 2w1w xw 2w; Ï4

(aw 1w 1w)5w; Ï(aw 2w1w 2waw1w 1w)3w. [xÏaw1w 1w; (a 1 1)Ï4

aw1w 1w; (a 1 1)3]

Ïxw31w xw 2w; Ï6

aw6(wxw2w 1w)9w; Ï5

aw6(wxw1w 8w)7w.

[xÏxw1w 1w; a(x 2 1)Ïxw2w 1w; a(x 1 8)Ï5

a(wxw1w 8w)2w]

2§ 4§)2

}§ ; !3 §§ . 3x(x 2 2)Ïxw1w 2w; }(x 2

1)a}Ï3

aw4Ï(aw2xw 1w 4wawxw 1w 4wxw) bw4w; Ï3

6aw3 (wbw2w 1w)6w. [b 2 ua 1 2 u Ïxw; a (b 2 1)2 Ï3

16waw41w 3w2aw5w; Ï6

64wxw61w 6w4w. [2 ua u Ï4

1w1w 2waw; 2 Ï6

xw61w 1w]563

(x 32 3x 2

1 3x 2 1)a4

}}}x 3

x(x 2 2)(x 22 2x)

ESERCIZI

!}4§b

2§1§4y

9§b}§ ; !}

§2}§ . 3}u2

y§}§ ; }2

uauyuu

VERO O FALSO?

a) La formula risolutiva di un’equazionecompleta di secondo grado non èvalida per risolvere l’equazione 5x 2 2 9 5 0.

b) Il discriminante di un’equazionespuria è positivo.

c) L’equazione ax 2 1 bx 1 c 5 0 ammettedue soluzioni reali e coincidenti,se il primo membro è il quadratodi un binomio.

d) Se le soluzioni di un’equazione disecondo grado sono entrambenegative, il discriminante D è negativo.

e) Si applica la formula ridotta quandoil coefficiente b dell’equazioneax 2 1 bx 1 c 5 0 è positivo. FV

565 TEST Mediante la formula

x 5}3 6 Ï

9w1w 3w2w},

quale delle seguenti equazioni risolvi?

2x 2 1 3x 1 4 5 0

x 2 2 3x 1 32 5 0

4x 2 2 3x 2 2 5 0

2x 2 2 3x 2 16 5 0

2x 2 2 3x 2 4 5 0

Quanto vale il D delle equazioni 2x 2 2 7 5 0 ex 2 1 9 5 0? In generale, il discriminante di un’e-quazione pura può essere nullo?

n La fomula risolutiva

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo le seguenti equazioni: a) 10x 2 2 2 5 x; b) 49x 2 1 126x 1 81 5 0; c) x 2 2 2x 1 2 5 0.568

a) 10x 2 2 2 5 x.

Scriviamo l’equazione in forma normale:

10x 2 2 x 2 2 5 0.

Calcoliamo il discriminante D 5 b 2 2 4ac:

D 5 (2 1)2 2 4 ? 10 ? (2 2) 5 1 1 80 5 81.

Poiché D .. 0, l’equazione ha due soluzioni realidistinte.

Nel sito: c 9 esercizi di recupero

Paragrafo 13. Le equazioni di secondo grado

Nel sito: c teoria e 25 esercizi su I numeri immaginari

ESERCIZI

Usiamo la formula risolutiva

x 5}2 b 6

ÏDw} :

x 5}2 (2

Ï81w}5

9}52 }

x 1 5 }1

2} e x 2 5 2 }

b) 49x 2 1 126x 1 81 5 0.L’equazione è già in forma normale.

D5(126)224?49?81 5 15 876 2 15 876 5 0.

Poiché D 5 0, l’equazione ha due soluzionireali coincidenti.

Calcoliamo le soluzioni con la formula x 5 2 }2

)}5 2 }

9} 5 2 }

Le soluzioni coincidenti sono:

x 1 5 x 2 5 2 }9

c) x 2 2 2x 1 2 5 0.Scriviamo i coefficienti:

a 5 1; b 5 2 2; c 5 2.

Calcoliamo il discriminante:

D 5 (2 2)2 2 4 ? (1) ? (2) 5 2 4.

Poiché D ,, 0, l’equazione non ha radici reali.

