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Integrali tripli: esercizi svolti
Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt` a mag-
giore.
Esercizio 1. Calcolare i seguenti integrali tripli sugli insiemi specicati:
a) xyz dx dy dz, = (x,y,z )R 3 : 0 x 1, 0 y 1, 0 z 118
b) 2z dx dy dz, = (x,y,z )R 3 : 2 x 2 + y2 < z < x + 26427
3
c) x2
x 2 + z2dx dy dz ,
= (x,y,z )R 3 : 1 < x 2 + y2 + z2 < 2, x2 y
2 + z2 < 0, y > 0
6 5 2 6
d) x 2 + y2 + z 2 1 dx dy dz , = (x,y,z )
R3
: x2
+ y2
+ z2
< 2, x2
+ y2
< z 4
15 2 1960
e) (x + z) dx dydz, = (x,y,z )R 3 : x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 11
12
f ) x|z|dxdy dz, = (x,y,z )R 3 : x 2 + z2 < y 0, 0 < y < 2z + 1 , x 2 + y2 + 4 z 2 < 116 +
1
6
h) ydxdydz , = (x,y,z )
R 3 : x 2 + y2 2x < 0, 0 < z < x, x2 + y2 < 1, y > 0 548
i) y2
x 2 + y2dx dy dz, = (x,y,z )
R 3 : 1 < x 2 + y2 < 2x, 0 < z 0.
Quindi si ha che = ( ), dove
= (, , )R 3 : 1 < < 2, sin2 < cos2 , 0
2
4, x > 0
= (x, y )R 2 :
2
< y < 2
, 2
4 y2 < x < 2 4y2 .
x
y
0 /2
/2
0
/2
Fig. 27: Linsieme D (in azzurro).
Essendo D x -semplice, si ottiene
m (E ) = D x cos ydxdy = 2
2
2 4 y2
24 y2x cos y dx dy =
= 2
2
cos y12
x 2 2 4 y2
24 y2dy =
12
2
2
34
2 3y2 cos y dy =
=3
8 2
2
2cos y dy
3
2 2
2y2 cos y dy =
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32 Integrali tripli: esercizi svolti
integrando per parti il secondo integrale
=38
2
sin y
2
2
32 y
2
sin y
2
2 2
2
2
y sin y dy =
procedendo ancora con lintegrazione per parti
=34
2 34
2 + 3 y cos y2
2
+ 2
2
cos y dy = 3 sin y2
2
= 6 .
c) Consideriamo linsieme
E = (x,y,z )R 3 : x 2 + y2 < z < 3x 2 + 5 y2 , z < 8 x 2 3y2 .
Linsieme E e la parte dello spazio compresa fra i tre paraboloidi di equazione
z = x 2 + y2 , z = 3 x 2 + 5 y2 e z = 8 x 2 3y2 .
x
z
6 4 2 0 2 6
0
4
6
8
Fig. 28: Sezione dellinsieme E con il piano xz (in azzurro).
Osserviamo che E = E 1 \ E 2 , dove
E 1 = (x,y,z )R 3 : x 2 + y2 < z < 8 x
2
3y2 ,
E 2 = (x,y,z )R 3 : 3x 2 + 5 y2 z < 8 x
2
3y2 .
Ne segue che m (E ) = m (E 1 ) m (E 2 ). Calcoliamo separatamente i volumi di E 1ed E 2 . Consideriamo inizialmente E 1 .
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Integrali tripli: esercizi svolti 33
Integrando per li paralleli allasse z si ottiene
m (E 1 ) = D 1 dx dy dz = D 1 8x
2
3 y2
x 2 + y2 dz dxdy = 2 D 1 4 x2
2y2
dxdy,
dove D 1 = (x, y )R 2 : x 2 + 2 y2 < 4 . Essedo D 1 linsieme dei punti del piano
xy compresi nellellisse di equazione x2
4 +y22 = 1, passiamo in coordinate ellittiche
nel piano xy . Poniamo quindi
:x = 2 cos
y = 2 sin , 0, 0 2, |det J (,)| = 2 2.
Allora
(x, y )D 1 0 < 10 < 2.
Quindi si ha che D 1 = ( D 1 ), dove
D 1 = (,)R 2 : 0 < 1, 0 < 2 .
