ECONOMETRIA: Laboratorio I

Luca De Angelis

CLASS - Universita di Bologna

Programma Laboratorio I

I Valori attesi e varianze

I Test di ipotesi

I Stima di un modello lineare attraverso OLS

Valore atteso

I Data una variabile aleatoria X con pdf f (x), il valore atteso diX e:

E (X ) = µx =∑

xf (x) v.c. discreta

E (X ) = µx =

∫xf (x) v.c. continua

I Proprieta:I E (a) = aI E (aX + b) = aE (X ) + bI E (aX1 + ...+ nXn) = aE (X1) + ...+ nE (Xn)I se X e Y sono indipendenti allora: E (XY ) = E (X )E (Y )

Varianza

I Data una variabile aleatoria X, la varianza di X, e definita:

Var(X ) = σ2x = E [(X − E (X ))2] = E (X 2)− E (X )2

= E[(X − µx)2

]I Proprieta:

I Var(aX + b) = a2Var(X )I Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2Cov(X ,Y )I Var(aX1 + ...+ nXn + d) = a2Var(X1) + ...+ n2Var(Xn)

Esercizio 1

I X e la variabile aleatoria “somma di due dadi”

I Scrivere la distribuzione di probabilita

I Calcolare E (X ) e Var(X )

Covarianze e correlazione

I Date due variabili aleatorie X e Y

Cov (X ,Y ) = γ(k) = E [(X − µX ) (Y − µY )]

= E (XY )− E (X )E (Y )

Corr (X ,Y ) = ρ(k) =Cov (X ,Y )√

Var (X )Var (Y )

I Nel caso di Time-Series, se il processo e stazionario

Corr (X ,Y ) = ρ(k) =γ(k)

γ(0)

Valore atteso condizionato

I Date due variabili aleatorie X e Y il valore atteso condizionato:

E (X |Y = y) =∑x⊂X

xP (X = x |Y = y)

=∑x⊂X

xP(X = x ,Y = y)

P(Y = y)

I Nota:

P(X = x |Y = y) =P(X = x ,Y = y)

P(Y = y)

condizionata =congiunta

marginale

Esercizio 2

I Data la seguente distribuzione di probabilita:

X = 0 X = 1 Totale

Y = 0 0.15 0.07 0.22

Y = 1 0.15 0.63 0.78

Totale 0.30 0.70 1

I Calcolare:I E (X ),E (Y ),Var(X ),Var(Y ),Corr(X ,Y )

I Data la variabile V=20-7Y calcolare:I E (V ),Var(V )

I Calcolare:I E (Y |X = 1)

Test d’ipotesi

I Test d’ipotesi: valuta un congettura su un parametro θ ∈ Θ diinteresse della popolazione, avendo osservato un determinatocampione.

I H0:ipotesi nulla vs H1:ipotesi alternativa.

I Per valutare H0 si utilizza una statistica test, ossia unafunzione di H0 e dei dati osservati.

I Spesso la distribuzione di probabilita della statistica test sottol’ipotesi nulla e nota (es: Normale, t di Student, Chiquadrato).

Test d’ipotesi

Come stabiliamo quando un campione fornisce una chiaraindicazione contro l’ipotesi nulla?

I Un test statistico e una regola per discriminare i campioni che,se osservati, portano al rifiuto di H0

I La regione di rifiuto di un test statistico e formata daicampioni che contengono “abbastanza” evidenza contro H0.

I La regione di accettazione di un test statistico e formata daicampioni che non contengono “abbastanza” evidenza controH0.

I La regione di rifiuto e quella di accettazione bipartiscono lospazio campionario, consentendoci di rifiutare o meno l’ipotesinulla sulla base del campione osservato

Test d’ipotesiErrori del test

I La regione di rifiuto consistera di valori estremi sotto l’ipotesinulla.

I La verifica di H0 dara un risultato errato in due casiI H0 e vera e noi la rifiutiamo, errore di prima specieI H0 e falsa e noi la accettiamo, errore di seconda specie

I P(Rifiutare H0|H0 vera) = α

I P(Accettare H0|H0 falsa) = β

I P(Rifiutare H0|H0 falsa) = 1− β = γ

Test d’ipotesiTest d’ipotesi per la media

I Supponiamo di dover testare se la media di una popolazione µsia uguale ad un determinato valore µ0

I Avremo quindi l’ipotesi nulla H0 : µ = µ0 contro l’ipotesialternativa H1 : µ 6= µ0 (test bidirezionale).

I Dopo aver estratto un campione di numerosita n, possiamocalcolare la media campionaria Y e la deviazione standardcampionaria corretta σ.

I A questo punto, possiamo testare H0 considerando lastatistica test:

T =Y − µ0

σ/√n∼ t(n−1)

dove σ e la deviazione standard corretta e t e una v.c t diStudent con n − 1 gradi di liberta.

Test d’ipotesiValore critico

Come valutiamo se la statistica test ottenuta ci porta a rifiutare oa non rifiutare l’ipotesi nulla H0?

I Definiamo la regione di rifiuto come l’insieme dei campioni peri quali

|T | > tα (T < −tα,T > tα)

I Il valore critico tα e scelto in modo che

P(T > tα|H0) = α

I Per un opportuno α e sulla base della distributione sotto H0

(in questo caso abbiamo una t di Student con n-1 gradi diliberta) costruiremo il valore critico tα.

Test d’ipotesip-value

I Le conclusioni del che otteniamo dal nostro test dipendonodal livello di significativita α che scegliamo.