6x 2 1 13x 1 7 5 0; 4x 2 2 8x 1 3 5 0. 32 1, 2 }7

6} ; }

2} , }

x 2 2 2x 2 3 5 0; 9x 2 2 12x 1 4 5 0. 32 1, 3; }2

3} doppia4

x 2 1 3x 2 10 5 0; 12x 2 1 x 2 6 5 0. 32 5, 2; 2 }3

4} , }

2x 2 2 3x 1 20 5 0; 6x 2 1 13x 1 8 5 0. [impossibile; impossibile]

x 2 2 4x 2 32 5 0; x 2 1 x 1 }2

9} 5 0. 32 4, 8; 2 }

3} , 2 }

x 2 1 3x 2 4 5 0; x 2 2 }5

3} x 1 }

6} 5 0. 32 4, 1; }

6} doppia4

x 2 2 3x 1 2 5 0; x 2 2 9x 1 33 5 0. [1, 2; impossibile]

x 2 2 Ï2wx 2 4 5 0; x 2 2 4Ï3wx 2 36 5 0. [2 Ï2w, 2Ï2w; 2 2Ï3w, 6Ï3w]

x 2 2 4Ï2wx 1 6 5 0; x 2 2 Ï5wx 1 2 5 0. [Ï2w, 3Ï2w; impossibile]

5x 2 2 12x 1 9 5 0; x 2 2 7x 1 }4

5} 5 0. 3impossibile; }

2} , }

8} 1 }

4} x 1 x 2 5 0; x (x 2 9) 5 }

9} . 32 }

2} , 2 }

3} ; 2 }

2} , }

2x 2 2 2Ï2wx 1 1 5 0; Ï3wx 2 2 3x 1 Ï3w 5 0. 3}Ï2

2w} doppia; impossibile4

21x 2 2 10x 1 1 5 0; x 2 2 6x 2 16 5 0. 3}1

7} , }

3} ; 22, 84

18x 2 2 21x 2 4 5 0; 2x 2 2 13x 2 7 5 0. 32 }1

6} , }

3} ; 2 }

2} , 74582

ESERCIZI

3x25 5 1 14x; 4x (3x 1 1) 5 5. 32 }

3} , 5; 2 }

6} , }

x (2x 1 13) 5 24; x25 4(x 1 3). 328, }

2} ; 22, 64

ASSOCIA a ogni equazione le sue soluzioni.

1. x22 x 2 12 5 0 2. x

21 x 2 12 5 0 3. 2x

22 4x 1 12 5 0 4. x

22 8x 1 16 5 0

A. 3; 2 4. B. 4; 4. C. 23; 4. D. 2; 26.

Le equazioni incomplete

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo le seguenti equazioni:

a) 2x22 1 5 0; b) x

21 1 5 0; c) 8x

22 7x 5 0; d) 64x

a) Equazione pura:

2x22 1 5 0 → 2x

25 1 → x

Estraiamo la radice quadrata:

x 5 6!}1

2§}§ 5 6 }Ï

2w} 5 6 }

Le soluzioni sono: x 1 5 }Ï

2w} , x 2 5 2 }

b) Equazione pura:

1 1 5 0 → x2

5 2 1.

Non esiste un numero reale che, elevato alquadrato, dia un numero negativo, quindil’equazione non ha radici reali.

c) Equazione spuria:

8x22 7x 5 0.

Raccogliamo x:

x (8x 2 7) 5 0.

Per la legge di annullamento del prodotto:

x 5 0 oppure 8x 2 7 5 0 → x 5 }7

Le soluzioni dell’equazione sono x1 5 0 e x2 5 }7

d) Equazione monomia:

64x25 0 → x

25 0 → x1 5 x2 5 0.

