___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA___________________________

Prof. Paolo Mattana

Lezione n° 8

La violazione delle assunzioni classiche

Dipartimento di EconomiaUniversità degli Studi di Cagliari

Dobbiamo considerare:

- la presenza di regressori stocastici e la multicollinearità

- la violazione delle assunzioni classiche

…….più tardi non stazionarietà

VIOLAZIONI DELLE IPOTESI CLASSICHE

REGRESSORI STOCASTICI

Abbiamo finora considerato il caso di regressori deterministici

Tuttavia, abbiamo sempre sottolineato che questo caso non siattaglia ai dati econometrici

Cosa succede alle proprietà degli stimatori quando prendiamo in considerazione regressori stocastici?

Dobbiamo aggiungere l’assunzione di indipendenza fra residui e regressori

NB: studieremo bene le implicazioni della violazione di questa particolare assunzione sui residui

REGRESSORI STOCASTICI

Correttezza: lo stimatore OLS continua a essere corretto

Partendo da: ( ) YX'XX'β -1=ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) εX'XX'XβX'XX'εXβX'XX'β -1-1-1= +=+ˆ

( ) εX'XX'ββ 1-+=ˆ

( ) ( ) ( )εEX'XX'ββE -1+=ˆ

( ) ββE =ˆ

REGRESSORI STOCASTICI

Efficienza: lo stimatore OLS presenta varianza minima

Consideriamo la seguente matrice simmetrica k x k:

( )( ) =ˆˆ 'β-ββ-βE

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

2

kk22kk11kk

kk22

2

221122

kk112211

2

11

-----

-----

-----

ββEββββEββββE

ββββEββEββββE

ββββEββββEββE

= =

REGRESSORI STOCASTICI

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2k2k1k

k2

2

212

k111

--

--

--

βVarββCovββCov

ββCovβVarββCov

ββCovββCovβVar 2

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

=

Siccome :

( ) εX'XX'ββ -1= +ˆ

( )( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) 1-1-

1-1-

=

==ˆˆ

XX'Xεε'EX'XX'

XX'Xε'εX'XX'E'

β-ββ-βE

REGRESSORI STOCASTICI

Siccome:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1-1-1-

1-1-

==

==

==

XX'σXX'XX'XX'σ

XX'XIσX'XX'

βVar

22

2

'β-ββ-βE ˆˆˆ

( ) Iσεε'E 2=

Consistenza: lo stimatore OLS preserva le proprietà di consistenza

PLIM

Efficienza asintotica: lo stimatore OLS collassa più velocemente (tra tutti gli stimatori della sua classe) sul valore della popolazione

(Non diamo le dimostrazioni)

ββ =ˆ

REGRESSORI STOCASTICI

Sembrerebbe che la generalizzazione delle ipotesi classiche pertener conto di regressori stocastici non abbia fatto troppi danni.

Tuttavia, come avremo modo di studiare nel dettaglio:

L’ipotesi di indipendenza fra errori e variabili indipendenti è spesso violata nella realtà

Dovremo studiare opportuni rimedi

MULTICOLLINARITÀ

Nel caso di regressori stocastici, un problema che diventa rilevanteè quello della multicollinarità

Abbiamo già visto la multicollinarità (perfetta) quando le Xsono linearmente legate l’una con l’altra.

Cosa succede nel caso di regressori stocastici?

NB: non è un problema di causalità, basta che le X siano correlate

In questo caso, la multicollinarità non è PERFETTA:

può essere calcolata e l’analisi può procedere

MULTICOLLINARITÀ

1XX'

Tuttavia, la multicollinarità può causare problemi

A mano a mano che il grado di multicollinarità aumental’ammontare di informazione indipendente si riduce

Il problema della multicollinarità, nel caso di regressori stocasticidiventa l’insufficiente informazione campionaria

MULTICOLLINARITÀ

Quando la correlazione tra le X è bassa, OLS ha molta informazione con cui procedere a stimare beta.

Sono abbastanza sicuro del reale impatto delle due X su Y

Y

X1

X2

MULTICOLLINARITÀ

Quando invece la correlazione fra le X è elevata, l’area di informazione indipendente si riduce.

Ciò ci rende relativamente insicuri su quale sia il reale impatto delle due X su Y

Y

X1

X2

MULTICOLLINARITÀ

Dal punto di vista matematico ciò dipende dal fatto che il Det di X’X tende a zero e quindi gli elementi della matrice diventano arbitrariamente grandi. In un contesto con 2 variabili indipendentiX, può dimostrarsi che:

dove r è il coefficiente di correlazione campionaria fra le due X

∑ )1(=)ˆ( 22

2

2

2 rx

σβVar

-

∑ )1(=)ˆ( 22

3

2

3 rx

σβVar

-

MULTICOLLINARITÀ

Pur essendo OLS è ancora BLUE

deduciamo che la multicollinarità aumenta lo SE dei beta.