I Nella pratica quindi si calcola il p-value.

P (|T | > t|H0) = p

I Rappresenta la proporzione di campioni in cui, sotto l’ipotesinulla, la statistca test T assume valore piu estremo del valoreosservato t.

I In pratica, valori piccoli di p indicano evidenza contro H0.

Gretl e Test d’ipotesi

I Dal menu di Gretl: Strumenti - Tavole statistiche

I Dal menu di Gretl: Strumenti - Calcolo p-value

I Dal menu di Gretl: Strumenti - Calcola Test

Esercizio 3: test per la mediaSi dispone di tre campioni di n = 8 elementi

I Campione II Campione III Campione

15 17 3116 18 1813 16 2715 14 2217 22 1517 20 2613 21 2617 22 30

Table: Esercizio 3

I Ipotesi nulla da testare: H0 : µ = 15

I Utilizzando Gretl calcolare la statistica test t per i tre diversicampioni osservati

I Calcolare il p-value associato ai tre test.

Esercizio 3: test per la mediaIndicazioni per lo svoglimento

I Creare un nuovo dataset direttamente su GretlI Dal menu di Gretl: File - Nuovo Dataset e inserire il numero

delle osservazioni e la tipologia di dati che vogliamo analizzare(8 osservazioni e dati cross-section). Barrare la casella ‘Inizia ainserire i valori dati’ per inserire i dati relativi ai tre campioni.

I Definire nuove variabili per la media (mean), la deviazionestandard (sd) e la statistica t per ogni campione.

I Utilizzare il tool di Gretl per calcolare i p-value.

I In alternativa: Strumenti - Calcola Test - Media.

Test d’ipotesiConfronto tra medie

I Un caso di possibile interessere e quello in cui vogliamoconfrontare le medie di delle popolazioni da cui abbiamoestratto due campioni differenti.

I Denotiamo µX e µY le medie delle due popolazioni diinteresse, per cui la nostra ipotesi nulla sara data da

H1 : µX = µY

contro l’ipotesi alternativa

H1 : µX 6= µY

I Esercizio: Costruire un test per il confronto tra medie con idati dell’esercizio 3. (Suggerimento: Utilizzare il menu diGretl)

Capital Asset Pricing Model (CAPM)Teoria economica

I Il CAPM rappresenta il primo modello di equilibrio dei prezzidelle attivita finanziarie in una situazione di incertezza econsente di fornire una soluzione ad uno dei principaliproblemi della finanza, la relazione tra rischio e rendimento.

Capital Asset Pricing Model (CAPM)Formulazione

I Il CAPM si puo rappresentare come una relazione lineare tra ilrischio non diversificabile e il rendimento atteso

E (ri ) = rf + (E (rm)− rf )βi

I Un’importante classe di test sul CAPM e stata sviluppata nelcontesto della regressione lineare con osservazioni temporali

ri ,t − rf ,t = α + β(rm,t − rf ,t) + εi ,t t = 1, ...T

Capital Asset Pricing Model (CAPM)Return - Log-return

I Dato Pt il prezzo di un’attivita finanziaria il rendimento puoessere calcolato

Rt =Pt − Pt−1

Pt−1=

∆Pt

Pt−1

oppure in termini di log-return

rt = log

(Pt

Pt−1

)= log

(Pt − Pt−1 + Pt−1

Pt−1

)= log

(1 +

∆Pt

Pt−1

)= log (1 + Rt)

I Se il valore di Rt non e troppo alto o troppo basso il log-returne una buona approssimazione del Rendimento poiche

log (1 + Rt) ≈ Rt

Stimatore OLSIn caso di omoschedasticita

βOLS =(X ′X

)−1 (X ′y

)E(βOLS

)= β

Var(βOLS | X

)= Var

(β + (X ′X )−1X ′u | X

)= Var

((X ′X )−1X ′u | X

)= (X ′X )−1X ′

(σ2uIn)X (X ′X )−1

= σ2u(X ′X )−1

Capital Asset Pricing Model (CAPM)Su Gretl

I Importare il file excel ASSETS.I Generare le seguenti variabili:

I Differenze prime del prezzo (Xt − Xt−1)I Logaritmo del prezzoI Log-return

I Stima del modello di mercato:

ri ,t − rf ,t = α + β(rm,t − rf ,t) + εi ,t t = 1, ...T

Output del modello di RegressioneSu Gretl

I Coefficienti stimati β

I Standard Error delle stime√V (β)

I Rapporto t sotto l’ipotesi nulla H0 : β = 0

I p-value relativo al rapporto t

I F e p-value(F): test di significativita globale dei coefficienti

I Coefficiente di determinazione lineare R2

Esercizio 4: Capital Asset Pricing Model (CAPM)

I Stimare lo stesso modello modificando il titolo i ecommentare l’output.

Stimatore vincolatoTeoria

I Stimatore Restricted Least Square:

βRLS = βOLS−(X ′X

)−1R[(

R ′(X ′X

)−1R)]−1 (

R ′βOLS − r)

I Varianza dello stimatore βRLS :

= V(βOLS

)−σ2

(X ′X

)−1R[(

R ′(X ′X

)−1R)]−1

R ′(X ′X

)−1

Capital Asset Pricing Model (CAPM)Test d’ipotesi sui parametri

1. H0 : β = 0

2. H0 : β = 1

3. H0 : α = 0

I Stimare il modello di mercato sotto il vincolo 1.

I Stimare il modello di mercato sotto il vincolo 2.

I Stimare il modello di mercato sotto i vincoli 2 e 3.