2 2 x25 0; }

22 2x 5 0; 9x

25 0. [6 Ï2w; 0,6; 0 doppia]

25 0; 1 2 x

25 0; 9x

22 12x 5 0. 30 doppia; 6 1; 0, }

2 4x25 36; 2x

3} x 5 0; 4 2x

25 0. 3impossibile; 0, }

3}; 6 24

3x2 Ï5w 5 0; 16x

25 1; 2 3x

21 6x 5 0. 30 doppia; 6 }

4}; 0,24590

4x22 2 Ï2w 5 0 36!4

2§}§42x

21 1 5 0 [impossibile]

Ï2wx2

2 2 5 0 [6 Ï4

2w]593

591 x22 Ï3wx 1 Ï2wx 5 0 [0, Ï3w 2 Ï2w]

2x22 Ï2wx 2 Ï3wx 5 0 30, }

Ï2w 1

Ï3w}4

(x 1 7)21 (x 2 7)2

5 98 [0 doppia]596

Paragrafo 13. Le equazioni di secondo grado

6x 2 Ï3wx21 3x 5 0 [0, 3Ï3w]

Ï5wx21 x

22 Ï5wx 5 0 30, }

Ï5w}4

(2x 1 3)25 (x 2 3)2 [2 6, 0]

x22 x 5 23x 2 Ï3wx

2 [0, 12(Ï3w 2 1)]600

597 x2

2 2Ï2wx 5 0 [0, 2Ï2w]

(x 1 4)21 1 5 8x [impossibile]

1x 2 }1

2 x (2x 2 1) 5 0 36 }1

3x21 8 2 5 Ï2w 5 0 [impossibile]604

2x22 5x 2 3 5 0 32 }

2}; 34

4x22 4x 1 1 5 0 3}

2} doppia4

x22 x 1 2 5 0 [impossibile]

x21 5x 1 6 5 0 [2 3; 2 2]

x21 5x 1 7 5 0 [impossibile]

x22 5 Ï2w x 1 12 5 0 [2Ï2w; 3 Ï2w]

3} x 1 }

2} 5 0 3}

6} ; }

20x22 41x 1 20 5 0 3}

5} ; }

5} x 1 }

5} 5 0 32 }

5} doppia4

x22 3Ï2wx 1 4 5 0 [Ï2w; 2Ï2w]614

605 x21 3 Ï3w x 1 6 5 0 [2 2 Ï3w; 2 Ï3w]

2x22 3 Ï2wx 2 4 5 0 32 }

2w}; 2 Ï2w4

x25 4(x 2 1) [2 doppia]

5(x Ï4

5w 2 1)} 3}Ï4

5w}; Ï5w4

2 6x 5 2(1 2 2x) 2 2 2 x(2 2 x) [0 doppia]

2(3x 2 1)22 3x(5x 1 1) 5 2 2 3x [0; 4]

3w} 2 x

3} 5 0 3}Ï3

3w} doppia4

(5x 2 1)x 1 (x 2 1)(x 1 1) 5 0 32 }1

x(x 1 2) 1 9 5 8x 1 1 [2; 4]623

(2x 1 1)22 x

22 (x 2 1)2

5 (2x 1 3)(2x 2 3) 1 1 [2 1; 4]

(2 2 3x)(x 2 2) 1 3(x 2 1)25 (x 2 1)(x 1 3) [6 Ï2w]

(1 2 x)25 2x 1 }

x 1 7} 3}5 6

3 Ï5w}4

3} x 1 }

2} x(x 1 2) 2 5x 1 }

6} 5 }

} (x 2 5) [5 6 2 Ï6w]

(2 2 3x)22 (2x 1 1)2

5 4(2 2 4x) [6 1]

x 2 (2x 2 1)21 }

}2 (3x 2 1)(x 2 2) 30; 2 }3

2}4629

RIEPILOGO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ESERCIZI

(3x 2 4)22 3x

25 2(8 1 13x) 30; }

x(x 1 2 Ï2w) 1 2 Ï3wx(1 1 Ï2w) 5 2x(Ï3w 1 Ï2w) [0; 2 2 Ï6w]

1x 1 }2

3}21x 2 }

3}22 2x (x 2 1) 5 2 1x 2 }

3}2 36}

x(1 2 5x) 1 3 5 [5 2 (2 1 5x)]x 2 2(x 1 1) 2 (x2

2 6) [6 1]

2(x21 2) 2 2(x 1 3)(x 2 3) 2 4 5 7x

22 (3x 1 4)2

1 34 [0; 2 12]

2x (x 2 5) 2 (2x 2 3)(x 1 1) 5 x (2 2 x) 2 15 [2; 9]