Ne segue che
m (E 1 ) = 2 D 1 4 x 2 2y2 dxdy = 16 2 D 1 1 2 dd =essendo D 1 un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda
prodotto di una funzione di e di una di , si ottiene
= 16 2 2
0d
1
0
3 d = 32 2 12
2 14
41
0= 8 2.
Consideriamo ora E 2 . Integrando per li paralleli allasse z si ottiene
m (E 2 ) = D 2 dx dy dz = D 2 8x
2
3 y2
3 x 2 +5 y2dz dxdy = 4 D 2 2 x 2 2y2 dxdy,
dove D 2 = (x, y )R 2 : x 2 + 2 y2 < 2 . Essedo D 2 linsieme dei punti del piano
xy compresi nellellisse di equazione x2
2 + y2 = 1, passiamo in coordinate ellittiche
nel piano xy . Poniamo quindi
:x = 2 cosy = sin ,
0, 0 2, |det J (,)| = 2.
Allora
(x, y )
D 2
0 < 10 < 2.
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34 Integrali tripli: esercizi svolti
Quindi si ha che D 2 = ( D 2 ), dove
D 2 = (,)R
2
: 0 < 1, 0 < 2 .Ne segue che
m (E 2 ) = 4 D 2 2 x 2 2y2 dxdy = 8 2 D 2 1 2 dd =essendo D 2 un rettangolo con lati paralleli agli assi e e la funzione integranda
prodotto di una funzione di e di una di , si ottiene
= 8 2 2
0d
1
0 3 d = 16 2 122 144
1
0= 4 2.
In conclusione si ha che m (E ) = m (E 1 ) m (E 2 ) = 4 2.
d) Consideriamo linsieme
E = (x,y,z )R 3 : 0 < y < 3|z|, x
2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 +12 |z| .
Osserviamo che linsieme E e simmetrico rispetto al piano xy . Infatti, se ( x,y,z )E , allora anche ( x,y, z)E . Quindi m (E ) = 2 m (E 1 ), dove
E 1 = (x,y,z )R 3 : 0 < y < 3z, x 2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 +
12
z .
Integrando per li paralleli allasse y si ottiene
m (E ) = 2 m (E 1 ) = 2 E 1 dx dy dz = 2 D 3 z
0dy dxdz = 6 D z dx dz,
dove D = (x, z )R 2 : x 2 + z2 > 1, z2 2 < x < 1 +
12 z, z > 0 . Osserviamo
che D = D 1D 2D 3 , dove
D 1 = (x, z )R 2 : 2 < x 1 , 0 < z < x + 2 ,
D 2 = (x, z )R 2 : 1 < x < 1, 1 x 2 < z < x + 2 ,
D 3 = (x, z )
R 2 : 1
x < 2, 2x
2 < z < x + 2 .
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Integrali tripli: esercizi svolti 35
x
z
2 1 0 1 2
0
1
1.5
2
Fig. 29: Linsieme D = D 1D 2D 3 , con D 1 in rosso, D 2 in verde e D 3 in azzurro.
Quindi
m (E ) = 6 D z dx dz = 6 D 1 z dx dz + D 2 z dx dz + D 3 z dxdz =essendo D 1 , D 2 , D 3 z-semplici, si ottiene
= 6 1
2 x +2
0z dz dx +
1
1 x +2
1x2
z dz dx + 2
1 x +2
2 x2z dz dx =
= 6 1
212
z2 x +2
0dx +
1
112
z2 x +2
1x 2dx +
2
1
12
z2 x +2
2 x2dx =
= 3 1
2(x + 2) dx +
1
1x 2 + x + 1 dx +
2
1 4x2 + 9 x 2 dx =
= 312
(x + 2) 2 1
2+
13
x 3 +12
x 2 + x1
1+
43
x 3 +92
x 2 2x2
1= 16 .
e) Consideriamo linsieme
E = (x,y,z )R 3 : x 2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 2x < 0 .
Linsieme E e la parte dello spazio interna al cilindro di equazione ( x 1)2 + y2 = 1e alla sfera di equazione x 2 + y2 + z2 = 4. Osserviamo che linsieme E e simmetrico
rispetto al piano xy . Infatti, se ( x,y,z )E , allora anche ( x,y, z)E . Quindim (E ) = 2 m (E 1 ), dove
E 1= (
x,y,z)
R 3
: 0< z