NB:

Ciò implica che i t-ratio tenderanno a essere bassi e a non farcirifiutare l’ipotesi nulla di non significatività dei regressori

In conclusione, la multicollinità è un problema solo se porta al nonRifiuto dell’ipotesi nulla di non significatività statistica dei regressori

MULTICOLLINARITÀ

SEGNI RIVELATORI

La statistica F è significativa ma i singoli coefficienti no

R2 molto elevato ma i singoli t-stat sono bassi; non esiste un particolare valore/soglia per sostenere che R-squared è troppo elevato. In linea generale, se R2 è più elevato di 0.9 e i beta non sono significativi c’è da preoccuparsi

I coefficienti sono elevati ma statisticamente non significativi

Gli SE dei beta cambiano ragguardevolmente quando altre variabili sono incluse o rimosse, ma non così i coefficienti

MULTICOLLINARITÀ

DIAGNOSTICA

Metodologia di Farrar/Glauber

Regredire ciascuna X su tutte le altre e computare i coefficienti di determinazione (ausiliari);

Se esiste una (quasi) relazione lineare, allora almeno un R-squared sarà molto elevato;

MULTICOLLINARITÀ

Abbiamo già discusso il fatto che: esistono 2 motivi (principali) che possono portare a E(ee’) σ2I

Gli elementi lungo la diagonale principale possono variare;

Gli altri elementi possono non essere tutti zero.

RESIDUI “NON SFERICI”

Il problema della non-constanza della varianza dell’errore è conosciuto come HETEROSKEDASTICITY

Il problema delle covarianze non nulle degli errori è conosciuto come AUTOCORRELATION

Sono problemi differenti che nascono in contesti diversi (dati di natura diversa)

Le implicazioni per le proprietà degli stimatori OLS sono le stesse

RESIDUI “NON SFERICI”

-IMPLICAZIONI (uguali per heteroschedasticità e corr. seriale)

-DIAGNOSI (test diversi per ogni problema)

-EVENTUALI RIMEDI (trasformazioni GLS del modello)

RESIDUI “NON SFERICI”

Le cause dell’eteroschedasticità

E’ un problema che si trova in dati cross-section (specialmente dati aggregati);

L’accuratezza delle misurazioni può differire tra le unità prese in considerazione;

L’errore può essere proporzionale alla grandezza dell’unità presa in considerazione (esempio GDP).

….abbiamo già visualizzato nel modello bivariato

RESIDUI “NON SFERICI”

Le cause dell’autocorrelazione. Nasce nelle time-series

E’ possibile anche l’autocorrelazione nelle cross section. Si parla allora di correlazione “spaziale” che ha un significato preciso ed è difficile da trattare

Errori di misurazione (autocorrelati) Struttura dinamica Forma funzionale errata (non genuina)

….abbiamo già visualizzato nel caso bivariato

Proviamo a generare una serie artificiale autocorrelata

RESIDUI “NON SFERICI”

Cosa succede se abbiamo una violazione delle assunzioni sulcomportamento dei disturbi?

NB:

la matrice ee’ non si conforma alle ipotesi classiche

Lo stimatore OLS:

non è coinvolto e continua ad essere lineare - corretto - consistente

YX'X)(X'β -1ˆ

RESIDUI “NON SFERICI”

La varianza e lo S.E. del coefficiente sono invece coinvolti.

Si ricordi che avevamo dimostrato che:

per cui, se:

→ stiamo supponendo che la varianza dei disturbi non sia cost

- La formula per il calcolo dello SE di beta è ora sbagliata

1211 )()()εε()()ˆ( -XX'σXX' X'EX'XX'βVar - == -

-1-1 )()()ˆ( XX'VXX'XX'βVar =-12 X)(X'σ

RESIDUI “NON SFERICI”

VεεE =)( ' 12 )( -XX'σV ≠

a) non possiamo utilizzare le procedure inferenziali viste fin qua;

b) OLS non è più BLUE;

c) Dobbiamo ricorrere alle procedure GLS che stimano

(che è lo stimatore BLUE del vettore β vero della popolazione)

Tuttavia V non è conosciuta. La si deve stimare:

Abbiamo a che fare con Feasible Least Squares

RESIDUI “NON SFERICI”

YVX'XVX'β --- 111* )(=

NB:

Le stime GLS implicano una trasformazione del modello di regressione lineare.

Ne studieremo diverse:

Cochrane-Orcutt per il caso dell’autocorrelazione;

WLS per il caso dell’eteroschedasticità.

RESIDUI “NON SFERICI”