(x 1 3)(3x 2 1) 2 2[2x22 x(x 2 2)] 1 6 5 0 [23; 21]

x(x 2 1)(x 2 2) 2 (x 1 2)(x22 4) 1 2(x 1 20) 5 0 32 }

2} ; 44

(x 2 3)21 6(x 1 2) 5 (2x 2 1)(x 1 4) 1 37 [23; 24]

(x 2 4)(x 1 8) 1 20 5 0 [2 6; 2]

x(4 2 x) 2 (5 2 x)(x 1 5) 5 x(x 1 1) [impossibile]

(x 1 3)(2x 2 1) 2 3[2x21 x(x 2 6)] 5 13 31; }

(x 1 2)32 (x 2 2)3

5 1 1 (4x 1 1)(4x 2 1) [6 2]

(x 2 6)(x 1 1) 2 (2 2 x)(x 1 3) 5 36 [2 4; 6]

} (2x 1 Ï3w) 1}x Ï

3w} 1 }

4} 5 0 32 }

3w} doppia4

x1}x 2

1}25 }

3} (3 2 x) 1 }

3} 32; 2 }

2(x 2 1) 2 }5

4} x 5}

}2 21}1

2} x 2 12

36 }Ï

}(3x 2 1)

(3x 1 2)}2 (x 2 4)2

1 3(1 1 x) 5}2 6x

1 10} 32 }

8} ; 14

1 10)}2 x

1 1} [6 Ï3w]

3wÏ3w}1 2x 5 (2x 2 1) (1 1 Ï3wx) 2 }

3w}649

RIEPILOGO Le equazioni di secondo grado

LABORATORIO DI MATEMATICA

I radicali con Wiris

ESERCITAZIONE GUIDATA

a) Con Wiris semplifichiamo la seguente espressione irrazionale: }3

b) Con Wiris risolviamo e svolgiamo la verifica della seguente equazione:

2§}§ ? z ?!5

7}§ 5 }

n Esercitazioni

Semplifica le seguenti espressioni sul quaderno. Poicon il computer, approssima sia l’espressione inizialesia la sua semplificazione.

(Ï2w 2 1)21 (Ï3w 2 4)(Ï2w 1 3)

[26 Ï2w 1 3 Ï3w 1 Ï6w 2 9 . 2 9,84]

} [2Ï2w 2 9 . 2 10,41]

} 3}2 Ï3

3w}1 1 . 2,154

2w 2 1)32 (Ï3

2w 1 1)2 [Ï3

2w 2 4 Ï3

4w . 2 5,09]4

Determina sul quaderno il radicale z che rende validal’uguaglianza, poi verifica con il computer.

Ï12w5w ? z 5 25 [Ï5w]

27w ? z 5 3 [Ï4

4w ? z ? Ï5

2w 5 2 [Ï5

9w ? z ? Ï3

3w 5 3 [1]8

● Entriamo in ambiente Wiris.● Digitiamo l’espressione del punto a e usiamo su di essagli operatori che vediamo in figura 1.● Facciamo clic sul pulsante Calcola.● Osserviamo i risultati per renderci conto di quale fun-zionalità dobbiamo attenderci dagli operatori del sistemasui radicali.● Usiamo l’operatore risolvere sull’equazione del punto b(figura 2).● Semplifichiamo l’espressione ottenuta sostituendo a z,nel primo membro dell’equazione, la soluzione dataci daWiris. Per far ciò, usiamo opportunamente le combina-zioni di tasti ctrl-C (copia) e ctrl-V (incolla).

m Figura 1

m Figura 2

Nel sito: c 1 esercitazione guidata con Derive c 20 esercitazioni in più

ESERCIZIMatematica per il cittadino

Matematica per il cittadinoGLI SCORPIONI IRRAZIONALI

La vita quotidiana è piena di numeri, a partire daquanti biscotti mangiamo a colazione fino al canaledella televisione su cui ci sintonizziamo la sera.I numeri naturali ci circondano in maniera più eviden-te, ma anche i numeri irrazionali si nascondono nellarealtà e c’entrano con triangoli, quadrati, spirali e…scorpioni!

1. Considera i quadrati che hanno come misura dei latii primi 7 numeri naturali. Completa la seguente ta-bella inserendo i valori delle loro aree.

lato (u) 1 2 3 4 5 6 7

area (u2)

2. Considera i quadrati che hanno, come area, i primi 7numeri naturali. Completa la seguente tabella deter-minando la lunghezza dei loro lati.

area (u2) 1 2 3 4 5 6 7

lato (u)

3. Dato un quadrato di lato 1 u, disegna un quadrato diarea doppia (potrebbe essere utile tracciare una dia-gonale del quadrato). Quanto è lungo il suo lato?

4. Nella figura a lato la costruzione a spirale è compo-sta da triangoli rettangoli aventi un cateto di lun-ghezza 1 u e l’altro lungo come l’ipotenusa del trian-golo precedente. Partendo dal triangolo iniziale, cheha entrambi i cateti lunghi 1 u, completa la tabellainserendo le lunghezze mancanti. Esponi le tue con-siderazioni riguardo alla successione delle lunghezzedelle ipotenuse.

Triangolo 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16°

1° cateto (u) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2° cateto (u) 1

ipotenusa (u)

5. Disegniamo ora la coda di uno scorpione. Nella figura a fianco, a partire dal qua-drato di lato unitario, abbiamo costruito alternativamente:

● un triangolo rettangolo isoscele che ha come cateto il lato del quadrato antecedente;● un quadrato che ha come lato l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele.

Completa la figura, calcola le lunghezze dei lati e le aree dei quadrati e inseriscile nellatabella. Esprimi le tue considerazioni sulla successione ottenuta con i valori delle su-perfici.

Quadrato 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°

lato (u) 1 Ï2w

area (u2) 1 2

1 u 1 u

1 u1 u1 u

(2 5)}4

è uguale a:

(2w 5w)4w. non è definita.

54w. (Ï3

2w 5w)4.(Ï

u2w 5wuw)4.

Considera il radicale Ï3

aw 1w 3w.Per quali valori del numero reale a esiste?

Solo per a $ 0.

Per ogni valore di a.

Solo per a . 2 3.

Solo per a $ 2 3.

Solo per a $ 3.

Quale delle seguenti uguaglianze è falsa?

aw 5 a, a . 0

0w 5 0

1w 5 1

aw 5 0, a . 0

aw)2 5 a, a . 0

L’ordinamento crescente dei radicali

Ï10w, Ï3

9w, Ï5

35w è:

Ï10w, Ï3

9w, Ï5

35w, Ï10w.

35w, Ï3

9w, Ï10w.

35w, Ï10w, Ï3

9w.nessuno dei precedenti.

62w5w è uguale a:

5w.5Ï

5w.5.E

(2w 9w)2w è uguale a:

Ï2w 9w. 3.

2 9. nessuno dei precedenti.

Ï3w ? Ï5

2w ? Ï3

27w è uguale a:

35w22w.

3w? 2w ?w27w.

6w.Ï10

34w2w.nessuno dei precedenti.

Il risultato di Ï5

3w 1 Ï5

7w è:

nessuno dei precedenti.

awÏpwbww (a, b $ 0) è equivalente a:

awpbw.}mp}

Ïawbw.

awbwmw.

awpbwmw.

Quale delle seguenti uguaglianze è vera?

(2w3)w2w 5 Ï3

2w3w Ï6

(2w3)w2w 5 Ï4

2w3wÏ6

(2w3)w2w 5 Ï3

3w Ï6

(2w3)w2w 5 2 Ï3

(2w3)w2w 5 Ï4

Quale delle seguenti uguaglianze è vera?

Ïxw6yw 5 x 3 Ïyw Ïxw6yw 5 ux 3u ÏywÏxw6yw 5 x 3 y Ïxw6yw 5 x Ïxw4ywÏxw6yw 5 ux 3 y uC

Verifiche di fine capitolo

TEST Nel sito: c questi test interattivi c 30 test interattivi in più

Verifiche di fine capitolo ESERCIZI

SPIEGA PERCHÉ

L’uguaglianza Ï4

(xw 2w 3w)4w 5 x 2 3 non è vera ∀ x [ R. Spiega perché.

La proposizione: «La radice quadrata di 25 è uguale a 65, poiché (15)25 25 e (25)2

5 25» è falsa. Spiega ilmotivo.

Perché l’uguaglianza 27 Ïzw 5 Ï49wzw, con z . 0, è falsa? Correggila in modo che diventi vera.

Per quali valori di n la semplificazione del radicale Ï2n

xw3nw richiede l’uso del valore assoluto? Perché?

Il radicale Ïaw 2w 2w Ïwaww 2ww 1ww, con a $ 1, può essere trasformato nella differenza di due radicali semplici? Per-ché?

ESERCIZI Nel sito: c 9 esercizi in più

Nei seguenti esercizi ci riferiamo sempre a radicali in R01.

Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali:

}§ ; Ï2xwy4w; !}x§ 2

4}§ ; !}

x§22§x§1

3§1§ 1}§ ; Ïxw1w 1w ? Ï5w2w 2wxw; !}

1}§ 1 Ïxw.

Semplifica i seguenti radicali, determinandone le condizioni di esistenza.

27waw9bw6cw6w [C.E.: a $ 0; Ï3aw3bw2cw2w]

}9§(3§x§4

2§ 1§)2

}§ 3C.E.: ∀ x [ R; !}3§u3§x

2§ 2§ 1§u}§4

42§ 1§8

§ 1§ 8§1}§ 3C.E.: a Þ 0; !}

u§a§2

2§2§9§u}§4

1§ 3§a

3§a§ 1§ 1

}§ 3C.E.: a . 2 1; ∀ b [ R; }a

§1§(

x§x2§

1§1§x

x§1§ 1}§ 3C.E.: x . 2 1 ∧ x Þ 0; !3

}x§2(§x

1§1§ 1§)}§4

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

2}§ 3}x

y 2}!5

y§2}§4

41§4y§ 1

4§6}§ 3}ux

y u} Ï4

xw41w 1w6w424

23 !}a§4b§

2§ 2§a§4b

}§ 3}a2 u

2 1u}!}

1§}§4

!}b§2

§ 2§b}§ 3}ub

1u} Ïxw426

Trova le condizioni di esistenza e, dopo aver eseguito le operazioni, trasporta fuori dal segno di radice tutti ifattori possibili.

!}a§ 1

}§ ;3!§§}

} ?§§!}a§ 1

4§ 2}§§§ 3C.E.: a . 2 2, a Þ 0;!6

}(§a§2

Semplifica le seguenti espressioni, supponendo verificate le C.E.

(Ï2w 2 3)21 Ï18w 1 Ï8w 1 }

2} Ï50w 311 1 }

2} Ï2w4

Ï32w 1 2 Ï18w 2 3 Ï50w 1 3 Ï98w [16 Ï2w]

2 Ï3w ? (4 Ï2w 2 Ï3w) 1 Ï2w (Ï8w 2 3 Ï3w) [5 Ï6w 2 2]

(Ï2wÏw3ww)21(21Ï3w)

21(112Ï3w)

21(Ï5w12Ï2w)?(2 Ï2w2Ï5w)22 Ï2w(11Ï3w)2(Ï2w 2 Ï3w 21)

[17 1 8 Ï3w]

1!1}§1

y}§ 2§ }

1§}§2§ ;!4

y§y2}§2

§y§5

y}§ [x 2y 2 Ïxw 1w yw]

}§ ?!4

}§ 1!}x§y

3}§ 2 Ïxw2yw 3}

y§}§4

2§2§ 9}§ ?!3

x§ 3}§ ;!3

21§2§

3§x}§ 3!6

}x§ 2§2

2§ 9}§4

(Ïxw 2 1)1}Ïxw1

1 1} 1}

2 1}22 Ï3

xwÏwxww 3}Ï1 1

2}§ ;

3!§§(x 1 2)§§!}x§x

2}§§§ ; 1}Ï4

1w 2wxw}2

[Ïxw(xw 1w 2w)w]

y}§ ?!4

y}§ ;!12

y}§ 3!6

(a 1 b)2? Ï(aw2w2w bw2)w ; Ï4

aw6w2w bw6w2w 3waw4bw2w1w 3waw2bw4w 3ua 1 b u ?!4

}§4[Ï12

(3wxw1w 2wa)w3w]4; 1!}x

y}§ ?!3

. 33x 1 2a; !6 1§§25§4

1§}§ !§}x

1§§}§§ Ï§4

xw§ 3w§ 3!8

1§3}§4

Ï25waw2w1w 2w5w 2 Ï4aw61w 4w 1w 1w2aw4w1w 1w2aw2w 2 Ï9aw2

1w 9w [22a 2 Ï1w1w aw2w]

}!}x§

x§y}§ 2!}

x§ y}§ ? 32}

1w yw}4

b}§ 2§ }

b}§ ;!}

b}§ 2§ 1§ ?!6

}(§b§ 2

}§ 3!6

(x 2 y)}1

; 3(x 1 y)}1

1 (x 2 y)}1

2}41 (x 2 y)

; 3(x 2 y)}1

2 (x 1 y)}1

2}4 con x . y . 0 3}y 2

1w 2w}2 Ï3xw 2w 2w2 ? 1Ï3xw 1w 2w 1}

2w 2w}2 ?}

Ï3xw2

1w 2w}2}

2w 2w} [2 Ï3xw 2w 2w]45

Ïx2wyw1w yw31w 2wxyw2w

}}Ïxyw

x 2 y}x 1 y

Verifiche di fine capitolo ESERCIZI

2bw} 1 Ï

awbw2w21Ï3

aw2bw 2 }

bw2w}2 ; (b 2

2 16) 3}a

Semplifica le seguenti espressioni e razionalizza i risultati.

ÏÏ5w 2

}2 }Ï

10w} 3}4 Ï10w

2 3 Ï2w}4

1}1 2 3}a

Semplifica le seguenti espressioni.

313}14}

? a}32}

? b ? b2}

12}2 }

? 13}16}

? a 2? b

? b}43}2; a 2b

}13} [Ï3

12}13}

1 32 }

13}2 ; 1321

1 22 }

23}2 ? 621

; 11 1 62 }

13}2 ? 13 1 2

}23}2 [1]

Risolvi.

Ï5w(x 2 1) 5 2(x 1 1) [(Ï5w 1 2)2]

ÏÏ5w

5w}5 }

x} 2 4 [9Ï5w(2 1 Ï5w)]

2wÏ2w}2 }

}5 0 3}9 Ï2

Ï3w (x 2 2) 1 Ï3w . 3x 2 1 3x , 2 }Ï

5 [2 Ï5w; 1]

5 31}3Ï1

2 1} ;}

Ï3w}24

5 312 Ï3w; }2

9} Ï2w24

5 [Ï2w; Ï2w 2 1]

2w} 1 }

3w} 5 2 Ï3w

[(Ï6w; 3)]5 2 Ï3w x 5 }1

3} (10 Ï3w 2 5 Ï2w x) 1 2 Ï2w y

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado.

2 1}2 }

2} (x 1 1) 5 4x (1 2 x) 2 (2x 2 3)2 [impossibile]60

Ï2wx 1 3y 5 3Ï2w 2 1

x 1 y 5 2Ï2w 2 158

2 Ï3wx 1 Ï2wy 5 3

Ï3wx 1 Ï2wy 5 657

(Ï3w11)x 12y 53

4x 2(Ï3w21)y 5156

Ï5wx 1y5 24

2x 12Ï5wy 5055

METTITI ALLA PROVA Nel sito: c 20 esercizi in più

è un numero:

intero.

razionale positivo, ma non intero.

razionale negativo, ma non intero.

irrazionale positivo.

irrazionale negativo.(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2003)

1}}}}}(3 1 Ï2w)(2 1 Ï3w)(3 2 Ï2w)(2 2 Ï3w)

Se Ïa2w 1w 1w 5 b, quale delle seguenti af-fermazioni è certamente vera?

a $ 0 b $ a21 1

b $ 0 Nessuna delle precedenti.

a . 1(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2004)

Quale dei seguenti numeri è il più piccolo?

0,0000001 (0,1)0,1 (0,0001)2

928 Ï0,w00w00w1w(Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 1997)

TEST YOUR SKILLS Nel sito: c 5 esercizi in più

TEST What percentage of }Ï

24w} is !}

7}§ ?

25% 66,6w%

33,3w% 150%

(USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th AnnualMathematics Contest, 1995)

69 Perform the following operations. Write all an-swers in simplified form (including rationalizingdenominators). Assume that variables representnon-negative numbers.

a) Ï3

2xw(Ï3

xw 2 Ï3

10wxw5w);b) 2 3Ïb5w 1 bÏb3w 1 Ïb2w.

(USA Tacoma Community College, Review for Test, 2002)

[a) Ï3

2xw2w 2 x2Ï3

20w; b) b 2 2b2Ïbw]

percentage: percentuale to perform: svolgere to simplify: semplificare

GLOSSARY

}2(x 1 1

)(x 2 1)}2 }

} 5 }x2

x 2 6} 3}3 6

Ï5w}4

2} (x 2 2) 1 }

6} 2 x 11 2 }

(3x 2 2)

(3x 1 2)}2 }

2} 30; }

(x 2 Ï2w)(x 1 Ï2w) 5 4(x 2 1)(x 1 1) 36!}2

3§}§45x 2 (x 1 1)2

1 (2x 2 1)25 2 2 (x 1 3)(x 2 2) [6 Ï2w]

x 1x 1 }2

3}22 }

5w} (2x 1 1) 1 }

3} 5 0 3Ï5w; }

2 2}465

0896 3515 bergamini_matematica_azzurro_vol2_cap.10

Documents

Transcript of 0896 3515 bergamini_matematica_azzurro_vol2_cap.10

Comunicato Ufficiale N° 17 del 10/10/2019 - LND Ligurialiguria.lnd.it/wp-content/uploads/2019/10/CU1720.pdf · 2019-10-10 · Comunicato Ufficiale N° 17 del 10/10/2019 ... Date

Volantino Maxi 22/09/10 04/10/10

TCS 21/10/10 Blog e giornalismo. TCS 21/10/10 Lo stato della blogosfera 2010.

gazzetta 10-10-2011

ESPRESSO MYR 10...pepsi myr 10 7 up myr 10 pepsi light myr 10 revive regular myr 10 evervess soda myr 10 evervess tonic myr 10 evervess ginger ale myr 10 mug sarsaparilla myr 10 red

Ordine Avvocati Venezia...MARCHIORI DANIELE PAVANETTO LUCA ZAMBIANCO GINO 15/10/2019 11:10 15/10/2019 11:10 15/10/2019 11:10 09/10/2019 4274/2018 726/2019 1171/2019 Collegiale Collegiale

Departamento en COLONIA Renta Bugambilias cerca de Plaza ... · Corporativo Hernández Chargoy, S. de R.L. de C.V. INMOBILIARIA Torre Ejecutiva TRIANGULO 39 Poniente No. 3515 Piso

GE - Controllo e Automazione - Per applicazioni industriali - 2015apps.geindustrial.com/publibrary/checkout/C-4715-I-I-4.0... · PRC1T20CJL 10 10 10 10 10 10 2 contatti di scambio

Faq cinema 2013 10 10

10. TERMODINAMICA Signorelli 10 SITO

Santorini - Alka Pandeyalkapandey.com/pdf/Santorini.pdf3512 3513 3515 3512 Angelo bottiglia h40x18x12 cm 3513 Angelo torrefazione h30x26x12 cm 3514 Angelo panettone + bottiglia h41x33x24

2019 10 10 CS Barcolana

DELLA - UniTrentoCreated Date 10/2/2016 10:10:56 AM

portfolio aduetratti 10-10

Istituto Comprensivo Gualdo Tadino · Scuola Infanzia – Primaria - Secondaria I grado ... RICCI PATRIZ IA 10 + 10 1 + 4 MARINI LAURA 10 + 10 1 + 4 MOSCA FEDERICA 10 + 10 1 + 4 Totale

Firenze, 10/10/2012

10 gazzettino 10 3 16

Consti 3515

Idroelerico - Università degli Studi della Basilicatadimie.unibas.it/contents/instance1/files/document/3515... · 2014. 5. 8. · Impianabacino Quella* dell’impianto* delle* tre*

CASSETTE PER LETTERE - LETTER BOXES LISTINO · 2014. 10. 31. · Cassette Postali singole listino silmeC 26 10 11 Cassette s90 10-015 10-215.01 10-215.22 10-215.84 10-215.69 10-315.72